Particules chargées dans un champ électrique ou magnétique

Cours complet · mécanique (MPSI), chapitre 5 · CPGE MPSI (1re année)

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Une particule portant une charge $q$ subit, en présence de champs électrique $E$ et magnétique $B$ , la force de Lorentz. Ce chapitre applique les lois de Newton à deux situations de référence, sur lesquelles il faut être parfaitement autonome : le mouvement dans un champ électrostatique uniforme (accélération constante, comme un projectile) et le mouvement dans un champ magnétostatique uniforme (mouvement circulaire). On verra une différence fondamentale entre les deux champs : l'un peut accélérer la particule (lui fournir de l'énergie), l'autre ne fait que courber sa trajectoire.

5.1 La force de Lorentz

Définition 5.1Force de Lorentz

Une particule de charge $q$ et de vitesse $v$ dans un référentiel, soumise aux champs $E$ (électrique) et $B$ (magnétique), subit la force

$F = q (E + v \land B)$

La partie $q E$ est la force électrique, la partie $q v \land B$ la force magnétique.

ImportantOrdres de grandeur

Pour un électron ( $q = - e$ , $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ) dans un champ $E = 1 \times 1 0^{4} V / m$ , la force électrique vaut $e E \approx 1, 6 \times 1 0^{- 15} N$ . Son poids vaut $m g \approx 8, 9 \times 1 0^{- 30} N$ . Le rapport est de l'ordre de $1 0^{14}$ : le poids des particules chargées est toujours négligeable devant les forces électromagnétiques.

5.2 Puissance de la force de Lorentz

◆Théorème 5.2La force magnétique ne travaille pas

La puissance de la force de Lorentz est

$P = F \cdot v = q E \cdot v + q (v \land B) \cdot v = q E \cdot v,$

car $(v \land B) ⊥ v$ . Ainsi :

un champ électrique peut modifier l'énergie cinétique (il travaille) : il accélère ou ralentit la particule ;
un champ magnétique a une puissance nulle : il courbe la trajectoire sans fournir d'énergie, la norme de la vitesse reste constante.

5.3 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

On considère une particule dans un champ $E$ uniforme et stationnaire (entre deux plaques par exemple). Le poids étant négligeable, le PFD donne

$m a = q E ⟹ a = \frac{q}{m} E = cte .$

Important

Le mouvement est à vecteur accélération constant : c'est, mathématiquement, le même problème que la chute d'un projectile (chapitre 1). Si la vitesse initiale n'est pas colinéaire à $E$ , la trajectoire est une parabole.

Méthode : Vitesse acquise sous une différence de potentiel

Le travail de la force électrique entre deux points portés aux potentiels $V_{A}$ et $V_{B}$ vaut $W = q (V_{A} - V_{B}) = q U$ . Le théorème de l'énergie cinétique donne, pour une particule partant du repos,

$\frac{1}{2} m v^{2} = q U ⟹ v = \frac{2 q U}{m} (q, U > 0) .$

C'est le principe du canon à électrons et des accélérateurs électrostatiques : on accélère une charge en la faisant « tomber » dans une différence de potentiel.

5.4 Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

On suppose maintenant $E = 0$ et $B$ uniforme, stationnaire, et la vitesse initiale $v_{0}$ perpendiculaire à $B$ .

◆Théorème 5.3Mouvement circulaire uniforme

La force magnétique ne travaillant pas, $v$ est constante. Le PFD $m a = q v \land B$ donne une force perpendiculaire à $v$ , de norme constante $∣ q ∣ v B$ : c'est une force centripète. La trajectoire est un cercle parcouru à vitesse constante, de rayon

$R = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$

et de pulsation cyclotron $ω_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{m}$ , indépendante de la vitesse.

iRemarque

Le sens de parcours dépend du signe de $q$ : pour $B$ sortant, une charge positive tourne dans le sens horaire, une charge négative dans le sens trigonométrique. Si $v_{0}$ possède une composante le long de $B$ , cette composante reste constante (la force est dans le plan perpendiculaire) et la trajectoire devient une hélice (cf. l'exercice de l'hélice, chapitre 1).

Capacité numérique : Trajectoire circulaire dans un champ magnétique

On intègre numériquement le mouvement d'une charge dans $B = B e_{z}$ , avec $v_{0} ⊥ B$ , par la méthode d'Euler (force de Lorentz $F = q v \land B$ ).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

q, m, B = -1.6e-19, 9.1e-31, 1.0e-3   # q = -e pour l'electron ; B selon z
vx, vy = 1.0e5, 0.0                   # v0 perpendiculaire a B
x, y = 0.0, 0.0
dt = 1.0e-11
X, Y = [x], [y]
for _ in range(4000):          #   un tour complet (T   3600 pas)
    # v ^ B avec B = B ez :  (v ^ B)_x = vy B , (v ^ B)_y = -vx B
    ax = (q * B / m) * vy
    ay = -(q * B / m) * vx
    vx, vy = vx + ax * dt, vy + ay * dt
    x, y = x + vx * dt, y + vy * dt
    X.append(x); Y.append(y)

plt.plot(X, Y); plt.axis("equal")
plt.xlabel("x (m)"); plt.ylabel("y (m)"); plt.show()

On obtient un cercle ; la méthode d'Euler explicite fait légèrement croître le rayon (l'énergie n'est pas exactement conservée), défaut qui diminue avec $d t$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Force de Lorentz (

⋆

)

Un proton ( $q = + e$ ) se déplace à $v = 2 \times 1 0^{6} m / s$ perpendiculairement à un champ $B = 0, 5 T$ . Calculer la force magnétique.

Démonstration

$F = ∣ q ∣ v B = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 2 \times 1 0^{6} \times 0, 5 = 1, 6 \times 1 0^{- 13} N$ . Elle est perpendiculaire à $v$ et à $B$ .

Exercice 2 : Force électrique contre gravité (

⋆

)

Comparer, pour un électron dans $E = 200 V / m$ , la force électrique et le poids.

Démonstration

$F_{e ˊ l} = e E = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 200 = 3, 2 \times 1 0^{- 17} N$ ; $P = m g = 9, 1 \times 1 0^{- 31} \times 9, 8 \approx 8, 9 \times 1 0^{- 30} N$ . Le rapport $F_{e ˊ l} / P \approx 4 \times 1 0^{12}$ : le poids est totalement négligeable.

Exercice 3 : Canon à électrons (

⋆ ⋆

)

Un électron part du repos et est accéléré sous une tension $U = 2, 0 kV$ . Calculer sa vitesse finale.

Démonstration

$\frac{1}{2} m v^{2} = e U$ , donc

$v = \frac{2 e U}{m} = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 2000}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 2, 7 \times 1 0^{7} m / s .$

Soit environ $9 %$ de la vitesse de la lumière (le traitement classique reste acceptable).

Exercice 4 : Déviation dans un champ électrique (

⋆ ⋆

)

Un électron entre avec une vitesse horizontale $v_{0}$ entre deux plaques de longueur $L$ créant un champ vertical $E$ . Établir la déviation verticale $Δ y$ à la sortie des plaques.

Démonstration

Le mouvement est à accélération constante $a = e E / m$ (verticale). Horizontalement $x = v_{0} t$ , donc le temps de traversée est $t_{s} = L / v_{0}$ . Verticalement $y = \frac{1}{2} a t^{2}$ , d'où

$Δ y = \frac{1}{2} \frac{e E}{m} (\frac{L}{v _{0}})^{2} = \frac{e E L ^{2}}{2 m v _{0}^{2}} .$

C'est le principe de déviation d'un oscilloscope analogique.

Exercice 5 : Rayon cyclotron d'un proton (

⋆ ⋆

)

Un proton de vitesse $v = 1 \times 1 0^{6} m / s$ entre perpendiculairement dans $B = 0, 20 T$ . Calculer le rayon de sa trajectoire et la période.

Démonstration

$R = \frac{m v}{e B} = \frac{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27} \times 1 0 ^{6}}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 0 , 20} \approx 5, 2 \times 1 0^{- 2} m$ , soit $\approx 5 cm$ . La période $T = \frac{2 π m}{e B} = \frac{2 π}{ω _{c}} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 7} s$ , indépendante de $v$ .

Exercice 6 : Période indépendante de la vitesse (

⋆ ⋆

)

Montrer que la période du mouvement cyclotron ne dépend pas de la vitesse de la particule. Quelle conséquence pour un cyclotron ?

Démonstration

$T = \frac{2 π R}{v} = \frac{2 π}{v} \cdot \frac{m v}{∣ q ∣ B} = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}$ : le $v$ se simplifie. La fréquence de révolution est donc fixe quelle que soit l'énergie : on peut accélérer les particules avec une tension alternative de fréquence constante (principe du cyclotron, tant que les effets relativistes sont négligeables).

Exercice 7 : Sens de parcours (

⋆ ⋆

)

Pour $B$ sortant du plan, déterminer le sens de rotation d'une charge positive puis d'une charge négative.

Démonstration

Pour $q > 0$ et $v$ vers le haut, $F = q v \land B$ pointe vers la droite (règle de la main droite) : la charge tourne dans le sens horaire. Pour $q < 0$ , la force est opposée : sens trigonométrique. Le sens de parcours renseigne donc sur le signe de la charge (utilisé en chambre à bulles).

Exercice 8 : Sélecteur de vitesse (

⋆ ⋆ ⋆

)

Des particules chargées traversent une région où règnent $E$ et $B$ perpendiculaires entre eux et à $v$ (champs croisés). Montrer que seules les particules d'une certaine vitesse traversent en ligne droite.

Démonstration

Pour un mouvement rectiligne uniforme, la force totale doit être nulle : $q E + q v \land B = 0$ . Les forces électrique et magnétique étant opposées, leurs normes s'égalent : $q E = q v B$ , soit

$v = \frac{E}{B} .$

Seules les particules de vitesse $v = E / B$ ne sont pas déviées : c'est le sélecteur de vitesse (filtre de Wien), indépendamment de la charge et de la masse. On l'utilise en amont d'un spectromètre de masse.

5.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Force de Lorentz : $F = q (E + v \land B)$ ; le poids est négligeable devant elle.
Puissance : $P = q E \cdot v$ . Le champ magnétique ne travaille pas (courbe sans accélérer) ; le champ électrique peut modifier $E_{c}$ .
Champ $E$ uniforme : $a = \frac{q}{m} E$ constant (trajectoire parabolique) ; vitesse acquise sous $U$ : $v = 2 q U / m$ .
Champ $B$ uniforme, $v_{0} ⊥ B$ : mouvement circulaire uniforme, rayon $R = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$ , pulsation cyclotron $ω_{c} = \frac{∣ q ∣ B}{m}$ et période $\frac{2 π m}{∣ q ∣ B}$ indépendantes de $v$ ; sens selon le signe de $q$ .

5.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un ion $N a^{+}$ se déplace à $3 \times 1 0^{5} m / s$ dans $B = 0, 1 T$ perpendiculaire. Calculer la force.

( $⋆$ ) Quelle ddp accélère un proton initialement au repos jusqu'à $1 \times 1 0^{6} m / s$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Reprendre la déviation entre plaques (exercice 4) et calculer la déviation totale sur un écran placé à distance $D$ après les plaques.

( $⋆ ⋆$ ) Un électron décrit un cercle de rayon $3 cm$ dans $B = 2 mT$ . Quelle est sa vitesse ? Son énergie cinétique en $eV$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Comparer les rayons cyclotron d'un proton et d'un électron de même vitesse dans le même champ. Commenter.

( $⋆ ⋆$ ) Une particule entre dans $B$ avec une vitesse faisant un angle $α$ avec $B$ . Décrire la trajectoire (hélice) et donner le pas.

( $⋆ ⋆$ ) Spectromètre de masse : après un sélecteur de vitesse, les ions de vitesse $v$ entrent dans un champ $B^{'}$ . Montrer que le rayon $R = m v / (q B^{'})$ permet de séparer les isotopes (masses différentes).

( $⋆ ⋆$ ) Justifier que dans un champ magnétique seul, $v$ et $E_{c}$ sont rigoureusement constantes.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À partir de l'encadré numérique, augmenter $d t$ et observer la dérive du rayon ; proposer une amélioration (pas plus petit, schéma mieux adapté).

( $⋆ ⋆$ ) Champs $E$ et $B$ parallèles : décrire qualitativement le mouvement (combinaison d'une accélération le long du champ et d'une rotation).

( $⋆ ⋆$ ) Un cyclotron accélère des protons. La fréquence de la tension alternative étant fixe, expliquer pourquoi le rayon croît à chaque tour.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir, par projection du PFD $m a = q v \land B$ sur les axes du plan, les équations couplées du mouvement et retrouver la pulsation cyclotron $ω_{c} = ∣ q ∣ B / m$ .

5.8 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve les notions du chapitre à l'œuvre dans des dispositifs et phénomènes concrets.

Exemple 5.12L'oscilloscope cathodique : écrire avec un faisceau d'électrons (

⋆ ⋆

)

Dans un tube cathodique, un électron part du repos et est accéléré sous une tension $U_{0} = 2000 V$ . Il pénètre ensuite, à la vitesse $v_{0}$ , entre deux plaques horizontales distantes de $d = 2, 0 cm$ et de longueur $ℓ = 4, 0 cm$ , soumises à une tension $U = 200 V$ qui crée un champ $E$ vertical uniforme. À la sortie, le faisceau frappe un écran situé à $D = 20 cm$ de la sortie des plaques.

Pourquoi le poids de l'électron est-il négligeable devant la force électrique ? Vers quelle plaque l'électron est-il dévié ?
Établir l'expression de la vitesse d'entrée $v_{0}$ en fonction de $e$ , $m_{e}$ , $U_{0}$ , puis la calculer.
Montrer que la trajectoire entre les plaques est une parabole et donner $y (x)$ .
Calculer la déviation $Y$ du spot sur l'écran. Est-elle proportionnelle à la tension $U$ ?

Démonstration

1. La force électrique vaut $e E = e U / d \approx 1, 6 \times 1 0^{- 15} N$ , le poids $m_{e} g \approx 9 \times 1 0^{- 30} N$ : le rapport est de l'ordre de $1 0^{14}$ , le poids est négligeable. L'électron, de charge $- e$ , subit $F = - e E$ , opposée à $E$ : il est dévié vers la plaque positive.

2. L'accélération donne $\frac{1}{2} m_{e} v_{0}^{2} = e U_{0}$ , d'où

$v_{0} = \frac{2 e U _{0}}{m _{e}} \approx 2, 7 \times 1 0^{7} m / s .$

3. Entre les plaques, $a = \frac{e U}{m _{e} d} e_{y}$ ; avec une entrée en $O$ à $v_{0} e_{x}$ : $x (t) = v_{0} t$ , $y (t) = \frac{1}{2} \frac{e U}{m _{e} d} t^{2}$ , d'où

$y (x) = \frac{e U}{2 m _{e} d v _{0}^{2}} x^{2},$

une parabole.

4. La déviation sur l'écran vaut

$Y = \frac{U ℓ}{2 U _{0} d} (\frac{ℓ}{2} + D) \approx \frac{200 \times 0 , 04}{2 \times 2000 \times 0 , 02} \times (0, 02 + 0, 20) \approx 2, 2 cm .$

$Y$ est proportionnelle à $U$ : c'est ce qui permet de « lire » une tension sur l'écran.

Important

Ce que ça nous apprend. L'oscilloscope convertit une tension en déplacement visible du spot grâce à la déviation parabolique d'un faisceau d'électrons ; comme $Y \propto U$ , il trace fidèlement des signaux électriques.

Exemple 5.13Le spectromètre de masse : trier les isotopes du chlore (

⋆ ⋆

)

Pour séparer les isotopes $^{35} Cl$ et $^{37} Cl$ , on les ionise une fois ( $q = + e$ ), on les accélère sous $U = 1000 V$ , puis on les envoie dans un champ magnétique uniforme $B$ ( $B = 0, 10 T$ ) perpendiculaire à la vitesse. Chaque ion décrit un demi-cercle avant de frapper un détecteur. On note $m_{35} \approx 5, 8 \times 1 0^{- 26} kg$ , $m_{37} \approx 6, 1 \times 1 0^{- 26} kg$ .

La force magnétique travaille-t-elle ? Qu'en déduit-on sur la norme de la vitesse et la forme de la trajectoire ?
Exprimer la vitesse $v$ acquise après accélération, puis le rayon $R$ du cercle, en fonction de $m$ , $e$ , $U$ , $B$ .
Calculer $R_{35}$ et $R_{37}$ . À quelle distance $Δ$ les deux isotopes frappent-ils le détecteur ?
Comment augmenter l'écart $Δ$ pour mieux distinguer les deux taches ?

Démonstration

1. La force magnétique $F = q v \land B$ est perpendiculaire à $v$ : sa puissance est nulle, elle ne travaille pas. La norme $v$ reste constante ; avec une force de norme constante toujours perpendiculaire à $v$ , le mouvement est circulaire uniforme.

2. $\frac{1}{2} m v^{2} = e U \Rightarrow v = \frac{2 e U}{m}$ , et $\frac{m v ^{2}}{R} = e v B$ donne

$R = \frac{m v}{e B} = \frac{1}{B} \frac{2 m U}{e} .$

Le rayon croît comme $m$ : les ions lourds tournent plus large.

3. $R_{35} \approx 0, 269 m$ , $R_{37} \approx 0, 276 m$ . Les ions reviennent sur la ligne d'entrée à la distance $2 R$ , d'où

$Δ = 2 (R_{37} - R_{35}) \approx 1, 4 cm .$

4. Comme $Δ = \frac{2}{B} \frac{2 U}{e} (m_{37} - m_{35})$ , on augmente l'écart en diminuant $B$ ou en augmentant $U$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Dans un champ magnétique, $R = \frac{1}{B} 2 m U / e$ ne dépend de l'ion que par sa masse : des isotopes de même charge se trient par leur masse. C'est le principe du spectromètre de masse.

Exemple 5.14Le cyclotron : accélérer des protons pour soigner (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans un centre de protonthérapie, un cyclotron accélère des protons pour détruire des tumeurs. Les protons décrivent des demi-cercles dans deux électrodes creuses (les « dees ») plongées dans un champ magnétique uniforme $B = B e_{z}$ vertical ( $B = 2, 0 T$ ). À chaque traversée de l'espace entre les dees, une tension les accélère.

Dans un dee, montrer que le mouvement est circulaire uniforme et exprimer le rayon $R = \frac{m _{p} v}{e B}$ .
Calculer la pulsation cyclotron $ω_{c} = \frac{e B}{m _{p}}$ et la période $T$ . Pourquoi sont-elles indépendantes de $v$ ? En quoi est-ce le secret du cyclotron ?
Le proton sort quand $R = 0, 50 m$ . Calculer $v$ , puis son énergie cinétique en joules et en MeV.
La tension vaut $U = 50 kV$ , franchie deux fois par tour. Combien de tours pour atteindre cette énergie ?

Démonstration

1. La force $F = e v \land B$ est perpendiculaire à $v$ : elle ne travaille pas, $v$ est constante. Comme $v ⊥ B$ , elle est centripète de norme $e v B$ : $\frac{m _{p} v ^{2}}{R} = e v B$ , d'où $R = \frac{m _{p} v}{e B}$ .

2. $ω_{c} = \frac{v}{R} = \frac{e B}{m _{p}} \approx 1, 9 \times 1 0^{8} rad / s$ , $T = \frac{2 π m _{p}}{e B} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 8} s$ . Le rayon grandit proportionnellement à $v$ , si bien que la durée d'un demi-tour $π m_{p} / (e B)$ ne dépend pas de $v$ : la tension peut être commutée à fréquence FIXE ( $f \approx 30 M Hz$ ) et reste toujours synchrone — c'est le principe du cyclotron.

3. $v = \frac{e B R}{m _{p}} \approx 9, 6 \times 1 0^{7} m / s$ ; $E_{c} = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} \approx 7, 7 \times 1 0^{- 12} J \approx 48 M eV$ (avec $v / c \approx 0, 32$ , le traitement classique reste raisonnable).

4. À chaque tour, $Δ E = 2 e U = 1, 6 \times 1 0^{- 14} J$ ( $= 0, 10 M eV$ ), d'où $N = \frac{E _{c}}{Δ E} \approx 480 tours$ .

Important

Ce que ça nous apprend. La période cyclotron $T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}$ est indépendante de la vitesse : on accélère un proton avec une tension de fréquence fixe sur des centaines de tours, jusqu'aux dizaines de MeV utiles pour irradier une tumeur.

Exemple 5.15Les aurores boréales : spirale vers les pôles (

⋆ ⋆

)

Le vent solaire projette des protons vers la Terre. Dans la magnétosphère, le champ terrestre vaut $B = B e_{z}$ ( $B = 5, 0 \times 1 0^{- 5} T$ ). Un proton arrive avec $v_{0} = v_{⊥} e_{x} + v_{∥} e_{z}$ , où $v_{⊥} = 3, 0 \times 1 0^{5} m / s$ et $v_{∥} = 1, 0 \times 1 0^{5} m / s$ .

Montrer que la composante de $v$ le long de $B$ reste constante, tandis que la composante perpendiculaire décrit un cercle. En déduire que la trajectoire est une hélice.
Calculer le rayon de Larmor $R$ et la période $T$ de rotation.
Calculer le pas de l'hélice (distance le long de $B$ par période).
La force magnétique change-t-elle $v_{0}$ ? Justifier, puis calculer cette norme.

Démonstration

1. $F = e v \land B$ avec $B = B e_{z}$ n'a pas de composante selon $e_{z}$ : $m_{p} v ˙_{z} = 0$ , donc $v_{∥} = constante$ . Dans le plan $(e_{x}, e_{y})$ , $v_{⊥}$ subit une force perpendiculaire de norme constante $e v_{⊥} B$ : mouvement circulaire uniforme. Cercle $⊥$ + translation uniforme $v_{∥}$ = hélice d'axe $B$ .

2. $R = \frac{m _{p} v _{⊥}}{e B} \approx 63 m$ , $T = \frac{2 π m _{p}}{e B} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 3} s$ .

3. $p = v_{∥} T \approx 1, 3 \times 1 0^{2} m$ .

4. La force magnétique est $⊥ v$ , sa puissance est nulle : $v$ ne change pas. $v_{0} = v_{⊥}^{2} + v_{∥}^{2} \approx 3, 2 \times 1 0^{5} m / s$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Quand $v$ a une composante le long de $B$ , le mouvement est une hélice (cercle + translation). Les protons du vent solaire spiralent ainsi le long des lignes du champ terrestre et plongent vers les pôles, où ils allument les aurores boréales.

Exemple 5.16L'imprimante à jet d'encre : écrire avec des gouttelettes (

⋆ ⋆

)

Dans une imprimante à jet d'encre à déviation continue, de fines gouttelettes sont électrisées par une charge $q$ ajustable. Lancées à $v_{0} = 18 m / s$ selon $e_{x}$ , elles entrent entre deux plaques (longueur $L = 1, 5 cm$ , écart $d = 2, 0 mm$ ) sous une tension $U = 1500 V$ créant un champ $E$ transverse. C'est la charge $q$ qui décide du point d'impact.

Exprimer $E$ entre les plaques, puis la force sur une goutte de charge $q > 0$ (poids négligé).
Établir la trajectoire $y (x)$ dans les plaques. Nature ?
Exprimer la déviation $y_{s}$ à la sortie. Montrer que $y_{s} \propto q$ .
Pour $m = 1, 3 \times 1 0^{- 10} kg$ et $q = 1, 0 \times 1 0^{- 13} C$ , calculer $y_{s}$ .
Pourquoi $y_{s} \propto q$ est-il la clé du pilotage de l'impression ?

Démonstration

1. Champ uniforme, dirigé de $+$ vers $-$ : $E = U / d = 7, 5 \times 1 0^{5} V / m$ . Force $F = q E$ .

2. $x = v_{0} t$ ; $m y ¨ = - q U / d$ donne $y = - \frac{1}{2} \frac{q U}{m d} t^{2}$ , soit $y (x) = - \frac{q U}{2 m d v _{0}^{2}} x^{2}$ , une parabole (le champ $E$ joue le rôle de la pesanteur).

3. À $x = L$ : $y_{s} = \frac{q U L ^{2}}{2 m d v _{0}^{2}} \propto q$ (tout le reste est fixé par la machine).

4. $y_{s} \approx 2, 0 \times 1 0^{- 4} m (\approx 0, 20 mm)$ .

5. Puisque $y_{s} \propto q$ , contrôler la charge de chaque goutte suffit à choisir sa position d'impact : on « dessine » en modulant $q$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Un champ électrique uniforme transforme une particule chargée en projectile parabolique dont la déviation est proportionnelle à la charge ; ce levier $y_{s} \propto q$ permet d'adresser chaque goutte par un simple réglage électrique.

Exemple 5.17La télé à tube cathodique : courber le faisceau pour balayer l'écran (

⋆ ⋆

)

Dans un téléviseur cathodique, un canon accélère les électrons sous $U = 2, 0 \times 1 0^{4} V$ , puis des bobines créent un champ magnétique $B$ transverse qui courbe le faisceau pour le promener sur tout l'écran. Là où l'oscilloscope dévie avec des plaques (petits angles), la TV emploie la déviation magnétique (grands angles).

Exprimer puis calculer la vitesse $v$ à la sortie du canon.
Dans les bobines, $B = B e_{z}$ uniforme et $v ⊥ B$ . Montrer que la trajectoire est un cercle et exprimer $R$ .
Calculer $R$ pour $B = 1, 0 \times 1 0^{- 3} T$ .
Pour une zone de déviation $ℓ = 3, 0 cm$ , estimer l'angle $θ$ . Commenter par rapport à l'oscilloscope.

Démonstration

1. $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e U$ , d'où $v = \frac{2 e U}{m _{e}} \approx 8, 4 \times 1 0^{7} m / s$ .

2. $F = - e v \land B$ est $⊥ v$ (ne travaille pas, $v$ constante) ; avec $v ⊥ B$ elle est centripète de norme $e v B$ : $e v B = \frac{m _{e} v ^{2}}{R}$ , d'où $R = \frac{m _{e} v}{e B}$ .

3. $R \approx 0, 48 m$ .

4. $θ \approx \frac{ℓ}{R} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{0 , 48} \approx 0, 063 rad \approx 3, 6^{\circ}$ pour ce champ ; en augmentant $B$ on réduit $R$ et on atteint les grands angles ( $\sim 5 0^{\circ}$ ) nécessaires pour couvrir l'écran. La déviation électrique de l'oscilloscope reste limitée aux petits angles : d'où le choix de la déviation magnétique pour la TV.

Important

Ce que ça nous apprend. Un champ magnétique courbe un faisceau d'électrons en un cercle $R = \frac{m _{e} v}{e B}$ sans changer sa vitesse ; en jouant sur $B$ (courant des bobines), on obtient les grands angles de déviation que la déviation électrique ne permet pas.

Exemple 5.18Le mur invisible du tokamak (

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)

Au cœur du réacteur de fusion ITER, un plasma est porté à plus de cent millions de degrés : aucun matériau ne pourrait le contenir. La solution : un champ magnétique intense qui force chaque noyau chargé à s'enrouler en hélice autour des lignes de champ. On considère un noyau de deutérium ( $q = e$ , $m = 3, 3 \times 1 0^{- 27} kg$ ) de vitesse $v$ dans $B = B e_{x}$ ( $B = 5, 0 T$ ), avec $v = v_{∥} e_{x} + v_{⊥} e_{y}$ .

Montrer que la force magnétique ne travaille pas, donc que $v$ est constante.
Pourquoi $v_{∥}$ n'est-il pas affecté, et pourquoi la projection dans $(e_{y}, e_{z})$ est-elle un cercle ? Conclure : hélice.
Établir le rayon de Larmor $R = \frac{m v _{⊥}}{e B}$ . Le calculer pour $v_{⊥} = 1, 0 \times 1 0^{6} m / s$ .
Par quel facteur multiplier $B$ pour diviser $R$ par deux ? Conclure sur le confinement.

Démonstration

1. $P = F \cdot v = q (v \land B) \cdot v = 0$ : $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = 0$ , donc $v = cte$ .

2. $F = q v \land B e_{x}$ n'a pas de composante selon $e_{x}$ : $v_{∥}$ est constante. Dans $(e_{y}, e_{z})$ , la force de norme constante $e v_{⊥} B$ est $⊥$ à la vitesse transverse : cercle. Cercle + translation uniforme = hélice.

3. $e v_{⊥} B = \frac{m v _{⊥}^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v _{⊥}}{e B} \approx 4, 1 \times 1 0^{- 3} m \approx 4, 1 mm$ .

4. $R \propto 1/ B$ : pour diviser $R$ par deux, il faut $doubler B$ . Un champ plus intense resserre l'hélice et maintient les noyaux loin des parois.

Important

Ce que ça nous apprend. Une particule chargée s'enroule en hélice autour des lignes de champ, avec un rayon de Larmor d'autant plus petit que $B$ est grand : c'est le principe du confinement magnétique dans un tokamak.

Exemple 5.19Thomson pèse l'électron (1897) (

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)

À Cambridge, J. J. Thomson fait passer des « rayons cathodiques » dans une région où règnent un champ électrique $E$ et un champ magnétique $B$ croisés. En réglant les deux champs pour que le faisceau ne soit plus dévié, il mesure le rapport charge/masse de la particule et découvre l'électron. On note $q = - e$ , $v = v e_{x}$ , $E = E e_{y}$ , $B = B e_{z}$ , avec $E = 2, 0 \times 1 0^{4} V / m$ et $B = 2, 0 \times 1 0^{- 3} T$ .

Exprimer les forces électrique et magnétique. Montrer qu'elles sont colinéaires (selon $e_{y}$ ) et opposées.
Condition pour que le faisceau aille tout droit ? En déduire $v = E / B$ et la calculer.
On coupe $E$ : seul $B$ subsiste, l'électron décrit un arc de rayon $R$ . Établir $\frac{e}{m} = \frac{v}{R B}$ .
Pour $R = 4, 3 \times 1 0^{- 2} m$ , calculer $e / m$ et vérifier l'ordre de grandeur ( $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ).

Démonstration

1. $F_{e} = q E = - e E e_{y}$ (vers le bas). $F_{m} = q v \land B = - e (v e_{x}) \land (B e_{z}) = + e v B e_{y}$ (vers le haut, car $e_{x} \land e_{z} = - e_{y}$ ). Toutes deux selon $e_{y}$ , de sens opposés.

2. Faisceau non dévié : $e E = e v B$ , d'où $v = \frac{E}{B} = 1, 0 \times 1 0^{7} m / s$ .

3. Avec $B$ seul, $e v B = \frac{m v ^{2}}{R}$ , d'où $e B = \frac{m v}{R}$ , soit $\frac{e}{m} = \frac{v}{R B}$ .

4. $\frac{e}{m} \approx 1, 2 \times 1 0^{11} C / kg$ . Vérification : $\frac{e}{m _{e}} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 8 \times 1 0^{11} C / kg$ , du bon ordre de grandeur ( $\sim 1 0^{11}$ ).

Important

Ce que ça nous apprend. En équilibrant force électrique et force magnétique dans des champs croisés, on sélectionne $v = E / B$ ; la déviation magnétique seule livre alors $e / m$ . C'est ainsi que Thomson identifia l'électron en 1897.

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