Barres articulées planes

7.1 L'élément barre à deux nœuds

Un treillis est un assemblage de barres articulées : chaque barre ne transmet qu'un effort axial, sans flexion. L'élément correspondant est un segment de droite à deux nœuds, plongé dans le plan. Son champ de déplacement axial est interpolé linéairement par les fonctions de base de Lagrange sur l'élément de référence $\xi \in [0,1]$ :

$$N_1(\xi )=1-\xi ,N_2(\xi )=\xi .$$

La déformation axiale $u^{\prime }=(u_j-u_i)/L$ étant constante, la matrice de raideur locale vaut ${\mathbf{k}}_{\text{loc}}=\frac{EA}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$. Après projection dans le repère global par les cosinus directeurs $c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$, chaque nœud porte deux degrés de liberté $(u_x,u_y)$ et la matrice $4\times 4$ s'écrit

$$\mathbf{k}=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{cccc}{c}^2& cs& -c^2& -cs\\ cs& s^2& -cs& -s^2\\ -c^2& -cs& c^2& cs\\ -cs& -s^2& cs& s^2\end{array}\right).$$

L'exercice suivant déroule l'ensemble de la chaîne sur un cas complet.

Exercice : Treillis triangulaire demi-équilatéral

Solution

1. Formulation variationnelle

Chaque barre ne reprend qu'un effort axial. À partir de l'équilibre $(EA{u}^{\prime }{)}^{\prime }=0$, on multiplie par un déplacement virtuel $v$ admissible et l'on intègre par parties sur chaque barre : trouver $u\in V$ tel que, pour tout $v\in V_0$,

$$a(u,v)=\sum _e{\int }_0^{L_e}EA{u}^{\prime }{v}^{\prime }\mathrm{d}x=\sum _i{F}_i{v}_i=\ell (v).$$

La forme $a(\cdot ,\cdot )$ étant symétrique définie positive sur l'espace des déplacements admissibles, le système $\mathbf{Ku}=\mathbf{F}$ admet une solution unique.

2. Choix de l'élément fini

Support géométrique : un segment de droite à deux nœuds, plongé dans le plan. Fonctions de base : Lagrange de degré 1, $N_1(\xi )=1-\xi$ et $N_2(\xi )=\xi$, d'où $u(\xi )=N_1{u}_i+N_2{u}_j$ (un degré de liberté axial par nœud, deux après projection dans le plan).

3. Matrice élémentaire

La matrice déformation--déplacement est $\mathbf{B}=[-\frac{1}{L},\frac{1}{L}]$, d'où la raideur locale, le long de l'axe de la barre,

$${\mathbf{k}}_{\text{loc}}={\int }_0^L{\mathbf{B}}^{\top }EA\mathbf{B}\mathrm{d}x=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

La barre ne résistant que selon son axe, on projette le déplacement axial sur les axes globaux par les cosinus directeurs $c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$ ; on obtient la matrice globale $4\times 4$ (degrés $[u_{ix},u_{iy},u_{jx},u_{jy}]$)

$$\mathbf{k}=\frac{EA}{L}\left(\begin{array}{cccc}{c}^2& cs& -c^2& -cs\\ cs& s^2& -cs& -s^2\\ -c^2& -cs& c^2& cs\\ -cs& -s^2& cs& s^2\end{array}\right).$$

Chaque coefficient est le produit de $\frac{EA}{L}$ par un produit de cosinus directeurs : $k_{11}=\frac{EA}{L}{c}^2$, $k_{12}=\frac{EA}{L}cs$, $k_{22}=\frac{EA}{L}{s}^2$, les autres s'en déduisant par symétrie et changement de signe. On porte les coefficients de la raideur locale sur la barre — les termes diagonaux aux nœuds, le couplage sur l'arête :

4. Maillage

La géométrie « demi-équilatéral, rectangle en $A$ » impose un triangle $30$–$60$–$90^{\circ }$ : avec $AB=1$m, on a $AC=\sqrt{3}$m et $BC=2$m. Le maillage compte trois nœuds et trois éléments (une barre par côté).

Maillage : trois nœuds ($A,B,C$), trois éléments (numéros en vert), appuis et charge $F$.

5. Nœuds et tableau de connectivité

On place $A$ à l'origine, $AB$ selon $+x$ et $AC$ selon $-y$. Les degrés de liberté globaux sont $[u_{Ax},u_{Ay},u_{Bx},u_{By},u_{Cx},u_{Cy}]$, numérotés de $1$ à $6$.

Avec $EA=210\times 10^9\times 10^{-4}=2,10\times 10^7$N, on calcule chaque matrice élémentaire globale. Pour les barres $1$ et $2$, alignées sur les axes :

$${\mathbf{k}}_1=2,10\times 10^7\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{k}}_2=1,21\times 10^7\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right).$$

Pour la barre $3$, inclinée, on détaille le calcul des coefficients :

$$c=\frac{x_C-x_B}{L}=-\frac{1}{2},s=\frac{y_C-y_B}{L}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{EA}{L}=1,05\times 10^7,$$

$$c^2=\frac{1}{4},cs=\frac{\sqrt{3}}{4},s^2=\frac{3}{4}⟹{\mathbf{k}}_3=1,05\times 10^7\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{4}& \frac{\sqrt{3}}{4}& -\frac{1}{4}& -\frac{\sqrt{3}}{4}\\ \frac{\sqrt{3}}{4}& \frac{3}{4}& -\frac{\sqrt{3}}{4}& -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{4}& -\frac{\sqrt{3}}{4}& \frac{1}{4}& \frac{\sqrt{3}}{4}\\ -\frac{\sqrt{3}}{4}& -\frac{3}{4}& \frac{\sqrt{3}}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right),$$

soit par exemple $k_{11}^{(3)}=\frac{EA}{L}{c}^2=2,63\times 10^6$ et $k_{22}^{(3)}=\frac{EA}{L}{s}^2=7,88\times 10^6$N/m.

6. Assemblage

On disperse chaque matrice élémentaire dans la matrice globale $6\times 6$ aux indices donnés par la table de connectivité (scatter-add) :

K <- 0                       (matrice 2n x 2n, n = nb de noeuds)
pour chaque element e (noeuds i, j) :
    k_e (4x4) <- EA/L et cosinus directeurs (c, s)
    ddl <- [2i-1, 2i, 2j-1, 2j]
    K[ddl, ddl] += k_e             # dispersion (scatter-add)

Assemblage par l'exemple. Au nœud $B$ (degré $u_{Bx}$, indice global $3$) concourent deux barres — la barre $1$ ($A\to B$) et la barre $3$ ($B\to C$) ; la diagonale assemblée est la somme de leurs contributions :

$$K_{33}=k_{33}^{(1)}+k_{11}^{(3)}=21,0\times 10^6+2,63\times 10^6=23,63\times 10^6.$$

En répétant pour chaque degré, la matrice assemblée $6\times 6$ (en N/m, $\times 10^6$ ; blocs $2\times 2$ par nœud) est