Calcul des matrices élémentaires et assemblage

Cours · méthode des éléments finis (école d'ingénieur), chapitre 5 · école d'ingénieur, sciences de l'ingénieur · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les chapitres précédents ont ramené la résolution au système $A U = B$ , avec $A_{ij} = a (φ_{j}, φ_{i})$ et $B_{i} = ℓ (φ_{i})$ , et établi en abstrait le transport affine (chapitre 3). Reste à calculer effectivement ces intégrales et à les assembler. Ce chapitre réalise concrètement le transport — tout ramener à l'élément de référence — ajoute la quadrature et l'assemblage, puis clôt la première partie en combinant l'erreur d'interpolation locale avec le lemme de Céa pour démontrer la convergence globale. Il s'achève sur trois problèmes entièrement résolus : la barre, la membrane et la plaque.

5.1 Intégration sur l'élément de référence

Les fonctions de base étant polynomiales, les intégrales élémentaires se ramènent à des intégrales de monômes sur le triangle de référence $K = {(ξ, η); ξ, η \geq 0, ξ + η \leq 1}$ .

Proposition 5.1

$\int_{K} ξ^{k_{1}} η^{k_{2}} d ξ d η = \frac{k _{1} ! k _{2} !}{( k _{1} + k _{2} + 2 )!}, \int_{K} λ_{1}^{k_{1}} λ_{2}^{k_{2}} λ_{3}^{k_{3}} d ξ d η = \frac{k _{1} ! k _{2} ! k _{3} !}{( k _{1} + k _{2} + k _{3} + 2 )!} .$

Démonstration

Par intégration itérée puis la fonction Bêta,

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - ξ} ξ^{k_{1}} η^{k_{2}} d η d ξ = \frac{1}{k _{2} + 1} \int_{0}^{1} ξ^{k_{1}} (1 - ξ)^{k_{2} + 1} d ξ = \frac{1}{k _{2} + 1} \frac{k _{1} ! ( k _{2} + 1 )!}{( k _{1} + k _{2} + 2 )!} = \frac{k _{1} ! k _{2} !}{( k _{1} + k _{2} + 2 )!} .$

La forme barycentrique s'en déduit par symétrie ( $λ_{3} = 1 - ξ - η$ ).

Sur l'élément physique $K$ , le changement de variables (ci-dessous) avec $∣ det J ∣ = 2 mes (K)$ donne

$\int_{K} λ_{1}^{k_{1}} λ_{2}^{k_{2}} λ_{3}^{k_{3}} d x = 2 mes (K) \frac{k _{1} ! k _{2} ! k _{3} !}{( k _{1} + k _{2} + k _{3} + 2 )!} .$

5.2 Calcul des matrices élémentaires

5.2.1 Changement de variables et formules maîtresses

Soit $F_{K} : x \mapsto x$ la transformation de l'élément de référence vers l'élément courant (la réalisation concrète du transport affine du chapitre 3). On introduit le repère naturel $e_{i} = \partial x / \partial ξ^{i}$ , la matrice jacobienne $J = mat (e_{1}, e_{2})$ , et le tenseur métrique

$g = (g_{ij}), g_{ij} = e_{i} \cdot e_{j} = J^{⊤} J, ∣ g ∣ = det g = (det J)^{2}, ∣ g ∣ = ∣ det J ∣.$

Proposition 5.2Formules maîtresses

Pour les intégrales de masse et de raideur,

$\int_{K} φ_{i} φ_{j} d x = \int_{K} φ_{i} φ_{j} ∣ det J ∣ d ξ, \int_{K} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d x = \int_{K} \frac{1}{∣ det J ∣} \nabla φ_{i} G \nabla φ_{j}^{⊤} d ξ,$

où $\nabla$ désigne le gradient en $(ξ, η)$ (vecteur ligne) et $G = adj (g) = (det J)^{2} g^{- 1}$ est la comatrice de $g$ .

Démonstration

La formule de masse est le changement de variables $d x = ∣ det J ∣ d ξ$ . Pour la raideur, la règle de la chaîne donne $\nabla_{ξ} φ = \nabla_{x} φ J$ , soit $\nabla_{x} φ = \nabla_{ξ} φ J^{- 1}$ ; donc

$\nabla_{x} φ_{i} \cdot \nabla_{x} φ_{j} = \nabla_{ξ} φ_{i} J^{- 1} J^{- ⊤} \nabla_{ξ} φ_{j}^{⊤} = \nabla_{ξ} φ_{i} (J^{⊤} J)^{- 1} \nabla_{ξ} φ_{j}^{⊤} = \nabla_{ξ} φ_{i} g^{- 1} \nabla_{ξ} φ_{j}^{⊤} .$

En multipliant par $∣ det J ∣$ (changement de variables) et en utilisant $∣ det J ∣ g^{- 1} = G /∣ det J ∣$ , on obtient la seconde formule.

iRemarqueAffine ou non

Pour un simplexe, $F_{K}$ est affine : $J$ est constant, l'intégrande est polynomial et la matrice élémentaire se calcule exactement. Pour un quadrangle quelconque, $J = J (ξ, η)$ varie : on recourt alors à la quadrature.

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