Construction des éléments finis

Cours · méthode des éléments finis (école d'ingénieur), chapitre 2 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le chapitre précédent ramène la résolution à un système $A U = B$ , une fois choisi un sous-espace $V_{h}$ de dimension finie. Encore faut-il le construire en respectant deux exigences : la conformité $V_{h} \subset V$ , sans laquelle la méthode de Galerkine et le lemme de Céa ne s'appliquent pas, et un bon pouvoir d'approximation, sans lequel l'erreur ne tend pas vers zéro. La méthode des éléments finis répond aux deux en maillant le domaine et en interpolant par morceaux. On le voit d'abord en dimension 1, puis en dimension 2, avant d'en dégager la notion générale d'élément fini de Lagrange.

2.1 Éléments finis en dimension 1

On considère une corde élastique tendue occupant $Ω =] 0, 1 [$ , fixée à ses deux extrémités, soumise à un chargement vertical $f$ . L'inconnue est le déplacement vertical $u : Ω \to R$ , solution de la formulation variationnelle

$Trouver u \in H_{0}^{1} (Ω) tel que a (u, v) = \int_{Ω} u^{'} v^{'} = \int_{Ω} f v \forall v \in H_{0}^{1} (Ω) .$

Corde tendue sous chargement vertical.

Construction de $V_{h}$ .

On maille $Ω$ par $N$ points intérieurs distincts, soit $(N + 1)$ mailles $K_{i} = [x_{i}, x_{i + 1}]$ . Pour un maillage uniforme, $h = 1/ (N + 1)$ et $x_{i} = ih$ . On impose dans chaque maille un comportement affine, la continuité sur $Ω$ et la nullité au bord :

$V_{h}^{(1)} = {v_{h} \in C^{0} (Ω); \forall i, v_{h} ∣_{K_{i}} \in P_{1}; v_{h} (0) = v_{h} (1) = 0} .$

Conformité.

L'inclusion $V_{h}^{(1)} \subset H_{0}^{1} (Ω)$ n'a rien d'évident : une fonction $L^{2}$ n'a pas toujours de dérivée faible dans $L^{2}$ . Le résultat suivant en est la clé.

Lemme : Conformité en dimension 1

Soit $v \in C^{0} (Ω)$ , affine (plus généralement $C^{1}$ ) sur chaque maille $K_{i}$ . Alors $v \in H^{1} (Ω)$ , et sa dérivée faible est sa dérivée classique par morceaux. Si de plus $v (0) = v (1) = 0$ , alors $v \in H_{0}^{1} (Ω)$ .

Démonstration

Soit $w$ la dérivée classique par morceaux ( $w \in L^{2}$ , bornée). Pour $φ \in C_{c}^{\infty} (Ω)$ , on intègre par parties sur chaque maille :

$\int_{K_{i}} v φ^{'} = [v φ]_{x_{i}}^{x_{i + 1}} - \int_{K_{i}} v^{'} φ .$

En sommant sur $i$ , les termes de bord $\sum_{i} [v φ]_{x_{i}}^{x_{i + 1}}$ se compensent : en chaque nœud intérieur $x_{i}$ , les contributions des deux mailles adjacentes valent $v (x_{i}^{-}) φ (x_{i}) - v (x_{i}^{+}) φ (x_{i}) = 0$ car $v$ est continue ; aux extrémités, $φ$ s'annule (support compact). Il reste $\int_{Ω} v φ^{'} = - \int_{Ω} w φ$ , donc $w$ est la dérivée faible de $v$ , et $w \in L^{2}$ donne $v \in H^{1}$ .

iRemarque

La continuité est exactement ce qui fait disparaître les termes de bord. Si $v$ présentait un saut en $x_{i}$ , ceux-ci ne se compenseraient pas : la dérivée faible contiendrait une masse de Dirac $δ_{x_{i}} \in / L^{2}$ , et $v \in / H^{1}$ . C'est pourquoi on impose $v_{h} \in C^{0}$ .

Fonctions chapeau.

Une base naturelle de $V_{h}^{(1)}$ est formée des fonctions chapeau $φ_{i}$ , vérifiant $φ_{i} (x_{j}) = δ_{ij}$ :

$φ_{i} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - x _{i - 1}}{h} \frac{x _{i + 1} - x}{h} 0 x \in K_{i - 1} x \in K_{i} sinon φ_{i}^{'} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{h} - \frac{1}{h} 0 x \in K_{i - 1} x \in K_{i} sinon .$

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