Changements de référentiel

Cours · mécanique (MPI), chapitre 1 · CPGE MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Deux référentiels : le repère R′ est en mouvement par rapport au repère R.

Toute la cinématique et la dynamique élémentaires reposent sur un présupposé implicite : le choix d'un observateur, c'est-à-dire d'un référentiel. La vitesse d'un voyageur assis dans un train est nulle pour un passager voisin, mais vaut plusieurs centaines de kilomètres par heure pour un piéton resté sur le quai. Décrire un même mouvement depuis deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, puis relier les deux descriptions, constitue l'objet des changements de référentiel.

Ce chapitre établit les deux lois de composition fondamentales de la cinématique : la composition des vitesses et la composition des accélérations. Cette dernière fait apparaître un terme nouveau, l'accélération de Coriolis, qui n'a pas d'équivalent classique et qui gouvernera, au chapitre suivant, la dynamique dans les référentiels non galiléens (déviation vers l'est, pendule de Foucault, vents géostrophiques). Conformément au programme, la cinématique des changements de référentiel n'est pas étudiée pour elle-même, mais en vue de ses applications en dynamique du point.

1.1 Référentiel absolu, référentiel relatif

1.1.1 Deux observateurs pour un même mouvement

On considère un point matériel $M$ dont on veut décrire le mouvement. On dispose de deux référentiels :

un référentiel $R$ , muni d'un repère $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ , que l'on qualifie de référentiel absolu (par convention, celui que l'on considère comme « fixe ») ;
un référentiel $R^{'}$ , muni d'un repère $(O^{'}, e_{x}^{'}, e_{y}^{'}, e_{z}^{'})$ , qui est en mouvement par rapport à $R$ : c'est le référentiel relatif.

Définition 1.1Grandeurs absolues et relatives

La position, la vitesse et l'accélération de $M$ mesurées dans le référentiel $R$ sont dites absolues ; celles mesurées dans $R^{'}$ sont dites relatives. On note ainsi

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R}, v_{r} (M) = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}},$

la notation $\frac{d}{d t}_{R}$ signifiant que la dérivation est effectuée en considérant comme fixes les vecteurs de la base de $R$ .

Attention

Les qualificatifs « absolu » et « relatif » sont purement conventionnels : ils désignent simplement lequel des deux référentiels on choisit comme référence. Aucun référentiel n'est absolu au sens physique du terme. On choisit en pratique comme référentiel absolu celui dans lequel les lois de la dynamique s'écrivent le plus simplement (souvent un référentiel supposé galiléen).

Figure : Le point

M

repéré dans le référentiel absolu

R

et dans le

référentiel relatif $R^{'}$ , dont l'origine $O^{'}$ et les axes sont en

mouvement. La relation de Chasles donne

O M = O O^{'} + O^{'} M

1.1.2 Le point coïncident

Pour relier les mesures faites dans les deux référentiels, on introduit une construction essentielle : le point coïncident.

Définition 1.2Point coïncident

À chaque instant $t$ , le point coïncident $P$ (ou point coïncidant) est le point, fixe dans le référentiel relatif $R^{'}$ , qui occupe à cet instant la même position que $M$ . Autrement dit, $P$ est le point de $R^{'}$ superposé à $M$ à l'instant considéré, mais qui, contrairement à $M$ , reste lié à $R^{'}$ .

La vitesse et l'accélération de ce point coïncident, mesurées dans le référentiel absolu, définissent respectivement la vitesse et l'accélération d'entraînement : elles traduisent l'effet du seul mouvement de $R^{'}$ par rapport à $R$ , indépendamment du mouvement propre de $M$ dans $R^{'}$ .

1.2 Dérivation d'un vecteur dans deux référentiels

1.2.1 Vecteur rotation

Le mouvement le plus général de $R^{'}$ par rapport à $R$ se décompose à chaque instant en une translation (mouvement de $O^{'}$ ) et une rotation instantanée des axes de $R^{'}$ . Cette rotation est caractérisée par un vecteur unique.

Définition 1.3Vecteur rotation

Il existe un vecteur $Ω$ , appelé vecteur rotation (ou vecteur taux de rotation) de $R^{'}$ par rapport à $R$ , tel que la dérivée dans $R$ de tout vecteur $e^{'}$ fixe dans $R^{'}$ s'écrive

$\frac{d e ^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e^{'} .$

Sa direction est celle de l'axe instantané de rotation, son sens est donné par la règle du tire-bouchon, et sa norme vaut la vitesse angulaire de rotation, en $r a d . s^{- 1}$ . On le note $Ω_{R^{'} / R}$ .

Exemple 1.4Rotation autour d'un axe fixe

Si $R^{'}$ tourne autour de l'axe $O z$ commun aux deux référentiels, à la vitesse angulaire $θ ˙$ , alors $Ω = θ ˙ e_{z}$ . Pour $e_{x}^{'} = cos θ e_{x} + sin θ e_{y}$ , on vérifie directement

$\frac{d e _{x}^{'}}{d t}_{R} = θ ˙ (- sin θ e_{x} + cos θ e_{y}) = θ ˙ e_{y}^{'} = θ ˙ e_{z} \land e_{x}^{'} = Ω \land e_{x}^{'} .$

1.2.2 Formule de dérivation vectorielle

◆Théorème 1.5Formule de Bour

Pour tout vecteur $A (t)$ , les dérivées dans les deux référentiels sont reliées par

$\frac{d A}{d t}_{R} = \frac{d A}{d t}_{R^{'}} + Ω_{R^{'} / R} \land A$

Démonstration (Démonstration)

Décomposons $A$ sur la base mobile : $A = A_{x} e_{x}^{'} + A_{y} e_{y}^{'} + A_{z} e_{z}^{'}$ . En dérivant dans $R$ , les composantes $A_{i}$ (scalaires) se dérivent de la même façon dans les deux référentiels, mais les vecteurs de base varient :

$\frac{d A}{d t}_{R} = i \sum A ˙_{i} e_{i}^{'} + i \sum A_{i} \frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} .$

Le premier terme est précisément la dérivée relative $\frac{d A}{d t}_{R^{'}}$ (dérivée à base fixe). Dans le second, $\frac{d e _{i}^{'}}{d t}_{R} = Ω \land e_{i}^{'}$ , d'où par linéarité du produit vectoriel $\sum_{i} A_{i} (Ω \land e_{i}^{'}) = Ω \land A$ .

iRemarque

Si $A$ est colinéaire à $Ω$ , ou si la rotation est nulle ( $Ω = 0$ ), les deux dérivées coïncident. En particulier, le vecteur rotation a la même dérivée dans les deux référentiels : $\frac{d Ω}{d t}_{R} = \frac{d Ω}{d t}_{R^{'}}$ .

1.3 Composition des vitesses

1.3.1 Loi de composition

Partons de la relation de Chasles $O M = O O^{'} + O^{'} M$ et dérivons-la dans le référentiel absolu $R$ :

$v_{a} (M) = \frac{d O M}{d t}_{R} = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R} + \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} .$

On applique la formule de Bour au second terme avec $A = O^{'} M$ :

$\frac{d O ^{'} M}{d t}_{R} = \frac{d O ^{'} M}{d t}_{R^{'}} + Ω \land O^{'} M = v_{r} (M) + Ω \land O^{'} M .$

En regroupant :

$v_{a} (M) = relative v_{r} (M) + entra ı ˆ nement v (O^{'}) + Ω \land O^{'} M,$

où $v (O^{'}) = \frac{d O O ^{'}}{d t}_{R}$ est la vitesse de $O^{'}$ dans $R$ .

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