Dynamique dans un référentiel non galiléen

Le chapitre précédent a établi la cinématique du changement de référentiel : les lois de composition des vitesses et des accélérations relient le mouvement d'un point observé dans deux référentiels en mouvement relatif. Ces lois sont purement géométriques et ne présupposent aucune loi de la mécanique.

Or la deuxième loi de Newton, $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$, n'est valable que dans un référentiel galiléen. Dès que l'on souhaite décrire le mouvement d'un point matériel directement dans un référentiel accéléré (un train qui freine, un manège qui tourne, la Terre elle-même), la relation fondamentale de la dynamique doit être corrigée. On y parvient sans renoncer à la commodité du référentiel non galiléen : il suffit d'ajouter aux forces « vraies » deux termes homogènes à des forces, les forces d'inertie. Ces forces ne traduisent aucune interaction physique ; elles sont la trace, dans le référentiel choisi, de son mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

Ce chapitre montre comment adapter le principe fondamental de la dynamique, le théorème du moment cinétique et le théorème de l'énergie cinétique à un référentiel non galiléen, dans les deux cas au programme (translation quelconque et rotation uniforme autour d'un axe fixe). Il applique ensuite ces outils au référentiel terrestre pour définir le champ de pesanteur, prévoir la déviation vers l'est et esquisser le pendule de Foucault, avant de justifier le caractère quasi galiléen des référentiels géocentrique et héliocentrique.

2.1 Le principe fondamental dans un référentiel non galiléen

2.1.1 Rappel : composition des accélérations

Soit $\mathcal{R}$ un référentiel galiléen et ${\mathcal{R}}^{\prime }$ un référentiel en mouvement quelconque par rapport à $\mathcal{R}$. Pour un point matériel $M$, la loi de composition des accélérations établie au chapitre précédent s'écrit

$${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}={\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)+{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M),$$

où ${\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}$ est l'accélération absolue (dans $\mathcal{R}$), ${\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}$ l'accélération relative (dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$), ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}$ l'accélération d'entraînement et ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}$ l'accélération de Coriolis, donnée par

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M)=2{\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}\wedge {\overrightarrow{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }},$$

${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}$ désignant le vecteur rotation instantané de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ par rapport à $\mathcal{R}$.

2.1.2 Forces d'inertie

Dans le référentiel galiléen $\mathcal{R}$, la deuxième loi de Newton donne $m{\overrightarrow{a}}_{M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F}$, où $\overrightarrow{F}$ est la somme des forces réelles (interactions) subies par $M$. En reportant la composition des accélérations et en isolant l'accélération relative :

$$m{\overrightarrow{a}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{F}-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)-m{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}(M).$$

2.2 Cas d'un référentiel en translation

2.2.1 Force d'inertie d'entraînement

Supposons que ${\mathcal{R}}^{\prime }$, d'origine $O^{\prime }$, soit en translation (éventuellement accélérée) par rapport au référentiel galiléen $\mathcal{R}$. Alors le vecteur rotation est nul, ${\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}$, ce qui entraîne deux simplifications majeures :

• l'accélération de Coriolis est nulle, ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0}$, donc ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ic}}=\overrightarrow{0}$ ;
• tous les points de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ ont la même accélération, égale à celle de $O^{\prime }$ : ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)={\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }/\mathcal{R}}$.

Figure : Pendule suspendu dans un véhicule en accélération. Pour l'observateur du véhicule

(non galiléen), la masse subit, outre son poids, la force d'inertie

${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=-m{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$ dirigée vers l'arrière : le fil s'incline.

2.3 Cas d'un référentiel en rotation uniforme

2.3.1 Les deux forces d'inertie

Considérons maintenant un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en rotation uniforme à la vitesse angulaire constante $\overrightarrow{\Omega }=\Omega {\overrightarrow{e}}_z$ autour d'un axe fixe $\Delta$ (l'axe $Oz$) du référentiel galiléen $\mathcal{R}$, les deux référentiels ayant la même origine $O$ sur l'axe. On a alors $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\Omega }}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{0}$, et l'accélération d'entraînement d'un point $M$ se réduit à sa composante centripète :

$${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{e}}(M)=-{\Omega }^2\overrightarrow{HM},$$

où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $\Delta$, de sorte que $\overrightarrow{HM}$ est le vecteur radial (perpendiculaire à l'axe) allant de l'axe vers $M$.

Figure : Manège en rotation uniforme. Pour un passager (référentiel tournant), un objet

posé sur le plateau subit la force centrifuge ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie}}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$

dirigée radialement vers l'extérieur ; s'il se déplace, une force de Coriolis s'y ajoute.