Développements limités

Cours · mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur), chapitre 4 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une calculatrice ne sait faire que des additions et des multiplications. Quand on lui demande $sin (0, 3)$ ou $e^{0, 1}$ , elle calcule en réalité un polynôme, choisi pour être extrêmement proche de la fonction près du point qui l'intéresse. L'ingénieur fait de même, à la main et souvent sans le dire : il remplace $sin θ$ par $θ$ pour un pendule qui oscille peu, $1 + u$ par $1 + \frac{u}{2}$ pour corriger une visée de la rotondité de la Terre, une chaînette par une parabole pour calculer la flèche d'un câble, $(1 + x)^{n}$ par $1 + n x$ pour estimer une dilatation ou un intérêt composé. Chacune de ces simplifications est un développement limité : l'écriture d'une fonction, près d'un point, comme un polynôme plus un reste négligeable.

Ce chapitre apprend à les écrire et à s'en servir. Il est organisé autour de quatre gestes : écrire le développement d'une fonction usuelle ; combiner des développements (sommes, produits, composées, quotients) pour obtenir celui d'une fonction compliquée ; s'en servir pour lever une forme indéterminée, trouver un équivalent ou placer une courbe par rapport à sa tangente ; enfin, chiffrer l'erreur commise, pour savoir combien de termes garder. Il prolonge les chapitres précédents : la notation $o$ et les équivalents du chapitre 1, les dérivées successives du chapitre 2.

Repère historique

Les premiers développements de $sin$ , $cos$ et $arctan$ sont dus à Madhava, dans le Kerala indien, vers 1400. En Europe, Gregory retrouve celui d' $arctan$ en 1671, et Machin s'en sert en 1706 pour calculer cent décimales de $π$ (exercice 4.10). Brook Taylor publie en 1715 la formule générale qui porte son nom ; Maclaurin en popularise le cas du point $0$ en 1742. Lagrange donne en 1797 la première expression du reste, ce qui permet enfin de chiffrer l'erreur. La forme « $+ o (x^{n})$ », la plus commode pour calculer, est fixée par William Henry Young en 1910, avec la notation $o$ qu'Edmund Landau vient de populariser (1909).

4.1 Approcher une fonction par un polynôme

4.1.1 De la tangente à la parabole

Au chapitre 2, la tangente est apparue comme la meilleure approximation affine d'une fonction près d'un point. Pour l'exponentielle en $0$ , c'est la droite $y = 1 + x$ . Peut-on faire mieux en autorisant un terme en $x^{2}$ , puis en $x^{3}$ ? Comparons, pour $x = 0, 1$ :

approximation	valeur en $x = 0, 1$	erreur commise
$1 + x$	$1, 1$	$5, 2 \cdot 1 0^{- 3}$
$1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$	$1, 105$	$1, 7 \cdot 1 0^{- 4}$
$1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}$	$1, 105167$	$4, 3 \cdot 1 0^{- 6}$
$e^{0, 1}$ (valeur exacte)	$1, 105170918 \dots$

Chaque terme ajouté divise l'erreur par $30$ à $40$ : près de $0$ , les polynômes de plus en plus longs collent de mieux en mieux à l'exponentielle (figure 4.1).

Figure : L'exponentielle (bleu) et trois polynômes qui l'approchent près de

$0$ : la tangente $1 + x$ , puis les polynômes de degré $2$ et $3$ . Plus le degré

est élevé, plus l'accord est bon, et sur un intervalle plus large.

Comment ces coefficients ont-ils été choisis ? Un polynôme $P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ vérifie $P (0) = a_{0}$ , $P^{'} (0) = a_{1}$ , $P^{''} (0) = 2 a_{2}$ et $P^{'''} (0) = 6 a_{3}$ . Pour qu'il ait en $0$ la même valeur et les mêmes trois premières dérivées que $f$ , il faut donc

$a_{0} = f (0), a_{1} = f^{'} (0), a_{2} = \frac{f ^{''} ( 0 )}{2}, a_{3} = \frac{f ^{'''} ( 0 )}{6} .$

Pour l'exponentielle, toutes les dérivées valent $1$ en $0$ : on retrouve $1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}$ .

Définition — Polynôme de Taylor

Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $0$ . Son polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $0$ est

$P_{n} (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ^{''} ( 0 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} .$

C'est l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui a, en $0$ , la même valeur et les mêmes $n$ premières dérivées que $f$ .

Reste à dire en quel sens $P_{n}$ est « proche » de $f$ . C'est le rôle de la notation $o$ .

4.1.2 La notation $o$ au voisinage de $0$

Définition — Négligeable devant $x^{n}$

Soit $n \in N$ . On dit qu'une fonction $g$ est négligeable devant $x^{n}$ au voisinage de $0$ , et l'on note $g (x) = o (x^{n})$ , si

$\frac{g ( x )}{x ^{n}} x \to 0 0 (x \neq = 0) .$

De façon équivalente : $g (x) = x^{n} ε (x)$ avec $ε (x) \to 0$ quand $x \to 0$ . En particulier, $g (x) = o (1)$ signifie simplement que $g (x) \to 0$ .

C'est la notation du chapitre 1 (section 1.2), mais la variable tend maintenant vers $0$ , et non vers l'infini. Exemples : $x^{3} = o (x^{2})$ , car $\frac{x ^{3}}{x ^{2}} = x \to 0$ ; $x^{2} sin x = o (x^{2})$ ; $x^{4} - 5 x^{7} = o (x^{3})$ .

Près de $0$ , ce sont les petites puissances qui dominent

Pour $x = 0, 01$ , on a $x^{2} = 1 0^{- 4}$ et $x^{3} = 1 0^{- 6}$ : quand $x \to 0$ , plus l'exposant est grand, plus la quantité est petite. Ainsi $x^{p} = o (x^{n})$ dès que $p > n$ . C'est exactement l'inverse de ce qui se passe en $+ \infty$ , où $n^{2}$ est négligeable devant $n^{3}$ . Dans un développement en $0$ , on écrit donc les termes par puissances croissantes : le plus important d'abord.

Méthode — Calculer avec des $o$

Pour $n, p \in N$ et $λ$ réel non nul, au voisinage de $0$ :

$o (x^{n}) + o (x^{n}) = o (x^{n})$ et $λ o (x^{n}) = o (x^{n})$ ;
$x^{p} \cdot o (x^{n}) = o (x^{n + p})$ et $o (x^{n}) \cdot o (x^{p}) = o (x^{n + p})$ ;
si $p \leq n$ , une quantité $o (x^{n})$ est aussi un $o (x^{p})$ : on peut toujours perdre de la précision, jamais en gagner ;
si $p \leq n$ , $\frac{o ( x ^{n} )}{x ^{p}} = o (x^{n - p})$ : diviser par $x^{p}$ fait perdre $p$ ordres.

Un $o (x^{n})$ désigne une quantité inconnue négligeable devant $x^{n}$ , pas une valeur précise : deux $o (x^{n})$ ne se simplifient pas, $o (x^{n}) - o (x^{n})$ vaut $o (x^{n})$ , et non $0$ .

Chaque règle se vérifie en divisant par la puissance annoncée. Pour la deuxième, par exemple : si $g (x) = o (x^{n})$ , alors $\frac{x ^{p} g ( x )}{x ^{n + p}} = \frac{g ( x )}{x ^{n}} \to 0$ .

4.1.3 Développement limité en $0$

Définition — Développement limité

Soit $f$ définie au voisinage de $0$ (sauf peut-être en $0$ ) et $n \in N$ . On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ (en abrégé, un $DL_{n} (0)$ ) s'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que, au voisinage de $0$ ,

$f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) .$

Le polynôme $a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ est la partie régulière du développement ; le terme $o (x^{n})$ en est le reste.

Proposition 4.1Unicité et troncature

Si $f$ admet un $DL_{n} (0)$ , sa partie régulière est unique.
Si $f$ admet un $DL_{n} (0)$ , elle admet un $DL_{m} (0)$ pour tout $m \leq n$ : il suffit de supprimer les termes de degré supérieur à $m$ (on dit qu'on tronque le développement).

Démonstration

Supposons $a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} + o (x^{n}) = b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n} + o (x^{n})$ . En faisant $x \to 0$ , on obtient $a_{0} = b_{0}$ . On simplifie, on divise par $x$ , et l'on fait de nouveau $x \to 0$ : $a_{1} = b_{1}$ . On recommence jusqu'à $a_{n} = b_{n}$ .

Les termes $a_{m + 1} x^{m + 1}, \dots, a_{n} x^{n}$ et le reste $o (x^{n})$ sont tous des $o (x^{m})$ (règle 3 ci-dessus) : leur somme est un $o (x^{m})$ .

Quelques conséquences, utiles pour contrôler un calcul :

$a_{0}$ est la limite de $f$ en $0$ ;
un $DL_{1} (0)$ , $f (x) = a_{0} + a_{1} x + o (x)$ , n'est rien d'autre que l'approximation affine du chapitre 2 : si $f$ est définie en $0$ , elle y est dérivable, avec $f (0) = a_{0}$ et $f^{'} (0) = a_{1}$ ;
si $f$ est paire, la partie régulière de son développement ne contient que des puissances paires ; si $f$ est impaire, que des puissances impaires (par unicité, en remplaçant $x$ par $- x$ ).

Exemple 4.2La série géométrique

Pour $x \neq = 1$ , la somme géométrique (chapitre 1) s'écrit $1 + x + \dots + x^{n} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x}$ , donc

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \frac{x ^{n + 1}}{1 - x} .$

Le dernier terme, divisé par $x^{n}$ , vaut $\frac{x}{1 - x}$ , qui tend vers $0$ : c'est un $o (x^{n})$ . D'où, en remplaçant ensuite $x$ par $- x$ ,

$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + o (x^{n}), \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + o (x^{n}) .$

4.1.4 Développement limité en un point quelconque

Définition — Développement limité en $a$

La fonction $f$ admet un $DL_{n} (a)$ si, en posant $x = a + h$ ,

$f (a + h) = a_{0} + a_{1} h + \dots + a_{n} h^{n} + o (h^{n}) (h \to 0),$

c'est-à-dire $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} (x - a)^{n} + o ((x - a)^{n})$ quand $x \to a$ .

Méthode — Se ramener en $0$

Pour développer $f$ au voisinage de $a$ , on pose $x = a + h$ et l'on développe $h \mapsto f (a + h)$ au voisinage de $0$ ; on ne revient à $x - a$ qu'à la fin. Pour une limite en $+ \infty$ , on pose de même $t = \frac{1}{x}$ , qui tend vers $0$ .

Exemple 4.3La fonction inverse près de

2

Avec $x = 2 + h$ : $\frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{h}{2}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{h}{2} + \frac{h ^{2}}{4} + o (h^{2}))$ , d'après l'exemple 4.2 appliqué à $\frac{h}{2}$ . Donc

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{x - 2}{4} + \frac{( x - 2 ) ^{2}}{8} + o ((x - 2)^{2}) .$

4.2 La formule de Taylor-Young et les développements usuels

4.2.1 La formule de Taylor-Young

◆Théorème 4.4Taylor-Young — admis

Soit $f$ une fonction de classe $C^{n}$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$ (section 2.1.5). Alors $f$ admet un $DL_{n} (a)$ , dont la partie régulière est son polynôme de Taylor :

$f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + \frac{f ^{''} ( a )}{2 !} h^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} h^{n} + o (h^{n}) .$

En $a = 0$ : $f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n})$ .

La section 4.5 en donnera une version plus précise, avec une majoration explicite du reste.

Exemple 4.5Les cinq développements de base

Exponentielle. Toutes les dérivées valent $e^{x}$ , donc $1$ en $0$ : $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$ .
Sinus. Les dérivées successives sont $cos$ , $- sin$ , $- cos$ , $sin$ , puis le cycle recommence ; en $0$ , elles valent $1, 0, - 1, 0, \dots$ Donc $sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$
Cosinus. De même, les valeurs en $0$ des dérivées de $cos$ sont $0, - 1, 0, 1, \dots$ , d'où $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots$
Puissance. Pour $f (x) = (1 + x)^{α}$ ( $α$ réel), $f^{(k)} (x) = α (α - 1) \dots (α - k + 1) (1 + x)^{α - k}$ , d'où le coefficient $\frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - k + 1 )}{k !}$ de $x^{k}$ .
Logarithme. Pour $f (x) = ln (1 + x)$ , $f^{(k)} (x) = (- 1)^{k - 1} \frac{( k - 1 )!}{( 1 + x ) ^{k}}$ pour $k \geq 1$ , d'où le coefficient $\frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k}$ de $x^{k}$ .

On ne dérive pas $n$ fois

Taylor-Young garantit l'existence du développement et en donne les coefficients. Mais calculer $n$ dérivées successives est long et source d'erreurs : essayez avec $tan$ à l'ordre $5$ ! En pratique, on ne l'applique qu'aux quelques fonctions du formulaire ci-dessous. Tout le reste se calcule par opérations sur les développements (section 4.3).

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Développements limités

Repère historique

4.1 Approcher une fonction par un polynôme

4.1.1 De la tangente à la parabole

Définition — Polynôme de Taylor

4.1.2 La notation o au voisinage de 0

Définition — Négligeable devant xn

Près de 0, ce sont les petites puissances qui dominent

Méthode — Calculer avec des o

4.1.3 Développement limité en 0