Éléments finis de Lagrange

Ce chapitre développe la notion générale d'élément fini de Lagrange, entrevue au chapitre précédent, et la décline sur les deux familles géométriques fondamentales : les $n$-simplexes (segments, triangles, tétraèdres) et les $n$-parallélotopes (segments, carrés, cubes). On y démontre les deux résultats qui fondent toute la méthode : l'unisolvance des treillis et le transport affine.

3.1 Rappels d'algèbre affine

Indépendance affine et coordonnées barycentriques.

Les $n+1$ points $a_1,\dots ,a_{n+1}$ de ${\mathbb{R}}^n$ sont dits affinement indépendants si les vecteurs $a_2-a_1,\dots ,a_{n+1}-a_1$ sont linéairement indépendants, ce qui équivaut à l'inversibilité de la matrice

$$\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_{n+1}\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{(n+1)\times (n+1)}.$$

La dégénérescence $\det \mathcal{A}=0$ est exactement l'alignement de trois points du plan, ou la coplanarité de quatre points de l'espace :

$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\\ x_4& y_4& z_4& 1\end{array}\right|=0.$$

Démonstration

Le système $\mathcal{A}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n+1}{)}^{\top }=(x,1{)}^{\top }$ a une unique solution puisque $\mathcal{A}$ est inversible ; les ${\lambda }_j$ en sont des combinaisons affines des coordonnées de $x$ (règle de Cramer). En prenant $x=a_i$, l'unicité donne ${\lambda }_j(a_i)={\delta }_{ij}$.

Les ${\lambda }_j$ sont les coordonnées barycentriques ; ce sont, on le verra, les fonctions de base de l'élément $P_1$.

Interpolation de Lagrange.

Une application affine conserve les barycentres : si $M=\lambda M_1+\mu M_2$ avec $\lambda +\mu =1$, alors la valeur interpolée vérifie $y=\lambda y_1+\mu y_2$. Plus généralement, pour $n+1$ points distincts $x_0<\cdots <x_n$ et une fonction $f$, il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ tel que $P(x_i)=f(x_i)$, donné par

$$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)L_i(x),L_i(x)=\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

Pour $n=1$ sur $\{0,1\}$, on retrouve $L_0(x)=1-x$ et $L_1(x)=x$ : la droite passant par $(0,1)$ et $(1,3)$ est $y=1\cdot (1-x)+3\cdot x=2x+1$.

3.2 La notion d'élément fini de Lagrange

On se donne une partie compacte $K\subset {\mathbb{R}}^n$ connexe d'intérieur non vide, un ensemble fini $\Sigma =\{a_j{\}}_{j=1}^N$ de points distincts de $K$, et un espace vectoriel $\mathbb{P}$ de dimension finie de fonctions sur $K$.

L'unisolvance signifie que l'application $p\mapsto (p(a_j){)}_j$ est un isomorphisme de $\mathbb{P}$ sur ${\mathbb{R}}^N$ ; une condition nécessaire est donc $\dim (\mathbb{P})=\mathrm{card}(\Sigma )=N$. Celle-ci acquise, deux critères équivalents suffisent : montrer que la seule $p\in \mathbb{P}$ nulle sur $\Sigma$ est nulle (injectivité), ou exhiber des fonctions de base ${\phi }_i\in \mathbb{P}$ telles que ${\phi }_i(a_j)={\delta }_{ij}$ (surjectivité). L'opérateur d'interpolation associe alors à toute $v$ sa $\mathbb{P}$-interpolée

$$\Pi v=\sum _{i=1}^{N}v(a_i){\phi }_i,(\Pi v)(a_j)=v(a_j).$$

Démonstration

$\Pi p$ et $p$ appartiennent à $\mathbb{P}$ et coïncident sur $\Sigma$ ; par unisolvance, ils sont égaux.