Plaques

11.1 La plaque mince de Kirchhoff

Une plaque mince est l'analogue bidimensionnel de la poutre en flexion : un solide plat d'épaisseur $h$ dont on cherche la flèche transversale $w(x,y)$. Dans le modèle de Kirchhoff--Love (les normales restent droites et orthogonales à la surface moyenne), l'énergie de déformation fait intervenir les courbures $w_{xx},w_{yy},w_{xy}$, d'où la forme bilinéaire

$$a(w,v)=D{\iint }_{\Omega }[w_{xx}{v}_{xx}+w_{yy}{v}_{yy}+\nu (w_{xx}{v}_{yy}+w_{yy}{v}_{xx})+2(1-\nu )w_{xy}{v}_{xy}]\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

où $D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}$ est la rigidité de flexion et $\nu$ le coefficient de Poisson. La minimisation de $\frac{1}{2}a(w,w)-\iint qw$ conduit à l'équation du quatrième ordre

$$D{\Delta }^{2}w=q({\Delta }^2={\partial }_{xxxx}+2{\partial }_{xxyy}+{\partial }_{yyyy}),$$

généralisation bidimensionnelle de $EI{w}^{(4)}=p$.

Un élément conforme ${\mathcal{C}}^1$.

Comme pour la poutre, la présence de la dérivée seconde impose une approximation de classe ${\mathcal{C}}^1$. Sur un maillage en rectangles, l'élément de Bogner--Fox--Schmit réalise cette continuité par produit tensoriel des cubiques d'Hermite (chapitre 4) : il porte quatre degrés de liberté par nœud,

$$w,\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y},$$

soit seize par élément. C'est l'élément de plaque rencontré en illustration au chapitre 5.

Remarque (plaque encastrée).

Pour une plaque encastrée ($w={\partial }_{n}w=0$ au bord), la flèche ne dépend pas de $\nu$ : les termes en $\nu$ de $a(\cdot ,\cdot )$ forment un lagrangien nul (leur intégrale se ramène à un terme de bord qui s'annule quand $v$ et $\nabla v$ sont nuls sur $\Gamma$). La forme se réduit alors à $D\iint \Delta w\Delta v$, et $w$ est solution de $D{\Delta }^{2}w=q$.

Exercice : Plaque carrée encastrée sous charge uniforme

Solution

1. Formulation variationnelle

La flèche $w$ minimise l'énergie de flexion. La forme faible est : trouver $w\in H_0^2$ (encastrement $w={\partial }_{n}w=0$ au bord) tel que, pour tout $v\in H_0^2$,

$${\int }_{\Omega }\mathbf{\kappa }(w{)}^{\top }\mathbf{D}\mathbf{\kappa }(v)\mathrm{d}\Omega ={\int }_{\Omega }qv\mathrm{d}\Omega ,\mathbf{\kappa }=\left(\begin{array}{c}{\partial }_{xx}w\\ {\partial }_{yy}w\\ 2{\partial }_{xy}w\end{array}\right),\mathbf{D}=\frac{E{t}^3}{12(1-{\nu }^2)}\left(\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-\nu }{2}\end{array}\right),$$

soit, à rigidité $D$ constante, l'équation forte $D{\Delta }^{2}w=q$.

2. Choix de l'élément fini

Support géométrique : un rectangle. Fonctions de base : l'énergie faisant intervenir des dérivées secondes, l'espace $H^2$ impose la continuité ${\mathcal{C}}^1$. On emploie l'élément de Bogner--Fox--Schmit (carré d'Hermite bicubique ${\mathbb{Q}}_3$, chapitre 4), à quatre degrés de liberté par nœud,

$${\mathbf{q}}_{\text{nœud}}=(w,{\partial }_{x}w,{\partial }_{y}w,{\partial }_{xy}^{2}w),$$

le dernier — la dérivée croisée — étant indispensable au raccord ${\mathcal{C}}^1$ sur un quadrillage.

Les seize fonctions de base sont les produits tensoriels ${\phi }_i(\xi ){\phi }_j(\eta )$ des cubiques d'Hermite du chapitre 4,

$${\phi }_1=(1+2\xi )(1-\xi {)}^2,{\phi }_2=h_x\xi (1-\xi {)}^2,{\phi }_3=(3-2\xi ){\xi }^2,{\phi }_4=h_x(\xi -1){\xi }^2,$$

${\phi }_1,{\phi }_3$ portant les valeurs (degrés $w$) et ${\phi }_2,{\phi }_4$ les pentes (degrés de dérivée). À chaque nœud, les quatre combinaisons valeur/pente en $\xi$ et en $\eta$ engendrent les quatre degrés $w,{\partial }_{x}w,{\partial }_{y}w,{\partial }_{xy}^{2}w$.