Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Le mouvement des planètes, des comètes et des satellites relève d'une même classe : les forces centrales conservatives, dont la plus célèbre est l'attraction newtonienne en $1/r^2$. Deux conservations gouvernent ces mouvements : le moment cinétique (vu au chapitre 6, il impose un mouvement plan et la loi des aires) et l'énergie mécanique (qui, via l'énergie potentielle effective, ramène l'étude à un problème à une dimension).

On en déduira les lois de Kepler, l'étude du mouvement circulaire, l'énergie des orbites et l'application aux satellites terrestres (en particulier le satellite géostationnaire).

7.1 Force centrale : conservation du moment cinétique

7.2 Force centrale conservative : énergie potentielle effective

Si la force centrale est conservative, elle dérive d'une énergie potentielle $E_{\mathrm{p}}(r)$ et l'énergie mécanique se conserve. En polaires, la vitesse a pour carré $v^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$, d'où

$$E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\theta }}^2+E_{\mathrm{p}}(r).$$

En utilisant $r^2\dot{\theta }=C$ (donc $r^2{\dot{\theta }}^2=C^2/r^2$) :