Barres articulées dans l'espace

8.1 L'élément barre dans l'espace

Un treillis spatial est un assemblage de barres articulées dans l'espace : chaque barre ne transmet qu'un effort axial. L'élément est un segment à deux nœuds, mais chaque nœud porte désormais trois translations $(u_x,u_y,u_z)$, soit six degrés de liberté. Dans son repère local, la barre n'a qu'un déplacement axial par nœud, de matrice $\mathbf{m}=\frac{EA}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$ (chapitre 7).

Le déplacement global se projette sur l'axe de la barre par les cosinus directeurs

$$C_1=\cos \alpha =\frac{X_2-X_1}{L},C_2=\cos \beta =\frac{Y_2-Y_1}{L},C_3=\cos \gamma =\frac{Z_2-Z_1}{L},$$

avec $L=\sqrt{(X_2-X_1{)}^2+(Y_2-Y_1{)}^2+(Z_2-Z_1{)}^2}$. Le vecteur $\mathbf{n}=(C_1,C_2,C_3)$ est unitaire et dirige la barre. La matrice de passage $Q$ ($2\times 6$) exprime les deux déplacements axiaux locaux en fonction des six déplacements globaux :

$$\left(\begin{array}{c}{u}_1^{\text{loc}}\\ u_2^{\text{loc}}\end{array}\right)=Q\overrightarrow{U},Q=\left(\begin{array}{cccccc}{C}_1& C_2& C_3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& C_1& C_2& C_3\end{array}\right).$$

L'invariance de l'énergie de déformation ($\frac{1}{2}{\overrightarrow{U}}^{\top }M\overrightarrow{U}=\frac{1}{2}(Q\overrightarrow{U}{)}^{\top }\mathbf{m}(Q\overrightarrow{U})$) donne la matrice de rigidité globale $M=Q^{\top }\mathbf{m}Q$, soit, par blocs,

$$M=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{cc}\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }& -\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }\\ -\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }& \mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }\end{array}\right),\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }=\left(\begin{array}{ccc}{C}_1^2& C_1{C}_2& C_1{C}_3\\ C_1{C}_2& C_2^2& C_2{C}_3\\ C_1{C}_3& C_2{C}_3& C_3^2\end{array}\right).$$

C'est la généralisation directe de la matrice $\left[\begin{array}{cc}{c}^2& cs\\ cs& s^2\end{array}\right]$ du plan : en posant $C_3=0$, on retrouve exactement l'élément du chapitre 7.

Exercice : Trépied spatial sous charge verticale

Solution

1. Formulation variationnelle

Comme aux chapitres précédents, chaque barre ne reprend qu'un effort axial ; $a(u,v)={\sum }_e{\int }_0^{L_e}EA{u}^{\prime }{v}^{\prime }\mathrm{d}x={\sum }_i{\overrightarrow{F}}_i\cdot {\overrightarrow{v}}_i$ conduit au système $\mathbf{KU}=\mathbf{B}$.

2. Choix de l'élément fini

Élément barre spatial à deux nœuds (trois translations par nœud), de matrice globale $M=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{cc}\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }& -\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }\\ -\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }& \mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }\end{array}\right)$ (ouverture du chapitre), $\mathbf{n}=(C_1,C_2,C_3)$.

3. Matrice élémentaire

Toutes les barres ont la même longueur $L=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{1,5^2+2^2}=2,5$m, donc la même raideur axiale

$$\frac{EA}{L}=\frac{2\times 10^7}{2,5}=8\times 10^6\text{N/m},EA=200\text{GPa}\times 100{\text{mm}}^2=2\times 10^7\text{N}.$$

Seuls les cosinus directeurs $\mathbf{n}$ distinguent les barres ; le bloc $\frac{EA}{L}\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\top }$ porte les produits $C_i{C}_j$.

4. Maillage

Le sommet $0$ est relié à trois appuis fixes $1,2,3$ répartis à $120^{\circ }$ sur un cercle de rayon $R=1,5$m, à la hauteur $H=2$m. Trois nœuds de base (carrés bleus, encastrés) et trois barres.

5. Nœuds et tableau de connectivité

Cosinus directeurs (du sommet vers la base) :

La composante verticale $|C_3|=H/L=0,80$ est commune aux trois barres.

6. Assemblage

Les trois appuis étant fixes ($9$ degrés bloqués), seul le sommet $0$ est libre : son bloc $3\times 3$ assemblé somme les contributions des trois barres, $K_0=\frac{EA}{L}{\sum }_e{\mathbf{n}}_e{\mathbf{n}}_e^{\top }$. Assemblage par l'exemple : par symétrie d'ordre $3$, les termes croisés s'annulent (${\sum }_e{C}_1{C}_2={\sum }_e{C}_1{C}_3={\sum }_e{C}_2{C}_3=0$) et le bloc est diagonal :

$$K_0=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{ccc}0,54& 0& 0\\ 0& 0,54& 0\\ 0& 0& 1,92\end{array}\right)=10^6\left(\begin{array}{ccc}4,32& 0& 0\\ 0& 4,32& 0\\ 0& 0& 15,36\end{array}\right),$$

où $1,92=3C_3^2$ est la raideur verticale et $0,54$ la raideur horizontale (selon $x$ comme selon $y$).