Ondes électromagnétiques planes dans le vide

Cours · ondes électromagnétiques (MP), chapitre 1 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde électromagnétique plane : les champs E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.

L'étude des équations de Maxwell (cours d'électromagnétisme de deuxième année) a révélé qu'un champ électrique variable engendre un champ magnétique, et réciproquement. Ce couplage est fécond : une fois lancés, les deux champs s'entretiennent mutuellement et se propagent sans support matériel. C'est le contenu physique des équations de Maxwell dans le vide, dont ce chapitre tire la conséquence la plus spectaculaire : l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse de la lumière. La lumière visible, les ondes radio, les rayons X ne sont qu'une seule et même réalité, à des fréquences différentes.

Nous établissons d'abord l'équation de propagation des champs à partir des équations de Maxwell, puis nous étudions le modèle central de tout le cours d'ondes de deuxième année : l'onde plane progressive monochromatique (OPPM). Sa structure (transversalité, trièdre $(E, B, k)$ , relation $E = c B$ ), ses états de polarisation et son bilan énergétique (vecteur de Poynting, intensité) constituent une boîte à outils réutilisée dans tous les chapitres suivants (plasmas, conducteurs, rayonnement).

1.1 L'équation de propagation dans le vide

1.1.1 Les équations de Maxwell dans le vide

On se place dans une région du vide, c'est-à-dire vide de charges et de courants : la densité volumique de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $$ y sont nuls. Les quatre équations de Maxwell s'écrivent alors sous forme locale

$Maxwell-Gauss div E = 0, Maxwell-flux div B = 0, Maxwell-Faraday rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, Maxwell-Amp e ˋ re rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

iRemarque

Le couplage entre $E$ et $B$ est porté par les deux équations à rotationnel. Le terme $μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ de Maxwell--Ampère (le courant de déplacement de Maxwell) est essentiel : sans lui, aucune onde ne pourrait exister dans le vide. C'est l'ajout historique de Maxwell aux lois de l'électromagnétisme.

1.1.2 Découplage : l'équation de d'Alembert

Les champs $E$ et $B$ sont couplés. Pour obtenir une équation portant sur un seul champ, on découple le système en prenant le rotationnel d'une équation de couplage.

Démonstration (Équation de propagation du champ électrique)

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell--Faraday :

$rot (rot E) = rot (- \frac{\partial B}{\partial t}) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}},$

où l'on a permuté les dérivations spatiale et temporelle, puis injecté Maxwell--Ampère. On utilise l'identité d'analyse vectorielle

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E .$

Comme $div E = 0$ dans le vide, il reste $rot (rot E) = - Δ E$ , d'où le résultat.

◆Théorème 1.1Équation de propagation des champs dans le vide

Dans le vide, chaque champ (et chacune de ses composantes cartésiennes) vérifie l'équation de d'Alembert tridimensionnelle

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ B - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}} = 0$

avec la célérité

$c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}} \approx 2, 998 \times 1 0^{8} m . s^{- 1} .$

ImportantTrois conséquences majeures

Les champs se propagent sans support matériel : le vide transporte l'onde électromagnétique. C'est la rupture décisive avec les ondes mécaniques (corde, son).
La vitesse $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ ne fait intervenir que des constantes électromagnétiques : elle a permis à Maxwell d'identifier la lumière comme une onde électromagnétique.
L'équation de d'Alembert est linéaire : toute superposition de solutions est solution (principe de superposition), fondement de l'analyse de Fourier des signaux.

iRemarqueUn calcul identique pour

B

Le même raisonnement, appliqué au rotationnel de Maxwell--Ampère et utilisant $div B = 0$ , donne l'équation de d'Alembert pour $B$ . Les deux champs obéissent à la même équation, avec la même célérité.

1.2 Structure de l'onde plane progressive

1.2.1 Onde plane, onde plane progressive

Définition 1.2Onde plane

Une onde est dite plane de direction $u$ (vecteur unitaire) si, à chaque instant, les champs sont uniformes sur tout plan perpendiculaire à $u$ . En choisissant $u = e_{x}$ , cela signifie que les champs ne dépendent que de $x$ et de $t$ :

$E = E (x, t), B = B (x, t) .$

Les plans $x = cte$ sont les surfaces d'onde.

Pour une onde plane, l'équation de d'Alembert se réduit à sa forme unidimensionnelle $\frac{\partial ^{2} E}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ , dont on connaît la solution générale.

Proposition 1.3Solutions de d'Alembert à une dimension

La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension est la superposition d'une onde progressive (vers les $x$ croissants) et d'une onde régressive (vers les $x$ décroissants) :

$E (x, t) = f (t - \frac{x}{c}) + g (t + \frac{x}{c}),$

où $f$ et $g$ sont des fonctions vectorielles arbitraires. Le terme $f (t - x / c)$ représente un profil de forme invariable se translatant à la vitesse $c$ vers les $x > 0$ .

1.2.2 Transversalité

Que disent les équations de Maxwell sur la direction des champs d'une onde plane progressive (OPP) ? Elles imposent une contrainte forte : les champs sont perpendiculaires à la direction de propagation.

Démonstration (Les champs sont transverses)

Considérons une OPP se propageant selon $e_{x}$ , dont les champs ne dépendent que de $x$ et $t$ . Pour un tel champ, $\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial z} = 0$ . L'équation de Maxwell--Gauss donne

$div E = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z} = \frac{\partial E _{x}}{\partial x} = 0.$

Ainsi $E_{x}$ ne dépend pas de $x$ . De plus, la composante selon $e_{x}$ de Maxwell--Ampère (avec $B$ ne dépendant que de $x$ ) donne $\frac{\partial E _{x}}{\partial t} = 0$ : $E_{x}$ ne dépend pas non plus de $t$ . La composante $E_{x}$ est donc constante et uniforme ; comme elle ne participe pas à l'onde (un champ statique uniforme), on la prend nulle. Le même raisonnement sur $div B = 0$ donne $B_{x} = 0$ .

Proposition 1.4Transversalité

Une onde électromagnétique plane progressive dans le vide est transverse : les champs $E$ et $B$ sont contenus dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation,

$E ⊥ u, B ⊥ u .$

Il n'existe pas d'onde électromagnétique longitudinale dans le vide.

1.2.3 Relation de structure : le trièdre $(E, B, u)$

Il reste à relier $E$ et $B$ entre eux. Maxwell--Faraday fournit cette relation.

Démonstration (Relation de structure d'une OPP)

Pour une OPP se propageant selon $e_{x}$ à la vitesse $c$ , chaque champ est de la forme $E (x, t) = E (t - x / c)$ . La dérivation d'une telle fonction donne, en notant $^{'}$ la dérivée par rapport à l'argument $τ = t - x / c$ :

$\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} E^{'}, \frac{\partial E}{\partial t} = E^{'} .$

Écrivons Maxwell--Faraday $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ . Comme $E$ ne dépend que de $x$ , seul survit $rot E = e_{x} \land \frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'}$ . Donc

$- \frac{1}{c} e_{x} \land E^{'} = - \frac{\partial B}{\partial t} = - B^{'} .$

En intégrant (les constantes correspondent à des champs statiques, écartés) :

$B = \frac{e _{x} \land E}{c} = \frac{u \land E}{c} .$

ImportantStructure d'une onde plane progressive dans le vide

Pour une OPP se propageant selon le vecteur unitaire $u$ :

les champs sont transverses : $E ⊥ u$ et $B ⊥ u$ ;
ils sont liés par la relation de structure

$B = \frac{u \land E}{c} ⟹ E = c B;$

le trièdre $(E, B, u)$ est orthogonal direct, et les champs $E$ et $B$ sont en phase (mêmes variations temporelles).

La connaissance de $E$ suffit à déterminer entièrement l'onde.

Attention

E = c B

B

n'est pas « petit »

Le facteur $c \approx 3 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ fait paraître $B$ minuscule ( $B = E / c$ ). C'est une illusion d'unités : dans le bilan énergétique, les deux champs contribuent à parts égales. Il ne faut jamais négliger $B$ devant $E$ dans une onde.

1.3 L'onde plane progressive monochromatique (OPPM)

1.3.1 Définition et notation complexe

Définition 1.5OPPM

Une onde plane progressive monochromatique est une OPP dont la dépendance temporelle est sinusoïdale, de pulsation $ω$ unique. Se propageant selon $e_{x}$ , son champ électrique s'écrit

$E (x, t) = E_{0} cos (ω t - k x + φ),$

avec la pulsation $ω = 2 π / T = 2 π ν$ , le nombre d'onde $k = 2 π / λ$ , et $E_{0}$ un vecteur constant du plan $(e_{y}, e_{z})$ .

Le calcul se simplifie considérablement en notation complexe. On introduit le vecteur d'onde $k = k u$ et l'on pose

$E (r, t) = E_{0} e^{j (ω t - k \cdot r)}, E = Re (E) .$

Méthode : Règles de dérivation en notation complexe

Pour une OPPM en $e^{j (ω t - k \cdot r)}$ , les opérateurs différentiels deviennent des multiplications :

$\frac{\partial}{\partial t} ⟶ j ω, grad ⟶ - j k, div ⟶ - j k \cdot, rot ⟶ - j k \land$

Ces substitutions transforment les équations de Maxwell (aux dérivées partielles) en relations algébriques. C'est l'outil de travail central de tout le cours d'ondes.

Démonstration (Retrouver la structure avec les opérateurs)

Injectons ces règles dans les équations de Maxwell dans le vide :

$div E = 0 \Rightarrow k \cdot E = 0, div B = 0 \Rightarrow k \cdot B = 0 (transversalit e ˊ),$

$rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} \Rightarrow - j k \land E = - j ω B$

$\Rightarrow B = \frac{k \land E}{ω} = \frac{u \land E}{c} (relation de structure).$

On retrouve en trois lignes ce qui demandait des intégrations : tout OPPM du vide est transverse, de trièdre direct, et $B = E / c$ .

1.3.2 Relation de dispersion

Démonstration (Relation de dispersion du vide)

Injectons l'OPPM dans l'équation de d'Alembert $Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ . Avec $Δ \to - k^{2}$ (car $Δ = div grad \to (- j k) \cdot (- j k) = - k^{2}$ ) et $\frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} \to - ω^{2}$ :

$- k^{2} E = \frac{1}{c ^{2}} (- ω^{2}) E ⟹ k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} .$

Proposition 1.6Relation de dispersion et vitesse de phase

Dans le vide, la relation de dispersion est

$ω = c k$

La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = c$ est indépendante de la fréquence : le vide est un milieu non dispersif. Toutes les couleurs y voyagent à la même vitesse $c$ .

iRemarqueLe caractère idéal du modèle

L'OPPM est une idéalisation : une onde vraiment plane occuperait tout l'espace transverse (énergie infinie) et une onde vraiment monochromatique durerait de $- \infty$ à $+ \infty$ . Aucune source réelle ne produit une OPPM. Mais grâce à la linéarité et à l'analyse de Fourier, toute onde réelle se décompose en une somme (ou intégrale) d'OPPM : le modèle est la brique élémentaire universelle.

1.3.3 Le spectre électromagnétique

Toutes les OPPM obéissent à la même physique ; seule leur fréquence les distingue. Le spectre électromagnétique range les ondes par fréquence (ou longueur d'onde $λ = c / ν$ ) croissante.

Domaine	Longueur d'onde	Applications typiques
Ondes radio	$> 1 m$	radio, TV, communications
Micro-ondes	$1 mm$ -- $1 m$	four, radar, Wi-Fi, GSM
Infrarouge	$700 nm$ -- $1 mm$	thermique, télécommande
Visible	$400 nm$ -- $700 nm$	vision, optique
Ultraviolet	$10 nm$ -- $400 nm$	stérilisation, bronzage
Rayons X	$10 p m$ -- $10 nm$	radiographie, cristallographie
Rayons $γ$	$< 10 p m$	nucléaire, astrophysique

Exemple 1.7Retenir le domaine visible

Le domaine visible s'étend d'environ $λ = 400 nm$ (violet) à $700 nm$ (rouge), soit des fréquences de l'ordre de $ν = c / λ \approx 4 \times 1 0^{14} H z$ à $7, 5 \times 1 0^{14} H z$ . Un four à micro-ondes fonctionne à $2, 45 G H z$ , soit $λ \approx 12 c m$ .

1.4 Polarisation

1.4.1 États de polarisation

Le champ électrique d'une OPPM se propageant selon $e_{x}$ vit dans le plan transverse $(e_{y}, e_{z})$ . La donnée de ses deux composantes définit l'état de polarisation : la courbe décrite par l'extrémité du vecteur $E$ au cours du temps, en un point fixe.

$E (x, t) = E_{0 y} cos (ω t - k x) e_{y} + E_{0 z} cos (ω t - k x + φ) e_{z} .$

Définition 1.8Les trois états de polarisation

Selon le déphasage $φ$ entre les composantes et leurs amplitudes :

rectiligne si $φ = 0$ ou $φ = π$ : les composantes vibrent en phase (ou en opposition), $E$ garde une direction fixe et son extrémité décrit un segment ;
circulaire si $φ = \pm π /2$ et $E_{0 y} = E_{0 z}$ : l'extrémité décrit un cercle ;
elliptique dans le cas général : l'extrémité décrit une ellipse (complément, voir la remarque ci-dessous).

Les deux premiers sont des cas particuliers du troisième.

iRemarqueCe que demande le programme

En MP et en MPI, on reconnaît une onde polarisée rectilignement ou circulairement ; en PT, on reconnaît et l'on met en évidence une polarisation rectiligne. La polarisation elliptique est un complément, hors programme de ces trois classes.

Méthode : Reconnaître une polarisation circulaire droite ou gauche

Pour $E_{0 y} = E_{0 z} = E_{0}$ et $φ = - π /2$ , on a $E = E_{0} [cos (ω t - k x) e_{y} + sin (ω t - k x) e_{z}]$ . En un point fixe ( $x = 0$ ), l'extrémité tourne dans le sens direct de $e_{y}$ vers $e_{z}$ : la polarisation est circulaire. On parle de polarisation droite ou gauche selon le sens de rotation vu par un observateur recevant l'onde. Pour trancher : figer $x$ , faire croître $t$ , et regarder dans quel sens tourne $E$ .

iRemarqueLumière naturelle

La lumière émise par le Soleil ou une lampe est non polarisée : elle résulte de la superposition incohérente d'un grand nombre de trains d'onde dont la direction de $E$ fluctue aléatoirement et très rapidement. Aucune direction n'est privilégiée.

1.4.2 Polariseurs et loi de Malus

iRemarqueProgramme

Un polariseur ne transmet que la composante du champ parallèle à son axe : l'extinction, quand l'axe est perpendiculaire à la direction de polarisation, met en évidence une polarisation rectiligne (MP, MPI, PT). La loi de Malus quantitative qui suit, comme la polarisation circulaire, est au programme de MP et de MPI, pas de PT.

ImportantLoi de Malus

Un polariseur (ou analyseur) ne laisse passer que la composante du champ parallèle à son axe de transmission. Une lumière polarisée rectilignement, d'intensité incidente $I_{0}$ , traversant un analyseur dont l'axe fait l'angle $θ$ avec la direction de polarisation, en ressort avec l'intensité

$I = I_{0} cos^{2} θ$

Démonstration (Établissement de la loi de Malus)

Notons $E_{0}$ l'amplitude du champ incident polarisé selon une direction faisant l'angle $θ$ avec l'axe de l'analyseur. Seule la projection sur l'axe est transmise, d'amplitude $E_{0} cos θ$ . Comme l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ ( $I \propto E_{0}^{2}$ ), on obtient

$I = \frac{I _{0}}{E _{0}^{2}} (E_{0} cos θ)^{2} = I_{0} cos^{2} θ .$

En tournant l'analyseur, $I$ passe par un maximum ( $θ = 0$ ) et s'annule (extinction, $θ = π /2$ ).

iRemarqueDistinguer lumière polarisée et naturelle

Une lumière polarisée donne, à travers un analyseur tournant, une intensité variant de $I_{0}$ à $0$ . Une lumière naturelle donne une intensité $I_{0} /2$ constante (moyenne de $cos^{2} θ$ ). C'est le test expérimental de la polarisation.

1.5 Aspects énergétiques

1.5.1 Densité d'énergie et vecteur de Poynting

Le champ électromagnétique transporte de l'énergie. Le bilan local d'énergie électromagnétique (partie 4.4 du programme) fait intervenir deux grandeurs.

Définition 1.9Densité d'énergie et vecteur de Poynting

La densité volumique d'énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting (densité surfacique de flux d'énergie) sont

$u_{em} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} (J . m^{- 3}), Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} (W . m^{- 2}) .$

Le flux de $Π$ à travers une surface donne la puissance électromagnétique qui la traverse.

Proposition 1.10Énergie d'une OPP dans le vide

Pour une OPP, la relation $E = c B$ et $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ entraînent l'équipartition de l'énergie entre champ électrique et champ magnétique :

$\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{( E / c ) ^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{ε _{0} μ _{0} E ^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} .$

La densité d'énergie vaut donc $u_{em} = ε_{0} E^{2}$ , et le vecteur de Poynting

$Π = \frac{E B}{μ _{0}} u = \frac{E ^{2}}{μ _{0} c} u = ε_{0} c E^{2} u = u_{em} c u .$

L'énergie se propage dans le sens de $u$ , à la vitesse $c$ : $Π = u_{em} c u$ .

Démonstration (Direction du vecteur de Poynting)

Avec $B = \frac{u \land E}{c}$ et $E ⊥ u$ :

$Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{1}{μ _{0} c} E \land (u \land E) = \frac{1}{μ _{0} c} [u (E \cdot E) - E (E \cdot u)] = \frac{E ^{2}}{μ _{0} c} u,$

car $E \cdot u = 0$ . Le vecteur de Poynting est bien colinéaire à $u$ , dans le sens de propagation.

1.5.2 Intensité d'une OPPM

Les capteurs (œil, photodiode) sont sensibles à la moyenne temporelle du flux, car $ω$ est bien trop élevée pour suivre les variations instantanées.

Définition 1.11Intensité

L'intensité (ou éclairement) d'une OPPM est la moyenne temporelle du flux surfacique du vecteur de Poynting :

$I = ⟨ Π ⟩ = ⟨ ε_{0} c E^{2} ⟩ .$

Pour $E = E_{0} cos (ω t - k x) e_{y}$ , on utilise $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ , d'où

$I = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c}$

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