Oscillateurs mécaniques

Cours complet · mécanique (MPSI), chapitre 4 · CPGE MPSI (1re année)

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De très nombreux systèmes, écartés de leur position d'équilibre stable, y reviennent en oscillant : c'est le contenu de l'approximation du puits harmonique vue au chapitre 3. L'oscillateur harmonique est le modèle de référence de ces mouvements ; complété par l'amortissement (frottement visqueux) puis par une excitation extérieure, il décrit le régime libre, le retour à l'équilibre et le phénomène de résonance.

Ces comportements sont exactement ceux du circuit RLC électrique (livre Électricité) : c'est l'une des plus belles analogies de la physique, et on la soulignera. On introduit ici deux grandeurs centrales : la pulsation propre $ω_{0}$ et le facteur de qualité $Q$ .

4.1 L'oscillateur harmonique

Définition 4.1Oscillateur harmonique

On considère une masse $m$ attachée à un ressort de raideur $k$ , glissant sans frottement sur un axe horizontal ; $x$ désigne l'écart à la position d'équilibre. Le PFD donne $m x ¨ = - k x$ , soit

$x ¨ + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{k}{m} .$

$ω_{0}$ est la pulsation propre (en $rad / s$ ).

◆Théorème 4.2Solution harmonique

La solution générale est sinusoïdale :

$x (t) = X_{m} cos (ω_{0} t + φ),$

où l'amplitude $X_{m}$ et la phase à l'origine $φ$ sont fixées par les conditions initiales. Le mouvement est périodique de période $T_{0} = \frac{2 π}{ω _{0}}$ et de fréquence $f_{0} = \frac{1}{T _{0}} = \frac{ω _{0}}{2 π}$ . Ni $T_{0}$ ni $f_{0}$ ne dépendent de l'amplitude (isochronisme).

Proposition 4.3Bilan énergétique

L'énergie mécanique se conserve et vaut

$E_{m} = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} = cte .$

Énergies cinétique et potentielle s'échangent en permanence, en opposition de phase ; chacune oscille à la pulsation $2 ω_{0}$ et leurs valeurs moyennes sont égales : $⟨ E_{c} ⟩ = ⟨ E_{p} ⟩ = \frac{1}{4} k X_{m}^{2}$ .

4.2 L'oscillateur amorti par frottement visqueux

On ajoute un frottement fluide $- h x ˙$ ( $h > 0$ ). Le PFD devient $m x ¨ = - k x - h x ˙$ , que l'on met sous forme canonique :

$x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0, ω_{0} = \frac{k}{m}, Q = \frac{m ω _{0}}{h} = \frac{k m}{h} .$

Définition 4.4Facteur de qualité

Le facteur de qualité $Q$ (sans dimension) mesure le faible amortissement : grand $Q$ = oscillateur peu amorti (frottement $h$ petit). Il fixe la nature du régime libre.

ImportantLes trois régimes selon

Q

L'équation caractéristique $r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2} = 0$ a pour discriminant $Δ = ω_{0}^{2} (\frac{1}{Q ^{2}} - 4)$ , du signe de $\frac{1}{2} - Q$ :

$Q < \frac{1}{2}$ : régime apériodique (deux racines réelles négatives) ; retour à l'équilibre sans oscillation.
$Q = \frac{1}{2}$ : régime critique (racine double) ; retour le plus rapide à l'équilibre.
$Q > \frac{1}{2}$ : régime pseudo-périodique (racines complexes conjuguées) ; oscillations amorties de pseudo-pulsation $Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ , enveloppe en $e^{- t / τ}$ avec $τ = \frac{2 Q}{ω _{0}} = \frac{2 m}{h}$ .

Proposition 4.5Dissipation et analogie électrique

L'énergie mécanique décroît : $\frac{d E _{m}}{d t} = - h x ˙^{2} \leq 0$ (le frottement dissipe). Le nombre d'oscillations visibles avant amortissement est de l'ordre de $Q$ . L'équation est identique à celle du circuit RLC série $L q ¨ + R q ˙ + \frac{q}{C} = 0$ , avec les correspondances

$x \leftrightarrow q, m \leftrightarrow L, h \leftrightarrow R, k \leftrightarrow \frac{1}{C}, ω_{0} = \frac{1}{L C}, Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} .$

4.3 Régime sinusoïdal forcé ; résonance

On soumet maintenant l'oscillateur à une excitation sinusoïdale de pulsation $ω$ , par exemple une force $F (t) = F_{m} cos (ω t)$ :

$m x ¨ + h x ˙ + k x = F_{m} cos (ω t) .$

En régime permanent, $x (t) = X_{m} (ω) cos (ω t + ψ)$ : le système oscille à la pulsation imposée $ω$ .

Méthode : Représentation complexe

On associe à $x (t)$ la grandeur complexe $x = X_{m} e^{iω t}$ et à l'excitation $F = F_{m} e^{iω t}$ . Comme $˙ \to iω$ , l'équation devient algébrique :

$(- m ω^{2} + ihω + k) X_{m} = F_{m} ⟹ X_{m} = \frac{F _{m}}{k - m ω ^{2} + ihω} .$

L'amplitude réelle est $X_{m} = ∣ X_{m} ∣$ et le déphasage $ψ = ar g X_{m}$ .

ImportantRésonance d'amplitude

L'amplitude $X_{m} (ω)$ présente un maximum prononcé près de $ω_{0}$ — la résonance — à condition que $Q > \frac{1}{2}$ . Plus $Q$ est grand :

plus la résonance est aiguë (pic étroit) ; sa largeur (bande passante) vaut $Δ ω \approx \frac{ω _{0}}{Q}$ ;
plus l'amplitude au sommet est grande : pour $Q$ élevé, $X_{m}^{m a x} \approx Q X_{stat}$ ( $X_{stat} = F_{m} / k$ étant la réponse à fréquence nulle).

L'acuité de la résonance est donc directement reliée au facteur de qualité.

Capacité numérique : Courbes de résonance selon $Q$

On trace l'amplitude réduite $X_{m} / X_{stat}$ en fonction de la pulsation réduite $ω / ω_{0}$ , pour plusieurs valeurs de $Q$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.0, 3.0, 600)        # pulsation reduite w/w0
for Q in (0.5, 1.0, 5.0):
    # amplitude reduite : X / X_stat d'un oscillateur force
    A = 1.0 / np.sqrt((1 - x**2)**2 + (x / Q)**2)
    plt.plot(x, A, label="Q = %.1f" % Q)
plt.xlabel("w / w0"); plt.ylabel("X / X_stat")
plt.legend(); plt.show()

On voit le pic se resserrer et grandir quand $Q$ augmente : c'est la signature de la résonance, et la mesure de la largeur du pic donne accès à $Q$ .

Méthode : Identifier $ω_{0}$ et $Q$ expérimentalement

À partir des graphes expérimentaux d'amplitude et de phase : la position du pic donne $ω_{0}$ (à grand $Q$ , $ω_{r} \approx ω_{0}$ ; le déphasage passe par $- π /2$ exactement en $ω_{0}$ ), et la largeur du pic $Δ ω$ donne $Q = ω_{0} /Δ ω$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Pulsation d'une masse-ressort (

⋆

)

Une masse $m = 0, 20 kg$ est suspendue à un ressort de raideur $k = 50 N / m$ . Calculer $ω_{0}$ , $T_{0}$ et $f_{0}$ .

Démonstration

$ω_{0} = k / m = 50/0, 20 = 250 \approx 15, 8 rad / s$ . Alors $T_{0} = 2 π / ω_{0} \approx 0, 40 s$ et $f_{0} = 1/ T_{0} \approx 2, 5 Hz$ .

Exercice 2 : Conditions initiales (

⋆

)

L'oscillateur $x (t) = X_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ part de $x (0) = x_{0}$ avec une vitesse nulle. Déterminer $X_{m}$ et $φ$ .

Démonstration

$x ˙ (0) = - X_{m} ω_{0} sin φ = 0 \Rightarrow φ = 0$ (ou $π$ ). Alors $x (0) = X_{m} cos φ = x_{0}$ , d'où $X_{m} = ∣ x_{0} ∣$ et $φ = 0$ si $x_{0} > 0$ . Le mouvement est $x (t) = x_{0} cos (ω_{0} t)$ .

Exercice 3 : Échange d'énergie (

⋆ ⋆

)

Pour $x (t) = X_{m} cos (ω_{0} t)$ , vérifier que $E_{m}$ est constante et calculer les valeurs moyennes de $E_{c}$ et $E_{p}$ sur une période.

Démonstration

$E_{p} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} cos^{2} (ω_{0} t)$ et $E_{c} = \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} X_{m}^{2} sin^{2} (ω_{0} t) = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} sin^{2} (ω_{0} t)$ (car $m ω_{0}^{2} = k$ ). Leur somme $E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2} (cos^{2} + sin^{2}) = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}$ est constante. Comme $⟨ cos^{2} ⟩ = ⟨ sin^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ , on a $⟨ E_{c} ⟩ = ⟨ E_{p} ⟩ = \frac{1}{4} k X_{m}^{2}$ .

Exercice 4 : Forme canonique (

⋆ ⋆

)

Mettre l'équation $3 x ¨ + 0, 6 x ˙ + 12 x = 0$ (SI) sous forme canonique et en déduire $ω_{0}$ et $Q$ .

Démonstration

On divise par $3$ : $x ¨ + 0, 2 x ˙ + 4 x = 0$ . On identifie $ω_{0}^{2} = 4$ , soit $ω_{0} = 2 rad / s$ , et $ω_{0} / Q = 0, 2$ , d'où $Q = ω_{0} /0, 2 = 2/0, 2 = 10$ . Oscillateur peu amorti, régime pseudo-périodique.

Exercice 5 : Nature du régime (

⋆ ⋆

)

Pour chacun, indiquer le régime : (a) $Q = 0, 3$ ; (b) $Q = 0, 5$ ; (c) $Q = 8$ .

Démonstration

(a) $Q < \frac{1}{2}$ : apériodique. (b) $Q = \frac{1}{2}$ : critique. (c) $Q > \frac{1}{2}$ : pseudo-périodique, avec environ $8$ oscillations visibles avant amortissement.

Exercice 6 : Pseudo-période (

⋆ ⋆

)

Un oscillateur de $ω_{0} = 10 rad / s$ et $Q = 5$ est en régime pseudo-périodique. Calculer la pseudo-pulsation $Ω$ et la pseudo-période.

Démonstration

$Ω = ω_{0} 1 - 1/ (4 Q^{2}) = 10 1 - 1/100 = 10 0, 99 \approx 9, 95 rad / s$ , très proche de $ω_{0}$ (faible amortissement). La pseudo-période est $T = 2 π /Ω \approx 0, 63 s$ .

Exercice 7 : Analogie électromécanique (

⋆ ⋆

)

Un circuit RLC série a $L = 0, 10 H$ , $C = 1, 0 μ F$ , $R = 50 Ω$ . Donner $ω_{0}$ et $Q$ , et le système mécanique analogue.

Démonstration

$ω_{0} = 1/ L C = 1/ 0, 10 \times 1 0^{- 6} = 3, 2 \times 1 0^{3} rad / s$ . $Q = \frac{1}{R} L / C = \frac{1}{50} 0, 10/1 0^{- 6} = \frac{1}{50} \times 316 \approx 6, 3$ . L'analogue mécanique est une masse $m \leftrightarrow L$ sur un ressort $k \leftrightarrow 1/ C$ avec un frottement visqueux $h \leftrightarrow R$ .

Exercice 8 : Résonance et surtension (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un oscillateur forcé a $ω_{0} = 100 rad / s$ et $Q = 20$ . Estimer la pulsation de résonance, l'amplitude relative au sommet et la bande passante.

Démonstration

$Q ≫ 1$ donc la résonance est aiguë et $ω_{r} \approx ω_{0} = 100 rad / s$ . L'amplitude au sommet vaut environ $X_{m}^{m a x} \approx Q X_{stat} = 20 X_{stat}$ (forte surtension). La bande passante est $Δ ω \approx ω_{0} / Q = 100/20 = 5 rad / s$ : le pic est très étroit.

4.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Harmonique : $x ¨ + ω_{0}^{2} x = 0$ , $x = X_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ , $ω_{0} = k / m$ , $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ ; $E_{m} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}$ conservée.
Amorti : $x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ , $Q = k m / h$ ; régimes apériodique ( $Q < \frac{1}{2}$ ), critique ( $Q = \frac{1}{2}$ , retour le plus rapide), pseudo-périodique ( $Q > \frac{1}{2}$ , $Ω = ω_{0} 1 - 1/4 Q^{2}$ ).
Dissipation : $\frac{d E _{m}}{d t} = - h x ˙^{2} < 0$ ; $\sim Q$ oscillations avant amortissement.
Analogie RLC : $x \leftrightarrow q$ , $m \leftrightarrow L$ , $h \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/ C$ .
Forcé : représentation complexe $X_{m} = \frac{F _{m}}{k - m ω ^{2} + ihω}$ ; résonance d'amplitude si $Q > 1/ 2$ , d'autant plus aiguë que $Q$ est grand ( $Δ ω \approx ω_{0} / Q$ ).

4.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un oscillateur harmonique a une période $T_{0} = 1, 5 s$ et une amplitude $4 cm$ . Donner $ω_{0}$ et la vitesse maximale.

( $⋆$ ) Une masse multipliée par $4$ : comment varient $ω_{0}$ et $T_{0}$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Établir, à partir de $x = X_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ et $x ˙ (0)$ , $x (0)$ donnés, les expressions générales de $X_{m}$ et $tan φ$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un oscillateur a $ω_{0} = 20 rad / s$ et $h / m = 4 / s$ . Calculer $Q$ et préciser le régime.

( $⋆ ⋆$ ) Régime critique : montrer qu'il assure le retour à l'équilibre le plus rapide (argument qualitatif sur les racines de l'équation caractéristique).

( $⋆ ⋆$ ) Décrément logarithmique : pour un régime pseudo-périodique, définir $δ = ln \frac{x ( t )}{x ( t + T )}$ et le relier à $Q$ .

( $⋆ ⋆$ ) Sismomètre : expliquer qualitativement pourquoi un oscillateur mécanique réalise un filtrage selon la pulsation de l'excitation (lien avec le livre des ondes).

( $⋆ ⋆$ ) Amortisseur de voiture : pourquoi cherche-t-on un facteur de qualité proche du régime critique ?

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À partir de l'encadré numérique, déterminer pour $Q = 5$ la largeur de la résonance à mi-hauteur et vérifier $Δ ω \approx ω_{0} / Q$ .

( $⋆ ⋆$ ) Vérifier que le déphasage $ψ$ entre la réponse et l'excitation passe par $- π /2$ en $ω = ω_{0}$ , quel que soit $Q$ .

( $⋆ ⋆$ ) Un diapason ( $f_{0} = 440 Hz$ , $Q \approx 1 0^{3}$ ) sonne plusieurs secondes. Estimer la durée du son à partir de $τ = 2 Q / ω_{0}$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Résonance en vitesse : montrer que l'amplitude de $x ˙$ est maximale exactement en $ω = ω_{0}$ , quel que soit $Q$ (à la différence de la résonance en amplitude).

4.7 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve les notions du chapitre à l'œuvre dans la vie courante. Chacun se résout en suivant la méthode du cours.

Exemple 4.14La suspension de ta voiture : ni trop molle, ni trop dure (

⋆ ⋆

)

Une roue de voiture, avec sa masse suspendue $m = 300 kg$ , repose sur un ressort de raideur $k = 30000 N / m$ . Un amortisseur hydraulique freine le mouvement vertical. En passant sur une bosse, la roue est écartée de sa position d'équilibre : on veut qu'elle revienne le plus vite possible à l'équilibre, sans rebondir.

Qualitativement, que ressentent les passagers si l'amortisseur est usé (suspension « molle ») ? Et si l'amortisseur est trop dur (presque bloqué) ?
L'écart vertical $x (t)$ obéit à $x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ , avec $ω_{0} = k / m$ . Calculer $ω_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ .
On règle l'amortisseur au régime critique $Q = \frac{1}{2}$ : retour le plus rapide sans oscillation. Déterminer le coefficient $h$ défini par $x ¨ + 2 h x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ , puis le temps caractéristique $τ = 1/ h$ .
Un constructeur règle en réalité $Q \approx 0, 7$ (légèrement sous-amorti) pour un meilleur compromis confort/tenue de route. Combien d'oscillations visibles subsistent ? Commenter.

Démonstration

1. Amortisseur usé ( $Q$ grand) : la voiture rebondit plusieurs fois après chaque bosse, elle « flotte » — tenue de route et confort dégradés. Amortisseur trop dur ( $Q$ très petit) : chaque irrégularité de la route est transmise directement à l'habitacle — secousses sèches.

2. $ω_{0} = k / m = 30000/300 = 10 rad / s$ , d'où

$ω_{0} = 10 rad / s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} \approx 1, 6 Hz .$

3. En identifiant $\frac{ω _{0}}{Q} = 2 h$ , le régime critique $Q = \frac{1}{2}$ donne $2 h = 2 ω_{0}$ , soit $h = ω_{0}$ :

$h = ω_{0} = 10 / s, τ = \frac{1}{h} = 0, 10 s .$

Le retour à l'équilibre prend quelques $τ$ , soit environ $0, 3 s$ : rapide et sans rebond.

4. Pour $Q = 0, 7 > \frac{1}{2}$ , le régime est légèrement pseudo-périodique : $ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = 10 1 - \frac{1}{1 , 96} \approx 7, 0 rad / s$ . L'amplitude est divisée par $e$ en $τ = 2 Q / ω_{0} \approx 0, 14 s$ , soit six fois moins qu'une pseudo-période $T = 2 π / ω \approx 0, 9 s$ : on observe au plus un seul léger sursaut avant le retour à l'équilibre. Le compromis est trouvé.

Important

Ce que ça nous apprend. Régler une suspension, c'est choisir $Q$ : trop grand, la voiture flotte ; trop petit, elle est dure ; le réglage critique $Q \approx \frac{1}{2}$ donne le retour le plus rapide sans rebond.

Exemple 4.15La passerelle qui se balance et le pas des soldats (

⋆ ⋆

)

En l'an 2000, le jour de son inauguration, la passerelle du Millennium à Londres se mit à osciller latéralement sous les pas de la foule. Modélisons un piéton comme une excitation périodique à la fréquence des pas $f_{pas}$ , appliquée à une passerelle assimilée à un oscillateur de fréquence propre $f_{0} = 0, 5 Hz$ et de facteur de qualité $Q = 20$ .

Qualitativement, pourquoi l'amplitude devient-elle dangereuse quand $f_{pas}$ approche $f_{0}$ ?
À la résonance, l'amplitude est environ $Q$ fois celle d'une excitation lente. De combien la marche d'un piéton à $f_{pas} = f_{0}$ amplifie-t-elle le mouvement ?
Une marche normale se fait à environ $2$ pas par seconde. Pourquoi est-ce le balancement latéral (et non vertical) qui est entré en résonance ? (À chaque cycle gauche-droite, la poussée latérale se répète à quelle fréquence ?)
Pourquoi l'ordre « rompez le pas ! » sur un pont supprime-t-il le risque de résonance ?

Démonstration

1. Loin de $f_{0}$ , les poussées des pas sont déphasées par rapport au mouvement et se compensent en moyenne. Quand $f_{pas} \to f_{0}$ , chaque poussée arrive en phase avec le mouvement et lui ajoute de l'énergie à chaque cycle : l'amplitude croît fortement, limitée seulement par l'amortissement.

2. À la résonance, l'amplification par rapport à une sollicitation très lente est de l'ordre du facteur de qualité :

$\frac{A ( ω _{0} )}{A ( 0 )} \approx Q = 20 .$

Un piéton calant ses pas sur le balancement déplace donc la passerelle environ $20$ fois plus qu'une poussée statique équivalente.

3. À $2$ pas/s, le mouvement vertical se répète à $2 Hz$ , loin de $f_{0} = 0, 5 Hz$ : pas de résonance verticale. Mais latéralement, le corps bascule à droite au pas droit puis à gauche au pas gauche : le cycle latéral complet ne se referme qu'après deux pas, donc à $f_{lat} = 1 Hz$ : deux fois plus proche de $f_{0}$ que le mode vertical. Sur une passerelle bondée la cadence tombe à environ un pas par seconde, et le cycle latéral se cale alors sur $0, 5 Hz$ , exactement $f_{0}$ : c'est ce mode latéral qui est entré en résonance.

4. Une troupe au pas cadencé concentre son énergie sur une fréquence unique ; si elle coïncide avec $f_{0}$ , l'amplification $\times Q$ peut endommager la structure. « Rompre le pas » étale les contributions sur des fréquences et des phases aléatoires : elles ne s'additionnent plus de façon cohérente, le pic de résonance n'est plus alimenté.

Important

Ce que ça nous apprend. Une excitation périodique, même faible, qui tombe sur la fréquence propre d'une structure peut produire une amplitude $Q$ fois plus grande : c'est la résonance. Désynchroniser l'excitation ou augmenter l'amortissement (réduire $Q$ ) suffit à l'éviter.

Exemple 4.16Le métronome qui bat la mesure (

⋆ ⋆

)

Un métronome mécanique est modélisé par un pendule : une tige porte une masselotte et oscille de part et d'autre de la verticale. Pour les petits angles, on l'assimile à un pendule simple de longueur $ℓ$ (distance pivot--masselotte). Le musicien règle le tempo en déplaçant la masselotte.

Établir l'équation du mouvement pour les petites oscillations et en déduire la période propre $T_{0}$ .
La masselotte est à $ℓ_{1} = 0, 25 m$ du pivot. Calculer $T_{0}$ puis le tempo (battements/minute), $g = 9, 81 m / s^{2}$ .
Le musicien veut un tempo deux fois plus rapide. À quelle distance $ℓ_{2}$ placer la masselotte ?
Pourquoi parle-t-on d'isochronisme ? Reste-t-il exact si l'amplitude augmente ?

Démonstration

1. Le théorème du moment cinétique au pivot donne, avec $θ$ l'angle à la verticale, $θ ¨ + \frac{g}{ℓ} sin θ = 0$ . Pour les petites oscillations, $sin θ ≃ θ$ , d'où $θ ¨ + ω_{0}^{2} θ = 0$ avec $ω_{0}^{2} = g / ℓ$ , soit

$T_{0} = 2 π \frac{ℓ}{g} .$

2. Pour $ℓ_{1} = 0, 25 m$ : $T_{0} = 2 π 0, 25/9, 81 ≃ 1, 0 s$ . Une demi-période sépare deux battements, donc le tempo vaut $\frac{120}{T _{0}} ≃ 120 bpm$ (Allegro).

3. Comme $T_{0} \propto ℓ$ , diviser la période par 2 (tempo $\times 2$ ) impose de diviser $ℓ$ par 4 :

$ℓ_{2} = \frac{ℓ _{1}}{4} ≃ 6, 3 cm .$

4. L'isochronisme : $T_{0}$ ne dépend pas de l'amplitude (toutes les petites oscillations durent autant), conséquence de $sin θ ≃ θ$ . Si l'amplitude croît, ce terme n'est plus linéaire et la période augmente légèrement ( $T \approx T_{0} (1 + θ_{m a x}^{2} /16)$ ) : l'isochronisme n'est qu'approché.

Important

Ce que ça nous apprend. La période d'un pendule ne dépend que de sa longueur et de $g$ , jamais de la masse ni (aux petits angles) de l'amplitude : c'est l'isochronisme qui en fait un bon garde-temps.

Exemple 4.17L'amortisseur de VTT : rebondir ou pas ? (

⋆ ⋆

)

Après une bosse, la roue d'un VTT est écartée de l'équilibre. La suspension est un système masse--ressort--amortisseur : le ressort (raideur $k$ ) rappelle, l'amortisseur (coefficient $h$ ) dissipe. Le réglage fixe le facteur de qualité $Q$ . On note $x (t)$ l'écart à l'équilibre.

Écrire l'équation sous la forme $x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0$ et exprimer $ω_{0}$ et $Q$ .
Nommer les trois régimes possibles selon $Q$ et décrire $x (t)$ .
Pour $m = 80 kg$ et $k = 2, 0 \times 1 0^{4} N / m$ , calculer le coefficient $h_{c}$ du régime critique.
Quel régime choisir pour un VTT de descente ? Justifier.

Démonstration

1. La RFD projetée donne $m x ¨ = - k x - h x ˙$ , soit $x ¨ + \frac{h}{m} x ˙ + \frac{k}{m} x = 0$ , d'où

$ω_{0} = k / m, Q = \frac{m ω _{0}}{h} = \frac{k m}{h} .$

2. Selon $Q$ : $Q > \frac{1}{2}$ pseudo-périodique (oscille en rebondissant) ; $Q = \frac{1}{2}$ critique (retour le plus rapide sans dépassement) ; $Q < \frac{1}{2}$ apériodique (retour lent, sans oscillation).

3. Régime critique : $Q = \frac{1}{2}$ , soit $h_{c} = 2 k m = 2 2, 0 \times 1 0^{4} \times 80 ≃ 2, 5 \times 1 0^{3} Ns / m$ . (On vérifie $ω_{0} = k / m ≃ 16 rad / s$ .)

4. En descente, on veut un retour rapide sans rebond (un rebond fait perdre l'adhérence). Le pseudo-périodique rebondit, l'apériodique est trop mou : le régime critique (ou très légèrement pseudo-périodique) est le meilleur compromis.

Important

Ce que ça nous apprend. Le facteur de qualité $Q$ décide de tout : trop grand elle rebondit, trop petit elle est molle ; l'amortissement critique ( $Q = \frac{1}{2}$ , $h = 2 k m$ ) ramène la roue au sol le plus vite possible sans osciller.

Exemple 4.18La balançoire qu'on pousse au bon moment (

⋆ ⋆

)

Un enfant sur une balançoire (cordes de longueur $ℓ = 2, 5 m$ ) oscille comme un pendule simple. Un parent veut amplifier le mouvement sans forcer : en poussant légèrement à chaque passage, l'amplitude croît énormément. C'est la résonance.

Calculer la période propre $T_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ ).
À quelle fréquence le parent doit-il pousser pour amplifier au maximum ? Pourquoi pousser « au bon moment » est-il essentiel ?
Expliquer énergétiquement le « pompage ».
Si le parent poussait à $f = 2 f_{0}$ , que se passerait-il en moyenne sur l'énergie ?

Démonstration

1. $T_{0} = 2 π ℓ / g = 2 π 2, 5/9, 81 \approx 3, 2 s$ , d'où $f_{0} = 1/ T_{0} \approx 0, 32 Hz$ .

2. L'amplitude d'un oscillateur forcé est maximale quand la fréquence d'excitation égale (à peu près) la fréquence propre (résonance). Le parent doit pousser à $f \approx f_{0} \approx 0, 32 Hz$ , soit une poussée par période, quand l'enfant s'éloigne (force et vitesse de même sens).

3. Le travail élémentaire de la poussée est $d W = F \cdot v d t$ . Si $F$ est dans le sens de $v$ , $d W > 0$ : à chaque période le parent injecte de l'énergie, qui s'accumule cycle après cycle (le « pompage »), jusqu'à compenser les pertes par frottement.

4. À $f = 2 f_{0}$ , sur une période propre la poussée est tantôt dans le sens de $v$ , tantôt opposée : $F \cdot v$ change de signe et $⟨ d W ⟩ \approx 0$ . L'énergie n'est pas transmise, l'amplitude ne croît pas.

Important

Ce que ça nous apprend. Amplifier un oscillateur ne demande pas de force, mais le bon rythme : exciter à la fréquence propre et en phase avec la vitesse fait croître l'amplitude — c'est la résonance.

Exemple 4.19Le sismographe : capter les tremblements de la Terre (

⋆ ⋆

)

Un sismographe est une masse $m = 1, 0 kg$ suspendue à un ressort ( $k = 40 N / m$ ) avec un amortisseur, fixée au sol. Quand le sol vibre, la masse, par inertie, reste presque immobile : on enregistre le mouvement relatif masse/sol.

Calculer la pulsation propre $ω_{0}$ et la fréquence propre $f_{0}$ .
Le coefficient d'amortissement vaut $λ = 4, 0 kg / s$ (force $- λ v$ ). Calculer $Q = \frac{m ω _{0}}{λ}$ . Le régime est-il faiblement ou fortement amorti ?
Pourquoi amortit-on volontairement l'instrument ? Que se passerait-il si $Q$ était très grand après une secousse ?
Quel ordre de grandeur de $Q$ recherche-t-on, et pourquoi $Q \approx 0, 7$ est-il un bon compromis ?

Démonstration

1. $ω_{0} = k / m = 40/1, 0 \approx 6, 3 rad / s$ , $f_{0} = ω_{0} /2 π \approx 1, 0 Hz$ (typique des ondes sismiques).

2. $Q = \frac{m ω _{0}}{λ} = \frac{1 , 0 \times 6 , 3}{4 , 0} \approx 1, 6$ . Comme $Q > \frac{1}{2}$ , le régime est pseudo-périodique, mais l'amortissement reste notable : à peine une ou deux oscillations visibles.

3. On amortit pour que l'instrument cesse vite d'osciller de lui-même. Si $Q$ était très grand, après une secousse la masse continuerait à osciller longtemps à $f_{0}$ : ces oscillations propres parasites masqueraient les secousses suivantes. L'amortissement tue le transitoire.

4. On cherche $Q \approx 0, 7$ (proche du critique) : assez amorti pour que les oscillations propres s'éteignent vite sans rebond, mais sans la lenteur de l'apériodique. La réponse en fréquence reste alors la plus plate possible autour de $f_{0}$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Pour un capteur, une résonance trop aiguë (grand $Q$ ) est un défaut : on amortit l'oscillateur ( $Q \approx 0, 7$ ) pour qu'il réponde vite et fidèlement sans « sonner » à sa propre fréquence.

Exemple 4.20Le verre brisé par la voix (

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)

Une chanteuse tient une note pure devant un verre en cristal. À $660 Hz$ exactement, le verre vibre de plus en plus fort jusqu'à éclater. Le verre se comporte comme un oscillateur amorti en régime forcé, d'amplitude

$X (ω) = \frac{X _{0}}{( 1 - \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}} ) ^{2} + \frac{1}{Q ^{2}} \frac{ω ^{2}}{ω _{0}^{2}}} .$

À quelle condition sur $Q$ existe-t-il une résonance d'amplitude ? Pour $Q ≫ 1$ , donner la pulsation de résonance $ω_{r}$ .
Calculer le facteur d'amplification $X (ω_{0}) / X_{0}$ . Comparer un verre ordinaire ( $Q \approx 30$ ) à un cristal de qualité ( $Q \approx 1000$ ).
La largeur de résonance vaut $Δ ω \approx ω_{0} / Q$ . Calculer, pour le cristal, l'écart $Δ f$ autour de $660 Hz$ à respecter. Pourquoi faut-il chanter très juste ?
Pourquoi un cristal de bonne qualité se brise-t-il plus facilement qu'un verre bon marché ?

Démonstration

1. Le dénominateur, avec $u = ω^{2} / ω_{0}^{2}$ , est $f (u) = (1 - u)^{2} + u / Q^{2}$ ; $f^{'} (u) = - 2 (1 - u) + 1/ Q^{2} = 0$ donne $u = 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}}$ , positif (résonance) seulement si

$Q > \frac{1}{2}, ω_{r} = ω_{0} 1 - \frac{1}{2 Q ^{2}} Q ≫ 1 ω_{r} \approx ω_{0} .$

2. À $ω = ω_{0}$ ( $u = 1$ ), le dénominateur vaut $1/ Q$ , donc $X (ω_{0}) / X_{0} = Q$ . Verre ordinaire : amplification $\approx 30$ . Cristal : $\approx 1000$ , soit plus de trente fois plus grand pour la même intensité sonore.

3. $Δ f \approx f_{0} / Q = 660 Hz /1000 \approx 0, 66 Hz$ : il faut tenir la note à mieux que $\pm 0, 33 Hz$ près. La résonance d'un grand $Q$ est extrêmement aiguë, d'où la nécessité de chanter parfaitement juste.

4. Grand $Q$ = faibles pertes : l'énergie injectée s'accumule au lieu d'être dissipée, l'amplitude atteint $Q$ fois l'amplitude statique. Le cristal, peu amorti, voit ses contraintes croître jusqu'à la rupture, alors qu'un verre ordinaire (grand amortissement) dissipe l'énergie et reste loin du seuil.

Important

Ce que ça nous apprend. À la résonance, l'amplitude vaut $Q$ fois la réponse statique : plus un oscillateur est peu amorti (grand $Q$ ), plus sa résonance est haute et étroite. La « pureté » du cristal, qui le rend sonore, est ce qui le rend fragile à la bonne fréquence.

Exemple 4.21L'amortisseur de masse accordée du gratte-ciel (

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)

Au sommet de la tour Taipei 101 ( $508 m$ ) est suspendue une sphère d'acier de $660 t$ , retenue par de longs câbles. Quand le vent fait osciller le bâtiment, ce gigantesque pendule oscille en opposition et absorbe l'énergie : c'est un amortisseur de masse accordée. La tour, modélisée par un oscillateur, a une période propre $T_{b} \approx 7, 0 s$ .

Donner la fréquence propre $f_{b}$ du bâtiment.
En modélisant la masse par un pendule simple de longueur $ℓ$ , exprimer sa fréquence propre $f_{0}$ . Quelle est la condition d'accord ?
En déduire la longueur de câble $ℓ$ . Compatible avec une suspension sur quelques étages ?
Pourquoi un pendule accordé sur la fréquence du bâtiment réduit-il l'amplitude de celui-ci ?

Démonstration

1. $f_{b} = \frac{1}{T _{b}} = \frac{1}{7 , 0 s} \approx 0, 14 Hz$ .

2. Pour un pendule simple, $T_{0} = 2 π ℓ / g$ , d'où $f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{g}{ℓ}$ . L'accord consiste à régler $ℓ$ pour que $f_{0} = f_{b}$ .

3. $f_{0} = f_{b}$ équivaut à $T_{0} = T_{b}$ , soit $ℓ = g (\frac{T _{b}}{2 π})^{2} = 9, 81 \times (\frac{7 , 0}{2 π})^{2} \approx 12 m$ . Une douzaine de mètres correspond bien à une suspension sur quelques étages — c'est l'ordre de grandeur réel de la tour Taipei 101.

4. Accordé sur la fréquence du bâtiment, le pendule oscille en opposition de phase ( $\approx 180°$ ) : la force qu'il exerce sur la structure s'oppose à son mouvement et lui prélève son énergie, ensuite dissipée. L'amplitude des oscillations du bâtiment s'en trouve fortement réduite.

Important

Ce que ça nous apprend. Accorder un oscillateur secondaire sur la fréquence propre de la structure permet de lui transférer l'énergie de vibration : c'est l'amortisseur de masse accordée, qui transforme la résonance en outil de stabilisation.

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Oscillateurs mécaniques

4.1 L'oscillateur harmonique

4.2 L'oscillateur amorti par frottement visqueux

4.3 Régime sinusoïdal forcé ; résonance

Méthode : Représentation complexe

Capacité numérique : Courbes de résonance selon Q

Méthode : Identifier ω0​ et Q expérimentalement

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.4 Exercices résolus

4.5 Synthèse du chapitre

4.6 Exercices d'entraînement

4.7 Problèmes contextualisés

Capacité numérique : Courbes de résonance selon $Q$

Méthode : Identifier $ω_{0}$ et $Q$ expérimentalement