Suites et séries numériques

Zénon d'Élée (V^e siècle av. J.-C.) soutenait qu'Achille ne rattraperait jamais la tortue : il lui faut d'abord atteindre la position de la tortue, pendant quoi elle a avancé, et ainsi de suite, une infinité de fois. Le paradoxe se dissout lorsqu'on comprend qu'une somme d'une infinité de durées peut être finie. Les premières sommes de séries apparaissent chez Archimède (aire du segment de parabole, somme géométrique de raison $1/4$) ; Nicole Oresme montre vers 1350 que $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$ est infinie. La théorie rigoureuse de la convergence est l'œuvre de Cauchy (1821).

Une suite réelle est une application $u:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, $n\mapsto u_n$. On la note $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$ ; $u_n$ est son terme général. La suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe $M$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_n\ge m$ pour tout $n$ ; bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $A$ tel que $\left|u_n\right|\le A$ pour tout $n$ ;
• croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$ pour tout $n$, monotone si elle est l'une ou l'autre.

Une propriété est vraie à partir d'un certain rang s'il existe $N$ tel qu'elle soit vraie pour tout $n\ge N$.

La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$, et l'on note $u_n\to \ell$ ou $\lim u_n=\ell$, si

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n\ge N,\left|u_n-\ell \right|\le \epsilon .$$

Autrement dit : quelle que soit la largeur $2\epsilon$ de la bande $[\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon ]$, tous les termes finissent par y entrer et n'en ressortent plus (figure 1.1). Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $\forall A\in \mathbb{R},\exists N,\forall n\ge N,u_n\ge A$ : elle finit par dépasser définitivement tout seuil. On définit de même $u_n\to -\infty$. Une suite qui tend vers $\pm \infty$ est divergente.

1. Si $u_n\to \ell$ et $u_n\to {\ell }^{\prime }$ avec $\ell \ne {\ell }^{\prime }$, prenons $\epsilon =\left|\ell -{\ell }^{\prime }\right|/3$ : à partir d'un certain rang, $u_n$ serait à la fois à distance $\le \epsilon$ de $\ell$ et de ${\ell }^{\prime }$, donc $\left|\ell -{\ell }^{\prime }\right|\le 2\epsilon <\left|\ell -{\ell }^{\prime }\right|$, contradiction.

1. Avec $\epsilon =1$ : il existe $N$ tel que $\left|u_n\right|\le \left|\ell \right|+1$ pour $n\ge N$. Les termes $u_0,\dots ,u_{N-1}$ sont en nombre fini, donc $\left|u_n\right|\le \max (\left|u_0\right|,\dots ,\left|u_{N-1}\right|,\left|\ell \right|+1)$ pour tout $n$.

• Une suite bornée n'est pas forcément convergente : $u_n=(-1{)}^n$ est bornée et oscille entre $-1$ et $1$.
• Une suite non majorée ne tend pas forcément vers $+\infty$ : $u_n=n(1+(-1{)}^n)$ vaut $0$ pour $n$ impair et $2n$ pour $n$ pair ; elle n'est pas majorée, mais repasse sans cesse par $0$.
• Une suite divergente n'est pas forcément non bornée : $(-1{)}^n$ encore.

Pour réfuter un énoncé général, un seul contre-exemple suffit ; les suites $(-1{)}^n$, $n(-1{)}^n$, $1/n$ et $1/n^2$ en fournissent la plupart.

$\frac{1}{n}>0$ pour tout $n\ge 1$, et pourtant $\lim \frac{1}{n}=0$. Le passage à la limite ne conserve que les inégalités larges.

Soit $\epsilon >0$. À partir d'un certain rang, $v_n\ge \ell -\epsilon$ et $w_n\le \ell +\epsilon$, donc $\ell -\epsilon \le u_n\le \ell +\epsilon$. Pour le cas particulier, on applique le théorème à $-{\epsilon }_n\le u_n\le {\epsilon }_n$ ; si $\left|b_n\right|\le B$ et $a_n\to 0$, on prend ${\epsilon }_n=B\left|a_n\right|$.

• $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ ; alors $u_n=u_0+nr$.
• $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1}=q{u}_n$ ; alors $u_n=u_0{q}^n$.

Comportement de $q^n$ :

$$q^n\underset{n\to \infty }{\to }\{\begin{array}{ll}0& \text{si }\left|q\right|<1,\\ 1& \text{si }q=1,\\ +\infty & \text{si }q>1,\end{array}\text{et }(q^n)\text{ diverge sans limite si }q\le -1.$$

$u_{n+1}\to \ell$ (c'est la même suite décalée) et $f(u_n)\to f(\ell )$ par continuité ; par unicité de la limite, $f(\ell )=\ell$.

Supposons $u_1\ge u_0$ et $u_{n+1}\ge u_n$. Comme $f$ est croissante, $f(u_{n+1})\ge f(u_n)$, c'est-à-dire $u_{n+2}\ge u_{n+1}$. On conclut par récurrence. Le cas $u_1\le u_0$ est identique.

Avec $f$ croissante, la suite est monotone, mais son sens dépend de $u_0$ : pour $f(x)=x/2$ et $u_0=1$, la suite $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots$ est décroissante. Et si $f$ est décroissante, la suite n'est en général pas monotone du tout : elle tourne autour du point fixe (figure 1.2, à droite).