Poutres planes

9.1 L'élément de poutre en flexion

Une poutre en flexion (modèle d'Euler--Bernoulli) relève du quatrième ordre : $EI{u}^{(4)}=p$, de formulation faible dans $H^2$

$$a(u,v)=EI{\int }_0^L{u}^{\prime \prime }{v}^{\prime \prime }\mathrm{d}x,\ell (v)={\int }_0^{L}pv\mathrm{d}x+\text{(forces et moments nodaux)}.$$

Comme $a$ porte sur la dérivée seconde, l'approximation doit être ${\mathcal{C}}^1$ : on emploie l'élément d'Hermite cubique du chapitre 4, à deux degrés de liberté par nœud — la flèche $u$ et la rotation $\theta =u^{\prime }$. Sur l'élément de référence ($\xi =x/L$), les fonctions de base sont

$${\phi }_1=(1+2\xi )(1-\xi {)}^2,{\phi }_2=L\xi (1-\xi {)}^2,{\phi }_3=(3-2\xi ){\xi }^2,{\phi }_4=L(\xi -1){\xi }^2.$$

Matrice de raideur.

Avec ${\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{x}^2=\frac{1}{L^2}{\mathrm{d}}^2/\mathrm{d}{\xi }^2$ et ${\int }_0^L\mathrm{d}x=L{\int }_0^1\mathrm{d}\xi$,

$$k_{ij}=EI{\int }_0^L{\phi }_i^{\prime \prime }{\phi }_j^{\prime \prime }\mathrm{d}x=\frac{EI}{L^3}{\int }_0^1{\phi }_{i,\xi \xi }{\phi }_{j,\xi \xi }\mathrm{d}\xi .$$

Par exemple ${\phi }_{1,\xi \xi }=-6+12\xi$, ${\phi }_{3,\xi \xi }=6-12\xi$ donnent $k_{11}=\frac{EI}{L^3}{\int }_0^1(-6+12\xi {)}^2\mathrm{d}\xi =12\frac{EI}{L^3}$ et $k_{13}=-12\frac{EI}{L^3}$. En répétant le calcul,

$$\mathbf{k}=\frac{EI}{L^3}\left(\begin{array}{cccc}12& 6L& -12& 6L\\ 6L& 4L^2& -6L& 2L^2\\ -12& -6L& 12& -6L\\ 6L& 2L^2& -6L& 4L^2\end{array}\right).$$

Second membre.

Pour une charge répartie constante $p$, $\ell ({\phi }_i)=pL{\int }_0^1{\phi }_i\mathrm{d}\xi$ donne

$$\mathbf{b}=(\frac{pL}{2},\frac{p{L}^2}{12},\frac{pL}{2},-\frac{p{L}^2}{12}{)}^{\top },$$

les termes $\pm p{L}^2/12$ étant les moments d'encastrement. Une force ou un moment ponctuel appliqué à un nœud s'ajoute directement au degré de liberté correspondant du second membre global.

Exercice : Poutre bi-encastrée sous charge répartie

Solution

1. Formulation variationnelle

Modèle d'Euler--Bernoulli, $a(u,v)=EI{\int }_0^L{u}^{\prime \prime }{v}^{\prime \prime }\mathrm{d}x$, $\ell (v)={\int }_0^{L}pv\mathrm{d}x$ (section précédente), la charge $p$ étant constante.

2. Choix de l'élément fini

Élément d'Hermite cubique, deux degrés de liberté par nœud (flèche $u$, rotation $\theta$), assurant la continuité ${\mathcal{C}}^1$ requise dans $H^2$.

3. Matrice élémentaire

Sur une maille de longueur $h$, raideur et second membre (charge répartie $p$) :

$$\mathbf{k}=\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cccc}12& 6h& -12& 6h\\ 6h& 4h^2& -6h& 2h^2\\ -12& -6h& 12& -6h\\ 6h& 2h^2& -6h& 4h^2\end{array}\right),\mathbf{b}=(\frac{ph}{2},\frac{p{h}^2}{12},\frac{ph}{2},-\frac{p{h}^2}{12}{)}^{\top }.$$

4. Maillage

On maille en deux éléments de longueur $h=L/2$ (nœuds $0,1,2$), encastrés en $0$ et $2$.

5. Nœuds et tableau de connectivité

Nœuds $0,1,2$ ; éléments $(0):0-1$ et $(1):1-2$. Chaque nœud porte $(u,\theta )$, soit $6$ degrés au total.

6. Assemblage

En blocs $2\times 2$, $\mathbf{k}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{K}}_1& {\mathbf{K}}_3\\ {\mathbf{K}}_3^{\top }& {\mathbf{K}}_2\end{array}\right)$ avec

$${\mathbf{K}}_1=\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cc}12& 6h\\ 6h& 4h^2\end{array}\right),{\mathbf{K}}_2=\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cc}12& -6h\\ -6h& 4h^2\end{array}\right),{\mathbf{K}}_3=\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cc}-12& 6h\\ -6h& 2h^2\end{array}\right).$$

Assemblage par l'exemple : le nœud central $1$ reçoit les deux éléments, son bloc diagonal est ${\mathbf{K}}_1+{\mathbf{K}}_2=\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cc}24& 0\\ 0& 8h^2\end{array}\right)$ (les termes $\pm 6h$ s'annulent) et son second membre ${\mathbf{B}}_1=(ph,0)$. Les encastrements annulent $u_0,{\theta }_0,u_2,{\theta }_2$.

7. Résolution

Le système réduit (seul le nœud $1$ est libre)

$$\frac{EI}{h^3}\left(\begin{array}{cc}24& 0\\ 0& 8h^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ph\\ 0\end{array}\right)$$

donne ${\theta }_1=0$ (symétrie) et $u_1=\frac{p{h}^4}{24EI}$. Avec $h=L/2$, $u_1=\frac{p{L}^4}{384EI}=f$.

8. Présentation de la solution

Exercice : Poutre console sous charge d'extrémité

Solution

1. Formulation variationnelle

Modèle d'Euler--Bernoulli, $a(u,v)=EI{\int }_0^L{u}^{\prime \prime }{v}^{\prime \prime }\mathrm{d}x$, avec ici une force ponctuelle $P$ à l'extrémité libre (terme nodal du second membre).