Calcul vectoriel

L'idée d'additionner des grandeurs orientées remonte à la règle du parallélogramme des forces (Stevin, vers 1586). Grassmann publie en 1844 une théorie générale des « grandeurs extensives », ancêtre des espaces vectoriels, que presque personne ne lit ; Hamilton invente la même année les quaternions, dont Gibbs et Heaviside extraient vers 1880 le produit scalaire, le produit vectoriel et les opérateurs $\nabla$ de l'analyse vectorielle moderne. Côté ingénieur, Fourier publie en 1822 sa Théorie analytique de la chaleur, et Darcy, en 1856, la loi d'écoulement de l'eau à travers les sables qu'il a mesurée pour les fontaines de Dijon. L'équation $\Delta u=0$ porte le nom de Laplace, qui l'étudie vers 1785 pour le potentiel de gravitation.

${\mathbb{R}}^3$ est l'ensemble des triplets $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ de nombres réels, appelés vecteurs ; $u_1$, $u_2$, $u_3$ sont ses composantes. On définit, pour $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^3$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ (un scalaire) :

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3),\lambda \overrightarrow{u}=(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3).$$

Le vecteur nul est $\overrightarrow{0}=(0,0,0)$, l'opposé de $\overrightarrow{u}$ est $-\overrightarrow{u}=(-1)\overrightarrow{u}$, et $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$. On définit de même ${\mathbb{R}}^2$, ensemble des couples $(u_1,u_2)$.

Les deux opérations agissant composante par composante, chaque propriété se ramène, composante par composante, à une propriété des nombres réels. Par exemple, pour la propriété 7, la $i$-ième composante de $(\lambda +\mu )\overrightarrow{u}$ est $(\lambda +\mu )u_i=\lambda u_i+\mu u_i$, qui est la $i$-ième composante de $\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u}$ : c'est la distributivité dans $\mathbb{R}$. Les sept autres se traitent de la même façon (commutativité et associativité de l'addition des réels, $0$ neutre, $-u_i$ opposé de $u_i$, $1\cdot u_i=u_i$, associativité et distributivité du produit).

Une combinaison linéaire des vecteurs ${\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p$ est un vecteur de la forme

$${\lambda }_1{\overrightarrow{u}}_1+{\lambda }_2{\overrightarrow{u}}_2+\cdots +{\lambda }_p{\overrightarrow{u}}_p,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p\in \mathbb{R}.$$

Une partie $F$ de ${\mathbb{R}}^n$ ($n=2$ ou $3$) est un sous-espace vectoriel si

• $\overrightarrow{0}\in F$ ;
• $F$ est stable par addition et par multiplication par un scalaire : pour tous $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}\in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in F$ et $\lambda \overrightarrow{u}\in F$.

De façon équivalente : $F$ contient $\overrightarrow{0}$ et toute combinaison linéaire de vecteurs de $F$ est dans $F$. Un sous-espace vectoriel, muni des mêmes opérations, vérifie les huit propriétés du théorème 3.1 : c'est lui-même un espace vectoriel.

Pour une équation : $(0,0,0)$ la vérifie ; si $\overrightarrow{u}=(x,y,z)$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ la vérifient, alors $a(x+x^{\prime })+b(y+y^{\prime })+c(z+z^{\prime })=(ax+by+cz)+(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+c{z}^{\prime })=0$ et $a(\lambda x)+b(\lambda y)+c(\lambda z)=\lambda (ax+by+cz)=0$. Pour un système, on raisonne de même équation par équation.

• Pour montrer que $F$ n'est pas un sous-espace, un seul contre-exemple suffit. Premier test : $\overrightarrow{0}\in F$ ? S'il échoue, c'est fini. Sinon, chercher deux vecteurs de $F$ dont la somme sort de $F$, ou un vecteur et un scalaire (souvent $-1$) qui en sortent.
• Pour montrer que $F$ en est un : reconnaître un ensemble défini par des équations linéaires homogènes (proposition 3.3), ou un $\mathrm{Vect}$ (proposition 3.5) ; à défaut, vérifier les deux points de la définition pour des vecteurs quelconques.

Un carré, un produit de coordonnées, une inégalité ou un second membre non nul dans la définition de $F$ rendent suspect ; mais c'est le contre-exemple qui conclut.

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ${\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p$ est noté $\mathrm{Vect}({\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p)$ : c'est le sous-espace engendré par ces vecteurs.

$\overrightarrow{0}=0{\overrightarrow{u}}_1+\cdots +0{\overrightarrow{u}}_p$ en fait partie ; la somme de deux combinaisons linéaires $\sum {\lambda }_i{\overrightarrow{u}}_i+\sum {\mu }_i{\overrightarrow{u}}_i=\sum ({\lambda }_i+{\mu }_i){\overrightarrow{u}}_i$ et le produit $\lambda \sum {\lambda }_i{\overrightarrow{u}}_i=\sum (\lambda {\lambda }_i){\overrightarrow{u}}_i$ en sont encore. Enfin, un sous-espace qui contient les ${\overrightarrow{u}}_i$ contient toutes leurs combinaisons linéaires, donc contient $\mathrm{Vect}({\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p)$.

1. $\overrightarrow{0}$ est dans $F$ et dans $G$ ; une combinaison linéaire de vecteurs de $F\cap G$ est dans $F$ (stabilité de $F$) et dans $G$, donc dans $F\cap G$.
2. Un vecteur de $F+G$ s'écrit $\sum {\lambda }_i{\overrightarrow{u}}_i+\sum {\mu }_j{\overrightarrow{v}}_j$, et réciproquement un tel vecteur est la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ : $F+G$ est le $\mathrm{Vect}$ annoncé, donc un sous-espace (proposition 3.5).

La réunion $F\cup G$ de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace : si $F$ et $G$ sont deux droites distinctes, $\overrightarrow{u}\in F$ et $\overrightarrow{v}\in G$ non nuls, alors $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ n'est ni dans $F$ (sinon $\overrightarrow{v}=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})-\overrightarrow{u}$ serait dans $F$), ni dans $G$ (figure 3.1). Le plus petit sous-espace qui contient $F$ et $G$ est leur somme $F+G$.

• De l'équation aux vecteurs : on exprime une inconnue en fonction des deux autres, qui deviennent des paramètres libres.
• Des vecteurs à l'équation : $(x,y,z)\in \mathrm{Vect}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ si et seulement si le système $(x,y,z)=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$, d'inconnues $a$ et $b$, a une solution ; on élimine $a$ et $b$, et la condition qui reste sur $(x,y,z)$ est l'équation cherchée. (Le produit vectoriel donnera un raccourci : section 3.6.)

Soit $({\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p)$ une famille de vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$.

• Elle est libre (ses vecteurs sont linéairement indépendants) si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

$${\lambda }_1{\overrightarrow{u}}_1+\cdots +{\lambda }_p{\overrightarrow{u}}_p=\overrightarrow{0}⟹{\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_p=0.$$

• Elle est liée sinon : il existe des coefficients non tous nuls tels que ${\lambda }_1{\overrightarrow{u}}_1+\cdots +{\lambda }_p{\overrightarrow{u}}_p=\overrightarrow{0}$ (une relation de dépendance linéaire).
• Elle est génératrice d'un sous-espace $F$ si $F=\mathrm{Vect}({\overrightarrow{u}}_1,\dots ,{\overrightarrow{u}}_p)$ : tout vecteur de $F$ est combinaison linéaire des ${\overrightarrow{u}}_i$.
• C'est une base de $F$ si elle est à la fois libre et génératrice de $F$.

1. Si $\sum {\lambda }_i{\overrightarrow{u}}_i=\overrightarrow{0}$ avec, disons, ${\lambda }_1\ne 0$, alors ${\overrightarrow{u}}_1=-\frac{1}{{\lambda }_1}{\sum }_{i\ge 2}{\lambda }_i{\overrightarrow{u}}_i$. Réciproquement, si ${\overrightarrow{u}}_1={\sum }_{i\ge 2}{\mu }_i{\overrightarrow{u}}_i$, alors ${\overrightarrow{u}}_1-{\sum }_{i\ge 2}{\mu }_i{\overrightarrow{u}}_i=\overrightarrow{0}$ est une relation de coefficient $1\ne 0$ devant ${\overrightarrow{u}}_1$. Si ${\overrightarrow{u}}_1=\overrightarrow{0}$, la relation $1\cdot {\overrightarrow{u}}_1=\overrightarrow{0}$ suffit.
2. C'est le point 1 pour $p=1$ ($\lambda \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ avec $\lambda \ne 0$ force $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$) et pour $p=2$ ($\overrightarrow{u}$ est multiple de $\overrightarrow{v}$, ou $\overrightarrow{v}$ de $\overrightarrow{u}$).

Le déterminant de deux vecteurs $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$, $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ de ${\mathbb{R}}^2$, et celui de trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ de ${\mathbb{R}}^3$ écrits en colonnes, sont

$$\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\left|\begin{array}{cc}{u}_1& v_1\\ u_2& v_2\end{array}\right|=u_1{v}_2-u_2{v}_1,$$

$$\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\left|\begin{array}{ccc}{u}_1& v_1& w_1\\ u_2& v_2& w_2\\ u_3& v_3& w_3\end{array}\right|=u_1\left|\begin{array}{cc}{v}_2& w_2\\ v_3& w_3\end{array}\right|-u_2\left|\begin{array}{cc}{v}_1& w_1\\ v_3& w_3\end{array}\right|+u_3\left|\begin{array}{cc}{v}_1& w_1\\ v_2& w_2\end{array}\right|$$

(développement selon la première colonne ; la règle de Sarrus donne le même résultat).

Soit $\delta =u_1{v}_2-u_2{v}_1$. Le système $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=(x,y)$ s'écrit $a{u}_1+b{v}_1=x$, $a{u}_2+b{v}_2=y$. En multipliant la première équation par $v_2$, la seconde par $v_1$ et en soustrayant, on obtient $a\delta =x{v}_2-y{v}_1$ ; de même $b\delta =u_{1}y-u_{2}x$. Si $\delta \ne 0$, le système a donc une solution et une seule pour tout $(x,y)$ : la famille est génératrice, et libre (pour $(x,y)=(0,0)$, la seule solution est $a=b=0$). Si $\delta =0$, le vecteur $v_2\overrightarrow{u}-u_2\overrightarrow{v}=(\delta ,0)$ est nul, ainsi que $v_1\overrightarrow{u}-u_1\overrightarrow{v}=(0,-\delta )$ ; si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas tous deux nuls, l'une de ces deux relations a un coefficient non nul : la famille est liée.