Dynamique locale et bilans macroscopiques

La résultante des forces de pression sur une particule de fluide de volume $\mathrm{d}\tau$ vaut

$$\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_{\text{pression}}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P\mathrm{d}\tau .$$

La densité volumique équivalente des forces de pression est donc ${\overrightarrow{f}}_{\text{pression}}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P$.

Pour un fluide parfait (viscosité négligée) dans le champ de pesanteur, le champ des vitesses obéit à

$$\boxed{\rho \frac{\mathrm{D}\overrightarrow{v}}{\mathrm{D}t}=\rho \left(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\right)=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+\rho \overrightarrow{g}}$$

appelée équation d'Euler. C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire, le terme convectif $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$ étant quadratique en vitesse.

L'équation d'Euler, associée à l'équation de conservation de la masse et à une équation d'état, forme un système fermé. Sa non-linéarité (terme convectif) est la source de toute la richesse — et de la difficulté — de la mécanique des fluides.

En l'absence de viscosité, un fluide parfait glisse le long d'une paroi : la condition d'adhérence tombe. Seule subsiste la condition de non-pénétration, portant sur la composante normale de la vitesse : le fluide ne traverse pas la paroi, donc

$$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}={\overrightarrow{v}}_{\text{paroi}}\cdot \overrightarrow{n}.$$

Sur une paroi fixe imperméable, la vitesse normale est nulle, $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}=0$, tandis que la composante tangentielle reste libre — au contraire du fluide visqueux, qui adhère entièrement ($\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$).

Dans un écoulement parfait et incompressible, on admet que la puissance des forces intérieures à un système de fluide (forces de pression que ses parties exercent les unes sur les autres) est nulle : aucune énergie n'est dissipée. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système fermé de fluide ne fait alors intervenir que la puissance des forces extérieures — pesanteur, forces de pression sur sa frontière, action des parois et des machines. C'est la base des bilans d'énergie cinétique de la dernière section, qui donnent une seconde démonstration de la relation de Bernoulli, sans l'équation d'Euler.

Une particule de fluide parfait n'échange, avec son environnement, ni chaleur (conduction thermique négligée) ni travail dissipatif (viscosité négligée) : son évolution est isentropique (adiabatique et réversible). L'entropie massique de chaque particule se conserve au cours de son mouvement, ce qui fournit — avec l'équation d'état — une relation supplémentaire fermant le système dans le cas d'un écoulement compressible.

Pour un fluide newtonien en écoulement incompressible ($\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0$), dans un référentiel galiléen, le champ des vitesses vérifie

$$\boxed{\rho \left(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\right)=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+\rho \overrightarrow{g}+\eta \Delta \overrightarrow{v}}$$

On y distingue le terme convectif (inertiel) $\rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$ et le terme diffusif (visqueux) $\eta \Delta \overrightarrow{v}$. Pour un champ $\overrightarrow{v}=v_x(x,y,z,t){\overrightarrow{e}}_x$, $\Delta \overrightarrow{v}=\left(\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2}\right){\overrightarrow{e}}_x$.

Un fluide newtonien de masse volumique $\rho$ et de viscosité $\eta$ remplit l'espace entre deux plaques horizontales illimitées : la plaque $y=0$ est fixe, la plaque $y=h$ se translate à $V{\overrightarrow{e}}_x$ ; l'axe $Oy$ est vertical ascendant. Aucun gradient de pression n'est imposé selon ${\overrightarrow{e}}_x$ (le fluide est à la même pression aux deux extrémités). On cherche le régime stationnaire sous la forme $\overrightarrow{v}=v_x(y){\overrightarrow{e}}_x$.

Le terme convectif et $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}$ sont nuls ; les projections donnent

$$0=-\frac{\partial P}{\partial x}+\eta \frac{{\mathrm{d}}^2{v}_x}{\mathrm{d}{y}^2},0=-\frac{\partial P}{\partial y}-\rho g,0=-\frac{\partial P}{\partial z}.$$

Les deux dernières imposent $P=f(x)-\rho gy$ ; la première s'écrit alors $f^{\prime }(x)=\eta \frac{{\mathrm{d}}^2{v}_x}{\mathrm{d}{y}^2}$, fonction de $x$ seul égale à une fonction de $y$ seul : c'est une constante, nulle puisqu'aucun gradient de pression n'est imposé. Donc $\frac{{\mathrm{d}}^2{v}_x}{\mathrm{d}{y}^2}=0$, $v_x=Ay+B$, et l'adhérence ($v_x(0)=0$, $v_x(h)=V$) donne

$$\boxed{v_x(y)=\frac{V}{h}y},P=P_0-\rho gy.$$

Le fluide exerce sur la plaque mobile, par unité de surface, la force $-\eta \frac{V}{h}{\overrightarrow{e}}_x$ : il faut l'entraîner avec $\eta V/h$ par unité de surface.

Pour de l'eau ($\nu \approx 1\times 10^{-6}{m}^2.s^{-1}$) s'écoulant à $V=1m.s^{-1}$ dans une conduite de diamètre $L=0,1m$ :

$$\mathrm{Re}=\frac{VL}{\nu }=\frac{1\times 0,1}{10^{-6}}=10^5\gg 1.$$

L'écoulement dans la conduite est turbulent. Attention : $\mathrm{Re}\gg 1$ ne permet pas d'oublier la viscosité partout. Dans une longue conduite, la turbulence et le frottement sur les parois dissipent l'énergie mécanique (c'est la perte de charge, plus loin) ; le modèle du fluide parfait ne s'applique qu'aux écoulements brefs, hors des couches limites : convergent, tube de Venturi, sortie par un orifice, écoulement autour d'un obstacle profilé.

Pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, dans le champ de pesanteur uniforme et un référentiel galiléen, la quantité

$$\boxed{P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{cte le long d’une ligne de courant}}$$

se conserve. Les trois termes s'interprètent comme des pressions : $P$ pression statique, $\rho gz$ pression de pesanteur, $\frac{1}{2}\rho v^2$ pression dynamique.

Dans une conduite horizontale, la conservation du débit volumique $D_v=S_1{v}_1=S_2{v}_2$ impose $v_2=v_1{S}_1/S_2$. Là où la section se resserre, la vitesse augmente ; d'après Bernoulli à altitude constante,

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2⟹P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)>0.$$

La pression est plus faible là où l'écoulement est plus rapide.

On mesure $P_1-P_2$. Avec $v_2=v_1{S}_1/S_2$,

$$P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho v_1^2\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}-1\right),v_1=\sqrt{\frac{2(P_1-P_2)}{\rho (S_1^2/S_2^2-1)}}.$$

La mesure de la dénivellation manométrique donne accès au débit $D_v=S_1{v}_1$.

Un tube de Pitot mesure la vitesse d'un écoulement. Au point d'arrêt $A$ (nez du tube), la vitesse s'annule : la pression y est la pression totale $P_A=P_0+\frac{1}{2}\rho v_0^2$. Une prise latérale $B$ mesure la pression statique $P_B=P_0$. Bernoulli entre $A$ et $B$ (même altitude) donne

$$P_A-P_B=\frac{1}{2}\rho v_0^2⟹\boxed{v_0=\sqrt{\frac{2(P_A-P_B)}{\rho }}}.$$

Un réservoir de grande section $S_A$ se vide par un petit orifice de section $S_B\ll S_A$ situé à la profondeur $h$ sous la surface libre. Les deux surfaces sont à la pression atmosphérique $P_0$. L'écoulement étant supposé parfait et quasi stationnaire, la vitesse d'éjection vaut

$$\boxed{v_B=\sqrt{2gh}}.$$

Pour $h=1,5m$ et $g=9,81m.s^{-2}$ :

$$v_B=\sqrt{2\times 9,81\times 1,5}=\sqrt{29,4}\approx 5,4m.s^{-1}.$$

La perte de charge est l'expression macroscopique du travail des forces visqueuses : la puissance des forces intérieures, nulle pour un fluide parfait, vaut $-D_v\Delta P_c$ pour le fluide réel (voir le bilan d'énergie cinétique). En régime laminaire (écoulement de Poiseuille), $\Delta P_c$ est proportionnelle au débit ; en régime turbulent, elle croît approximativement comme le carré du débit.

Pour un écoulement stationnaire à une entrée (section $S_e$, vitesse $v_e$) et une sortie (section $S_s$, vitesse $v_s$), le débit massique se conserve :

$$D_m={\rho }_e{S}_e{v}_e={\rho }_s{S}_s{v}_s.$$

Pour un fluide incompressible et homogène, $D_v=S_e{v}_e=S_s{v}_s$.

Une pression uniforme exerce une résultante nulle sur une surface fermée. L'atmosphère qui presse l'extérieur d'une conduite exerce donc sur elle la même force que si l'on retranchait $P_{\text{atm}}$ de toutes les pressions : pour obtenir la force totale sur une conduite placée dans l'air, on travaille en pressions relatives $P-P_{\text{atm}}$.

Un fluide incompressible traverse en régime stationnaire un coude à angle droit placé dans un plan horizontal $(Oxy)$ (figure, vue de dessus). La vitesse tourne de ${\overrightarrow{v}}_1=v_1{\overrightarrow{e}}_x$ (entrée) à ${\overrightarrow{v}}_2=-v_2{\overrightarrow{e}}_y$ (sortie, vers le bas de la figure). Les pressions $P_1$ et $P_2$ sont des pressions relatives ; le poids, vertical, n'intervient pas dans les projections horizontales (il est équilibré par les supports).

On associe au coude le système fermé ${\Sigma }^{\ast }$ : $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m({\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1)=-D_m{v}_2{\overrightarrow{e}}_y-D_m{v}_1{\overrightarrow{e}}_x$. Forces horizontales sur ${\Sigma }^{\ast }$ : à l'entrée, le fluide amont pousse avec $P_1{S}_1{\overrightarrow{e}}_x$ ; à la sortie, le fluide aval pousse vers l'intérieur du coude avec $P_2{S}_2{\overrightarrow{e}}_y$ ; la paroi exerce $\overrightarrow{R}$. Le théorème de la résultante cinétique projeté donne

$$-D_m{v}_1=P_1{S}_1+R_x(\text{selon }x),-D_m{v}_2=P_2{S}_2+R_y(\text{selon }y).$$

On en tire $R_x=-(P_1{S}_1+D_m{v}_1)$ et $R_y=-(P_2{S}_2+D_m{v}_2)$. La force du fluide sur le coude est $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{R}$, de composantes $F_x=P_1{S}_1+D_m{v}_1$ et $F_y=P_2{S}_2+D_m{v}_2$, toutes deux positives : $\overrightarrow{F}$ pointe vers le haut et vers la droite de la figure, vers l'extérieur du coude. Sa norme $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =\sqrt{F_x^2+F_y^2}$ peut être considérable : c'est pourquoi les coudes des conduites doivent être solidement ancrés.

Un jet d'eau horizontal de section $S$ et de vitesse $v{\overrightarrow{e}}_x$ frappe une plaque plane fixe perpendiculaire et s'y étale en une nappe radiale, sans rebond. On néglige le poids. Le système fermé ${\Sigma }^{\ast }$ est l'eau comprise entre une section du jet et la périphérie de la nappe, plus la masse $\delta m=D_m\mathrm{d}t$ qui entre pendant $\mathrm{d}t$. L'eau entre avec la quantité de mouvement $\delta mv{\overrightarrow{e}}_x$ et sort dans le plan de la plaque : par symétrie, la quantité de mouvement sortante n'a pas de composante selon ${\overrightarrow{e}}_x$. Donc $\frac{\mathrm{d}{p}_x^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m(0-v)$. Le jet est à l'air libre : la pression relative est nulle sur toute la frontière de ${\Sigma }^{\ast }$, et la seule force selon ${\overrightarrow{e}}_x$ est celle de la plaque, $R_x=-D_{m}v$. Le fluide exerce sur la plaque

$$\overrightarrow{F}=D_{m}v{\overrightarrow{e}}_x=\rho S{v}^2{\overrightarrow{e}}_x.$$

Pendant $\mathrm{d}t$, en régime stationnaire, l'énergie cinétique de ${\Sigma }^{\ast }$ varie de

$$\mathrm{d}{E}_c^{\ast }=\delta m\left(\frac{1}{2}{v}_s^2-\frac{1}{2}{v}_e^2\right),\delta m=D_m\mathrm{d}t.$$

Le théorème de l'énergie cinétique, $\frac{\mathrm{d}{E}_c^{\ast }}{\mathrm{d}t}={\mathcal{P}}_{\text{ext}}+{\mathcal{P}}_{\text{int}}$, avec :

• poids : en régime stationnaire, tout se passe comme si la masse $\delta m$ descendait de $z_e$ à $z_s$, soit ${\mathcal{P}}_{\text{poids}}=-D_{m}g(z_s-z_e)$ ;
• forces de pression à l'entrée et à la sortie : la force $P_e{S}_e$ pousse ${\Sigma }^{\ast }$ sur la distance $v_e\mathrm{d}t$, la force $P_s{S}_s$ le retient sur $v_s\mathrm{d}t$, d'où ${\mathcal{P}}_{\text{pression}}=P_e{S}_e{v}_e-P_s{S}_s{v}_s=D_v(P_e-P_s)$ ;
• parois fixes : la vitesse y est tangente, la force de pression normale, puissance nulle (vrai aussi sur la paroi latérale d'un tube de courant) ;
• machine : ${\mathcal{P}}_u$ ; forces intérieures : ${\mathcal{P}}_{\text{int}}=0$ pour un écoulement parfait et incompressible (admis),

donne, avec $D_m=\rho D_v$,

$$\boxed{{\left(P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2\right)}_s-{\left(P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2\right)}_e=\frac{{\mathcal{P}}_u}{D_v}}$$

Une pompe élève $D_v=10L.s^{-1}$ d'eau d'un bassin à un réservoir dont la surface libre est $20m$ plus haut ; les deux surfaces libres sont à la pression atmosphérique et leurs vitesses négligeables. Le bilan entre les deux surfaces libres donne $\rho g(z_s-z_e)={\mathcal{P}}_u/D_v$, soit

$${\mathcal{P}}_u=\rho g(z_s-z_e)D_v=1000\times 9,81\times 20\times 10^{-2}\approx 2,0kW.$$

Si la conduite cause une perte de charge $\Delta P_c=0,5bar$, il faut fournir en plus $D_v\Delta P_c=10^{-2}\times 5\cdot 10^4=500W$, soit environ $2,5kW$.

• Équation d'Euler (fluide parfait) : $\rho \frac{\mathrm{D}\overrightarrow{v}}{\mathrm{D}t}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+\rho \overrightarrow{g}$, avec dérivée particulaire $\frac{\mathrm{D}\overrightarrow{v}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$. Condition aux limites : $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}={\overrightarrow{v}}_{\text{paroi}}\cdot \overrightarrow{n}$.
• Équation de Navier-Stokes (fluide newtonien, écoulement incompressible) : on ajoute le terme diffusif $\eta \Delta \overrightarrow{v}$ ; adhérence aux parois. Résolue pour $\overrightarrow{v}=v_x(y){\overrightarrow{e}}_x$ : Couette (linéaire), Poiseuille (parabolique). Le nombre de Reynolds $\mathrm{Re}=\rho VL/\eta$ compare terme convectif et terme diffusif.
• Relation de Bernoulli (parfait, stationnaire, incompressible, homogène) : $P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{cte}$ le long d'une ligne de courant ; établie par l'équation d'Euler ou par un bilan d'énergie cinétique.
• Applications : effet Venturi ($v$ augmente $\Rightarrow P$ diminue), tube de Pitot ($v_0=\sqrt{2(P_A-P_B)/\rho }$), Torricelli ($v=\sqrt{2gh}$, en quasi stationnaire).
• Perte de charge $\Delta P_c>0$ : dissipation visqueuse de l'énergie mécanique dans un fluide réel.
• Bilans macroscopiques (stationnaire, une entrée, une sortie) : toujours associer un système fermé au volume de contrôle. Masse : $D_m=\rho Sv$ conservé. Quantité de mouvement : $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_m({\overrightarrow{v}}_s-{\overrightarrow{v}}_e)$, égal à la somme des forces sur le système fermé (coude, jet, poussée $D_{m}u+(P_s-P_a)S_s$). Énergie cinétique : $\Delta \left(P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2\right)={\mathcal{P}}_u/D_v-\Delta P_c$.