Poutres dans l'espace

10.1 L'élément de poutre spatiale

Dans l'espace, une poutre transmet quatre actions découplées dans son repère local $(x,y,z)$, $x$ étant l'axe de la membrure : la traction--compression (le long de $x$), la torsion (autour de $x$), et la flexion dans chacun des deux plans principaux ($xy$ et $xz$). Chaque nœud porte donc six degrés de liberté — trois translations $(u_x,u_y,u_z)$ et trois rotations $({\theta }_x,{\theta }_y,{\theta }_z)$ — soit douze au total. La matrice locale $12\times 12$ se construit par superposition :

• axial (chapitre 7) : $\frac{EA}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$ sur $(u_{x1},u_{x2})$ ;
• torsion : $\frac{GJ}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$ sur $({\theta }_{x1},{\theta }_{x2})$, où $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ et $J$ est la constante de torsion ;
• flexion dans $xy$ (chapitre 9) : $\frac{E{I}_z}{L^3}[12,6L,\dots ]$ sur $(u_{y1},{\theta }_{z1},u_{y2},{\theta }_{z2})$ ;
• flexion dans $xz$ : $\frac{E{I}_y}{L^3}[12,6L,\dots ]$ sur $(u_{z1},{\theta }_{y1},u_{z2},{\theta }_{y2})$.

Le passage au repère global utilise la matrice $\mathbf{R}$ ($3\times 3$) des cosinus directeurs des axes locaux exprimés dans le repère global ; appliquée aux translations comme aux rotations, elle forme $\mathbf{T}=\mathrm{diag}(\mathbf{R},\mathbf{R},\mathbf{R},\mathbf{R})$, et la matrice globale est $\mathbf{K}={\mathbf{T}}^{\top }\mathbf{k}\mathbf{T}$. Pour une section circulaire de diamètre $d$, la flexion est isotrope ($I_y=I_z=I=\pi d^4/64$) et $J=2I$.

Exercice : Portique spatial en équerre