Éléments d'Hermite et maillages

Les éléments de Lagrange donnent une solution approchée continue (${\mathcal{C}}^0$, donc dans $H^1$), ce qui suffit aux problèmes du second ordre (membrane, élasticité). Mais la flexion des poutres et des plaques relève du quatrième ordre, dont la formulation variationnelle vit dans $H^2$ : il faut alors une approximation ${\mathcal{C}}^1$, dont la dérivée aussi se raccorde d'un élément à l'autre. Les éléments d'Hermite y parviennent en prenant les valeurs des dérivées comme degrés de liberté. Ce chapitre les présente — en précisant quand les degrés de liberté de dérivée produisent, ou non, un raccord ${\mathcal{C}}^1$ global — puis décrit les maillages (admissibilité, relations d'Euler, familles régulières) et la mise en données du solveur.

4.1 Éléments finis d'Hermite

Un élément fini d'Hermite est un triplet $(K,\mathbb{P},\Sigma )$ où $K$ est un domaine géométrique, $\mathbb{P}$ un espace de fonctions de dimension finie, et $\Sigma =\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_N\}$ un ensemble de formes linéaires — valeurs nodales et dérivées nodales — tel que l'application $p\mapsto ({\sigma }_1(p),\dots ,{\sigma }_N(p))$ soit une bijection de $\mathbb{P}$ sur ${\mathbb{R}}^N$ ($\Sigma$ est dit $\mathbb{P}$-unisolvant). Il existe alors des fonctions de base ${\phi }_i\in \mathbb{P}$ telles que ${\sigma }_j({\phi }_i)={\delta }_{ij}$, et l'opérateur d'interpolation s'écrit

$$\Pi v=\sum _{i=1}^N{\sigma }_i(v){\phi }_i,{\sigma }_j(\Pi v)={\sigma }_j(v).$$

En imposant la dérivée aux nœuds, on contrôle la pente de part et d'autre d'un nœud : c'est ce qui rendra la solution globale ${\mathcal{C}}^1$.

4.1.1 Élément cubique 1D (${\mathcal{C}}^1$)

Sur l'élément de référence $\xi \in [0,1]$, on prend $\mathbb{P}={\mathbb{R}}_3[X]$ (dimension $4$) et les quatre degrés de liberté

$$\Sigma =\{p(0),p^{\prime }(0),p(1),p^{\prime }(1)\}.$$

Les fonctions de base, dites polynômes d'Hermite cubiques, sont

$${\Phi }_1=(1+2\xi )(1-\xi {)}^2,{\Phi }_2=(3-2\xi ){\xi }^2,{\Psi }_1=h\xi (1-\xi {)}^2,{\Psi }_2=h(\xi -1){\xi }^2.$$

On vérifie l'unisolvance en lisant les conditions nodales : ${\Phi }_1(0)=1$ avec ${\Phi }_1^{\prime }(0)={\Phi }_1(1)={\Phi }_1^{\prime }(1)=0$ ; ${\Psi }_1(0)=0$, ${\Psi }_1^{\prime }(0)=1$ (au facteur $h$ près, voir ci-dessous), le reste nul ; et symétriquement pour ${\Phi }_2,{\Psi }_2$. Ces quatre fonctions réalisent donc toute donnée $\{v_1,v_1^{\prime },v_2,v_2^{\prime }\}$, d'où l'interpolée

$$v^h(x)=v_1{\Phi }_1+v_1^{\prime }{\Psi }_1+v_2{\Phi }_2+v_2^{\prime }{\Psi }_2.$$

Fonctions de base d'Hermite cubiques sur l'élément de référence.

4.1.2 Élément quintique 1D (${\mathcal{C}}^2$)

Avec $\mathbb{P}={\mathbb{R}}_5[X]$ et $\Sigma =\{p,p^{\prime },p^{\prime \prime }\}$ aux deux extrémités ($6$ formes), on contrôle aussi la dérivée seconde aux nœuds : le raccord est alors ${\mathcal{C}}^2$, donc $v\in H^3$. C'est l'élément requis pour les modèles de poutre ou de plaque d'ordre plus élevé.

4.1.3 Éléments d'Hermite en dimension 2

En dimension 2, prendre la valeur et le gradient aux sommets ne suffit pas à garantir le raccord ${\mathcal{C}}^1$ : tout dépend de ce que le bord partagé impose à la dérivée normale.