Le cadre variationnel

Cours · méthode des éléments finis (école d'ingénieur), chapitre 1 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La méthode des éléments finis est issue des travaux de Courant ( $\sim$ 1930), développée par les ingénieurs en aéronautique ( $\sim$ 1950), puis analysée mathématiquement dans les années $\sim$ 1970. Sa logique est invariable : partant d'une équation aux dérivées partielles (la formulation forte), on passe à une formulation variationnelle (ou faible) posée dans un espace de Hilbert ; le théorème de Lax--Milgram en garantit le bon caractère ; enfin la méthode de Galerkine remplace l'espace de dimension infinie par un sous-espace de dimension finie, ce qui ramène le problème à un système linéaire. Chaque étape réclame le bon cadre fonctionnel, que ce chapitre met en place avant de l'appliquer au problème modèle de la membrane.

1.1 Outils d'analyse fonctionnelle

1.1.1 Pourquoi les espaces de Sobolev

La grandeur naturelle d'un problème d'équilibre est une énergie, typiquement $\frac{1}{2} \int_{Ω} ∣\nabla u ∣^{2}$ . L'espace des déplacements admissibles doit donc contenir les fonctions d'énergie finie (gradient de carré intégrable) et, pour que l'on puisse y démontrer l'existence d'un minimiseur, être complet pour la norme associée. L'espace classique $C^{1} (Ω)$ échoue sur ce second point : il n'est pas complet pour la norme de l'énergie. Son complété est l'espace de Sobolev $H^{1}$ . Cela impose aussi d'élargir la notion de dérivée aux fonctions non régulières : c'est la dérivée faible.

1.1.2 Dérivée faible

Définition 1.1Dérivée faible

Soit $v \in L^{2} (Ω)$ . On dit que $v$ admet une dérivée faible selon $x_{i}$ s'il existe $w_{i} \in L^{2} (Ω)$ telle que

$\int_{Ω} v \frac{\partial φ}{\partial x _{i}} d x = - \int_{Ω} w_{i} φ d x \forall φ \in C_{c}^{\infty} (Ω) .$

La fonction $w_{i}$ , unique presque partout, est notée $\frac{\partial v}{\partial x _{i}}$ .

Cette définition imite la formule d'intégration par parties valable pour $v$ régulière : le terme de bord disparaît car $φ$ est à support compact dans $Ω$ . Ainsi, sur $] - 1, 1 [$ , la fonction $v (x) = ∣ x ∣$ admet pour dérivée faible $sign (x) \in L^{2}$ , alors qu'une fonction présentant un saut (échelon) n'admet pas de dérivée faible dans $L^{2}$ : sa « dérivée » serait une masse de Dirac. La dérivabilité faible est donc plus souple que la dérivabilité classique, mais exclut encore les discontinuités.

1.1.3 Espaces de Sobolev

Définition 1.2

Sur un ouvert $Ω \subset R^{n}$ ,

$H^{1} (Ω) = {v \in L^{2} (Ω) : \frac{\partial v}{\partial x _{i}} \in L^{2} (Ω), i = 1, \dots, n}$

(dérivées au sens faible), muni du produit scalaire et de la norme

$(u, v)_{H^{1}} = \int_{Ω} uv + \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v, ∥ v ∥_{H^{1}}^{2} = ∥ v ∥_{L^{2}}^{2} + ∣ v ∣_{1}^{2}, ∣ v ∣_{1} := ∥\nabla v ∥_{L^{2}} .$

Plus généralement $H^{m} (Ω) = {v \in L^{2} : \partial^{α} v \in L^{2}, ∣ α ∣ \leq m}$ . La quantité $∣ v ∣_{1}$ est la semi-norme d'ordre $1$ .

Théorème : admis

$H^{m} (Ω)$ , muni de ce produit scalaire, est un espace de Hilbert.

(Voir Brezis, Analyse fonctionnelle ; Allaire, Analyse numérique et optimisation ; Ern & Guermond, Finite Elements.)

1.1.4 Trace et conditions au bord

Pour une fonction régulière, la restriction $v_{/ \partial Ω}$ au bord a un sens. Ce n'est plus vrai pour $v \in H^{1}$ : le bord $\partial Ω$ est de mesure nulle, et modifier $v$ sur un ensemble négligeable ne change pas sa classe dans $L^{2}$ . La notion correcte est celle de trace.

Théorème : Théorème de trace, admis

Soit $Ω$ un ouvert borné lipschitzien. Il existe une unique application linéaire continue $γ_{0} : H^{1} (Ω) \to L^{2} (\partial Ω)$ telle que $γ_{0} v = v_{/ \partial Ω}$ pour toute $v \in C^{1} (Ω)$ , et

$∥ γ_{0} v ∥_{L^{2} (\partial Ω)} \leq C ∥ v ∥_{H^{1} (Ω)} .$

Définition 1.3

$H_{0}^{1} (Ω) = {v \in H^{1} (Ω) : γ_{0} v = 0}$ , qui coïncide avec l'adhérence de $C_{c}^{\infty} (Ω)$ dans $H^{1} (Ω)$ .

$H_{0}^{1} (Ω)$ est donc l'espace des fonctions d'énergie finie s'annulant au bord : c'est le cadre naturel d'une condition de Dirichlet homogène.

1.1.5 Inégalité de Poincaré

Proposition 1.4Inégalité de Poincaré

Soit $Ω$ borné (au moins dans une direction). Il existe $C_{Ω} > 0$ telle que

$∥ v ∥_{L^{2}} \leq C_{Ω} ∣ v ∣_{1} = C_{Ω} ∥\nabla v ∥_{L^{2}} \forall v \in H_{0}^{1} (Ω) .$

Démonstration (Preuve en dimension

1

)

Soit $Ω =] 0, L [$ et $v \in H_{0}^{1}$ , donc $v (0) = 0$ et $v (x) = \int_{0}^{x} v^{'} (t) d t$ . Par Cauchy--Schwarz, $∣ v (x) ∣^{2} \leq x \int_{0}^{x} ∣ v^{'} ∣^{2} \leq L ∥ v^{'} ∥_{L^{2}}^{2}$ . En intégrant sur $] 0, L [$ ,

$∥ v ∥_{L^{2}}^{2} = \int_{0}^{L} ∣ v (x) ∣^{2} d x \leq \frac{L ^{2}}{2} ∥ v^{'} ∥_{L^{2}}^{2}, soit C_{Ω} = \frac{L}{2} .$

Le cas multidimensionnel s'obtient en intégrant de même le long d'une direction où $Ω$ est borné (admis).

Corollaire

Sur $H_{0}^{1} (Ω)$ , la semi-norme $∣ \cdot ∣_{1}$ est une norme, équivalente à $∥ \cdot ∥_{H^{1}}$ :

$∣ v ∣_{1} \leq ∥ v ∥_{H^{1}} \leq 1 + C_{Ω}^{2} ∣ v ∣_{1} .$

Dans toute la suite, on munit $H_{0}^{1} (Ω)$ de la norme d'énergie $∣ \cdot ∣_{1}$ , plus commode car directement liée à la forme bilinéaire.

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