Dérivation

Cours · mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur), chapitre 2 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une poutre fléchit sous sa charge, un condensateur se charge, un bâtiment se réchauffe au soleil, une suspension amortit le choc d'un nid-de-poule. Dans chacun de ces phénomènes, ce que la physique donne directement n'est pas la grandeur elle-même, mais sa vitesse de variation : le courant est la dérivée de la charge, le flux de chaleur est proportionnel à un écart de température, la courbure d'une poutre est la dérivée seconde de sa flèche. L'ingénieur écrit donc des relations entre une fonction et ses dérivées — des équations différentielles — et doit savoir les résoudre.

Ce chapitre réunit les outils de ce travail. Il est organisé autour de trois gestes : dériver une composée sans erreur (une variable, puis plusieurs) ; changer de variables, dans une équation ou dans un système de coordonnées ; résoudre une équation différentielle linéaire, en séparant solution de l'équation homogène et solution particulière.

Repère historique

Newton (vers 1665) et Leibniz (1684) inventent indépendamment le calcul différentiel, le premier pour la mécanique (ses « fluxions » $x ˙$ ), le second avec la notation $\frac{d y}{d x}$ qui a survécu parce qu'elle calcule toute seule : la règle de la chaîne s'y lit comme une simplification de fractions. La notation $f^{'}$ est de Lagrange (1797). D'Alembert résout en 1747 l'équation des cordes vibrantes par le changement de variables $u = x - c t$ , $v = x + c t$ (section 2.2) ; Euler et Daniel Bernoulli étudient la flexion des poutres. La définition rigoureuse de la dérivée comme limite est l'œuvre de Cauchy (1823).

2.1 Dérivée d'une fonction d'une variable

2.1.1 Définition

Définition — Nombre dérivé, fonction dérivée

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

admet une limite finie lorsque $h \to 0$ ( $h \neq = 0$ ). Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ ou $\frac{d f}{d x} (a)$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)$ est la fonction dérivée de $f$ .

Le taux d'accroissement est la pente de la sécante qui joint les points d'abscisses $a$ et $a + h$ de la courbe ; quand $h \to 0$ , la sécante pivote et tend vers la tangente au point $(a, f (a))$ , d'équation $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ (figure 2.1). Autrement dit, près de $a$ ,

$f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + h ε (h), ε (h) h \to 0 0 :$

la tangente est la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ . C'est sous cette forme que l'ingénieur s'en sert : une petite variation $h$ de l'entrée produit une variation $f^{'} (a) h$ de la sortie.

Figure : La sécante (rouge) a pour pente le taux d'accroissement

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ; lorsque $h \to 0$ , elle tend vers la tangente (verte),

de pente

f^{'} (a)

Exemple 2.1Dérivée de la racine carrée

Soit $f (x) = x$ et $a > 0$ . On multiplie par la quantité conjuguée :

$\frac{a + h - a}{h} = \frac{( a + h ) - a}{h ( a + h + a )} = \frac{1}{a + h + a} h \to 0 \frac{1}{2 a} .$

Donc $f^{'} (a) = \frac{1}{2 a}$ . En $a = 0$ , en revanche, le taux $\frac{h}{h} = \frac{1}{h}$ tend vers $+ \infty$ quand $h \to 0^{+}$ : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , sa courbe y a une tangente verticale.

Proposition 2.2

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Démonstration

$f (a + h) - f (a) = h \cdot \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ est le produit d'un facteur qui tend vers $0$ et d'un facteur qui tend vers $f^{'} (a)$ : il tend vers $0$ .

La réciproque est fausse

La fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable : le taux $\frac{∣ h ∣}{h}$ vaut $1$ pour $h > 0$ et $- 1$ pour $h < 0$ (section 2.1.5). Une courbe continue peut avoir des points anguleux.

2.1.2 Dérivées usuelles et règles de calcul

$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f (x)$	$f^{'} (x)$
$x^{n}$ ( $n \in N^{*}$ )	$n x^{n - 1}$	$e^{x}$	$e^{x}$
$x^{α}$ ( $α \in R$ , $x > 0$ )	$α x^{α - 1}$	$ln x$ ( $x > 0$ )	$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$ln ∣ x ∣$ ( $x \neq = 0$ )	$\frac{1}{x}$
$x$ ( $x > 0$ )	$\frac{1}{2 x}$	$sin x$	$cos x$
$arctan x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$cos x$	$- sin x$
$arcsin x$ ( $∣ x ∣ < 1$ )	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

Il est plus sûr de savoir retrouver une formule que de la retenir : la dérivée de $tan$ découle de celle d'un quotient, celle d' $arctan$ de celle d'une réciproque, celle de $ln ∣ x ∣$ de celle d'une composée. Les règles suivantes suffisent.

◆Théorème 2.3Opérations

Soient $f$ et $g$ dérivables sur $I$ et $λ \in R$ .

Linéarité : $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ et $(λ f)^{'} = λ f^{'}$ .
Produit : $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ .
Quotient : si $g$ ne s'annule pas sur $I$ , $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .

Démonstration

Pour le produit, on intercale $f (a) g (a + h)$ :

$\frac{f ( a + h ) g ( a + h ) - f ( a ) g ( a )}{h} = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} g (a + h) + f (a) \frac{g ( a + h ) - g ( a )}{h},$

qui tend vers $f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a)$ quand $h \to 0$ , car $g$ , dérivable, est continue en $a$ . Le quotient s'obtient en écrivant $\frac{f}{g} = f \cdot g^{- 1}$ et en utilisant $(g^{- 1})^{'} = - g^{'} g^{- 2}$ (cas particulier du théorème 2.5).

Exemple 2.4Produit et quotient

$(x^{2} e^{- x})^{'} = 2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x} = (2 x - x^{2}) e^{- x}$ .
$(\frac{x ^{2} + 1}{x - 1})^{'} = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}$ ( $x \neq = 1$ ).
$tan = \frac{sin}{cos}$ , donc $tan^{'} = \frac{cos \cdot cos - sin \cdot ( - sin )}{cos ^{2}} = \frac{1}{cos ^{2}} = 1 + tan^{2}$ .

◆Théorème 2.5Dérivée d'une composée

Si $u$ est dérivable en $x$ et $f$ dérivable en $u (x)$ , alors $f \circ u$ est dérivable en $x$ et

$(f \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot f^{'} (u (x)) .$

En notation de Leibniz, avec $y = f (u)$ et $u = u (x)$ : $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .

Démonstration

Posons $k = u (x + h) - u (x)$ , qui tend vers $0$ avec $h$ (continuité de $u$ ). L'approximation affine de $f$ en $u (x)$ s'écrit $f (u (x) + k) - f (u (x)) = k (f^{'} (u (x)) + ε (k))$ avec $ε (k) \to 0$ (et $ε (0) = 0$ ). En divisant par $h$ :

$\frac{f ( u ( x + h )) - f ( u ( x ))}{h} = \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} (f^{'} (u (x)) + ε (k)) h \to 0 u^{'} (x) f^{'} (u (x)) .$

Méthode — Les composées de tous les jours

Pour $u$ dérivable :

$(u^{α})^{'} = α u^{'} u^{α - 1}, (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}, (cos u)^{'} = - u^{'} sin u, (ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (sin u)^{'} = u^{'} cos u .$

On dérive de l'extérieur vers l'intérieur : on dérive la fonction la plus extérieure en laissant son argument intact, puis on multiplie par la dérivée de cet argument, et ainsi de suite.

Exemple 2.6Composées

$(e^{- x^{2} /2})^{'} = - x e^{- x^{2} /2}$ : la courbe en cloche de Gauss a une tangente horizontale en $0$ seulement.
$(ln (1 + e^{x}))^{'} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}$ .
$(cos^{3} (2 x))^{'} = 3 cos^{2} (2 x) \cdot (- 2 sin (2 x)) = - 6 sin (2 x) cos^{2} (2 x)$ : trois étages, puissance, cosinus, $2 x$ .
$(1 + cos^{2} x)^{'} = \frac{2 cos x \cdot ( - sin x )}{2 1 + cos ^{2} x} = - \frac{sin x cos x}{1 + cos ^{2} x}$ .

Le facteur oublié

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la dérivée de l'argument : $(e^{- x^{2} /2})^{'}$ n'est pas $e^{- x^{2} /2}$ . Un contrôle simple : la dérivée d'une fonction paire est impaire, celle d'une fonction impaire est paire. Ici, $e^{- x^{2} /2}$ est paire et $- x e^{- x^{2} /2}$ est bien impaire.

2.1.3 Dérivée de la fonction réciproque

Si $f$ est une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$ , sa réciproque $f^{- 1} : J \to I$ vérifie $f (f^{- 1} (y)) = y$ pour $y \in J$ et $f^{- 1} (f (x)) = x$ pour $x \in I$ . Sa courbe est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite $y = x$ ; les tangentes se correspondent par cette symétrie, et une pente $p$ devient une pente $1/ p$ .

◆Théorème 2.7Dérivée de la réciproque

Soit $f$ dérivable et strictement monotone sur un intervalle $I$ , de réciproque $f^{- 1}$ . Si $f^{'} (f^{- 1} (y)) \neq = 0$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $y$ et

$(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )} .$

En notation de Leibniz, avec $y = f (x)$ : $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}$ .

Démonstration

On admet que $f^{- 1}$ est continue. Si l'on sait que $f^{- 1}$ est dérivable, la formule s'obtient en dérivant l'identité $f (f^{- 1} (y)) = y$ par le théorème 2.5 : $(f^{- 1})^{'} (y) \cdot f^{'} (f^{- 1} (y)) = 1$ . Pour la dérivabilité elle-même : posons $x = f^{- 1} (y)$ et $x + k = f^{- 1} (y + h)$ ; alors $h = f (x + k) - f (x)$ , et $k \to 0$ quand $h \to 0$ par continuité, donc $\frac{f ^{- 1} ( y + h ) - f ^{- 1} ( y )}{h} = \frac{k}{f ( x + k ) - f ( x )} \to \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ .

Méthode — Dériver une réciproque

Pour dériver $x = f^{- 1} (y)$ : écrire $y = f (x)$ , calculer $\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ , puis exprimer ce résultat en fonction de $y$ à l'aide d'une identité reliant $f^{'}$ et $f$ ; enfin $\frac{d x}{d y} = 1 / \frac{d y}{d x}$ .

Exemple 2.8La dérivée d'arcsin, retrouvée

La fonction $sin$ est une bijection strictement croissante de $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ sur $[- 1, 1]$ ; sa réciproque est $arcsin$ . Posons $y = sin x$ , soit $x = arcsin y$ . Alors $\frac{d y}{d x} = cos x$ , et sur cet intervalle $cos x \geq 0$ , donc $cos x = 1 - sin^{2} x = 1 - y^{2}$ . Si $∣ y ∣ < 1$ , ce nombre est non nul et

$\frac{d}{d y} arcsin y = \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - y ^{2}} (∣ y ∣ < 1) .$

L'étape décisive est d'avoir écrit $\frac{d y}{d x}$ en fonction de $y$ : sous la forme $cos x$ , le résultat $cos (arcsin y)$ n'aurait rien dit d'utilisable ; le choix du signe de la racine vient de l'intervalle sur lequel $sin$ est inversée. En $y = \pm 1$ , la tangente horizontale de $sin$ en $\pm \frac{π}{2}$ devient une tangente verticale : $arcsin$ n'y est pas dérivable. De la même façon, $ln$ est la réciproque de $exp$ : si $y = e^{x}$ , $\frac{d y}{d x} = e^{x} = y$ , donc $(ln y)^{'} = \frac{1}{y}$ ; et la dérivée d' $arctan$ du tableau se retrouve en partant de $tan^{'} = 1 + tan^{2}$ .

Une tangente horizontale devient verticale

La condition $f^{'} \neq = 0$ n'est pas une formalité. La fonction $f (x) = x^{3}$ est une bijection strictement croissante de $R$ sur $R$ , de réciproque $y \mapsto 3 y$ ; mais $f^{'} (0) = 0$ , et la racine cubique n'est pas dérivable en $0$ : sa courbe y a une tangente verticale, symétrique de la tangente horizontale de $x^{3}$ .

2.1.4 Dérivées successives et formule de Leibniz

Définition — Dérivées successives

Si $f^{'}$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f^{''} = \frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}$ . Par récurrence, la dérivée $n$ -ième (ou d'ordre $n$ ) est $f^{(n)} = (f^{(n - 1)})^{'}$ , notée aussi $\frac{d ^{n} f}{d x ^{n}}$ , avec la convention $f^{(0)} = f$ .

Quelques dérivées $n$ -ièmes se lisent immédiatement, et servent de briques :

$(e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}, (sin x)^{(n)} = sin (x + n \frac{π}{2}), (cos x)^{(n)} = cos (x + n \frac{π}{2}),$

$(x^{m})^{(n)} = \frac{m !}{( m - n )!} x^{m - n} si n \leq m, 0 si n > m, (\frac{1}{x})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}} .$

(Pour le sinus : dériver revient à ajouter $\frac{π}{2}$ à l'argument, puisque $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ .)

◆Théorème 2.9Formule de Leibniz

Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables, alors $f g$ l'est aussi et

$(f g)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) f^{(k)} g^{(n - k)}, (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

Démonstration

Par récurrence sur $n$ ; pour $n = 1$ , c'est la règle du produit. Si la formule est vraie au rang $n$ , on dérive chaque terme $f^{(k)} g^{(n - k)}$ par la règle du produit, ce qui donne $f^{(k + 1)} g^{(n - k)} + f^{(k)} g^{(n + 1 - k)}$ ; en regroupant les termes en $f^{(k)} g^{(n + 1 - k)}$ , on obtient le coefficient $(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)$ (relation du triangle de Pascal).

La formule est calquée sur celle du binôme $(a + b)^{n}$ . Elle n'est vraiment utile que si l'un des deux facteurs est un polynôme : ses dérivées s'annulent au-delà de son degré, et la somme n'a plus que quelques termes.

Exemple 2.10Dérivée

n

-ième de

x e^{- x}

Avec $f (x) = x$ (dont seules $f$ et $f^{'} = 1$ sont non nulles) et $g (x) = e^{- x}$ , $g^{(k)} (x) = (- 1)^{k} e^{- x}$ :

$(x e^{- x})^{(n)} = (0 n) x (- 1)^{n} e^{- x} + (1 n) \cdot 1 \cdot (- 1)^{n - 1} e^{- x} = (- 1)^{n} (x - n) e^{- x} .$

Contrôle pour $n = 1$ : $(x e^{- x})^{'} = e^{- x} - x e^{- x} = - (x - 1) e^{- x}$ .

2.1.5 Fonctions de classe $C^{k}$ , dérivées à droite et à gauche

Définition — Classe $C^{k}$

Soit $k \in N$ . Une fonction $f$ est de classe $C^{k}$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et si $f^{(k)}$ est continue sur $I$ (les dérivées d'ordre inférieur, dérivables, sont alors continues elles aussi). Ainsi « $f$ est $C^{2}$ » signifie : $f$ , $f^{'}$ et $f^{''}$ existent et sont continues. $C^{0}$ désigne les fonctions continues ; $f$ est $C^{\infty}$ si elle est $C^{k}$ pour tout $k$ .

Les polynômes, $exp$ , $sin$ , $cos$ sont $C^{\infty}$ sur $R$ ; $ln$ et $x \mapsto x^{α}$ le sont sur $] 0, + \infty [$ ; sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions $C^{k}$ sont $C^{k}$ . Les difficultés viennent des fonctions définies par morceaux, ou avec des valeurs absolues, aux points de raccord.

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Repère historique

2.1 Dérivée d'une fonction d'une variable

2.1.1 Définition

Définition — Nombre dérivé, fonction dérivée

Démonstration

La réciproque est fausse

2.1.2 Dérivées usuelles et règles de calcul

Démonstration

Démonstration

Méthode — Les composées de tous les jours

Le facteur oublié

2.1.3 Dérivée de la fonction réciproque

Démonstration

Méthode — Dériver une réciproque

Une tangente horizontale devient verticale

2.1.4 Dérivées successives et formule de Leibniz

Définition — Dérivées successives

Démonstration

2.1.5 Fonctions de classe Ck, dérivées à droite et à gauche

Définition — Classe Ck

2.1.5 Fonctions de classe $C^{k}$ , dérivées à droite et à gauche

Définition — Classe $C^{k}$