Dynamique locale et bilans macroscopiques

Cours complet · mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année)

Le chapitre précédent a fourni la cinématique des fluides : champ des vitesses, dérivée particulaire, débits. Il s'agit maintenant d'écrire la loi de la dynamique pour une particule de fluide, c'est-à-dire d'appliquer localement le principe fondamental de la dynamique à un petit volume mésoscopique. On obtient l'équation d'Euler pour le fluide parfait, puis l'équation de Navier-Stokes pour le fluide visqueux newtonien. L'intégration de l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant conduit à la relation de Bernoulli, d'une richesse d'applications considérable : effet Venturi, tube de Pitot, vidange d'un réservoir. Enfin, lorsque le détail de l'écoulement importe peu, on raisonne globalement sur un volume de contrôle : les bilans macroscopiques de masse et de quantité de mouvement permettent de calculer la force exercée par un fluide sur un coude, un obstacle ou de comprendre la propulsion par réaction.

4.1 L'équation d'Euler du fluide parfait

4.1.1 Forces s'exerçant sur une particule de fluide

Isolons une particule de fluide, volume mésoscopique $d τ$ de masse $d m = ρ d τ$ animée de la vitesse $v (M, t)$ . Deux catégories de forces agissent sur elle.

Les forces volumiques (à distance), décrites par une densité volumique $f_{vol}$ . Dans le champ de pesanteur uniforme, $f_{vol} = ρ g$ .
Les forces surfaciques (de contact), exercées par le fluide extérieur sur la surface de la particule. Pour un fluide parfait, ces forces se réduisent aux forces de pression, toujours normales et dirigées vers l'intérieur.

Proposition 4.1Équivalent volumique des forces de pression

La résultante des forces de pression sur une particule de fluide de volume $d τ$ vaut

$d F_{pression} = - grad P d τ .$

La densité volumique équivalente des forces de pression est donc $f_{pression} = - grad P$ .

Démonstration (Établissement)

Considérons un pavé élémentaire de côtés $d x, d y, d z$ . Sur les deux faces perpendiculaires à $e_{x}$ , la résultante selon $x$ vaut

$[P (x) - P (x + d x)] d y d z = - \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z .$

En procédant de même selon $y$ et $z$ , on reconstitue $- grad P d τ$ .

4.1.2 Écriture de l'équation d'Euler

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule de fluide dans un référentiel galiléen s'écrit $d m a = d F$ , où l'accélération est la dérivée particulaire de la vitesse. En divisant par $d τ$ :

◆Théorème 4.2Équation d'Euler

Pour un fluide parfait (viscosité négligée) dans le champ de pesanteur, le champ des vitesses obéit à

$ρ \frac{D v}{D t} = ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad P + ρ g$

appelée équation d'Euler. C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire, le terme convectif $(v \cdot grad) v$ étant quadratique en vitesse.

iRemarque

L'équation d'Euler, associée à l'équation de conservation de la masse et à une équation d'état, forme un système fermé. Sa non-linéarité (terme convectif) est la source de toute la richesse — et de la difficulté — de la mécanique des fluides.

4.1.3 Conditions aux limites et propriétés du fluide parfait

Proposition 4.3Condition aux limites sur la composante normale

En l'absence de viscosité, un fluide parfait glisse le long d'une paroi : la condition d'adhérence tombe. Seule subsiste la condition de non-pénétration, portant sur la composante normale de la vitesse : le fluide ne traverse pas la paroi, donc

$v \cdot n = v_{paroi} \cdot n .$

Sur une paroi fixe imperméable, la vitesse normale est nulle, $v \cdot n = 0$ , tandis que la composante tangentielle reste libre — au contraire du fluide visqueux, qui adhère entièrement ( $v = 0$ ).

iRemarquePuissance des forces intérieures

Dans un écoulement de fluide parfait incompressible, on admet que la puissance des forces intérieures (forces de pression internes) est nulle. Le bilan d'énergie cinétique d'un système de fluide ne fait alors intervenir que la puissance des forces extérieures — pesanteur et forces de pression aux frontières. C'est cette propriété qui, intégrée le long d'une ligne de courant, conduit à la relation de Bernoulli.

iRemarqueÉvolution isentropique

Une particule de fluide parfait n'échange, avec son environnement, ni chaleur (conduction thermique négligée) ni travail dissipatif (viscosité négligée) : son évolution est isentropique (adiabatique et réversible). L'entropie massique se conserve le long d'une ligne de courant, ce qui fournit — avec l'équation d'état — une relation supplémentaire fermant le système dans le cas d'un écoulement compressible.

4.2 L'équation de Navier-Stokes

Un fluide réel oppose aux déformations une résistance interne : la viscosité. Pour un écoulement de cisaillement $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la contrainte tangentielle exercée à travers une surface $d S$ vaut $d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S$ , où $η$ désigne la viscosité dynamique (en $P a . s$ ). Le calcul de la résultante des forces de viscosité sur une particule conduit, dans le cas incompressible, à un équivalent volumique $f_{visc} = η Δ v$ (résultat admis dans le cas général).

◆Théorème 4.4Équation de Navier-Stokes

Pour un fluide newtonien incompressible ( $div v = 0$ ), le champ des vitesses vérifie

$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad P + ρ g + η Δ v$

On y distingue le terme convectif (inertiel) $ρ (v \cdot grad) v$ et le terme diffusif (visqueux) $η Δ v$ .

Méthode : Nombre de Reynolds

Pour une unique échelle spatiale $L$ et une vitesse typique $V$ , on estime les ordres de grandeur

$ρ (v \cdot grad) v \sim \frac{ρ V ^{2}}{L}, η Δ v \sim \frac{η V}{L ^{2}} .$

Leur rapport définit le nombre de Reynolds

$Re = \frac{terme convectif}{terme diffusif} = \frac{ρ V L}{η} = \frac{V L}{ν}, ν = \frac{η}{ρ} (viscosit e ˊ cin e ˊ matique) .$

Si $Re ≫ 1$ , la viscosité est négligeable sauf au voisinage des parois (couche limite) : l'écoulement est parfait en volume. Si $Re ≪ 1$ , l'écoulement est visqueux (rampant, laminaire).

Exemple 4.5Ordre de grandeur

Pour de l'eau ( $ν \approx 1 \times 1 0^{- 6} m^{2} . s^{- 1}$ ) s'écoulant à $V = 1 m . s^{- 1}$ dans une conduite de diamètre $L = 0, 1 m$ :

$Re = \frac{V L}{ν} = \frac{1 \times 0 , 1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{5} ≫ 1.$

L'écoulement est turbulent : le modèle parfait décrit correctement le cœur de l'écoulement.

4.3 La relation de Bernoulli

4.3.1 Énoncé

Lorsqu'on intègre l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant, dans des conditions restrictives, on obtient une intégrale première remarquablement simple.

◆Théorème 4.6Relation de Bernoulli

Pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, dans le champ de pesanteur uniforme et un référentiel galiléen, la quantité

$P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2} = cte le long d’une ligne de courant$

se conserve. Les trois termes s'interprètent comme des pressions : $P$ pression statique, $ρ g z$ pression de pesanteur, $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ pression dynamique.

Démonstration (Établissement)

En régime stationnaire, on utilise l'identité vectorielle

$(v \cdot grad) v = grad (\frac{1}{2} v^{2}) + (grad \land v) \land v .$

L'équation d'Euler devient, avec $g = - g grad z$ et $ρ$ uniforme,

$ρ grad (\frac{1}{2} v^{2}) + ρ (grad \land v) \land v = - grad P - ρ g grad z .$

On projette sur un déplacement élémentaire $d ℓ$ le long d'une ligne de courant. Le terme $(grad \land v) \land v$ , orthogonal à $v$ donc à $d ℓ$ , a une projection nulle. Il reste

$d (\frac{1}{2} ρ v^{2} + P + ρ g z) = 0,$

d'où la conservation annoncée.

Attention

Les hypothèses sont cruciales : écoulement parfait (pas de viscosité), stationnaire (champ indépendant du temps), incompressible ( $ρ$ constant) et homogène. La constante dépend a priori de la ligne de courant considérée ; elle est la même partout uniquement si l'écoulement est de plus irrotationnel ( $grad \land v = 0$ ).

4.3.2 Effet Venturi

Figure : Tube de Venturi : le rétrécissement accélère le fluide et abaisse la pression statique.

Proposition 4.7Effet Venturi

Dans une conduite horizontale, la conservation du débit volumique $D_{v} = S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ impose $v_{2} = v_{1} S_{1} / S_{2}$ . Là où la section se resserre, la vitesse augmente ; d'après Bernoulli à altitude constante,

$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} ⟹ P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) > 0.$

La pression est plus faible là où l'écoulement est plus rapide.

Exemple 4.8Débitmètre à Venturi

On mesure $P_{1} - P_{2}$ . Avec $v_{2} = v_{1} S_{1} / S_{2}$ ,

$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} (\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} - 1), v_{1} = \frac{2 ( P _{1} - P _{2} )}{ρ ( S _{1}^{2} / S _{2}^{2} - 1 )} .$

La mesure de la dénivellation manométrique donne accès au débit $D_{v} = S_{1} v_{1}$ .

4.3.3 Tube de Pitot

Figure : Tube de Pitot : la prise d'arrêt

A

mesure la pression totale, la prise latérale

B

la pression statique.

Proposition 4.9Tube de Pitot

Un tube de Pitot mesure la vitesse d'un écoulement. Au point d'arrêt $A$ (nez du tube), la vitesse s'annule : la pression y est la pression totale $P_{A} = P_{0} + \frac{1}{2} ρ v_{0}^{2}$ . Une prise latérale $B$ mesure la pression statique $P_{B} = P_{0}$ . Bernoulli entre $A$ et $B$ (même altitude) donne

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ v_{0}^{2} ⟹ v_{0} = \frac{2 ( P _{A} - P _{B} )}{ρ} .$

4.3.4 Vidange d'un réservoir : formule de Torricelli

Figure : Vidange par un orifice : la vitesse de sortie ne dépend que de la hauteur de fluide.

◆Théorème 4.10Formule de Torricelli

Un réservoir de grande section $S_{A}$ se vide par un petit orifice de section $S_{B} ≪ S_{A}$ situé à la profondeur $h$ sous la surface libre. Les deux surfaces sont à la pression atmosphérique $P_{0}$ . La vitesse d'éjection vaut

$v_{B} = 2 g h .$

Démonstration (Établissement)

Bernoulli sur la ligne de courant reliant la surface libre $A$ à l'orifice $B$ :

$P_{0} + ρ g h + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = P_{0} + ρ g \cdot 0 + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} .$

La conservation du débit $S_{A} v_{A} = S_{B} v_{B}$ donne $v_{A} = v_{B} S_{B} / S_{A} ≪ v_{B}$ , donc $v_{A}^{2}$ est négligeable (hypothèse quasi-statique du réservoir). Il reste $ρ g h = \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2}$ , soit $v_{B} = 2 g h$ . On retrouve la vitesse de chute libre d'une hauteur $h$ .

Exemple 4.11Application numérique

Pour $h = 1, 5 m$ et $g = 9, 81 m . s^{- 2}$ :

$v_{B} = 2 \times 9, 81 \times 1, 5 = 29, 4 \approx 5, 4 m . s^{- 1} .$

4.4 Notion de perte de charge

Dans un fluide réel, la viscosité dissipe de l'énergie mécanique : la quantité $P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ décroît dans le sens de l'écoulement. On écrit alors, entre deux sections d'une conduite,

$(P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2})_{1} = (P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2})_{2} + Δ P_{c},$

où $Δ P_{c} > 0$ est la perte de charge. On distingue les pertes de charge régulières (frottement le long des conduites, croissant avec la longueur) et les pertes de charge singulières (coudes, vannes, changements brusques de section).

iRemarque

La perte de charge est l'expression macroscopique du travail des forces visqueuses. En régime laminaire (écoulement de Poiseuille), $Δ P_{c}$ est proportionnelle au débit ; en régime turbulent, elle croît approximativement comme le carré du débit.

4.5 Bilans macroscopiques

Lorsque le détail de l'écoulement importe peu, on raisonne sur un volume de contrôle fixe $(V)$ délimité par une surface fermée $(Σ)$ , en associant à un système ouvert et fixe un système fermé mobile qui coïncide avec lui à l'instant $t$ .

4.5.1 Bilan de masse

Proposition 4.12Conservation de la masse

Pour un écoulement stationnaire à une entrée (section $S_{1}$ , vitesse $v_{1}$ ) et une sortie (section $S_{2}$ , vitesse $v_{2}$ ), le débit massique se conserve :

$D_{m} = ρ_{1} S_{1} v_{1} = ρ_{2} S_{2} v_{2} .$

Pour un fluide incompressible, $D_{v} = S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ .

4.5.2 Bilan de quantité de mouvement

Méthode : Bilan de quantité de mouvement sur un volume de contrôle

On associe au volume de contrôle fixe le système fermé de fluide qui l'occupe à l'instant $t$ . En régime stationnaire, la variation de quantité de mouvement du système fermé entre $t$ et $t + d t$ se réduit au bilan des flux entrants et sortants. Le théorème de la résultante cinétique donne

$D_{m} (v_{2} - v_{1}) = \sum F_{ext}$

où $v_{1}, v_{2}$ sont les vitesses moyennes en entrée et en sortie, et $\sum F_{ext}$ regroupe le poids, les forces de pression sur $(Σ)$ et les actions des parois. La force exercée par le fluide sur les parois s'en déduit par le principe des actions réciproques.

4.5.3 Force exercée sur un coude

Figure : Coude à angle droit : le fluide change de direction, exerçant une poussée résultante sur la paroi.

Exemple 4.13Poussée sur un coude à 90°

Un fluide incompressible traverse un coude horizontal à angle droit. Conformément à la figure, la vitesse tourne de $v_{1} = v_{1} e_{x}$ (entrée) à $v_{2} = - v_{2} e_{y}$ (sortie dirigée vers le bas). Le bilan projeté donne, en incluant les forces de pression $P_{1} S_{1}$ (entrée) et $P_{2} S_{2}$ (sortie) et l'action $R$ de la paroi sur le fluide :

$0 - D_{m} v_{1} = P_{1} S_{1} + R_{x} (selon x), - D_{m} v_{2} - 0 = P_{2} S_{2} + R_{y} (selon y) .$

On en tire $R_{x} = - (P_{1} S_{1} + D_{m} v_{1})$ et $R_{y} = - (P_{2} S_{2} + D_{m} v_{2})$ . La force du fluide sur le coude est $F = - R$ , de composantes $F_{x} = P_{1} S_{1} + D_{m} v_{1}$ et $F_{y} = P_{2} S_{2} + D_{m} v_{2}$ , toutes deux positives : $F$ pointe vers le haut et vers la droite, comme l'indique la figure. Sa norme $F = F_{x}^{2} + F_{y}^{2}$ peut être considérable : c'est pourquoi les coudes des conduites doivent être solidement ancrés.

4.5.4 Force sur un obstacle et propulsion

Proposition 4.14Force sur un obstacle fixe

Un jet de section $S$ , de vitesse $v$ , frappe une plaque plane fixe perpendiculaire et s'y étale sans rebond ( $v_{2} \approx 0$ selon l'axe). La force exercée sur la plaque vaut, en négligeant les forces de pression (jet à l'air libre),

$F = D_{m} v = ρ S v^{2} .$

ImportantPropulsion par réaction

Un système (fusée, réacteur, pieuvre) qui éjecte de la matière subit une force de réaction opposée. Si un débit massique $D_{m}$ est éjecté à la vitesse relative $u$ , la poussée vaut

$F_{pouss e ˊ e} = D_{m} u .$

C'est le même bilan de quantité de mouvement, appliqué au fluide éjecté : la matière emporte de la quantité de mouvement, le véhicule reçoit l'opposé.

4.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Équation d'Euler (fluide parfait) : $ρ \frac{D v}{D t} = - grad P + ρ g$ , avec dérivée particulaire $\frac{D v}{D t} = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v$ .
Équation de Navier-Stokes (fluide newtonien incompressible) : on ajoute le terme diffusif $η Δ v$ . Le nombre de Reynolds $Re = ρ V L / η$ compare terme convectif et terme diffusif.
Relation de Bernoulli (parfait, stationnaire, incompressible, homogène) : $P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2} = cte$ le long d'une ligne de courant.
Applications : effet Venturi ( $v$ augmente $\Rightarrow P$ diminue), tube de Pitot ( $v_{0} = 2 (P_{A} - P_{B}) / ρ$ ), Torricelli ( $v = 2 g h$ ).
Perte de charge $Δ P_{c} > 0$ : dissipation visqueuse de l'énergie mécanique dans un fluide réel.
Bilans macroscopiques : conservation du débit $D_{m} = ρS v$ ; bilan de quantité de mouvement $D_{m} (v_{2} - v_{1}) = \sum F_{ext}$ pour les forces sur coude, obstacle et la propulsion ( $F = D_{m} u$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.7 Exercices résolus

Exemple 4.15Vidange lente d'un réservoir cylindrique

Un réservoir cylindrique de section $S$ rempli d'eau sur une hauteur $h (t)$ se vide par un orifice de section $s ≪ S$ . Établir l'équation d'évolution de $h (t)$ et le temps de vidange.

Démonstration

Torricelli donne $v_{B} = 2 g h$ . Conservation du volume : $S \frac{d h}{d t} = - s v_{B} = - s 2 g h$ . En séparant les variables,

$\frac{d h}{h} = - \frac{s}{S} 2 g d t ⟹ 2 h_{0} - 2 h = \frac{s}{S} 2 g t .$

Le temps de vidange complète ( $h = 0$ ) vaut $T = \frac{S}{s} \frac{2 h _{0}}{g}$ .

Exemple 4.16Débitmètre à Venturi

Une conduite horizontale d'eau passe de $S_{1} = 50 c m^{2}$ à $S_{2} = 20 c m^{2}$ . On mesure $P_{1} - P_{2} = 3, 0 \times 1 0^{3} P a$ . Calculer le débit volumique. On prend $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ .

Démonstration

Avec $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ et Bernoulli, $P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} (S_{1}^{2} / S_{2}^{2} - 1)$ . Or $S_{1} / S_{2} = 2, 5$ , donc $S_{1}^{2} / S_{2}^{2} - 1 = 5, 25$ . Ainsi

$v_{1} = \frac{2 ( P _{1} - P _{2} )}{ρ \times 5 , 25} = \frac{6000}{5250} \approx 1, 07 m . s^{- 1} .$

Le débit vaut $D_{v} = S_{1} v_{1} = 50 \times 1 0^{- 4} m^{2} \times 1, 07 \approx 5, 3 L . s^{- 1}$ .

Exemple 4.17Vitesse d'un avion par tube de Pitot

Un tube de Pitot mesure $P_{A} - P_{B} = 2, 2 \times 1 0^{3} P a$ dans de l'air de masse volumique $ρ = 1, 2 k g . m^{- 3}$ . En déduire la vitesse.

Démonstration

$v_{0} = \frac{2 ( P _{A} - P _{B} )}{ρ} = \frac{2 \times 2200}{1 , 2} = 3667 \approx 61 m . s^{- 1} \approx 220 k m . h^{- 1} .$

Exemple 4.18Force d'un jet sur une plaque

Un jet d'eau de diamètre $D = 2, 0 c m$ et de vitesse $v = 15 m . s^{- 1}$ frappe perpendiculairement une plaque fixe. Calculer la force exercée.

Démonstration

La section vaut $S = π D^{2} /4 = π (0, 02)^{2} /4 \approx 3, 14 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ . Le débit massique $D_{m} = ρS v = 1000 \times 3, 14 \cdot 1 0^{- 4} \times 15 \approx 4, 7 k g . s^{- 1}$ . La force

$F = D_{m} v = ρS v^{2} \approx 4, 7 \times 15 \approx 71 N .$

Exemple 4.19Poussée d'un coude à 90°

De l'eau ( $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ ) circule à $v = 3, 0 m . s^{- 1}$ dans un coude horizontal de section constante $S = 10 c m^{2}$ , à la pression relative $P = 1, 0 \times 1 0^{5} P a$ (identique en entrée et sortie). Estimer la norme de la force sur le coude.

Démonstration

Section constante donne $v_{1} = v_{2} = v$ . Débit massique $D_{m} = ρS v = 1000 \times 1 0^{- 3} \times 3 = 3, 0 k g . s^{- 1}$ . Les composantes (voir cours) valent $F_{x} = F_{y} = P S + D_{m} v = 1 0^{5} \times 1 0^{- 3} + 3 \times 3 = 100 + 9 = 109 N$ . La norme $F = 1092 \approx 154 N$ .

Exemple 4.20Nombre de Reynolds et modèle de traînée

Une bille de rayon $r = 1, 0 mm$ tombe à $v = 0, 05 m . s^{- 1}$ dans de la glycérine ( $ν = 1, 0 \times 1 0^{- 3} m^{2} . s^{- 1}$ ). Calculer $Re$ et conclure sur le modèle de traînée.

Démonstration

Avec $L = 2 r = 2, 0 \times 1 0^{- 3} m$ ,

$Re = \frac{v L}{ν} = \frac{0 , 05 \times 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 0, 1 ≪ 1.$

Le régime est rampant : la traînée est linéaire en vitesse (loi de Stokes $F = 6 π η r v$ ).

4.8 Exercices d'entraînement

Pression dynamique. Calculer la pression dynamique $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ d'un vent de $20 m . s^{- 1}$ ( $ρ_{air} = 1, 2 k g . m^{- 3}$ ). Commenter l'ordre de grandeur pour une fenêtre.
Torricelli. Un tonneau est percé à $0, 80 m$ sous la surface libre. Calculer la vitesse d'éjection puis la portée horizontale du jet si l'orifice est à $1, 0 m$ du sol.
Effet Venturi. Dans une conduite, la section est divisée par $3$ . De combien la vitesse est-elle multipliée ? Exprimer la chute de pression correspondante en fonction de $v_{1}$ .
Tube de Pitot. Un tube de Pitot indique une dénivellation $h = 4, 0 c m$ dans un manomètre à eau. En déduire la vitesse de l'air ( $ρ_{air} = 1, 2 k g . m^{- 3}$ , $ρ_{eau} = 1000 k g . m^{- 3}$ ).
Reynolds. Estimer le nombre de Reynolds pour : (a) un spermatozoïde ( $L \sim 50 μ m$ , $v \sim 50 μ m / s$ dans l'eau) ; (b) un sous-marin ( $L \sim 100 m$ , $v \sim 10 m . s^{- 1}$ ). Conclure sur le régime.
Bilan sur un rétrécissement. Établir la force de pression résultante exercée sur un convergent horizontal reliant $S_{1}$ à $S_{2} < S_{1}$ , en fonction de $ρ$ , $D_{v}$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ .
Propulsion d'une fusée. Une fusée éjecte $D_{m} = 200 k g . s^{- 1}$ de gaz à la vitesse relative $u = 2500 m . s^{- 1}$ . Calculer la poussée. Comparer au poids initial d'une masse $m_{0} = 3, 0 \times 1 0^{4} k g$ .
Arroseur rotatif. Un arroseur à deux bras de longueur $ℓ$ éjecte l'eau tangentiellement. Expliquer qualitativement, par un bilan de quantité de mouvement, l'origine du couple qui le met en rotation.
Siphon. Établir la vitesse d'écoulement en sortie d'un siphon dont l'extrémité est à une profondeur $H$ sous la surface libre du réservoir. La hauteur du point haut du siphon intervient-elle ?
Perte de charge. Entre deux points d'une canalisation horizontale de section constante, on mesure $P_{1} - P_{2} = 5, 0 \times 1 0^{3} P a$ . Interpréter cette différence de pression. Que vaudrait-elle pour un fluide parfait ?
Force sur un coude à 45°. Reprendre le bilan de quantité de mouvement pour un coude déviant l'écoulement d'un angle $α = 4 5^{\circ}$ , section constante. Exprimer la norme de la force sur le coude.
Jet contre une plaque mobile. Un jet de vitesse $v$ frappe une plaque qui recule à la vitesse $u < v$ . Exprimer la force exercée sur la plaque en fonction de la vitesse relative $v - u$ , puis la puissance transmise. Pour quelle valeur de $u$ cette puissance est-elle maximale ?

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