Approche énergétique du mouvement d'un point

Cours complet · mécanique (MPSI), chapitre 3 · CPGE MPSI (1re année)

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Les lois de Newton fournissent une équation différentielle vectorielle ; sa résolution n'est pas toujours simple. L'approche énergétique offre une voie complémentaire, fondée sur la conservation d'une grandeur scalaire — l'énergie mécanique — lorsque les conditions s'y prêtent. Elle est particulièrement efficace quand on cherche une vitesse en fonction d'une position, sans se soucier du temps.

Plus encore, le graphe de l'énergie potentielle permet de prévoir qualitativement tout un mouvement à une dimension : zones accessibles, caractère borné ou non, positions d'équilibre et leur stabilité, oscillations. C'est l'un des outils les plus puissants du chapitre.

3.1 Puissance et travail d'une force

Définition 3.1Puissance et travail

La puissance d'une force $F$ s'exerçant sur un point de vitesse $v$ dans un référentiel $R$ est

$P = F \cdot v (W) .$

Le travail élémentaire sur un déplacement $d O M = v d t$ est $δ W = F \cdot d O M = P d t$ , et le travail le long d'un trajet $A \to B$ :

$W_{A \to B} = \int_{A}^{B} F \cdot d O M (J) .$

Définition 3.2Force motrice ou résistante

Une force est motrice si $P > 0$ (elle tend à accélérer le point), résistante si $P < 0$ . Une force constamment perpendiculaire à $v$ (réaction normale d'un support, force magnétique) a une puissance nulle : elle ne travaille pas.

Exemple 3.3Travail du poids

Pour un déplacement quelconque, le poids $P = - m g e_{z}$ ( $z$ vertical ascendant) travaille de

$W = \int P \cdot d O M = - m g \int d z = - m g (z_{B} - z_{A}) = m g (z_{A} - z_{B}) .$

Ce travail ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée, pas du chemin suivi : c'est le signe d'une force conservative (section 3.3).

3.2 Théorème de l'énergie cinétique

Définition 3.4Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un point de masse $m$ et de vitesse $v$ est

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} (J) .$

◆Théorème 3.5Énergie cinétique et puissance cinétique

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel :

$\frac{d E _{c}}{d t} = \sum P Δ E_{c} = \sum W (th e ˊ or e ˋ me de la puissance cin e ˊ tique), (th e ˊ or e ˋ me de l’ e ˊ nergie cin e ˊ tique) .$

Démonstration

En dérivant $E_{c} = \frac{1}{2} m v \cdot v$ : $\frac{d E _{c}}{d t} = m a \cdot v$ . Or le PFD donne $m a = \sum F$ , d'où $\frac{d E _{c}}{d t} = (\sum F) \cdot v = \sum P$ . En intégrant entre deux instants, $Δ E_{c} = \sum W$ .

Méthode

On privilégie le théorème de l'énergie cinétique quand on relie une vitesse à une position (sans avoir besoin du temps), surtout si certaines forces ne travaillent pas (réaction normale) et disparaissent du bilan.

3.3 Forces conservatives et énergie potentielle

Définition 3.6Force conservative, énergie potentielle

Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi (seulement des points de départ et d'arrivée). On lui associe alors une énergie potentielle $E_{p}$ telle que

$δ W = - d E_{p}, soit W_{A \to B} = E_{p} (A) - E_{p} (B) .$

$E_{p}$ est définie à une constante additive près.

Proposition 3.7Énergies potentielles usuelles

$pesanteur uniforme : gravitation (astre ponctuel M) : ressort e ˊ lastique : E_{p} = m g z + cte (z ascendant), E_{p} = - G \frac{m M}{r} + cte, E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} + cte (x = allongement) .$

Définition 3.8Relation force--gradient

Une force conservative dérive de son énergie potentielle :

$F = - grad E_{p} .$

À une dimension, cela se réduit à $F_{x} = - \frac{d E _{p}}{d x}$ : la force est l'opposé de la pente du graphe de $E_{p}$ .

ImportantLecture qualitative du graphe de

E_{p}

En un point du graphe de $E_{p} (x)$ , la force $F_{x} = - E_{p}^{'} (x)$ : elle pousse le point vers les $E_{p}$ décroissantes (« la bille roule vers le bas du paysage de potentiel »). Plus la pente est raide, plus la force est intense.

3.4 Énergie mécanique

Définition 3.9Énergie mécanique

L'énergie mécanique est la somme $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ .

◆Théorème 3.10Théorème de l'énergie mécanique

La variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives (celles qui ne dérivent pas d'une énergie potentielle) :

$Δ E_{m} = W_{non conservatives}, \frac{d E _{m}}{d t} = P_{non conservatives} .$

ImportantMouvement conservatif

Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives (les autres, comme la réaction normale, ayant une puissance nulle), alors

$E_{m} = E_{c} + E_{p} = constante$

La valeur de cette constante est fixée par les conditions initiales. Les frottements, eux, sont des forces non conservatives : ils dissipent l'énergie mécanique ( $Δ E_{m} < 0$ ).

3.5 Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Pour un mouvement conservatif à une dimension, $E_{m} = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + E_{p} (x)$ est constante. Comme $\frac{1}{2} m x ˙^{2} \geq 0$ ,

$\frac{1}{2} m x ˙^{2} = E_{m} - E_{p} (x) \geq 0 ⟹ E_{p} (x) \leq E_{m} .$

Le mouvement n'est possible que dans les régions où $E_{p} (x) \leq E_{m}$ . Aux points où $E_{p} (x) = E_{m}$ , la vitesse s'annule : ce sont des points de rebroussement.

Définition 3.11Barrière et puits de potentiel

Sur le graphe de $E_{p}$ , un puits est un minimum local (le point y est piégé tant que $E_{m}$ reste sous les bords) ; une barrière est un maximum local (un obstacle énergétique que le point ne franchit que si $E_{m}$ dépasse son sommet).

Méthode : Lire un mouvement sur le graphe de $E_{p}$

On trace la droite horizontale $E_{p} = E_{m}$ :

trajectoire bornée si le point est piégé entre deux rebroussements ( $x_{1}$ et $x_{2}$ ) : le mouvement est alors périodique (va-et-vient) ;
trajectoire non bornée (état de diffusion) si la région accessible s'étend à l'infini ;
les points de vitesse nulle sont les intersections $E_{p} (x) = E_{m}$ .

3.5.1 Positions d'équilibre et stabilité

Définition 3.12Équilibre, stabilité

Une position d'équilibre $x_{e}$ annule la force : $E_{p}^{'} (x_{e}) = 0$ (extremum de $E_{p}$ ). Elle est :

stable si $E_{p}$ y présente un minimum ( $E_{p}^{''} (x_{e}) > 0$ ) : écarté, le point est rappelé vers $x_{e}$ ;
instable si $E_{p}$ y présente un maximum ( $E_{p}^{''} (x_{e}) < 0$ ) : écarté, le point s'en éloigne.

Proposition 3.13Petits mouvements : puits harmonique

Au voisinage d'un équilibre stable $x_{e}$ , le développement de Taylor donne $E_{p} (x) \approx E_{p} (x_{e}) + \frac{1}{2} E_{p}^{''} (x_{e}) (x - x_{e})^{2}$ . En posant $X = x - x_{e}$ , la conservation de $E_{m}$ (ou $F = - E_{p}^{'}$ ) conduit à

$m X ¨ = - E_{p}^{''} (x_{e}) X ⟹ X ¨ + ω_{0}^{2} X = 0, ω_{0} = \frac{E _{p}^{''} ( x _{e} )}{m} .$

Tout équilibre stable se comporte, pour de petits écarts, comme un oscillateur harmonique : c'est l'approximation du puits harmonique.

Capacité numérique : EDO du 2nd ordre non linéaire

On résout numériquement une équation $x ¨ = - \frac{k}{m} x - \frac{b}{m} x^{3}$ (oscillateur anharmonique) en la ramenant à un système d'ordre 1, via odeint, pour faire apparaître l'effet du terme non linéaire $b x^{3}$ .


import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

m, k = 1.0, 1.0

def champ(Y, t, b):
    x, v = Y                       # ordre 2 ramene a un systeme d'ordre 1
    a = (-k * x - b * x**3) / m     # b : raideur du terme non lineaire (x^3)
    return [v, a]

t = np.linspace(0.0, 30.0, 2000)
for b in (0.0, 0.5):               # sans / avec terme non lineaire
    sol = odeint(champ, [1.5, 0.0], t, args=(b,))
    plt.plot(t, sol[:, 0], label="b = %.1f" % b)
plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("x (m)"); plt.legend(); plt.show()

Sans le terme cubique ( $b = 0$ ) la période est indépendante de l'amplitude ; avec ( $b > 0$ ), la période en dépend : c'est l'anisochronisme, signature du non linéaire.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Indépendance du chemin (

⋆

)

Calculer le travail du poids d'une masse $m$ amenée du sol au sommet d'une colline de hauteur $h$ , (a) par un sentier en lacets, (b) par une paroi verticale. Conclure.

Démonstration

Dans les deux cas $W = m g (z_{A} - z_{B}) = - m g h$ : seul compte le dénivelé $h$ , pas le chemin. Le poids est conservatif, d'énergie potentielle $E_{p} = m g z$ .

Exercice 2 : Vitesse en bas d'une pente (

⋆

)

Un objet glisse sans frottement depuis le repos sur une pente, perdant une hauteur $h$ . Déterminer sa vitesse en bas.

Démonstration

La réaction normale ne travaille pas ; seul le poids travaille. Le théorème de l'énergie cinétique (ou la conservation de $E_{m}$ ) donne $\frac{1}{2} m v^{2} = m g h$ , soit

$v = 2 g h,$

indépendant de la masse et de la forme de la pente.

Exercice 3 : Distance d'arrêt avec frottement (

⋆ ⋆

)

Un palet lancé à $v_{0}$ sur un sol horizontal s'arrête sous l'effet d'un frottement solide de force constante $f$ . Déterminer la distance d'arrêt $d$ .

Démonstration

Le frottement est non conservatif, de travail $- f d$ (résistant). Le théorème de l'énergie cinétique entre le départ et l'arrêt donne $0 - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - f d$ , d'où

$d = \frac{m v _{0}^{2}}{2 f} .$

La distance croît comme le carré de la vitesse initiale.

Exercice 4 : Vitesse maximale d'une masse-ressort (

⋆ ⋆

)

Une masse $m$ attachée à un ressort de raideur $k$ (longueur à vide, horizontal, sans frottement) est lâchée depuis un allongement $x_{0}$ . Déterminer sa vitesse maximale.

Démonstration

$E_{m} = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ est constante, égale à $\frac{1}{2} k x_{0}^{2}$ (lâché sans vitesse). La vitesse est maximale là où $E_{p}$ est minimale, soit $x = 0$ :

$\frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} = \frac{1}{2} k x_{0}^{2} ⟹ v_{m a x} = x_{0} \frac{k}{m} = ω_{0} x_{0} .$

Exercice 5 : Vitesse de libération (

⋆ ⋆

)

Quelle vitesse minimale faut-il communiquer à un objet à la surface d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$ pour qu'il s'en échappe (atteigne l'infini) ?

Démonstration

Mouvement conservatif : $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - G \frac{m M}{r}$ . Pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle ( $E_{m} = 0$ minimal), il faut à la surface $\frac{1}{2} m v_{lib}^{2} = G \frac{m M}{R}$ , soit

$v_{lib} = \frac{2 G M}{R} .$

Pour la Terre, $v_{lib} \approx 11, 2 km / s$ .

Exercice 6 : Équilibres d'un potentiel donné (

⋆ ⋆

)

Une particule de masse $m$ évolue dans le potentiel $E_{p} (x) = a x^{4} - b x^{2}$ ( $a, b > 0$ ). Déterminer les positions d'équilibre et leur stabilité.

Démonstration

$E_{p}^{'} (x) = 4 a x^{3} - 2 b x = 2 x (2 a x^{2} - b)$ , nul en $x = 0$ et $x = \pm b / (2 a)$ . La dérivée seconde $E_{p}^{''} (x) = 12 a x^{2} - 2 b$ vaut $- 2 b < 0$ en $x = 0$ (instable, c'est une barrière) et $+ 4 b > 0$ en $x = \pm b / (2 a)$ (stables, deux puits symétriques). C'est le potentiel « double puits ».

Exercice 7 : Pulsation des petites oscillations (

⋆ ⋆

)

Pour le double puits de l'exercice 6, déterminer la pulsation des petites oscillations autour d'un puits.

Démonstration

En un puits $x_{e} = b / (2 a)$ , $E_{p}^{''} (x_{e}) = 12 a (b /2 a) - 2 b = 6 b - 2 b = 4 b$ . La pulsation du puits harmonique est donc

$ω_{0} = \frac{E _{p}^{''} ( x _{e} )}{m} = \frac{4 b}{m} = 2 \frac{b}{m} .$

Exercice 8 : Franchir une barrière (

⋆ ⋆ ⋆

)

Une particule arrive de $x \to - \infty$ avec l'énergie mécanique $E_{m}$ vers une barrière de potentiel de hauteur maximale $E_{p}^{m a x}$ . À quelle condition la franchit-elle ? Que se passe-t-il sinon ?

Démonstration

La région accessible est $E_{p} (x) \leq E_{m}$ . Si $E_{m} > E_{p}^{m a x}$ , aucun point de rebroussement n'existe au niveau de la barrière : la particule la franchit (sa vitesse est minimale au sommet, où $\frac{1}{2} m v^{2} = E_{m} - E_{p}^{m a x} > 0$ ). Si $E_{m} < E_{p}^{m a x}$ , elle atteint le point $x^{*}$ tel que $E_{p} (x^{*}) = E_{m}$ , s'y arrête ( $v = 0$ ) puis rebrousse chemin : la barrière est infranchissable classiquement (l'effet tunnel quantique sort du cadre).

3.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Puissance $P = F \cdot v$ ; travail $W = \int F \cdot d O M$ ; motrice ( $P > 0$ ) / résistante ( $< 0$ ) ; une force $⊥ v$ ne travaille pas.
TEC : $Δ E_{c} = \sum W$ ; puissance cinétique $\frac{d E _{c}}{d t} = \sum P$ .
Force conservative $\Leftrightarrow$ $E_{p}$ avec $δ W = - d E_{p}$ et $F = - grad E_{p}$ . Usuelles : $m g z$ , $- G m M / r$ , $\frac{1}{2} k x^{2}$ .
Énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ ; $Δ E_{m} = W_{non cons}$ ; conservée si seules des forces conservatives travaillent.
Graphe de $E_{p}$ (1D) : mouvement où $E_{p} \leq E_{m}$ ; rebroussements en $E_{p} = E_{m}$ ; puits/barrière ; trajectoire bornée (périodique) ou de diffusion.
Équilibre $E_{p}^{'} (x_{e}) = 0$ : stable si minimum ( $E_{p}^{''} > 0$ ), instable si maximum. Petits mouvements $\Rightarrow$ puits harmonique $ω_{0} = E_{p}^{''} (x_{e}) / m$ .

3.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Une grue soulève une charge de $500 kg$ de $12 m$ à vitesse constante. Quel travail fournit-elle ? Quelle puissance si l'opération dure $8 s$ ?

( $⋆$ ) Un cycliste descend une côte de dénivelé $h$ sans pédaler ni freiner, frottements négligés. Exprimer sa vitesse en bas.

( $⋆ ⋆$ ) Reprendre la masse-ressort verticale (le poids intervient). Montrer que le mouvement reste harmonique autour de la nouvelle position d'équilibre et que la pulsation est inchangée.

( $⋆ ⋆$ ) Un toboggan se termine par une boucle circulaire de rayon $R$ . De quelle hauteur minimale faut-il partir pour que le mobile garde le contact au sommet de la boucle ? (Indice : condition sur la réaction au sommet.)

( $⋆ ⋆$ ) Tracer l'allure de $E_{p} (x) = \frac{A}{x ^{12}} - \frac{B}{x ^{6}}$ (potentiel de Lennard-Jones) et localiser sa position d'équilibre.

( $⋆ ⋆$ ) Une bille est lâchée dans un bol hémisphérique de rayon $R$ , sans frottement, depuis le bord. Déterminer sa vitesse au fond par deux méthodes (TEC et conservation de $E_{m}$ ).

( $⋆ ⋆$ ) Pour le potentiel $E_{p} (x) = U_{0} (1 - cos (x / ℓ))$ ( $U_{0} > 0$ ), déterminer les équilibres, leur stabilité, et la pulsation des petites oscillations autour de l'équilibre stable.

( $⋆ ⋆$ ) Un point part avec $E_{m}$ donnée dans un potentiel possédant un puits puis une barrière. Discuter, selon $E_{m}$ , si le mouvement est borné, périodique ou de diffusion.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, comparer la période de l'oscillateur $x ¨ = - ω_{0}^{2} x - b x^{3}$ pour deux amplitudes initiales différentes ( $b > 0$ ) et conclure sur l'anisochronisme.

( $⋆ ⋆$ ) Montrer que pour le pendule simple, $E_{m} = \frac{1}{2} m ℓ^{2} θ ˙^{2} + m g ℓ (1 - cos θ)$ se conserve, et retrouver l'équation du mouvement en dérivant.

( $⋆ ⋆$ ) Une perle coulisse sans frottement sur un cerceau vertical de rayon $R$ qui tourne... (on se limite ici au cerceau fixe) : étudier les positions de vitesse nulle si la perle est lâchée du sommet avec une vitesse $v_{0}$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir l'expression de la période d'un mouvement borné sous forme d'une intégrale $T = 2 m \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{E _{m} - E _{p} ( x )}$ et l'appliquer au puits harmonique pour retrouver $T = 2 π / ω_{0}$ .

3.9 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve les notions du chapitre à l'œuvre dans la vie courante. Chacun se résout en suivant la méthode du cours.

Exemple 3.22Le grand huit : sensations garanties (

⋆ ⋆

)

Dans un parc d'attractions, un wagon de masse $m = 500 kg$ (passagers compris) est lâché sans vitesse initiale au sommet $A$ d'une montagne russe, à une hauteur $z_{A} = 40 m$ au-dessus du sol. La piste est supposée parfaitement lisse (frottements négligés). Le wagon dévale jusqu'au creux $B$ situé au niveau du sol ( $z_{B} = 0$ ), puis remonte une bosse $C$ de hauteur $z_{C} = 25 m$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Quelle grandeur se conserve le long du parcours, et pourquoi ? Qu'attend-on qualitativement pour la vitesse en $B$ par rapport à $C$ ?
Établir l'expression littérale de la vitesse $v_{B}$ au creux $B$ en fonction de $g$ et $z_{A}$ , puis celle de $v_{C}$ au sommet de la bosse.
Calculer numériquement $v_{B}$ et $v_{C}$ (en $m / s$ et $km / h$ ).
Quelle est la hauteur maximale $z_{m a x}$ que pourrait atteindre le wagon sur une bosse, et que se passerait-il pour une bosse plus haute ?

Démonstration

1. La piste étant sans frottement et le poids étant la seule force qui travaille (la réaction normale est perpendiculaire au mouvement, donc de travail nul), l'énergie mécanique $E_{m} = E_{c} + E_{p}^{pes}$ se conserve. Comme $B$ est plus bas que $C$ , le wagon y aura converti davantage d'énergie potentielle en énergie cinétique : on attend $v_{B} > v_{C}$ .

2. Conservation entre $A$ ( $v_{A} = 0$ ) et un point d'altitude $z$ : $\frac{1}{2} m v^{2} + m g z = m g z_{A}$ , d'où $v = 2 g (z_{A} - z)$ . En $B$ et en $C$ :

$v_{B} = 2 g z_{A} v_{C} = 2 g (z_{A} - z_{C}) .$

La masse a disparu : la vitesse ne dépend pas de la charge du wagon.

3. Applications numériques :

$v_{B} = 2 \times 9, 81 \times 40 \approx 28 m / s \approx 100 km / h,$

$v_{C} = 2 \times 9, 81 \times 15 \approx 17 m / s \approx 62 km / h .$

On a bien $v_{B} > v_{C}$ .

4. Le wagon s'arrête ( $v = 0$ ) lorsqu'il retrouve son altitude de départ : $m g z_{m a x} = m g z_{A}$ , soit $z_{m a x} = z_{A} = 40 m$ . Une bosse plus haute que $40 m$ ne pourrait jamais être franchie : le wagon s'arrêterait avant puis redescendrait.

Important

Ce que ça nous apprend. Sans apport d'énergie, un mobile ne peut jamais remonter plus haut que son point de départ : les ingénieurs conçoivent les montagnes russes en hauteurs décroissantes, avec une marge car les frottements réels « volent » un peu d'énergie à chaque tour.

Exemple 3.23Le saut à l'élastique : jusqu'où va-t-on tomber ? (

⋆ ⋆

)

Du haut d'un pont, un sauteur de masse $m = 70 kg$ s'élance attaché à un élastique de longueur à vide $ℓ_{0} = 15 m$ et de raideur $k = 80 N / m$ . On repère sa chute par la distance $z$ parcourue vers le bas depuis le point de saut. Tant que $z < ℓ_{0}$ , seul le poids agit ; au-delà, l'élastique se tend d'un allongement $x = z - ℓ_{0}$ . On néglige l'air ; $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Décrire les échanges d'énergie pendant la chute, puis pendant la phase où l'élastique est tendu. Où la vitesse est-elle maximale ? nulle ?
Établir l'expression de la vitesse $v_{1}$ au moment où l'élastique commence à se tendre ( $z = ℓ_{0}$ ). Calculer $v_{1}$ .
Par conservation de l'énergie entre le départ et le point le plus bas $H$ (vitesse nulle), établir l'équation vérifiée par l'allongement maximal $x_{m}$ .
Résoudre numériquement pour trouver $x_{m}$ , puis la profondeur totale $H = ℓ_{0} + x_{m}$ . Le pont fait $55 m$ : le saut est-il sûr ?

Démonstration

1. Tant que $z < ℓ_{0}$ , c'est une chute libre : l'énergie potentielle de pesanteur devient énergie cinétique, la vitesse augmente. Quand l'élastique se tend, il emmagasine de l'énergie potentielle élastique $\frac{1}{2} k x^{2}$ qui freine le sauteur. La vitesse est maximale là où poids et tension se compensent (un peu après le début de la tension) ; elle est nulle au point le plus bas $H$ .

2. Entre le départ ( $v = 0$ ) et $z = ℓ_{0}$ (chute libre), $\frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g ℓ_{0}$ :

$v_{1} = 2 g ℓ_{0} = 2 \times 9, 81 \times 15 \approx 17 m / s \approx 62 km / h .$

3. Au point bas, le sauteur a chuté de $H = ℓ_{0} + x_{m}$ avec $v = 0$ au départ comme à l'arrivée. La perte d'énergie potentielle de pesanteur est intégralement stockée dans l'élastique :

$m g (ℓ_{0} + x_{m}) = \frac{1}{2} k x_{m}^{2} ⟹ \frac{1}{2} k x_{m}^{2} - m g x_{m} - m g ℓ_{0} = 0 .$

4. Avec $\frac{1}{2} k = 40$ , $m g = 70 \times 9, 81 \approx 687 N$ et $m g ℓ_{0} \approx 10300 J$ :

$40 x_{m}^{2} - 687 x_{m} - 10300 = 0.$

Le discriminant vaut $Δ = 68 7^{2} + 4 \times 40 \times 10300 \approx 2, 12 \times 1 0^{6}$ , soit $Δ \approx 1456$ . La racine positive est

$x_{m} = \frac{687 + 1456}{80} \approx 27 m .$

La profondeur totale de chute est donc $H = ℓ_{0} + x_{m} \approx 15 + 27 = 42 m$ . Comme $H \approx 42 m < 55 m$ , le sauteur s'arrête à $13 m$ du sol : la marge est correcte, mais doit être vérifiée à chaque saut (d'où la pesée systématique).

Important

Ce que ça nous apprend. Le saut à l'élastique est un transfert d'énergie de pesanteur vers énergie élastique : c'est l'allongement maximal, et non la simple chute libre, qui fixe le point bas. Choisir $k$ et $ℓ_{0}$ revient à régler la sécurité du saut.

Exemple 3.24Le barrage hydroélectrique : dompter une chute d'eau (

⋆ ⋆

)

Un barrage retient un lac dont le niveau domine la centrale de $h = 120 m$ . Une conduite forcée amène l'eau jusqu'à une turbine avec un débit massique $m ˙ = 50000 kg / s$ (soit $50 m^{3} / s$ ). Le rendement global de conversion (turbine + alternateur) est $η = 0, 90$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Pour une masse $m$ d'eau qui descend de $h$ , exprimer la variation d'énergie potentielle de pesanteur $Δ E_{p}$ , puis l'énergie libérée.
En déduire la puissance hydraulique $P_{hyd}$ disponible en fonction de $m ˙$ , $g$ et $h$ . La calculer en $MW$ .
Calculer la puissance électrique $P_{e ˊ l}$ effectivement produite. À combien de foyers (consommation moyenne $1 kW$ ) cela correspond-il ?
En période de crue, on triple le débit. Comment varient $P_{hyd}$ et $P_{e ˊ l}$ (à rendement constant) ?

Démonstration

1. Une masse $m$ qui descend de $h$ voit son énergie potentielle varier de $Δ E_{p} = - m g h < 0$ . En l'absence de pertes et de vitesse d'arrivée notable, l'énergie libérée est $E = m g h$ .

2. La puissance hydraulique est cette énergie par unité de temps. Pour la masse $d m$ écoulée pendant $d t$ , $d E = (d m) g h$ , donc avec $m ˙ = d m / d t$ :

$P_{hyd} = m ˙ g h = 50000 \times 9, 81 \times 120 \approx 59 MW .$

3. La puissance électrique vaut $P_{e ˊ l} = η P_{hyd} = 0, 90 \times 59 \approx 53 MW$ . À $1 kW$ par foyer, cela alimente environ $53000$ foyers.

4. $P_{hyd} = m ˙ g h \propto m ˙$ : tripler le débit triple $P_{hyd}$ ( $\approx 177 MW$ ). À rendement constant, $P_{e ˊ l} = η P_{hyd}$ triple aussi ( $\approx 159 MW$ ).

Important

Ce que ça nous apprend. La puissance d'une centrale hydroélectrique est une énergie potentielle de pesanteur convertie en continu : $P = m ˙ g h$ . Hauteur de chute et débit sont les deux leviers ; le rendement, voisin de $90 %$ , traduit la faible part dissipée.

Exemple 3.25Le tremplin de saut à ski : voler grâce à l'énergie (

⋆ ⋆

)

Un sauteur à ski s'élance, immobile, du sommet d'une rampe d'élan. Il descend une dénivelée $h = 60 m$ jusqu'à la table de décollage. La piste glisse bien mais pas parfaitement : les frottements dissipent $9, 0 kJ$ , autrement dit leur travail vaut $W_{f} = - 9, 0 kJ$ . Le système \{skieur + skis\} a une masse $m = 70 kg$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Établir le bilan d'énergie mécanique entre le départ et le décollage : exprimer $Δ E_{m}$ en fonction de $W_{f}$ .
En déduire la vitesse $v$ au décollage. La comparer à la vitesse $v_{0}$ d'un skieur idéal sans frottement.
Quelle fraction de l'énergie potentielle de départ a été dissipée ?
Si la rampe était deux fois plus haute (mêmes frottements relatifs), par quel facteur $v$ serait-elle multipliée ? Commenter.

Démonstration

1. À cause des frottements, $E_{m}$ n'est pas conservée. Le théorème de l'énergie mécanique donne $Δ E_{m} = W_{f} < 0$ .

2. Au départ $E_{c} = 0$ , $E_{p} = m g h$ ; au décollage $E_{p} = 0$ , $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Donc $\frac{1}{2} m v^{2} - m g h = W_{f}$ , soit

$v = 2 g h + \frac{2 W _{f}}{m} = 2 (9, 81) (60) + \frac{2 ( - 9000 )}{70} \approx 1177 - 257 \approx 30 m / s .$

Sans frottement, $v_{0} = 2 g h \approx 34 m / s$ : les frottements coûtent environ $4 m / s$ .

3. Énergie potentielle de départ : $m g h = 70 \times 9, 81 \times 60 \approx 41 kJ$ . Fraction dissipée : $\frac{9 , 0}{41} \approx 0, 22$ (22 %).

4. Sans frottement $v_{0} = 2 g h$ : doubler $h$ multiplie $v_{0}$ par $2 \approx 1, 4$ (et non par 2). Gagner de la hauteur est utile mais à rendement décroissant.

Important

Ce que ça nous apprend. En présence de frottements, le déficit d'énergie mécanique $Δ E_{m} = W_{f} < 0$ mesure exactement l'énergie dissipée. La vitesse acquise varie comme $h$ , ce qui explique la hauteur des tremplins.

Exemple 3.26L'envol de la balançoire (

⋆ ⋆

)

Au parc, Léa lâche sans vitesse la balançoire de son petit frère depuis une hauteur $h = 0, 80 m$ au-dessus du point le plus bas. L'enfant et le siège ont une masse $m = 25 kg$ . On néglige les frottements ; $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Quelle est l'énergie mécanique au lâcher ? (origine de $E_{p}$ au point bas)
En déduire la vitesse au point le plus bas.
Jusqu'à quelle hauteur la balançoire remonte-t-elle de l'autre côté ? Justifier.
Pour atteindre $5, 0 m / s$ en bas, de quelle hauteur faudrait-il lâcher ?

Démonstration

1. Au lâcher $E_{c} = 0$ , donc $E_{m} = m g h = 25 \times 9, 81 \times 0, 80 \approx 196 J$ .

2. Sans frottement, $E_{m}$ se conserve. Au point bas $E_{p} = 0$ : $\frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} = m g h$ , soit

$v_{m a x} = 2 g h = 2 \times 9, 81 \times 0, 80 \approx 4, 0 m / s .$

La masse n'intervient pas.

3. À la hauteur maximale de l'autre côté, $v = 0$ donc $E_{p} = E_{m} = m g h^{'}$ ; comme $E_{m}$ est inchangée, $h^{'} = h = 0, 80 m$ : la balançoire remonte exactement à sa hauteur de départ.

4. $m g h_{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ donne $h_{2} = \frac{v ^{2}}{2 g} = \frac{5 , 0 ^{2}}{2 \times 9 , 81} \approx 1, 3 m$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Sans frottement, la vitesse au point bas ne dépend que de la hauteur de chute (pas de la masse), et la balançoire remonte toujours à son altitude de départ.

Exemple 3.27Le skateur dans le half-pipe (

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)

Théo s'élance dans un half-pipe. On modélise son énergie potentielle par $E_{p} (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ avec $k = 1000 J / m^{2}$ , $x$ (en mètres) repérant sa position horizontale par rapport au fond. Lâché sans vitesse depuis $x_{0} = 2, 0 m$ , son énergie mécanique vaut $E_{m} = 2000 J$ (graphe ci-dessous). Frottements négligés.

Sur le graphe, $E_{c} (x) = E_{m} - E_{p} (x)$ . Déterminer la zone des positions accessibles.
Calculer les abscisses des points de rebroussement (vitesse nulle).
Identifier la position d'équilibre stable et justifier sa stabilité.
Le mouvement est-il borné ? Quelle est sa nature ?

Démonstration

1. La vitesse étant réelle, $E_{c} (x) = E_{m} - E_{p} (x) \geq 0$ , soit $E_{p} (x) \leq E_{m}$ : le skateur n'occupe que les positions où la courbe passe sous le niveau $E_{m}$ , c'est-à-dire $- x_{0} \leq x \leq x_{0}$ .

2. Points de rebroussement : $E_{p} (x) = E_{m}$ , soit $\frac{1}{2} k x^{2} = E_{m}$ , d'où

$x = \pm \frac{2 E _{m}}{k} = \pm \frac{2 \times 2000}{1000} = \pm 2, 0 m .$

On retrouve le point de lâcher et son symétrique.

3. L'équilibre est au minimum de $E_{p}$ : $E_{p}^{'} (x) = k x = 0$ donne $x = 0$ ; comme $E_{p}^{''} (0) = k > 0$ , c'est un minimum, donc un équilibre stable (écarté du fond, le skateur est ramené vers $x = 0$ ).

4. La zone accessible $[- x_{0}, x_{0}]$ est finie : le mouvement est borné. Le skateur oscille indéfiniment entre les deux points de rebroussement en passant par le fond (vitesse maximale) : mouvement périodique.

Important

Ce que ça nous apprend. Un graphe $E_{p} (x)$ se lit comme une carte du mouvement : $E_{c} = E_{m} - E_{p} \geq 0$ délimite la zone accessible, les intersections avec $E_{m}$ sont les points de rebroussement, et un puits de potentiel piège le mobile dans un mouvement borné autour d'un équilibre stable.

Exemple 3.28L'arc et la flèche : un ressort qui décoche (

⋆ ⋆

)

Un archer tend son arc, modélisé par un ressort de raideur $k = 300 N / m$ , en l'étirant de $d = 0, 60 m$ . Au lâcher, toute l'énergie élastique est transmise à la flèche de masse $m = 25 g$ , qui part horizontalement.

Exprimer puis calculer l'énergie potentielle élastique $E_{p}^{ressort}$ emmagasinée.
En supposant la conversion intégrale en énergie cinétique, établir l'expression de la vitesse $v$ de la flèche, puis la calculer.
Comment varie la portée si l'archer tire plus fort (étirement $d$ plus grand) ? Justifier avec l'expression de $v$ .

Démonstration

1. L'arc tendu se comporte comme un ressort étiré de $d$ :

$E_{p}^{ressort} = \frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} \times 300 \times 0, 6 0^{2} = 54 J .$

2. Conversion intégrale en énergie cinétique : $\frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , d'où

$v = d \frac{k}{m} = 0, 60 \times \frac{300}{0 , 025} \approx 66 m / s (\approx 240 km / h) .$

3. $v = d k / m \propto d$ : la vitesse croît proportionnellement à l'étirement, et la portée (qui varie comme $v^{2}$ à angle fixé) croît comme $d^{2}$ . Doubler $d$ double $v$ et quadruple $E_{c}$ : un arc puissant et un grand débattement portent beaucoup plus loin.

Important

Ce que ça nous apprend. L'arc est un réservoir d'énergie élastique : le lent travail des bras ( $54 J$ ) devient une vitesse élevée, car la flèche, légère, encaisse toute l'énergie. La vitesse de lâcher $v = d k / m$ augmente avec la raideur, l'étirement, et la légèreté du projectile.

Exemple 3.29La puissance du cycliste : grimper sans faiblir (

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)

Un cycliste et son vélo, de masse totale $m = 80 kg$ , gravissent une côte de pente $α = 5^{\circ}$ à vitesse constante $v = 18 km / h$ . Outre la pesanteur, il subit un frottement (air + roulement) de norme $f = 15 N$ opposé au mouvement. On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Convertir la vitesse en $m / s$ . Pourquoi la somme des forces est-elle nulle ?
Donner l'expression de la force $F$ que le cycliste doit développer, puis la calculer.
Avec $P = F \cdot v = F v$ , calculer la puissance mécanique. La comparer à une puissance humaine soutenable ( $200 W$ à $300 W$ ).
Que devient cette puissance si la pente double ( $1 0^{\circ}$ ), à même vitesse ? Conclure.

Démonstration

1. $v = 18 km / h = \frac{18}{3 , 6} = 5, 0 m / s$ . À vitesse constante, l'accélération est nulle : par le principe d'inertie, la somme des forces est nulle. La force du cycliste équilibre la composante du poids le long de la pente et le frottement.

2. Le long de la pente : $F = m g sin α + f$ , soit

$F = m g sin α + f = 80 \times 9, 81 \times sin 5^{\circ} + 15.$

Avec $sin 5^{\circ} \approx 0, 0872$ : $F \approx 68, 4 + 15 \approx 83 N$ .

3. $F$ et $v$ colinéaires de même sens :

$P = F v = 83 \times 5, 0 \approx 420 W .$

C'est nettement au-dessus d'une puissance soutenable ( $200 a ˋ 300 W$ ) : un amateur ne tiendra ce rythme que quelques minutes.

4. À $1 0^{\circ}$ ( $sin 1 0^{\circ} \approx 0, 174$ ) : $F^{'} \approx 784, 8 \times 0, 174 + 15 \approx 151 N$ , $P^{'} \approx 151 \times 5, 0 \approx 760 W$ . La puissance passe de $420 W$ à $760 W$ : pour ne pas exploser, le cycliste doit ralentir — d'où les petits braquets en forte montée.

Important

Ce que ça nous apprend. La relation $P = F v$ montre que l'effort en montée se paie en puissance, croissante avec la pente et la vitesse. Comme un humain ne soutient durablement que $200 a ˋ 300 W$ , grimper vite et raide est impossible longtemps : d'où l'intérêt de réduire $v$ pour ramener la puissance dans le soutenable.

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Approche énergétique du mouvement d'un point

3.1 Puissance et travail d'une force

3.2 Théorème de l'énergie cinétique

Méthode

3.3 Forces conservatives et énergie potentielle

3.4 Énergie mécanique

3.5 Étude qualitative d'un mouvement conservatif à une dimension

Méthode : Lire un mouvement sur le graphe de Ep​

3.5.1 Positions d'équilibre et stabilité

Capacité numérique : EDO du 2nd ordre non linéaire

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.6 Exercices résolus

3.7 Synthèse du chapitre

3.8 Exercices d'entraînement

3.9 Problèmes contextualisés

Méthode : Lire un mouvement sur le graphe de $E_{p}$