Coques

12.1 L'élément de coque : membrane et flexion

Une coque est une structure de surface courbe. Sous charge, elle résiste de deux façons : par effet membranaire — un état de contraintes dans le plan tangent, comme un problème d'élasticité plane — et par flexion, comme une plaque. La courbure couple ces deux mécanismes : c'est ce qui rend une coque (une coupole, un réservoir) bien plus rigide qu'une plaque de même épaisseur.

L'approche par facettes planes.

La stratégie la plus directe en éléments finis consiste à approcher la surface moyenne par un assemblage de facettes planes (figure ci-contre). Sur chaque facette, plane, les deux comportements se découplent et se superposent :

• la membrane : un élément d'élasticité plane (contraintes planes), à deux degrés de liberté de translation dans le plan $(u,v)$, de matrice ${\mathbf{k}}_m=\iint t{\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{D}\mathbf{B}$, où $\mathbf{D}=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left(\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-\nu }{2}\end{array}\right)$ est la loi de comportement en contraintes planes ;
• la flexion : l'élément de plaque de Kirchhoff du chapitre 11 (flèche $w$ et pentes).

Chaque nœud porte ainsi cinq degrés de liberté (deux de membrane, trois de plaque) ; on en ajoute souvent un sixième, la rotation autour de la normale à la facette (degré « de pivotement »), pour rendre l'assemblage tridimensionnel régulier. Le passage au repère global se fait comme pour la poutre spatiale, par la rotation des facettes. C'est l'assemblage de facettes non coplanaires qui recrée le couplage membrane--flexion propre aux coques.

Coque cylindrique approchée par facettes planes (membrane + flexion).

Exercice : Coque cylindrique sous pression interne

Solution

1. Contraintes membranaires

Loin des fonds, la coque travaille en membrane pure. Une coupe longitudinale isole un demi-cylindre de longueur unité : la pression exerce une force $p\cdot 2R$ équilibrée par la contrainte circonférentielle sur les deux parois, $2{\sigma }_{\theta }t$ ; une coupe transversale équilibre la poussée sur le fond $p\pi R^2$ par ${\sigma }_{z}2\pi Rt$. D'où

$${\sigma }_{\theta }=\frac{pR}{t}\text{(circonfeˊrentielle)},{\sigma }_z=\frac{pR}{2t}\text{(axiale)}.$$

2. Déplacement radial

La déformation circonférentielle vaut ${\epsilon }_{\theta }=({\sigma }_{\theta }-\nu {\sigma }_z)/E$, et le déplacement radial $u_R=R{\epsilon }_{\theta }$, soit

$$u_R=\frac{p{R}^2}{Et}(1-\frac{\nu }{2}).$$

3. Application numérique

Pour $R=1$m, $t=5$mm, $p=1$MPa, $E=200$GPa, $\nu =0,3$ :

$${\sigma }_{\theta }=200\text{MPa},{\sigma }_z=100\text{MPa},u_R\simeq 0,85\text{mm}.$$

12.2 Coques de révolution : la statique membranaire

Une coque de révolution — réservoir, dôme, château d'eau — est engendrée par la rotation d'un méridien autour d'un axe. Sous une charge de révolution, et loin des bords, elle travaille en membrane pure : deux efforts par unité de longueur suffisent, l'effort méridien $N_{\phi }$ (le long du méridien, repéré par la colatitude $\phi$) et l'effort circonférentiel $N_{\theta }$ (le long du parallèle). Deux équations les gouvernent.

Méridien d'une coque de révolution : colatitude $\phi$, efforts méridien $N_{\phi }$ et circonférentiel $N_{\theta }$.

Équilibre normal (équation de Laplace des coques).

La projection de l'équilibre sur la normale relie les efforts aux deux rayons de courbure principaux $R_{\phi }$ (méridien) et $R_{\theta }$ (circonférentiel) :

$$\boxed{\frac{N_{\phi }}{R_{\phi }}+\frac{N_{\theta }}{R_{\theta }}=p_n}$$

où $p_n$ est la composante normale de la charge. C'est l'analogue, pour une surface, de la loi de Laplace $\Delta p=2\sigma /R$ d'une bulle.

Équilibre méridien.

La projection verticale de l'équilibre d'une calotte de demi-angle $\phi$ donne directement l'effort méridien : si $P(\phi )$ est la résultante verticale des charges portées par la calotte,

$$2\pi r{N}_{\phi }\sin \phi =-P(\phi ),r=R\sin \phi .$$

Remarquable : ces deux relations suffisent à déterminer $N_{\phi }$ et $N_{\theta }$. Les efforts membranaires d'une coque de révolution sont statiquement déterminés — ils ne dépendent ni de $E$, ni de $\nu$, ni de l'épaisseur, mais de la seule géométrie et du chargement.

Exercice : Coque calotte sphérique