Lois du frottement solide

Cours complet · mécanique (MPI), chapitre 3 · CPGE MPI (2e année)

Les deux chapitres précédents ont établi la dynamique du point matériel, y compris dans un référentiel accéléré. Nous avons systématiquement écrit la relation fondamentale de la dynamique en supposant connues toutes les forces exercées sur le système. Or il est une force omniprésente que nous avons jusqu'ici traitée de façon rudimentaire : la réaction de contact exercée par un solide support sur un solide qui repose ou glisse sur lui.

Tant que le contact se fait sans frottement, cette réaction se réduit à une composante normale, et son intensité s'obtient par une simple condition de non-pénétration. Mais dès qu'il y a frottement — et c'est presque toujours le cas — la réaction possède une composante tangentielle dont la valeur n'est pas donnée a priori : elle dépend de l'état de mouvement du contact. Un livre posé sur une table inclinée peut y rester immobile, alors qu'aucune force ne l'y « accroche » : c'est le frottement statique qui l'équilibre. Poussé plus fort, il finit par glisser, et le frottement change alors de nature.

Ce chapitre présente les lois de Coulomb du frottement solide, limitées, conformément au programme, au cas d'un solide en translation. Ces lois sont phénoménologiques : elles ne découlent d'aucun principe fondamental mais résument une multitude d'observations expérimentales. Leur maniement impose un mode de raisonnement spécifique — formuler une hypothèse sur l'état du contact (glissement ou non), la traiter, puis la valider a posteriori — qui fait tout l'intérêt formateur de cette partie. Nous appliquerons ces lois à l'équilibre, à la mise en mouvement et au freinage, puis nous en tirerons le bilan énergétique.

3.1 Le contact entre deux solides

3.1.1 Aspects microscopiques

À l'échelle macroscopique, deux solides secs pressés l'un contre l'autre semblent se toucher sur toute leur surface apparente. Il n'en est rien. Toute surface réelle présente des aspérités, et le contact effectif ne s'établit qu'au sommet d'un très petit nombre de micro-aspérités, sur une aire réelle de contact des milliers de fois plus petite que l'aire apparente. Aux points de contact, les pressions locales sont énormes : la matière s'y déforme plastiquement, des micro-soudures se forment, et c'est le cisaillement de ces jonctions qui s'oppose au glissement.

Ce modèle microscopique explique deux faits expérimentaux majeurs, longtemps jugés paradoxaux :

la force de frottement est indépendante de l'aire apparente de contact, car l'aire réelle ne dépend, elle, que de la force pressante ;
la force de frottement est proportionnelle à la force pressante, qui fixe le nombre et la taille des micro-jonctions.

Ces deux constats, dégagés empiriquement par Amontons puis Coulomb, sont à la base des lois que nous énonçons maintenant.

3.1.2 Réaction normale et réaction tangentielle

Définition 3.1Composantes de la réaction de contact

Soit un solide $(S)$ en contact avec un support $(Σ)$ . L'action de contact exercée par $(Σ)$ sur $(S)$ se réduit, dans le modèle du point de contact, à une force $R$ que l'on décompose en

$R = N + T,$

où $N$ , la réaction normale, est perpendiculaire au plan tangent commun et dirigée du support vers le solide, et $T$ , la réaction tangentielle (ou force de frottement), est contenue dans le plan tangent.

La composante normale traduit l'impénétrabilité des solides : elle est toujours répulsive, $N$ pointe du support vers le solide, donc $N = N \geq 0$ . Un support ne peut que pousser, jamais tirer ; si l'équilibre exigeait $N < 0$ , c'est que le contact serait rompu et que le solide décollerait.

La composante tangentielle $T$ s'oppose au glissement (réel ou tendanciel) du solide sur le support. Contrairement à $N$ , sa direction et son intensité ne sont pas fixées par la géométrie seule : ce sont précisément les lois de Coulomb qui les déterminent.

iRemarque

On note $v_{g}$ la vitesse de glissement du solide $(S)$ par rapport au support $(Σ)$ , c'est-à-dire la vitesse du point de $(S)$ en contact, mesurée relativement à $(Σ)$ . Comme $(S)$ est en translation, tous ses points ont même vitesse et $v_{g}$ est simplement la vitesse du solide relativement au support. Le contact est dit glissant si $v_{g} \neq = 0$ , non glissant (ou adhérent) si $v_{g} = 0$ .

3.2 Les lois de Coulomb du frottement

Les lois de Coulomb distinguent deux régimes selon que le contact glisse ou non. À chacun correspond une loi différente pour $T$ .

3.2.1 Cas du non-glissement : l'adhérence

◆Théorème 3.2Loi de Coulomb --- adhérence (frottement statique)

Tant que le solide ne glisse pas sur le support ( $v_{g} = 0$ ), la réaction tangentielle $T$ prend la valeur imposée par les équations de la statique (ou de la dynamique), sous la seule contrainte

$T \leq f_{s} N$

où $f_{s} > 0$ est le coefficient de frottement statique (ou d'adhérence), sans dimension, caractéristique du couple de matériaux en contact.

C'est une inégalité, et c'est là toute la subtilité. En régime d'adhérence, $T$ est une inconnue du problème, au même titre que $N$ : sa valeur s'obtient en écrivant l'équilibre (ou la RFD à $v_{g}$ constant nul). La loi de Coulomb ne sert alors qu'à tester la validité de l'hypothèse de non-glissement : si la valeur trouvée respecte $T \leq f_{s} N$ , l'hypothèse est cohérente ; sinon, le solide glisse et il faut recommencer avec l'autre loi.

Important

T

n'a pas de formule en régime d'adhérence

Une erreur très répandue consiste à écrire $T = f_{s} N$ dès qu'il y a frottement. C'est faux tant que le solide ne glisse pas. En adhérence, $T$ vaut ce qu'exige l'équilibre, et peut être bien inférieure à $f_{s} N$ (elle est même nulle sur un plan horizontal sans autre force horizontale). L'égalité $T = f_{s} N$ ne vaut qu'à la limite du glissement.

3.2.2 Cas du glissement

◆Théorème 3.3Loi de Coulomb --- glissement (frottement dynamique)

Lorsque le solide glisse sur le support ( $v_{g} \neq = 0$ ), la réaction tangentielle vérifie

$T = f_{d} N et T = - f_{d} N \frac{v _{g}}{v _{g}},$

c'est-à-dire que $T$ est directement opposée à la vitesse de glissement. Le coefficient $f_{d} > 0$ est le coefficient de frottement dynamique (ou cinétique), lui aussi sans dimension.

Ici la situation est renversée : la loi fournit une égalité qui détermine complètement $T$ (module et direction) une fois $N$ connu. Il n'y a plus d'inconnue tangentielle libre. En revanche il faut connaître le sens du glissement, donné par $v_{g}$ .

Proposition 3.4Comparaison des deux coefficients

Pour un même couple de matériaux, l'expérience montre que

$f_{d} \leq f_{s} .$

Il est en général plus difficile de mettre en mouvement un solide initialement immobile (seuil $f_{s} N$ ) que de l'entretenir une fois lancé (frottement $f_{d} N < f_{s} N$ ). C'est l'origine du « décrochage » brutal ressenti quand on pousse un meuble lourd, et du phénomène de broutement (stick-slip). Dans de nombreux exercices on néglige cette différence et l'on pose $f_{s} = f_{d} = f$ .

iRemarqueOrdres de grandeur

Quelques valeurs indicatives du coefficient de frottement statique : acier sur acier sec $f_{s} \approx 0, 6$ ; bois sur bois $\approx 0, 4$ ; pneu sur route sèche $\approx 0, 8$ , sur route mouillée $\approx 0, 4$ , sur verglas $\approx 0, 1$ ; téflon sur acier $\approx 0, 04$ . Un contact lubrifié abaisse fortement ces valeurs. Le coefficient est toujours positif mais peut, pour certains couples, dépasser l'unité.

3.2.3 Le cône de frottement

Les deux lois se résument élégamment par une construction géométrique. En régime d'adhérence, $T \leq f_{s} N$ signifie que la réaction totale $R = N + T$ fait avec la normale un angle $α$ tel que

$tan α = \frac{T}{N} \leq f_{s} .$

Définition 3.5Cône de frottement

On appelle angle de frottement $φ_{s}$ l'angle défini par

$tan φ_{s} = f_{s} .$

Le cône de frottement est le cône de révolution d'axe la normale au contact et de demi-angle au sommet $φ_{s}$ . L'équilibre par adhérence est possible si et seulement si la réaction de contact $R$ est intérieure (ou sur la surface) de ce cône.

Proposition 3.6Traduction géométrique des trois situations

$R$ strictement à l'intérieur du cône ( $α < φ_{s}$ ) : adhérence assurée, le solide reste immobile.
$R$ sur la surface du cône ( $α = φ_{s}$ ) : équilibre à la limite du glissement.
Impossible de placer $R$ dans le cône tout en satisfaisant les équations : l'équilibre est rompu, le solide glisse et $R$ se trouve alors sur le cône d'angle $φ_{d}$ (avec $tan φ_{d} = f_{d}$ ).

3.3 Méthode de résolution

Méthode : Résoudre un problème avec frottement solide

Face à un contact avec frottement, procéder toujours en quatre temps.

Bilan des forces sur le solide, en faisant apparaître $N$ et $T$ comme inconnues, sans préjuger de la valeur de $T$ .
Formuler une hypothèse sur l'état du contact : soit adhérence ( $v_{g} = 0$ ), soit glissement (préciser le sens de $v_{g}$ ).
Traiter le système correspondant :

en adhérence, écrire l'équilibre (ou la RFD) et en déduire $N$ et $T$ ;
en glissement, imposer $T = f_{d} N$ avec $T$ opposée à $v_{g}$ , puis écrire la RFD.

Valider l'hypothèse : en adhérence, vérifier $T \leq f_{s} N$ et $N \geq 0$ ; en glissement, vérifier que $v_{g}$ a bien le sens supposé (accélération cohérente). Si la validation échoue, reprendre avec l'autre hypothèse.

3.4 Exemple fondamental : le bloc sur un plan incliné

Un solide de masse $m$ repose sur un plan incliné d'un angle $θ$ réglable sur l'horizontale. Le contact a pour coefficients $f_{s}$ et $f_{d}$ . On cherche à partir de quel angle le bloc se met à glisser, puis son mouvement ultérieur.

Exemple 3.7Seuil de glissement sur le plan incliné

Déterminer l'angle limite $θ_{ℓ}$ au-delà duquel l'équilibre est impossible.

Démonstration

On projette dans le repère lié au plan : $e_{x}$ le long de la ligne de plus grande pente (orienté vers le haut) et $e_{y}$ selon la normale sortante. Le poids se décompose en $m g = - m g sin θ e_{x} - m g cos θ e_{y}$ . On suppose l'adhérence ( $v_{g} = 0$ ), de sorte que $N = N e_{y}$ et $T = T e_{x}$ (avec $T$ de signe inconnu). L'équilibre $N + T + m g = 0$ se projette en

$e_{y} : N - m g cos θ = 0 \Rightarrow N = m g cos θ, e_{x} : T - m g sin θ = 0 \Rightarrow T = m g sin θ .$

La réaction tangentielle nécessaire est $T = m g sin θ > 0$ : elle retient le bloc vers le haut, ce qui est physiquement attendu. La condition d'adhérence $∣ T ∣ \leq f_{s} N$ donne

$m g sin θ \leq f_{s} m g cos θ ⟺ tan θ \leq f_{s} .$

L'équilibre subsiste tant que $θ \leq θ_{ℓ}$ avec

$tan θ_{ℓ} = f_{s}, θ_{ℓ} = φ_{s} .$

On retrouve que l'angle limite d'équilibre est exactement l'angle de frottement. Ce résultat fournit d'ailleurs une méthode de mesure de $f_{s}$ : on incline progressivement le plan jusqu'au décrochage, et $f_{s} = tan θ_{ℓ}$ .

Exemple 3.8Accélération après décrochage

Pour $θ > θ_{ℓ}$ , le bloc glisse vers le bas. Déterminer son accélération.

Démonstration

Le bloc glisse : $v_{g}$ est dirigée vers le bas du plan, soit $- e_{x}$ . La loi de Coulomb du glissement impose $T = - f_{d} N \frac{v _{g}}{v _{g}} = + f_{d} N e_{x}$ : le frottement dynamique s'oppose au mouvement, donc pointe vers le haut. La projection de la RFD $m a = N + T + m g$ avec $a = a e_{x}$ donne

$e_{y} : 0 = N - m g cos θ \Rightarrow N = m g cos θ,$

$e_{x} : ma = f_{d} N - m g sin θ = m g (f_{d} cos θ - sin θ) .$

D'où

$a = g (f_{d} cos θ - sin θ) = - g cos θ (tan θ - f_{d}) .$

Comme $θ > θ_{ℓ} \geq φ_{d}$ , on a $tan θ > f_{d}$ donc $a < 0$ : le bloc accélère bien vers le bas ( $- e_{x}$ ), ce qui valide l'hypothèse de glissement. Sans frottement ( $f_{d} = 0$ ) on retrouve $a = - g sin θ$ .

AttentionHystérésis du seuil

Une fois le bloc lancé, il continue de glisser tant que $tan θ > f_{d}$ . Comme $f_{d} < f_{s}$ , il existe une plage d'angles $φ_{d} < θ < φ_{s}$ pour lesquels un bloc immobile reste immobile, mais un bloc lancé continue de descendre : le seuil de mise en mouvement et le seuil d'arrêt ne coïncident pas.

3.5 Aspect énergétique

Proposition 3.9Puissance dissipée par le frottement

La puissance de la réaction de contact exercée par le support (fixe) sur le solide vaut $P = R \cdot v_{g} = T \cdot v_{g}$ , car $N ⊥ v_{g}$ .

En adhérence, $v_{g} = 0$ donc $P = 0$ : le frottement statique ne travaille pas.
En glissement, $T = - f_{d} N v_{g} / v_{g}$ , d'où

$P = T \cdot v_{g} = - f_{d} N v_{g} < 0.$

Le frottement de glissement est donc toujours dissipatif : il retire de l'énergie mécanique au système, convertie en chaleur au niveau du contact.

Important

L'énergie dissipée lors d'un glissement sur une distance $d$ (à $N$ constant) vaut

$∣ W_{diss} ∣ = f_{d} N d .$

C'est le travail de la force de frottement, indépendant de la vitesse. On l'utilise directement dans un bilan d'énergie cinétique pour trouver, par exemple, la distance de freinage.

Capacité numérique : Changement de mode de glissement

On peut simuler numériquement une masse posée sur un tapis roulant, ou reliée à un ressort, qui alterne entre adhérence et glissement (stick-slip). À chaque pas de temps, on teste l'hypothèse d'adhérence ; si la force tangentielle requise dépasse $f_{s} N$ , on bascule en mode glissement avec $T = f_{d} N$ ; on rebascule en adhérence dès que la vitesse de glissement s'annule. Le schéma d'Euler explicite ci-dessous illustre la logique de décision.


import numpy as np

fs, fd, N, m, dt = 0.6, 0.4, 9.81, 1.0, 1e-3
v = 0.0                      # vitesse de glissement
etat = "adherence"
for n in range(100000):
    F_ext = force_exterieure(n * dt)     # sollicitation tangentielle
    if etat == "adherence":
        if abs(F_ext) > fs * N:          # seuil depasse -> decrochage
            etat = "glissement"
    if etat == "glissement":
        T = -fd * N * np.sign(v) if v != 0 else -fd * N * np.sign(F_ext)
        a = (F_ext + T) / m
        v_new = v + a * dt
        if v_new * v < 0:                # la vitesse a change de signe
            v_new, etat = 0.0, "adherence"   # re-accrochage
        v = v_new

On observe alors l'alternance caractéristique de phases collées et de phases glissées, à l'origine du crissement d'une craie ou du son d'un archet de violon.

3.6 Deux applications classiques

Exemple 3.10Freinage d'un véhicule

Une voiture roule à la vitesse $v_{0}$ sur une route horizontale. Le conducteur freine brutalement et les roues se bloquent. Le coefficient de frottement pneu-route est $f_{d}$ . Déterminer la distance d'arrêt $D$ .

Démonstration

Roues bloquées, le pneu glisse sur la route : régime de glissement. La réaction normale équilibre le poids, $N = m g$ (route horizontale), et le frottement, opposé à la vitesse, vaut $T = f_{d} N = f_{d} m g$ . La seule force horizontale étant ce frottement, la RFD donne $ma = - f_{d} m g$ , soit une décélération constante $a = - f_{d} g$ . Par le théorème de l'énergie cinétique entre le début du freinage et l'arrêt :

$0 - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - f_{d} m g D ⟹ D = \frac{v _{0}^{2}}{2 f _{d} g} .$

La distance d'arrêt croît comme le carré de la vitesse : rouler deux fois plus vite quadruple la distance de freinage. Application : $v_{0} = 90 km / h = 25 m / s$ , $f_{d} = 0, 7$ , $g = 9, 81 m / s^{2}$ donnent $D \approx 46 m$ . Sur verglas ( $f_{d} = 0, 1$ ) on obtient $D \approx 320 m$ .

Exemple 3.11L'échelle contre un mur

Une échelle homogène de longueur $L$ et de masse $m$ est appuyée contre un mur vertical lisse (sans frottement) et repose sur un sol horizontal rugueux (coefficient $f_{s}$ ). Elle fait un angle $β$ avec le sol. À partir de quel angle limite $β_{ℓ}$ l'échelle glisse-t-elle ?

Démonstration

Bien que l'échelle ne soit pas un point, la condition de non-glissement ne concerne que le contact au sol. Notons $A$ le pied (au sol) et $B$ le sommet (au mur). Forces : le poids $m g$ au centre $G$ , la réaction du mur $N_{B} = N_{B} e_{x}$ (horizontale, mur lisse), et au sol la réaction $N_{A} = N_{A} e_{y}$ et le frottement $T_{A} = - T_{A} e_{x}$ . À l'équilibre :

$e_{x} : N_{B} - T_{A} = 0, e_{y} : N_{A} - m g = 0.$

Le moment par rapport au pied $A$ (le poids s'applique au milieu, à distance horizontale $\frac{L}{2} cos β$ ; la réaction du mur agit au sommet, bras de levier $L sin β$ ) :

$N_{B} L sin β = m g \frac{L}{2} cos β ⟹ N_{B} = \frac{m g}{2} \frac{cos β}{sin β} = \frac{m g}{2 tan β} .$

On en tire $T_{A} = N_{B} = \frac{m g}{2 tan β}$ et $N_{A} = m g$ . La condition d'adhérence au sol $T_{A} \leq f_{s} N_{A}$ s'écrit

$\frac{m g}{2 tan β} \leq f_{s} m g ⟺ tan β \geq \frac{1}{2 f _{s}} ⟺ β \geq β_{ℓ}, tan β_{ℓ} = \frac{1}{2 f _{s}} .$

L'échelle tient si elle est assez redressée ( $β$ grand) ; elle glisse si elle est trop couchée. Avec $f_{s} = 0, 4$ , $tan β_{ℓ} = 1, 25$ , soit $β_{ℓ} \approx 5 1^{\circ}$ .

iRemarqueGlissement ou basculement ?

Un solide posé peut cesser d'être en équilibre de deux manières distinctes : il peut glisser (le frottement tangentiel sature, $T = f_{s} N$ ) ou basculer (la réaction normale, dont le point d'application se déplace vers l'arête, atteint le bord de la base de sustentation). Pour un bloc parallélépipédique de largeur $ℓ$ et de hauteur $h$ poussé horizontalement au sommet (point d'application à la hauteur $h$ ), le basculement survient lorsque le moment de la force pousseuse par rapport à l'arête avant équilibre celui du poids, soit $F h = m g ℓ /2$ , tandis que le glissement débute pour $F = f_{s} N = f_{s} m g$ . Le glissement précède donc le basculement si $f_{s} < ℓ / (2 h)$ , et inversement. C'est pourquoi un objet haut et étroit bascule alors qu'un objet plat et large glisse.

La réaction de contact se décompose en une composante normale $N$ (toujours répulsive, $N \geq 0$ ) et une composante tangentielle $T$ (frottement).
Adhérence ( $v_{g} = 0$ ) : $T$ est une inconnue, contrainte seulement par l'inégalité $T \leq f_{s} N$ . On la détermine par l'équilibre, puis on valide l'hypothèse.
Glissement ( $v_{g} \neq = 0$ ) : égalité $T = f_{d} N$ , avec $T$ opposée à $v_{g}$ .
En général $f_{d} \leq f_{s}$ : mise en mouvement plus difficile que l'entretien.
Cône de frottement : équilibre possible ssi $R$ est dans le cône de demi-angle $φ_{s}$ ( $tan φ_{s} = f_{s}$ ).
Bloc sur plan incliné : seuil de glissement $tan θ = f_{s}$ .
Énergie : le frottement statique ne travaille pas ; le frottement de glissement dissipe $P = - f_{d} N v_{g} < 0$ .
Méthode : hypothèse (glisse / ne glisse pas) $\to$ résolution $\to$ validation ( $T \leq f_{s} N$ ou cohérence du sens de $v_{g}$ ).

3.7 Exercices d'entraînement

Livre sur la table. Un livre de masse $m = 0, 8 kg$ est posé sur une table horizontale ( $f_{s} = 0, 3$ ). On le pousse horizontalement avec une force $F$ . Jusqu'à quelle valeur de $F$ reste-t-il immobile ? Que vaut alors $T$ pour $F = 1 N$ ?

Coefficient par la pente. On mesure qu'un objet commence à glisser sur un plan lorsqu'on l'incline à $θ_{ℓ} = 2 2^{\circ}$ . En déduire $f_{s}$ . Une fois lancé, il descend à accélération constante $a = 1, 2 m / s^{2}$ à cet angle : en déduire $f_{d}$ et comparer.

Bloc tiré vers le haut. Sur un plan incliné à $θ$ ( $f_{s}$ , $f_{d}$ ), on tire un bloc parallèlement au plan avec une force $F$ dirigée vers le haut. Déterminer l'intervalle de $F$ pour lequel le bloc reste en équilibre.

Force minimale. Pour un bloc sur plan horizontal ( $f_{s}$ ), on tire avec une force $F$ faisant un angle $γ$ au-dessus de l'horizontale. Montrer qu'il existe un angle $γ$ optimal minimisant la force nécessaire à la mise en mouvement, et l'exprimer en fonction de $f_{s}$ .

Distance de freinage. Reprendre le freinage roues bloquées mais sur une descente de pente $θ$ . Exprimer la distance d'arrêt et commenter le rôle de la pente.

Deux blocs empilés. Un bloc $A$ ( $m_{A}$ ) repose sur un bloc $B$ ( $m_{B}$ ) posé sur un sol lisse. On pousse $B$ horizontalement avec une force $F$ . Quelle est la force maximale $F$ pour que $A$ ne glisse pas sur $B$ (coefficient $f_{s}$ entre les blocs) ?

Rondelle lancée. Une rondelle glisse sur une patinoire ( $f_{d} = 0, 05$ ) à la vitesse initiale $v_{0} = 8 m / s$ . Sur quelle distance s'arrête-t-elle ? Combien de temps ?

Échelle avec personne. Reprendre l'échelle contre un mur lisse, mais avec une personne de masse $M$ montée à une hauteur fractionnaire $x \in [0, 1]$ le long de l'échelle. Déterminer la position $x$ la plus défavorable au glissement.

Mur rugueux. Reprendre l'échelle en supposant cette fois que le mur aussi présente un frottement (coefficient $f_{s}^{'}$ ). Comment est modifiée la condition d'équilibre ?

Glisser ou basculer. Un réfrigérateur ( $ℓ = 0, 6 m$ , $h = 1, 7 m$ , $f_{s} = 0, 5$ ) est poussé horizontalement au niveau du haut. Va-t-il glisser ou basculer en premier ? À quelle hauteur de poussée la transition a-t-elle lieu ?

Bloc sur tapis roulant. Un bloc est posé sur un tapis roulant horizontal se déplaçant à vitesse $V$ constante. Initialement le bloc est immobile. Décrire son mouvement et calculer le temps au bout duquel il atteint la vitesse du tapis (coefficient $f_{d}$ ).

Cône et fil. Un anneau de masse $m$ enfilé sur un plan incliné à $θ$ est retenu par un fil horizontal. En utilisant le cône de frottement, discuter graphiquement l'existence d'une solution d'équilibre selon $θ$ et $f_{s}$ .

Bilan énergétique complet. Un bloc lâché sans vitesse en haut d'un plan incliné de longueur $ℓ$ ( $θ > θ_{ℓ}$ ) arrive en bas à la vitesse $v_{f}$ . Retrouver $v_{f}$ par un bilan d'énergie et identifier la fraction d'énergie potentielle dissipée par frottement.

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