Mouvement d'un solide

Cours complet · mécanique (PTSI), chapitre 8 · CPGE PTSI (1re année)

Jusqu'ici, on a modélisé les corps par des points matériels. Mais une roue, un pendule réel, une porte ne se réduisent pas à un point : ce sont des solides étendus, dont il faut décrire la rotation. Ce dernier chapitre étudie deux mouvements particuliers du solide — la translation et la rotation autour d'un axe fixe — et introduit la grandeur clé de la dynamique de rotation : le moment d'inertie.

Le théorème scalaire du moment cinétique fournit alors l'« équivalent rotationnel » du principe fondamental de la dynamique, et permet d'étudier le pendule pesant, généralisation du pendule simple à un solide réel.

AttentionCadre du programme

On se limite à deux cas : la translation et la rotation autour d'un axe fixe (dans un référentiel galiléen). L'étude générale d'un solide en mouvement quelconque (axe de rotation lui-même en mouvement, référentiel barycentrique) est hors programme ; le roulement sans glissement abordé plus loin en application, qui couple les deux mouvements via $v = R ω$ , est présenté comme un complément.

8.1 Description du mouvement d'un solide

Définition 8.1Solide

Un solide (indéformable) est un système de points dont les distances mutuelles restent constantes au cours du temps. Un système déformable (ressort, fluide, corps qui se plie) ne vérifie pas cette propriété.

Définition 8.2Translation

Dans une translation, tous les points du solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse (et donc la même accélération). La translation est rectiligne si les trajectoires sont des droites, circulaire si ce sont des cercles (mais alors le solide ne tourne pas sur lui-même : une nacelle de grande roue reste verticale).

Définition 8.3Rotation autour d'un axe fixe

Dans une rotation autour d'un axe fixe $Δ$ , chaque point décrit un cercle centré sur l'axe. Tous les points ont la même vitesse angulaire $ω = θ ˙$ ; un point situé à la distance $d$ de l'axe a une vitesse

$v = d ω .$

8.2 Moment cinétique d'un solide ; moment d'inertie

Définition 8.4Moment d'inertie

Pour un solide en rotation autour d'un axe $Δ$ à la vitesse angulaire $ω$ , le moment cinétique scalaire est

$L_{Δ} = J_{Δ} ω$

où $J_{Δ} = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$ (intégrale $\int r^{2} d m$ en pratique) est le moment d'inertie par rapport à $Δ$ , en $kg m^{2}$ . Il joue, pour la rotation, le rôle de la masse pour la translation.

Important

Le moment d'inertie est d'autant plus grand que la masse est répartie loin de l'axe. Une même masse concentrée à la périphérie d'une roue a un moment d'inertie bien supérieur à celle ramassée près de l'axe : c'est pourquoi un patineur qui ramène les bras tourne plus vite (à $L_{Δ}$ conservé, $ω$ augmente quand $J$ diminue). En pratique, $J_{Δ}$ sera fourni.

Définition 8.5Couple, liaison pivot

Un couple est une action mécanique de résultante nulle mais de moment non nul (deux forces opposées de droites d'action distinctes) ; son moment est indépendant du point. Une liaison pivot guide la rotation autour de $Δ$ ; parfaite, elle n'exerce aucun moment selon l'axe (sa contribution au TMC scalaire est nulle).

8.3 Théorème scalaire du moment cinétique pour le solide

◆Théorème 8.6TMC scalaire

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $Δ$ dans un référentiel galiléen :

$\frac{d L _{Δ}}{d t} = J_{Δ} θ ¨ = \sum M_{Δ} (F_{ext})$

C'est l'analogue rotationnel du PFD : le moment d'inertie remplace la masse, l'accélération angulaire remplace l'accélération, le moment des forces remplace la force.

8.4 Le pendule pesant

Définition 8.7Pendule pesant

Un pendule pesant est un solide mobile autour d'un axe horizontal $Δ$ ne passant pas par son centre de masse $G$ . On note $d = O G$ la distance de l'axe à $G$ , et $θ$ l'angle de $O G$ avec la verticale.

Méthode : Équation du pendule pesant

La liaison pivot (parfaite) a un moment nul selon $Δ$ ; seul le poids, appliqué en $G$ , contribue, avec un bras de levier $d sin θ$ . Le TMC scalaire donne

$J_{Δ} θ ¨ = - m g d sin θ ⟹ θ ¨ + \frac{m g d}{J _{Δ}} sin θ = 0.$

Pour de petites oscillations, $θ ¨ + ω_{0}^{2} θ = 0$ avec

$ω_{0} = \frac{m g d}{J _{Δ}}, T_{0} = 2 π \frac{J _{Δ}}{m g d} .$

On retrouve le pendule simple dans le cas $J_{Δ} = m ℓ^{2}$ , $d = ℓ$ .

Proposition 8.8Intégrale première et bilan énergétique

En l'absence de frottement, en multipliant l'équation par $θ ˙$ et en intégrant, on obtient une intégrale première (conservation de l'énergie) :

$\frac{1}{2} J_{Δ} θ ˙^{2} + m g d (1 - cos θ) = E_{m} = cte .$

S'il existe un frottement (de moment $- λ θ ˙$ ), l'énergie mécanique diminue : $\frac{d E _{m}}{d t} = - λ θ ˙^{2} \leq 0$ , et les oscillations s'amortissent (oscillateur amorti, chapitre 4).

Capacité numérique : Non-isochronisme des oscillations

Aux grandes amplitudes, le terme $sin θ$ (non linéaire) rend la période dépendante de l'amplitude : c'est le non-isochronisme. On le met en évidence en intégrant l'équation complète pour deux amplitudes.


import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

w0 = 2.0      # pulsation des petites oscillations (rad/s)

def champ(Y, t):
    theta, omega = Y
    return [omega, -w0**2 * np.sin(theta)]    # pendule NON lineaire

t = np.linspace(0.0, 12.0, 3000)
for th0 in (0.2, 2.0):        # petite puis grande amplitude (rad)
    sol = odeint(champ, [th0, 0.0], t)
    plt.plot(t, sol[:, 0], label="theta0 = %.1f rad" % th0)
plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("theta (rad)"); plt.legend(); plt.show()

La grande amplitude oscille plus lentement : sa période dépasse $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ . À petite amplitude, les deux courbes auraient même période (isochronisme retrouvé).

8.5 Approche énergétique de la rotation

Définition 8.9Énergie cinétique de rotation

L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $Δ$ est

$E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$

( $J_{Δ}$ étant fourni). C'est l'analogue de $\frac{1}{2} m v^{2}$ .

Proposition 8.10Équivalence TMC -- énergie cinétique

La puissance d'un moment $M_{Δ}$ est $P = M_{Δ} ω$ . Le théorème de l'énergie cinétique $\frac{d E _{c}}{d t} = \sum P$ donne $J_{Δ} ω θ ¨ = (\sum M_{Δ}) ω$ , soit, après simplification par $ω$ , le TMC scalaire $J_{Δ} θ ¨ = \sum M_{Δ}$ . Les deux approches sont équivalentes pour un solide en rotation autour d'un axe fixe.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>8.6 Exercices résolus

Exercice 1 : Vitesse des points d'une roue (

⋆

)

Une roue de rayon $R = 30 cm$ tourne à $ω = 10 rad / s$ . Quelle est la vitesse d'un point de la jante ? D'un point situé à mi-rayon ?

Démonstration

Jante : $v = R ω = 0, 30 \times 10 = 3, 0 m / s$ . À mi-rayon ( $d = R /2$ ) : $v = 0, 15 \times 10 = 1, 5 m / s$ . La vitesse est proportionnelle à la distance à l'axe ; le centre est immobile.

Exercice 2 : Répartition des masses (

⋆

)

Comparer qualitativement les moments d'inertie d'un disque plein et d'un anneau de même masse et même rayon, par rapport à leur axe.

Démonstration

L'anneau a toute sa masse au rayon maximal $R$ : $J_{anneau} = m R^{2}$ . Le disque a de la masse répartie de $0$ à $R$ : $J_{disque} = \frac{1}{2} m R^{2} < J_{anneau}$ . Pour une même masse, éloigner la matière de l'axe augmente $J$ .

Exercice 3 : Disque entraîné par un couple (

⋆ ⋆

)

Un disque de moment d'inertie $J = 0, 05 kg m^{2}$ est soumis à un couple moteur $M = 0, 2 Nm$ . Déterminer son accélération angulaire et le temps pour atteindre $120 rad / s$ depuis le repos.

Démonstration

Le TMC donne $J θ ¨ = M$ , soit $θ ¨ = M / J = 0, 2/0, 05 = 4 rad / s^{2}$ . Pour atteindre $ω = 120$ : $t = ω / θ ¨ = 120/4 = 30 s$ .

Exercice 4 : Pendule pesant (tige) (

⋆ ⋆

)

Une tige homogène de masse $m$ , longueur $L$ , oscille autour d'une extrémité. Son moment d'inertie est $J = \frac{1}{3} m L^{2}$ et son centre de masse est à $d = L /2$ . Déterminer la période des petites oscillations.

Démonstration

$ω_{0} = \frac{m g d}{J} = \frac{m g ( L /2 )}{\frac{1}{3} m L ^{2}} = \frac{3 g}{2 L}$ . La période est

$T_{0} = 2 π \frac{2 L}{3 g} .$

Plus courte que celle d'un pendule simple de longueur $L$ ( $2 π L / g$ ) : la tige oscille plus vite.

Exercice 5 : Énergie cinétique d'un volant (

⋆ ⋆

)

Un volant d'inertie $J = 2, 0 kg m^{2}$ tourne à $ω = 50 rad / s$ . Quelle énergie stocke-t-il ? Quel couple de freinage constant l'arrête en $10 s$ ?

Démonstration

$E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{2} \times 2, 0 \times 5 0^{2} = 2500 J$ . Le freinage : $θ ¨ = - ω / t = - 5 rad / s^{2}$ , donc $∣ M ∣ = J θ ¨ = 2, 0 \times 5 = 10 Nm$ .

Exercice 6 : Treuil (

⋆ ⋆

)

Une masse $m$ pend à un fil enroulé sur une poulie (moment d'inertie $J$ , rayon $R$ ) tournant librement. Déterminer l'accélération de la masse.

Démonstration

Pour la masse : $ma = m g - T$ ( $T$ tension). Pour la poulie (TMC) : $J θ ¨ = T R$ , avec $a = R θ ¨$ (fil inextensible). On élimine $T$ : $J \frac{a}{R} = T R \Rightarrow T = \frac{J a}{R ^{2}}$ , d'où $ma = m g - \frac{J a}{R ^{2}}$ et

$a = \frac{m g}{m + J / R ^{2}} .$

Si $J \to 0$ (poulie idéale), $a \to g$ : la masse tombe librement.

Exercice 7 : Intégrale première du pendule pesant (

⋆ ⋆

)

Un pendule pesant est lâché sans vitesse depuis l'horizontale ( $θ_{0} = π /2$ ). Déterminer sa vitesse angulaire au passage par la verticale.

Démonstration

L'intégrale première $\frac{1}{2} J θ ˙^{2} + m g d (1 - cos θ) = E_{m}$ avec $θ ˙ = 0$ en $θ_{0} = π /2$ ( $cos θ_{0} = 0$ ) donne $E_{m} = m g d$ . Au passage par $θ = 0$ : $\frac{1}{2} J θ ˙^{2} + 0 = m g d$ , soit

$θ ˙ = \frac{2 m g d}{J} .$

Exercice 8 : Cylindre roulant et énergie (

⋆ ⋆ ⋆

)

Un cylindre (masse $m$ , rayon $R$ , $J = \frac{1}{2} m R^{2}$ ) roule sans glisser sur un plan incliné depuis le repos, descendant d'une hauteur $h$ . Déterminer la vitesse de son centre en bas, par bilan énergétique.

Démonstration

Le roulement sans glissement impose $v = R ω$ . L'énergie cinétique totale combine translation et rotation : $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{v ^{2}}{R ^{2}} = \frac{3}{4} m v^{2}$ . La conservation de l'énergie ( $m g h = E_{c}$ , le contact ne travaille pas en roulement sans glissement) donne

$\frac{3}{4} m v^{2} = m g h ⟹ v = \frac{4}{3} g h < 2 g h .$

Le cylindre arrive moins vite qu'un point glissant : une partie de l'énergie est passée dans la rotation.

8.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Solide : distances mutuelles constantes. Translation : même $v$ pour tous les points. Rotation (axe fixe) : même $ω$ , $v = d ω$ .
Moment d'inertie $J_{Δ}$ (fourni) : $L_{Δ} = J_{Δ} ω$ ; $J$ croît si la masse est loin de l'axe.
TMC scalaire : $J_{Δ} θ ¨ = \sum M_{Δ}$ (analogue rotationnel du PFD). Liaison pivot parfaite : moment nul.
Pendule pesant : $θ ¨ + \frac{m g d}{J _{Δ}} sin θ = 0$ , $T_{0} = 2 π J_{Δ} / (m g d)$ ; intégrale première $\frac{1}{2} J θ ˙^{2} + m g d (1 - cos θ) = cte$ ; non-isochronisme aux grandes amplitudes.
Énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} J_{Δ} ω^{2}$ ; le théorème de l'énergie cinétique équivaut au TMC scalaire.

8.8 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un manège tourne à $4$ tours par minute. Convertir en $rad / s$ et donner la vitesse d'un cheval à $5 m$ de l'axe.

( $⋆$ ) Une porte de moment d'inertie $J = 8 kg m^{2}$ est ouverte par un moment de $12 Nm$ . Accélération angulaire ?

( $⋆ ⋆$ ) Comparer les périodes d'un pendule pesant constitué (a) d'une tige seule, (b) de la même tige lestée d'une masse au bout.

( $⋆ ⋆$ ) Un disque tourne librement à $ω_{0}$ . On y dépose délicatement un second disque coaxial au repos (moments $J_{1}$ , $J_{2}$ ). Déterminer la vitesse commune finale (conservation du moment cinétique).

( $⋆ ⋆$ ) Établir l'équivalence TMC / théorème de l'énergie cinétique pour le disque entraîné par un couple constant.

( $⋆ ⋆$ ) Reprendre le treuil avec un couple de frottement $M_{f}$ sur l'axe de la poulie. Comment se modifie l'accélération ?

( $⋆ ⋆$ ) Un pendule pesant a une période mesurée $T_{0}$ . En déduire son moment d'inertie connaissant $m$ et $d$ .

( $⋆ ⋆$ ) Calculer l'énergie cinétique d'un cylindre roulant sans glisser en fonction de la vitesse $v$ de son centre, et la part due à la rotation.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, estimer l'augmentation relative de la période du pendule à $θ_{0} = 2 rad$ par rapport aux petites oscillations.

( $⋆ ⋆$ ) Justifier qualitativement pourquoi une sphère pleine et un cylindre creux lâchés sur un plan incliné n'arrivent pas en bas à la même vitesse.

( $⋆ ⋆$ ) Un solide tourne autour d'un axe avec un couple moteur $M (t)$ variable. Exprimer sa vitesse angulaire par intégration du TMC.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Pendule de torsion : un fil exerce un couple de rappel $- K θ$ . Montrer que le mouvement est harmonique et donner sa période en fonction de $J$ et $K$ .

8.9 Problèmes contextualisés

Les problèmes suivants partent de situations réelles : on y retrouve la rotation des solides et son théorème du moment cinétique dans des objets du quotidien.

Exemple 8.19Le volant d'inertie : freiner pour mieux accélérer (

⋆ ⋆

)

En Formule 1, le système KERS récupère l'énergie du freinage en lançant un disque massif (le volant) à très haute vitesse, puis la restitue à l'accélération. Considérons un volant en acier modélisé par un disque homogène de masse $M = 5, 0 kg$ et de rayon $R = 0, 10 m$ , mis en rotation autour de son axe à $N = 40000$ tr/min.

Pourquoi cherche-t-on à faire tourner le volant le plus vite possible plutôt qu'à le rendre simplement plus lourd ?
Exprimer le moment d'inertie $J$ du disque, puis l'énergie cinétique de rotation $E_{c}$ en fonction de $M$ , $R$ , $ω$ .
Calculer $ω$ , $J$ puis $E_{c}$ .
Une monoplace de masse $m = 800 kg$ roule à $v = 20 m / s$ . Comparer $E_{c}$ à son énergie de translation. Le volant peut-il fournir un « boost » significatif ?

Démonstration

1. L'énergie stockée $E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2}$ croît linéairement avec la masse (via $J$ ) mais comme le carré de $ω$ : doubler $ω$ quadruple l'énergie, doubler $M$ ne fait que la doubler. À masse embarquée limitée (crucial en F1), on privilégie une très grande vitesse de rotation.

2. Disque homogène : $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ , d'où $E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω^{2}$ .

3. $ω = \frac{2 π N}{60} = \frac{2 π \times 40000}{60} \approx 4, 2 \times 1 0^{3} rad / s$ . $J = \frac{1}{2} \times 5, 0 \times 0, 1 0^{2} = 2, 5 \times 1 0^{- 2} kg m^{2}$ . $E_{c} = \frac{1}{2} \times 2, 5 \times 1 0^{- 2} \times (4, 2 \times 1 0^{3})^{2} \approx 2, 2 \times 1 0^{5} J$ ( $\approx 220 kJ$ ).

4. $E_{c, trans} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times 2 0^{2} = 160 kJ$ . Comme $E_{c} \approx 220 kJ > 160 kJ$ , le volant emmagasine plus que l'énergie nécessaire pour relancer la voiture de $0$ à $20 m / s$ : le boost est bel et bien significatif.

Important

Ce que ça nous apprend. Un disque en rotation est un réservoir d'énergie redoutable (KERS, gyrobus). Comme $E_{c} \propto ω^{2}$ , la performance passe par la vitesse de rotation bien plus que par la masse.

Exemple 8.20La machine d'Atwood : quand la poulie n'est plus négligeable (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans un puits, un treuil hisse une charge. On modélise par une machine d'Atwood : deux masses $m_{1} = 2, 0 kg$ et $m_{2} = 1, 5 kg$ pendent d'un fil inextensible sur une poulie. Cette poulie n'est pas idéale : c'est un disque homogène de masse $M = 1, 0 kg$ et de rayon $R = 5, 0 cm$ , et le fil ne glisse pas. On néglige le frottement sur l'axe.

Si la poulie était sans masse, les deux tensions seraient-elles égales ? Qu'est-ce qui change avec une inertie ?
Écrire le PFD pour chaque masse et le TMC pour la poulie. En déduire l'accélération $a$ .
Calculer $J$ puis $a$ . Comparer à l'accélération $a_{0}$ d'une poulie idéale.
Déterminer $T_{1}$ et $T_{2}$ et vérifier qu'elles diffèrent.

Démonstration

1. Poulie sans masse ( $J = 0$ ) : le TMC donne $(T_{1} - T_{2}) R = 0$ , tensions égales. Avec une inertie, il faut un couple net pour la faire tourner : $T_{1} \neq = T_{2}$ , et c'est cet écart qui l'entraîne.

2. On oriente le mouvement dans le sens où $m_{1}$ descend, $a$ l'accélération commune, $θ ¨ = a / R$ (sans glissement). PFD $m_{1}$ : $m_{1} g - T_{1} = m_{1} a$ . PFD $m_{2}$ : $T_{2} - m_{2} g = m_{2} a$ . TMC poulie ( $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ ) : $J θ ¨ = (T_{1} - T_{2}) R$ , soit $T_{1} - T_{2} = \frac{J}{R ^{2}} a$ . En sommant :

$a = \frac{( m _{1} - m _{2} ) g}{m _{1} + m _{2} + \frac{J}{R ^{2}}}$

( $J / R^{2}$ agit comme une masse supplémentaire).

3. $J = \frac{1}{2} M R^{2} = 1, 25 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ , $\frac{J}{R ^{2}} = \frac{1}{2} M = 0, 50 kg$ . $a = \frac{( 2 , 0 - 1 , 5 ) \times 9 , 81}{2 , 0 + 1 , 5 + 0 , 50} = \frac{4 , 9}{4 , 0} \approx 1, 2 m / s^{2}$ . Poulie idéale : $a_{0} = \frac{4 , 9}{3 , 5} \approx 1, 4 m / s^{2}$ : la poulie pesante ralentit le système ( $\approx 12 %$ ).

4. $T_{1} = m_{1} (g - a) \approx 17 N$ et $T_{2} = m_{2} (g + a) \approx 17 N$ ; plus précisément $T_{1} \approx 17, 2 N > T_{2} \approx 16, 5 N$ , l'écart $\approx 0, 6 N$ fournissant le couple qui fait tourner la poulie.

Important

Ce que ça nous apprend. Une poulie de masse non négligeable se comporte comme une inertie supplémentaire $J / R^{2}$ qui freine le mouvement et brise l'égalité des tensions. Coupler PFD (translation) et TMC (rotation) est la clé des treuils, ascenseurs et poulies réelles.

Exemple 8.21Le freinage de la meuleuse (

⋆ ⋆

)

Sur un chantier, un ouvrier relâche la gâchette de sa meuleuse. Le disque (disque homogène, masse $M = 0, 40 kg$ , rayon $R = 0, 060 m$ ) tournait à $ω_{0} = 300 rad / s$ . Moteur coupé, les frottements des roulements exercent un couple résistant constant $M = 0, 018 Nm$ .

Calculer le moment d'inertie $J$ du disque.
Établir l'équation du mouvement et l'accélération angulaire $α$ .
Au bout de combien de temps le disque s'arrête-t-il ?
Combien de tours $N$ effectue-t-il pendant le freinage ?

Démonstration

1. $J = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 40 \times 0, 06 0^{2} = 7, 2 \times 1 0^{- 4} kg m^{2}$ .

2. Seul le couple de frottement agit, opposé au mouvement : $J ω ˙ = - M$ , d'où $α = - \frac{M}{J} = - \frac{0 , 018}{7 , 2 \times 1 0 ^{- 4}} \approx - 25 rad / s^{2}$ . Couple constant, donc mouvement uniformément varié, $ω (t) = ω_{0} + α t$ .

3. Arrêt à $ω = 0$ : $t_{a} = - \frac{ω _{0}}{α} = \frac{300}{25} \approx 12 s$ .

4. $ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α θ$ avec $ω = 0$ donne $θ = \frac{ω _{0}^{2}}{2∣ α ∣}$ , d'où $N = \frac{θ}{2 π} = \frac{30 0 ^{2}}{2 \times 25} \cdot \frac{1}{2 π} \approx 290 tours$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Un couple résistant constant produit une décélération angulaire constante, comme une force constante produit une décélération linéaire. La forte inertie et la vitesse élevée expliquent les centaines de tours avant l'arrêt.

Exemple 8.22Le yo-yo qui défie la chute libre (

⋆ ⋆

)

Un enfant laisse filer un yo-yo : un disque homogène de masse $m = 0, 050 kg$ et de rayon $R = 0, 030 m$ descend en déroulant un fil enroulé au bord (rayon $R$ ). Le fil reste vertical et ne glisse pas. Le yo-yo tombe nettement moins vite qu'en chute libre.

Appliquer le PFD au centre de masse (projection verticale).
Appliquer le TMC au disque autour de son axe.
Avec la condition de roulement $a = R ω ˙$ , montrer que $a = \frac{g}{1 + J / ( m R ^{2} )}$ et le calculer.
Calculer la tension $T$ du fil.

Démonstration

1. Axe vertical vers le bas : $ma = m g - T$ . (1)

2. Seule la tension a un moment (bras $R$ ) : $J ω ˙ = T R$ . (2)

3. Sans glissement, $ω ˙ = a / R$ , donc $(2)$ donne $T = \frac{J a}{R ^{2}}$ ; reporté dans $(1)$ : $a (1 + \frac{J}{m R ^{2}}) = g$ , soit $a = \frac{g}{1 + J / ( m R ^{2} )}$ . Pour un disque $J = \frac{1}{2} m R^{2}$ : $a = \frac{g}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \approx 6, 5 m / s^{2}$ .

4. $T = m (g - a) = \frac{m g}{3} = \frac{0 , 050 \times 9 , 81}{3} \approx 0, 16 N$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Le yo-yo tombe plus lentement qu'en chute libre car une partie du travail du poids alimente l'énergie cinétique de rotation. Le terme $J / (m R^{2})$ mesure cette « part de rotation ».

Exemple 8.23L'essoreuse à salade (

⋆ ⋆

)

On essore une salade. Une manivelle entraîne le panier, assimilé à un cylindre creux mince de masse $M = 0, 30 kg$ et de rayon $R = 0, 10 m$ . On fournit un travail $W = 1, 2 J$ , puis on lâche : la rotation libre est freinée par un couple de frottement constant.

Le panier est un cylindre creux mince : $J = M R^{2}$ . Calculer $J$ .
Partant du repos, le panier reçoit le travail $W$ . Par le théorème de l'énergie cinétique, déterminer $ω_{0}$ .
Manivelle lâchée, un couple $M_{f} = 8, 0 \times 1 0^{- 3} Nm$ freine. Quel angle total $θ$ (rad puis tours) avant l'arrêt ?
Où est passée l'énergie cinétique accumulée ?

Démonstration

1. Cylindre creux mince (toute la masse à $R$ ) : $J = M R^{2} = 0, 30 \times 0, 1 0^{2} = 3, 0 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ .

2. $Δ E_{c} = \frac{1}{2} J ω_{0}^{2} = W$ , d'où $ω_{0} = \frac{2 W}{J} = \frac{2 \times 1 , 2}{3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 28 rad / s$ (environ $4, 5$ tours/s).

3. En rotation libre, $0 - \frac{1}{2} J ω_{0}^{2} = - M_{f} θ$ , donc $θ = \frac{W}{M _{f}} = \frac{1 , 2}{8 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1, 5 \times 1 0^{2} rad$ , soit $\frac{θ}{2 π} \approx 24 tours$ .

4. Toute l'énergie cinétique ( $W = 1, 2 J$ ) est dissipée par le frottement (échauffement de l'axe) : l'énergie n'est pas détruite, elle devient de la chaleur.

Important

Ce que ça nous apprend. Le travail fourni à la manivelle se stocke en énergie cinétique de rotation $\frac{1}{2} J ω^{2}$ ; dissipé par un faible frottement, ce réservoir fait tourner le panier des dizaines de tours.

Exemple 8.24Le manège pour enfants (

⋆ ⋆

)

Un petit manège est un plateau circulaire homogène (disque) de masse $M = 1, 5 \times 1 0^{2} kg$ et de rayon $R = 1, 8 m$ . Au démarrage, un moteur exerce un couple constant $M = 40 Nm$ . La vitesse de croisière à atteindre est $ω_{c} = 2, 0 rad / s$ . On néglige les frottements.

Calculer le moment d'inertie $J$ du plateau.
Déterminer l'accélération angulaire $α$ au démarrage.
Au bout de combien de temps $t$ le manège atteint-il $ω_{c}$ ?
Quel angle (en tours) a-t-il décrit pendant cette phase ?

Démonstration

1. Disque homogène : $J = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 150 \times 1, 8^{2} = 2, 4 \times 1 0^{2} kg m^{2}$ .

2. Couple constant, sans frottement : $J α = M$ , d'où $α = \frac{M}{J} = \frac{40}{2 , 4 \times 1 0 ^{2}} \approx 0, 17 rad / s^{2}$ .

3. $ω (t) = α t$ , donc $t = \frac{ω _{c}}{α} = \frac{2 , 0}{0 , 17} \approx 12 s$ .

4. $θ = \frac{1}{2} α t^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 17 \times 1 2^{2} \approx 12 rad$ , soit $\frac{θ}{2 π} \approx 1, 9 tours$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Un couple constant produit une accélération angulaire constante $α = M / J$ : plus le plateau est lourd et large (grand $J$ ), plus il démarre lentement. C'est l'analogue en rotation de la 2^e loi de Newton ( $J$ $\leftrightarrow$ masse, $M$ $\leftrightarrow$ force).

Exemple 8.25La cheminée d'usine qui s'effondre (

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)

Lors d'une démolition, on dynamite la base d'une haute cheminée de briques (hauteur $ℓ$ ). Privée d'appui, elle bascule autour de son arête inférieure. On la modélise par une tige homogène de masse $M$ , de longueur $ℓ$ , pivotant sans frottement autour d'une extrémité $O$ . On repère son inclinaison par l'angle $θ$ avec la verticale.

Rappeler le moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à un axe passant par une extrémité.
Appliquer le TMC en $O$ et en déduire $θ ¨$ en fonction de $g$ , $ℓ$ , $θ$ .
Comparer l'accélération du sommet $a_{sommet} = ℓ θ ¨$ à la composante tangentielle $g sin θ$ qu'aurait une brique en chute libre. Conclure.
Pourquoi les grandes cheminées se brisent-elles souvent en deux pendant la chute ?

Démonstration

1. Tige homogène, axe par une extrémité : $J_{O} = \frac{1}{3} M ℓ^{2}$ .

2. Le pivot sans frottement a un moment nul ; seul le poids (en $G$ , à $ℓ /2$ de $O$ ) crée un moment $M g \frac{ℓ}{2} sin θ$ . Le TMC scalaire donne $\frac{1}{3} M ℓ^{2} θ ¨ = M g \frac{ℓ}{2} sin θ$ , soit $θ ¨ = \frac{3 g}{2 ℓ} sin θ$ .

3. $a_{sommet} = ℓ θ ¨ = \frac{3}{2} g sin θ$ , alors qu'une brique libre n'aurait que $g sin θ$ : $a_{sommet} = \frac{3}{2} g sin θ > g sin θ$ . Le sommet est entraîné par la rotation plus vite que sa propre chute libre.

4. La rigidité impose la même $θ ¨$ partout. La partie haute « voudrait » accélérer plus vite que sa pesanteur locale : la partie basse doit la « retenir ». Il apparaît un effort de flexion maximal vers le tiers inférieur ; les briques ne supportant pas la traction, la cheminée s'y rompt et se brise en deux.

Important

Ce que ça nous apprend. Un solide en rotation n'est pas une collection de points en chute libre : la rigidité couple toutes les parties à une même $θ ¨$ . Le sommet accélère à $\frac{3}{2} g sin θ$ , et c'est cet écart qui engendre les contraintes brisant les grandes cheminées.

Exemple 8.26Le tourne-disque vinyle (

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)

Un vinyle se lit à la vitesse normalisée de $33 \frac{1}{3}$ tours par minute. Au démarrage, le moteur lance le plateau (disque homogène, moment d'inertie $J = 0, 015 kg m^{2}$ ) depuis l'arrêt jusqu'à cette vitesse en un temps $t = 2, 0 s$ . Couple moteur $M$ constant, frottements négligés.

Calculer la vitesse angulaire cible $ω$ .
Par le TMC, déterminer le couple constant $M$ pour atteindre $ω$ en partant du repos durant $t$ .
Calculer l'énergie cinétique de rotation du plateau lancé.

Démonstration

1. $33 \frac{1}{3} = \frac{100}{3}$ tr/min, soit $ω = \frac{2 π \times \frac{100}{3}}{60} = \frac{200 π}{180} \approx 3, 5 rad / s$ .

2. Couple constant, donc $α = ω / t$ et $M = J α = J \frac{ω}{t} = 0, 015 \times \frac{3 , 5}{2 , 0} \approx 2, 6 \times 1 0^{- 2} Nm$ : un couple modeste, qu'un petit moteur fournit en douceur.

3. $E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 015 \times 3, 5^{2} \approx 9, 2 \times 1 0^{- 2} J$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Pour mettre un solide en rotation, le couple joue le rôle de la force et le moment d'inertie celui de la masse : $M = J θ ¨$ . Atteindre $3, 5 rad / s$ ne demande qu'un faible couple et stocke une énergie de l'ordre du dixième de joule.

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