Dynamique dans un référentiel non galiléen

Le chapitre précédent a établi la cinématique du changement de référentiel : les lois de composition des vitesses et des accélérations relient le mouvement d'un point observé dans deux référentiels en mouvement relatif. Ces lois sont purement géométriques et ne présupposent aucune loi de la mécanique.

Or la deuxième loi de Newton, $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$, n'est valable que dans un référentiel galiléen. Dès que l'on souhaite décrire le mouvement d'un point matériel directement dans un référentiel accéléré (un train qui freine, un manège qui tourne, la Terre elle-même), la relation fondamentale de la dynamique doit être corrigée. On y parvient sans renoncer à la commodité du référentiel non galiléen : il suffit d'ajouter aux forces « vraies » deux termes homogènes à des forces, les forces d'inertie. Ces forces ne traduisent aucune interaction physique ; elles sont la trace, dans le référentiel choisi, de son mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

Ce chapitre montre comment adapter le principe fondamental de la dynamique, le théorème du moment cinétique et le théorème de l'énergie cinétique à un référentiel non galiléen, dans les deux cas au programme (translation quelconque et rotation uniforme autour d'un axe fixe). Il applique ensuite ces outils au référentiel terrestre pour définir le champ de pesanteur, prévoir la déviation vers l'est et esquisser le pendule de Foucault, avant de justifier le caractère quasi galiléen des référentiels géocentrique et héliocentrique.

2.1 Le principe fondamental dans un référentiel non galiléen

2.1.1 Rappel : composition des accélérations

Soit $\mathcal{R}$ un référentiel galiléen et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ un référentiel en mouvement quelconque par rapport à $\mathcal{R}$. Pour un point matériel $M$, la loi de composition des accélérations établie au chapitre précédent s'écrit

$${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}={\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M),$$

où ${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}$ est l'accélération absolue (dans $\mathcal{R}$), ${\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}$ l'accélération relative (dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$), ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$ l'accélération d'entraînement et ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}$ l'accélération de Coriolis, donnée par

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M)=2{\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}\wedge {\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }},$$

${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}$ désignant le vecteur rotation instantané de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ par rapport à $\mathcal{R}$.

2.1.2 Forces d'inertie

Dans le référentiel galiléen $\mathcal{R}$, la deuxième loi de Newton donne $m{\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F}$, où $\overrightarrow{F}$ est la somme des forces réelles (interactions) subies par $M$. En reportant la composition des accélérations et en isolant l'accélération relative :

$$m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{F}-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M).$$

2.2 Cas d'un référentiel en translation

2.2.1 Force d'inertie d'entraînement

Supposons que ${\mathcal{R}}^{\prime }$, d'origine $O^{\prime }$, soit en translation (éventuellement accélérée) par rapport au référentiel galiléen $\mathcal{R}$. Alors le vecteur rotation est nul, ${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}$, ce qui entraîne deux simplifications majeures :

• l'accélération de Coriolis est nulle, ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0}$, donc ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=\overrightarrow{0}$ ;
• tous les points de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ ont la même accélération, égale à celle de $O^{\prime }$ : ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)={\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }/\mathcal{R}}$.

Figure : Pendule suspendu dans un véhicule en accélération. Pour l'observateur du véhicule

(non galiléen), la masse subit, outre son poids, la force d'inertie ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$ dirigée vers l'arrière : le fil s'incline.</div>

Exemple 2.4Pendule dans un wagon en accélération

Un pendule simple est suspendu au plafond d'un wagon animé d'une accélération horizontale constante ${\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}=a{\overrightarrow{e}}_x$. À l'équilibre relatif (immobile dans le wagon), ${\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$, d'où $\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}-ma{\overrightarrow{e}}_x=\overrightarrow{0}$.

Démonstration

Projetons sur l'horizontale et la verticale. Notons $\alpha$ l'angle du fil avec la verticale, compté vers l'arrière. L'équilibre relatif impose que la résultante horizontale $T\sin \alpha -ma=0$ et verticale $T\cos \alpha -mg=0$. On en tire

$$\tan \alpha =\frac{a}{g},T=m\sqrt{g^2+a^2}.$$

Le fil s'incline d'un angle $\alpha =\arctan (a/g)$ vers l'arrière du wagon : la force d'inertie joue exactement le rôle d'une pesanteur horizontale supplémentaire. Tout se passe comme si le pendule était plongé dans une pesanteur « apparente » ${\overrightarrow{g}}_{\mathrm{app}}=\overrightarrow{g}-{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$, inclinée de $\alpha$ sur la verticale.

2.3 Cas d'un référentiel en rotation uniforme

2.3.1 Les deux forces d'inertie

Considérons maintenant un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en rotation uniforme à la vitesse angulaire constante $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ autour d'un axe fixe $\Delta$ (l'axe $Oz$) du référentiel galiléen $\mathcal{R}$, les deux référentiels ayant la même origine $O$ sur l'axe. On a alors $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\Omega }}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{0}$, et l'accélération d'entraînement d'un point $M$ se réduit à sa composante centripète :

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)=-{\Omega }^2\overrightarrow{HM},$$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $\Delta$, de sorte que $\overrightarrow{HM}$ est le vecteur radial (perpendiculaire à l'axe) allant de l'axe vers $M$.

Proposition 2.5Rotation uniforme

Dans un référentiel en rotation uniforme $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ autour d'un axe fixe $\Delta$, les forces d'inertie valent

$$\boxed{{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=+m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}}\text{(force centrifuge)},$$

$${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}\text{(force de Coriolis)}.$$

La force d'inertie d'entraînement est axifuge : dirigée de l'axe vers le point, elle tend à éloigner $M$ de l'axe de rotation. C'est la « force centrifuge » familière.

Figure : Manège en rotation uniforme. Pour un passager (référentiel tournant), un objet

posé sur le plateau subit la force centrifuge ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ dirigée radialement vers l'extérieur ; s'il se déplace, une force de Coriolis s'y ajoute.</div>

Exemple 2.6Objet sur un plateau tournant

Un palet de masse $m$ est posé sans frottement à la distance $r$ de l'axe d'un plateau tournant à $\Omega$ constant, et reste immobile par rapport au plateau. Quelle force le retient ?

Démonstration

Dans le référentiel tournant, le palet est immobile : ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=\overrightarrow{0}$ donc ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=\overrightarrow{0}$, et ${\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$. Le PFD s'écrit

$$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{T}+m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r,$$

où $\overrightarrow{T}$ est la tension du fil qui le relie à l'axe. On en déduit $\overrightarrow{T}=-m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ : le fil exerce une force centripète de norme $m{\Omega }^{2}r$, qui équilibre exactement la force centrifuge ressentie. Dans le référentiel galiléen, la même tension est la force centripète qui impose le mouvement circulaire.

Méthode : Résoudre un problème en référentiel non galiléen

• Identifier le référentiel galiléen de référence et le référentiel non galiléen ${\mathcal{R}}^{\prime }$ dans lequel on souhaite décrire le mouvement.
• Caractériser le mouvement de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ : translation ($\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$) ou rotation ($\overrightarrow{\Omega }$ constant). En déduire ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$.
• Recenser les forces réelles $\overrightarrow{F}$ (poids, tension, réaction, frottement…).
• Ajouter ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$ et, si $M$ bouge dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$.
• Écrire $m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}$, projeter dans une base adaptée à ${\mathcal{R}}^{\prime }$.

2.3.2 Théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique se transpose sans difficulté : dans le référentiel non galiléen, le moment cinétique ${\overrightarrow{L}}_O$ du point matériel, calculé en un point $O$ fixe de ${\mathcal{R}}^{\prime }$, obéit à

$${\left(\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}\right)}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}={\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O(\overrightarrow{F})+{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}})+{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}),$$

c'est-à-dire que les forces d'inertie contribuent au moment des forces comme n'importe quelle autre force. On retiendra simplement d'ajouter les moments des forces d'inertie.

2.4 Aspects énergétiques

2.4.1 Travail des forces d'inertie

Le théorème de l'énergie cinétique reste valable dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ à condition d'y inclure le travail des forces d'inertie :

$$\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}}^{{\mathcal{R}}^{\prime }}}{\mathrm{d}t}=\mathcal{P}(\overrightarrow{F})+\mathcal{P}({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}})+\mathcal{P}({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}),$$

où $E_{\mathrm{c}}^{{\mathcal{R}}^{\prime }}=\frac{1}{2}m{v}_{\mathrm{rel}}^2$ est l'énergie cinétique relative.

ImportantLa force de Coriolis ne travaille jamais

La force de Coriolis est toujours orthogonale à la vitesse relative : ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$ est perpendiculaire à ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$. Sa puissance est donc identiquement nulle :

$$\mathcal{P}({\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}})={\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}\cdot {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=-2m(\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}})\cdot {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=0.$$

La force de Coriolis dévie les trajectoires mais ne modifie jamais l'énergie cinétique.

2.4.2 Énergie potentielle centrifuge

Proposition 2.7Énergie potentielle de la force d'inertie d'entraînement en rotation uniforme

Pour une rotation uniforme $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$, la force centrifuge ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ dérive de l'énergie potentielle

$$E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=-\frac{1}{2}m{\Omega }^{2}H{M}^2=-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2,$$

où $r=HM$ est la distance à l'axe. En effet ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}{E}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$.

Démonstration

En coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)$ autour de l'axe $\Delta$, le gradient d'une fonction $E_{\mathrm{p}}(r)$ vaut $\overrightarrow{\mathrm{grad}}{E}_{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}r}{\overrightarrow{e}}_r$. Avec $E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}(r)=-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$, on obtient $\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}}{\mathrm{d}r}=-m{\Omega }^{2}r$, d'où $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}{E}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}={\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}$. La force centrifuge est donc conservative. En revanche, en rotation non uniforme, ou en translation accélérée non uniforme, la force d'inertie d'entraînement n'admet pas en général d'énergie potentielle.

Proposition 2.8Énergie mécanique en rotation uniforme

Si les forces réelles sont conservatives (énergie potentielle $E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{el}}$) et si ${\mathcal{R}}^{\prime }$ est en rotation uniforme, l'énergie mécanique relative

$$E_{\mathrm{m}}^{{\mathcal{R}}^{\prime }}=\frac{1}{2}m{v}_{\mathrm{rel}}^2+E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{el}}-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$$

se conserve : la force de Coriolis ne travaille pas et la force centrifuge est conservative.

2.5 Le référentiel terrestre

2.5.1 Une hiérarchie de référentiels

Trois référentiels sont classiquement introduits pour l'étude des mouvements terrestres :

• le référentiel héliocentrique (de Copernic), d'origine le centre du Soleil et d'axes pointant vers des étoiles lointaines ;
• le référentiel géocentrique, d'origine le centre de la Terre et d'axes parallèles à ceux de l'héliocentrique (il ne tourne pas avec la Terre) ;
• le référentiel terrestre (du laboratoire), lié à la surface de la Terre, qui tourne avec elle à la vitesse angulaire $\Omega \approx 7,29\times 10^{-5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (un tour en un jour sidéral).

Proposition 2.9Caractère quasi galiléen

Le référentiel héliocentrique est galiléen à une excellente approximation pour tous les mouvements terrestres. Le référentiel géocentrique est en translation (quasi circulaire) autour du Soleil : son accélération d'entraînement est celle du centre de la Terre, $\approx 6\times 10^{-3}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, très faible et de surcroît compensée par l'attraction solaire (effet de marée résiduel négligeable au laboratoire). On le considère donc comme galiléen pour les expériences de mécanique terrestre. Le référentiel terrestre, lui, tourne : ce n'est pas un référentiel galiléen.

2.5.2 Champ de pesanteur

Un point matériel de masse $m$ au voisinage de la surface terrestre, dans le référentiel terrestre (supposé en rotation uniforme dans le géocentrique galiléen), subit l'attraction gravitationnelle $m\overrightarrow{\mathcal{G}}(M)$ (champ gravitationnel terrestre) et la force centrifuge $m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$. La force de Coriolis, qui dépend de la vitesse, n'intervient pas dans la définition statique du poids.

Définition 2.10Poids et champ de pesanteur

Le poids d'un corps est la force mesurée par un fil à plomb ou une balance dans le référentiel terrestre. Il regroupe la gravitation et la force d'inertie centrifuge :

$$\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}(M)+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}.$$

Le champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$ diffère donc du champ gravitationnel $\overrightarrow{\mathcal{G}}$ par le terme centrifuge ${\Omega }^2\overrightarrow{HM}$.

Important

Il faut distinguer soigneusement :

• le champ gravitationnel $\overrightarrow{\mathcal{G}}$, dû à l'attraction de la masse terrestre, dirigé vers le centre de la Terre ;
• le champ de pesanteur $\overrightarrow{g}$, qui inclut la correction centrifuge et définit la verticale locale (direction du fil à plomb).

La correction centrifuge ${\Omega }^2{R}_T\cos \lambda$ (avec $\lambda$ la latitude) est maximale à l'équateur ($\approx 3,4\times 10^{-2}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, soit $0,3\%$ de $g$) et nulle aux pôles. C'est pourquoi $g$ croît de l'équateur ($\approx 9,78\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$) vers les pôles ($\approx 9,83\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$), et pourquoi la verticale locale ne pointe pas exactement vers le centre de la Terre (sauf aux pôles et à l'équateur).

2.5.3 Déviation vers l'est

Considérons la chute libre d'un point matériel lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h$, à la latitude $\lambda$. Dans le référentiel terrestre, en négligeant les frottements, le PFD s'écrit

$$m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{rel}}=m\overrightarrow{g}-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}.$$

La force de Coriolis, absente au démarrage (${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=\overrightarrow{0}$), apparaît dès que le corps acquiert une vitesse verticale.

Figure : Déviation vers l'est d'un corps en chute libre. La vitesse verticale vers le bas et

le vecteur rotation terrestre produisent une force de Coriolis dirigée vers l'est, qui écarte le point d'impact du pied de la verticale.</div>

Proposition 2.11Déviation vers l'est

Un corps lâché sans vitesse initiale d'une hauteur $h$ à la latitude $\lambda$ tombe non pas exactement au pied de la verticale, mais légèrement décalé vers l'est, d'une distance

$$\delta =\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda \sqrt{\frac{8h^3}{g}}=\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda g{t}_{\mathrm{chute}}^3,$$

où $t_{\mathrm{chute}}=\sqrt{2h/g}$ est la durée de chute.

Démonstration

Choisissons une base locale : ${\overrightarrow{e}}_x$ vers l'est, ${\overrightarrow{e}}_y$ vers le nord, ${\overrightarrow{e}}_z$ selon la verticale ascendante. Le vecteur rotation terrestre se décompose en $\overrightarrow{\Omega }=\Omega (\cos \lambda {\overrightarrow{e}}_y+\sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z)$. À l'ordre zéro, la chute est verticale : ${\overrightarrow{v}}^{(0)}=-gt{\overrightarrow{e}}_z$. La force de Coriolis au premier ordre vaut alors

$$-2\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}^{(0)}=-2\Omega (\cos \lambda {\overrightarrow{e}}_y+\sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z)\wedge (-gt{\overrightarrow{e}}_z)=2\Omega gt\cos \lambda {\overrightarrow{e}}_x,$$

dirigée vers l'est. En intégrant deux fois l'accélération $2\Omega gt\cos \lambda$ selon ${\overrightarrow{e}}_x$ avec conditions initiales nulles :

$$x(t)=\frac{1}{3}\Omega g\cos \lambda t^3.$$

En posant $t=t_{\mathrm{chute}}=\sqrt{2h/g}$, on obtient $\delta =\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda g(2h/g{)}^{3/2}=\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda \sqrt{8h^3/g}$. Pour $h=100\mathrm{m}$ à la latitude $\lambda =45^{\circ }$, on trouve $\delta \approx 1,5\mathrm{cm}$ : l'effet est faible mais mesurable.

2.5.4 Aperçu : le pendule de Foucault

iRemarqueLe pendule de Foucault

Un pendule pesant de très grande longueur, lancé dans un plan vertical, voit ce plan d'oscillation tourner lentement au cours du temps sous l'effet de la force de Coriolis. La vitesse angulaire de rotation du plan vaut $\Omega \sin \lambda$ : le plan effectue un tour complet en $T=24\text{h}/\sin \lambda$. À Paris ($\lambda \approx 49^{\circ }$), la période est d'environ $32$ heures. Cette expérience, réalisée par Léon Foucault en 1851 au Panthéon, constitue une preuve directe de la rotation de la Terre : aucune force réelle horizontale ne saurait expliquer la giration régulière du plan d'oscillation, seule la force d'inertie de Coriolis en rend compte.

Figure : La Terre en rotation autour de l'axe des pôles. Au laboratoire de latitude

$\lambda$, la composante utile du vecteur rotation pour le pendule de Foucault est $\Omega \sin \lambda$ (projection sur la verticale locale).</div>

2.6 Capacité numérique

Capacité numérique : Effet du caractère non galiléen du référentiel terrestre

On illustre la déviation vers l'est d'un corps en chute libre en intégrant numériquement les équations du mouvement dans le référentiel terrestre par la méthode d'Euler explicite. On compare la position d'impact avec la formule analytique $\delta =\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda \sqrt{8h^3/g}$.

import numpy as np

# Parametres physiques
g      = 9.81            # champ de pesanteur (m/s^2)
Omega  = 7.29e-5         # vitesse angulaire de la Terre (rad/s)
lam    = np.radians(45)  # latitude
h      = 100.0           # hauteur de chute (m)

# Vecteur rotation dans la base locale (est, nord, haut)
Omega_vec = Omega * np.array([0.0, np.cos(lam), np.sin(lam)])
g_vec     = np.array([0.0, 0.0, -g])   # pesanteur selon la verticale descendante

# Integration d'Euler explicite
dt = 1e-4
r  = np.array([0.0, 0.0, h])   # position initiale (est, nord, haut)
v  = np.zeros(3)               # lache sans vitesse initiale
traj = [r.copy()]

while r[2] > 0.0:
    a = g_vec - 2.0 * np.cross(Omega_vec, v)   # PFD non galileen
    v = v + a * dt
    r = r + v * dt
    traj.append(r.copy())

traj = np.array(traj)
t_chute = np.sqrt(2 * h / g)
delta_num = traj[-1, 0]                          # deplacement vers l'est (m)
delta_ana = (1.0 / 3.0) * Omega * np.cos(lam) * np.sqrt(8 * h**3 / g)

print("Duree de chute      : %.3f s" % t_chute)
print("Deviation numerique : %.4f m (vers l'est)" % delta_num)
print("Deviation analytique: %.4f m" % delta_ana)

# Visualisation de la deviation est en fonction de l'altitude
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(traj[:, 0] * 100, traj[:, 2])          # x en cm, z en m
plt.xlabel("Deviation vers l'est (cm)")
plt.ylabel("Altitude (m)")
plt.title("Chute libre avec force de Coriolis (lat. 45 deg)")
plt.grid(True)
plt.show()

L'exécution renvoie une déviation numérique d'environ $1,5\mathrm{cm}$, en excellent accord avec la prédiction analytique : le corps tombe bien à l'est du pied de la verticale. On pourra faire varier la latitude (déviation maximale à l'équateur, nulle aux pôles) et la hauteur (dépendance en $h^{3/2}$).

2.7 Synthèse du chapitre

À retenir

• PFD non galiléen : $m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}$, avec ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$ et ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$.
• Translation : $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$, donc ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=\overrightarrow{0}$ et ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$, uniforme.
• Rotation uniforme : ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ (centrifuge, axifuge) et ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$.
• Énergie : la force de Coriolis ne travaille jamais (perpendiculaire à ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}$) ; en rotation uniforme la force centrifuge dérive de $E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$.
• Les théorèmes du moment cinétique et de l'énergie cinétique s'appliquent dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ à condition d'ajouter le moment et le travail des forces d'inertie.
• Terre : $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ (le poids inclut la centrifuge) ; $g$ croît de l'équateur vers les pôles. La force de Coriolis produit la déviation vers l'est ($\delta =\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda \sqrt{8h^3/g}$) et fait tourner le plan du pendule de Foucault à $\Omega \sin \lambda$.
• Les référentiels héliocentrique et géocentrique sont quasi galiléens ; le référentiel terrestre ne l'est pas (rotation propre).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.8 Exercices résolus

Exemple 2.12Bille sur une tige tournante

Une bille de masse $m$ glisse sans frottement le long d'une tige horizontale tournant à $\Omega$ constant autour d'un axe vertical passant par une de ses extrémités $O$. On note $r$ la distance $OM$. Établir l'équation du mouvement de la bille le long de la tige.

Démonstration

Plaçons-nous dans le référentiel de la tige (tournant). La bille se déplace radialement : ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r$. Les forces : poids et réaction (verticaux, équilibrés), force centrifuge $m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ (radiale), force de Coriolis $-2m\Omega {\overrightarrow{e}}_z\wedge \dot{r}{\overrightarrow{e}}_r=-2m\Omega \dot{r}{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ (orthoradiale, reprise par la réaction de la tige). La projection radiale du PFD donne $m\ddot{r}=m{\Omega }^{2}r$, soit

$$\ddot{r}-{\Omega }^{2}r=0.$$

La solution est $r(t)=A{\mathrm{e}}^{\Omega t}+B{\mathrm{e}}^{-\Omega t}$ : la bille est éjectée exponentiellement vers l'extérieur, la force centrifuge n'ayant aucun rappel.

Exemple 2.13Pesanteur apparente dans un ascenseur

Un ascenseur descend avec une accélération constante $\overrightarrow{a}=-a{\overrightarrow{e}}_z$ ($a>0$, ${\overrightarrow{e}}_z$ vers le haut). Quel poids apparent indique une balance placée dans la cabine ?

Démonstration

Le référentiel de la cabine est en translation : ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m\overrightarrow{a}=+ma{\overrightarrow{e}}_z$. Un corps posé sur la balance est immobile dans la cabine, donc $\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=\overrightarrow{0}$, avec $\overrightarrow{g}=-g{\overrightarrow{e}}_z$. Projection sur ${\overrightarrow{e}}_z$ : $N-mg+ma=0$, d'où $N=m(g-a)$. La balance indique un poids apparent $m(g-a)<mg$ : on se sent « plus léger » dans un ascenseur qui accélère vers le bas. Si $a=g$ (chute libre), $N=0$ : impesanteur apparente.

Exemple 2.14Effet de la latitude sur la déviation vers l'est

À quelle latitude la déviation vers l'est d'un corps en chute libre est-elle maximale ? nulle ?

Démonstration

La formule $\delta =\frac{1}{3}\Omega \cos \lambda \sqrt{8h^3/g}$ dépend de la latitude uniquement par le facteur $\cos \lambda$. La déviation est donc maximale à l'équateur ($\lambda =0$, $\cos \lambda =1$) et nulle aux pôles ($\lambda =\pm 90^{\circ }$, $\cos \lambda =0$). Physiquement, aux pôles le vecteur rotation est vertical, donc parallèle à la vitesse de chute, et le produit vectoriel de Coriolis s'annule.

Exemple 2.15Travail de la force centrifuge

Une bille parcourt, dans un référentiel tournant à $\Omega$, un trajet de $r_1$ à $r_2$ le long d'un rayon. Calculer le travail de la force centrifuge et vérifier la conservation de l'énergie.

Démonstration

La force centrifuge ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ est conservative, d'énergie potentielle $E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$. Son travail entre $r_1$ et $r_2$ vaut

$$W=-\Delta E_{\mathrm{p}}^{\mathrm{cf}}=\frac{1}{2}m{\Omega }^2(r_2^2-r_1^2).$$

Positif si $r_2>r_1$ : la force centrifuge accélère la bille qui s'éloigne de l'axe, en transformant l'énergie potentielle centrifuge en énergie cinétique relative. La force de Coriolis, orthogonale au déplacement radial, ne travaille pas et n'apparaît pas dans le bilan.

Exemple 2.16Correction centrifuge sur $g$

Estimer l'écart relatif entre le champ de pesanteur à l'équateur et le champ gravitationnel.

Démonstration

À l'équateur, $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ avec la centrifuge opposée à la gravitation (toutes deux radiales). Sa norme vaut ${\Omega }^2{R}_T$ avec $R_T=6,37\times 10^6\mathrm{m}$ :

$${\Omega }^2{R}_T=(7,29\times 10^{-5}{)}^2\times 6,37\times 10^6\approx 3,4\times 10^{-2}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$$

Rapporté à $g\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, cela représente environ $0,35\%$ : la rotation terrestre réduit très légèrement la pesanteur à l'équateur. L'effet s'ajoute à l'aplatissement du globe pour expliquer que $g$ soit plus faible à l'équateur qu'aux pôles.

2.9 Exercices d'entraînement

• Force d'inertie. Un train freine avec une décélération constante $a$. Un voyageur debout, de masse $m$, se sent poussé vers l'avant. Exprimer la force d'inertie qu'il ressent et sa direction. Application : $a=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, $m=70\mathrm{kg}$.

• Pendule dans une voiture. Un pendule pend au rétroviseur d'une voiture. En virage à vitesse $v$ sur un cercle de rayon $R$, de quel angle et dans quel sens s'incline-t-il ? On raisonnera dans le référentiel de la voiture.

• Plateau tournant. Un objet est posé à $r=0,5\mathrm{m}$ de l'axe d'un plateau tournant. Le coefficient de frottement statique vaut $\mu =0,4$. À partir de quelle vitesse angulaire l'objet se met-il à glisser vers l'extérieur ?

• Bille sur tige tournante. Reprendre l'exercice résolu de la bille sur une tige, mais avec une vitesse initiale $\dot{r}(0)=v_0$ et $r(0)=r_0$. Déterminer $r(t)$ et la condition sur $v_0$ pour que la bille revienne d'abord vers l'axe.

• Énergie centrifuge. Une perle glisse sans frottement sur un cerceau vertical tournant à $\Omega$ autour de son diamètre vertical. Écrire l'énergie potentielle totale (pesanteur + centrifuge) en fonction de l'angle $\theta$ et discuter les positions d'équilibre selon la valeur de $\Omega$.

• Déviation vers l'est. Calculer la déviation vers l'est d'un corps lâché du haut d'une tour de $h=50\mathrm{m}$ à la latitude de Paris ($\lambda =49^{\circ }$). Comparer à un lâcher à l'équateur.

• Déviation d'un projectile. Un projectile est tiré verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0$. En raisonnant à l'ordre un en $\Omega$, montrer qu'il retombe légèrement à l'ouest, et estimer le décalage.

• Pendule de Foucault. À quelle latitude la période de rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault vaut-elle exactement $48$ heures ? Que se passe-t-il à l'équateur ?

• Champ de pesanteur. En modélisant la Terre comme une sphère homogène de rayon $R_T$ et de masse $M_T$, exprimer le champ de pesanteur $g(\lambda )$ en fonction de la latitude (en négligeant l'aplatissement), et tracer qualitativement $g(\lambda )$.

• Référentiel géocentrique. Estimer l'accélération d'entraînement du référentiel géocentrique due au mouvement orbital de la Terre autour du Soleil, et la comparer à $g$. Commenter le caractère quasi galiléen.

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