Dispersion : plasma dilué, effet de peau, paquet d'ondes

Cours · ondes électromagnétiques (MP), chapitre 2 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'effet de peau : le champ pénètre dans un conducteur en décroissant sur une épaisseur δ.

Dans le vide, l'équation de d'Alembert décrit une propagation non dispersive et non absorbante : toutes les composantes harmoniques d'un signal se déplacent à la même célérité $c$ , et un paquet d'ondes garde sa forme. Les milieux matériels s'écartent de cet idéal. Dans un plasma dilué, la vitesse de propagation dépend de la fréquence (dispersion) et une onde de trop basse fréquence ne se propage plus (coupure). Dans un conducteur ohmique, le champ ne pénètre que sur une faible épaisseur, qu'il atténue exponentiellement (effet de peau). Ces deux situations, au programme de MP, illustrent la démarche générale : chercher des ondes planes harmoniques $s \propto e^{j (ω t - k z)}$ , dont le vecteur d'onde $k$ est a priori complexe, et lire dans la relation de dispersion $k (ω)$ tout le comportement du milieu. On y adjoint la distinction essentielle entre vitesse de phase et vitesse de groupe, qui gouverne la propagation d'un paquet d'ondes réel.

2.1 Relation de dispersion d'un milieu linéaire

2.1.1 Milieu linéaire et décomposition de Fourier

Définition 2.1Équation de propagation linéaire

Une équation aux dérivées partielles portant sur un champ $s (z, t)$ est linéaire si toute combinaison linéaire de solutions est encore solution. Elle ne fait intervenir $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant ni produit du type $s \frac{\partial s}{\partial z}$ .

La linéarité autorise la décomposition de Fourier : un signal quelconque étant une superposition d'ondes harmoniques, il suffit d'étudier la propagation de chaque composante $e^{j ω t}$ indépendamment, puis de sommer.

Méthode : Établir une relation de dispersion

Pour une équation linéaire à coefficients constants :

injecter l'onde plane progressive harmonique complexe $s (z, t) = s_{0} e^{j (ω t - k z)}$ ;
utiliser les correspondances $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ et $\frac{\partial}{\partial z} \to - j k$ ;
factoriser par $s_{0} e^{j (ω t - k z)} \neq = 0$ : il reste une relation algébrique entre $ω$ et $k$ , la relation de dispersion.

Définition 2.2Relation de dispersion

La relation de dispersion est la relation $k = k (ω)$ imposée par l'équation de propagation aux ondes harmoniques. Le vecteur d'onde $k = k^{'} - j k^{''}$ est a priori complexe :

$s (z, t) = s_{0} e^{- k^{''} z} e^{j (ω t - k^{'} z)} .$

La partie réelle $k^{'}$ fixe la longueur d'onde $λ = 2 π / k^{'}$ et la propagation de la phase ; la partie imaginaire $k^{''}$ fixe l'atténuation en amplitude $e^{- k^{''} z}$ (avec la convention $e^{+ j ω t}$ et une onde vers les $z > 0$ , $k^{''} \geq 0$ ).

ImportantDispersion versus absorption

Sur $k (ω) = k^{'} (ω) - j k^{''} (ω)$ :

si $v_{φ} = ω / k^{'}$ dépend de $ω$ (soit $k^{'}$ non proportionnel à $ω$ ) : le milieu est dispersif ;
si $k^{''} (ω) \neq = 0$ alors que $k^{'} (ω) \neq = 0$ : l'onde se propage en s'atténuant exponentiellement, le milieu est absorbant ;
si $k$ est imaginaire pur ( $k^{'} = 0$ , $k^{''} \neq = 0$ ) : l'onde est évanescente, son amplitude décroît sans propagation de phase, et sans dissipation (voir le plasma sous la coupure) : décroissance n'est pas absorption.

Un milieu peut être l'un, l'autre, les deux, ou aucun (d'Alembert : $k = ω / c$ réel).

2.1.2 Vitesse de phase

Définition 2.3Vitesse de phase

Pour une onde harmonique de pulsation $ω$ et de vecteur d'onde réel $k^{'} = Re (k)$ , la vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un plan de phase constante :

$v_{φ} = \frac{ω}{k ^{'}} .$

C'est la vitesse d'une crête d'une onde monochromatique idéale.

iRemarque

La vitesse de phase peut dépasser $c$ (c'est le cas dans le plasma) sans violer la relativité : une onde strictement monochromatique est infinie dans l'espace et le temps, elle ne transporte aucune information. Dans le plasma, l'énergie et l'information voyagent à la vitesse de groupe, inférieure à $c$ ; ce n'est pas une règle générale (au voisinage d'une raie d'absorption, $v_{g}$ peut dépasser $c$ ), mais aucun signal ne va jamais plus vite que $c$ .

2.2 Onde électromagnétique dans un plasma dilué

2.2.1 Modèle du plasma dilué

Un plasma dilué est un gaz d'électrons libres (densité volumique $n$ ) sur un fond d'ions positifs immobiles assurant la neutralité électrique globale. Le plasma est dilué : on néglige les collisions (donc l'absorption dissipative) et l'action de la force magnétique de l'onde sur les électrons ( $v ≪ c$ ). On étudie une onde plane progressive harmonique transverse électrique $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ .

Démonstration (Conductivité complexe du plasma)

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (charge $- e$ , masse $m$ ), soumis au seul champ électrique de l'onde, s'écrit en notation complexe :

$m j ω v = - e E ⟹ v = \frac{- e}{j mω} E .$

La densité de courant volumique $ = - n e v = γ E$ fait apparaître la conductivité complexe

$γ = \frac{n e ^{2}}{j mω} = - j \frac{n e ^{2}}{mω}$

imaginaire pure : le courant est en quadrature avec le champ, donc la puissance volumique moyenne cédée aux électrons $⟨  \cdot E ⟩ = \frac{1}{2} Re (γ) E^{2} = 0$ . Le plasma dilué ne dissipe pas d'énergie.

2.2.2 Relation de dispersion et pulsation plasma

Démonstration (Relation de dispersion du plasma)

Dans le plasma la charge volumique est nulle (neutralité), $div E = 0$ . En combinant les équations de Maxwell, l'équation de propagation du champ transverse est

$Δ E - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = μ_{0} \frac{\partial }{\partial t} = μ_{0} γ j ω E .$

On injecte $Δ \to - k^{2}$ et $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ , avec $γ j ω = n e^{2} / m$ :

$- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = μ_{0} \frac{n e ^{2}}{m} ⟹ ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}, ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}},$

où l'on a utilisé $μ_{0} c^{2} = 1/ ε_{0}$ .

Définition 2.4Pulsation plasma

La pulsation plasma $ω_{p} = \frac{n e ^{2}}{m ε _{0}}$ est la pulsation propre d'oscillation collective des électrons du plasma. Elle joue le rôle d'une pulsation de coupure : elle sépare un domaine de transparence d'un domaine réactif.

Figure : Courbe de dispersion du plasma. Pour

ω < ω_{p}

aucune valeur réelle de

k

n'existe : l'onde est évanescente. Pour $ω > ω_{p}$ l'onde se propage ; la courbe,

convexe, tend vers l'asymptote non dispersive

ω = c k

2.2.3 Transparence, coupure et ondes évanescentes

ImportantDeux régimes selon

ω

ω_{p}

La relation $k^{2} = (ω^{2} - ω_{p}^{2}) / c^{2}$ donne deux comportements :

$ω > ω_{p}$ (transparence) : $k$ est réel, l'onde se propage. Alors

$v_{φ} = \frac{c}{1 - ω _{p}^{2} / ω ^{2}} > c, v_{g} = c 1 - \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} < c, v_{φ} v_{g} = c^{2} .$

$ω < ω_{p}$ (domaine réactif) : $k^{2} < 0$ , donc $k = - j / δ$ avec $δ = c / ω_{p}^{2} - ω^{2}$ ; l'onde est évanescente ( $e^{- z / δ}$ ), sans propagation de phase. Elle ne transporte aucune puissance moyenne : le plasma réfléchit totalement l'onde.

À $ω = ω_{p}$ : $k = 0$ , la coupure.

Figure : Vitesses de phase et de groupe dans le plasma en fonction de

ω / ω_{p}

dans le domaine de transparence, $v_{φ} > c$ et $v_{g} < c$ avec $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; les deux

tendent vers

c

à haute fréquence.

Proposition 2.5Onde évanescente et transport d'énergie

Dans le domaine réactif, $E \propto e^{- z / δ} e^{j ω t} e_{x}$ . La relation de structure $B = \frac{k}{ω} e_{z} \land E$ avec $k = - j / δ$ imaginaire pur montre que $B$ est en quadrature temporelle avec $E$ . Le vecteur de Poynting moyen $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2 μ _{0}} Re (E \land B^{*}) = 0$ : aucune énergie n'est transportée en moyenne. C'est la signature du transport nul par une onde évanescente, à distinguer de l'onde progressive absorbée (effet de peau, ci-après), qui transporte de l'énergie en la dissipant.

Exemple 2.6Ionosphère et communications radio

La haute atmosphère est ionisée par le rayonnement solaire : $n \sim 1 0^{11} m^{- 3}$ à $1 0^{12} m^{- 3}$ , soit $ω_{p} \sim 2 \times 1 0^{7} r a d / s$ à $6 \times 1 0^{7} r a d / s$ et $f_{p} = ω_{p} /2 π \sim 3 M H z$ à $9 M H z$ . Les ondes de fréquence $f < f_{p}$ (grandes ondes AM, ondes courtes) sont réfléchies : cela permet les liaisons radio par-delà l'horizon (rebonds successifs sol--ionosphère). Les ondes FM ( $\sim 100 M H z$ ), la télévision et les liaisons satellites ( $f > f_{p}$ ) la traversent.

Exemple 2.7Réflexion métallique et éclat des métaux

Un métal est un plasma dense : pour le cuivre $n \sim 8, 5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ donne $f_{p} \sim 2, 6 \times 1 0^{15} H z$ , soit $λ_{p} = c / f_{p} \approx 115 nm$ , dans l'ultraviolet. Comme le visible vérifie $f < f_{p}$ , il est réfléchi : c'est l'origine de l'éclat métallique. Au-delà de $f_{p}$ , le métal devient transparent : c'est ce qu'on observe pour les métaux alcalins (sodium, $λ_{p} \approx 210 nm$ ) ou l'aluminium ( $λ_{p} \approx 79 nm$ ). Le modèle des électrons libres explique l'éclat, pas la couleur : celle du cuivre vient de l'absorption par des électrons liés, qu'il ignore.

2.3 Effet de peau dans un conducteur ohmique

2.3.1 Équation de diffusion du champ

Dans un conducteur ohmique de conductivité réelle $γ$ (loi d'Ohm locale $ = γ E$ ), en régime lentement variable, le courant de conduction domine largement le courant de déplacement.

Démonstration (Approximation des régimes quasi stationnaires)

Ordre de grandeur des deux courants : conduction $ = γ E$ , déplacement $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} = ε_{0} ω E$ . Leur rapport vaut

$\frac{ε _{0} ω E}{γ E} = \frac{ε _{0} ω}{γ} .$

Pour le cuivre ( $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ ), ce rapport vaut $1$ pour $ω \sim 7 \times 1 0^{18} r a d / s$ (rayons X). Jusqu'à des fréquences très élevées, on néglige le courant de déplacement devant le courant de conduction. En pratique, c'est la loi d'Ohm à $γ$ réel elle-même qui cesse de valoir bien avant, dans l'infrarouge (vers $1 0^{13} H z$ pour le cuivre), quand la période de l'onde devient comparable à la durée moyenne entre deux collisions d'un électron : l'effet de peau tel qu'il est décrit ici vaut donc de l'électrotechnique aux micro-ondes.

Proposition 2.8Équation de diffusion du champ

En négligeant le courant de déplacement, les équations de Maxwell donnent pour le champ dans le conducteur une équation de diffusion :

$Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} (idem pour B et ).$

Ce n'est pas une équation de d'Alembert : il n'y a pas de propagation à célérité définie, mais une diffusion amortie du champ dans le métal.

Démonstration (Établissement de l'équation)

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) .$

Le conducteur est localement neutre ( $div E = 0$ ), et Maxwell--Ampère sans courant de déplacement s'écrit $rot B = μ_{0}  = μ_{0} γ E$ . Il vient $- Δ E = - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t}$ , d'où le résultat.

2.3.2 Épaisseur de peau

Démonstration (Relation de dispersion et épaisseur de peau)

On cherche $E = E_{0} e^{j (ω t - k z)} e_{x}$ . L'équation de diffusion donne

$- k^{2} = μ_{0} γ j ω ⟹ k^{2} = - j μ_{0} γ ω .$

On extrait la racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers $z > 0$ ). Comme $- j = e^{- j π /2}$ , on a $k = μ_{0} γ ω e^{- j π /4} = μ_{0} γ ω \frac{1 - j}{2}$ , soit

$k = \frac{1 - j}{δ}, δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Définition 2.9Épaisseur de peau

L'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) d'un conducteur ohmique est

$δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} .$

Le champ s'écrit $E = E_{0} e^{- z / δ} e^{j (ω t - z / δ)} e_{x}$ : il est à la fois amorti (facteur $e^{- z / δ}$ ) et propagatif (phase $- z / δ$ ). Sur une distance $δ$ l'amplitude est divisée par $e$ . Cette atténuation s'accompagne d'une dissipation par effet Joule (contrairement à l'onde évanescente du plasma).

Figure : Effet de peau : le champ pénètre dans le conducteur (

z > 0

) en oscillant et en s'amortissant sur l'épaisseur caractéristique

δ

. Le courant se concentre en surface.

Exemple 2.10Ordres de grandeur pour le cuivre

$γ = 6, 0 \times 1 0^{7} S / m$ , $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ , $δ = 1/ π μ_{0} γ f$ : $9, 2 mm$ à $50 H z$ , $65 μ m$ à $1 M H z$ , $2, 1 μ m$ à $1 G H z$ . À haute fréquence le courant est confiné dans une pellicule superficielle : la résistance effective augmente (on utilise des câbles multibrins, fil de Litz), et un blindage métallique mince suffit à confiner les ondes.

iRemarqueConducteur parfait

Quand $γ \to \infty$ , $δ \to 0$ : le champ ne pénètre pas. On retrouve le conducteur parfait, dans lequel $E = B = 0$ ; les courants et charges se répartissent en surface. C'est l'idéalisation utilisée pour les cavités et les guides d'ondes.

2.4 Paquet d'ondes et vitesse de groupe

iRemarqueProgrammes MP et MPI

Les deux programmes demandent de calculer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion. Le programme de MP demande en outre de l'associer à la propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes dans un milieu faiblement dispersif ; celui de MPI se limite à en citer une interprétation sur un exemple qualitatif (battement de deux ondes, vitesse de l'énergie). La notion de paquet d'ondes continu et son étalement sont donc des compléments en MPI.

2.4.1 Notion de paquet d'ondes

Un signal physique réel est limité dans le temps et dans l'espace : c'est un paquet d'ondes, superposition d'ondes harmoniques dont les pulsations se répartissent autour d'une valeur centrale $ω_{0}$ sur une largeur $Δ ω$ .

ImportantRelation durée--largeur spectrale

La durée $Δ t$ d'un paquet d'ondes et la largeur $Δ ω$ de son spectre sont liées par une inégalité de type Fourier :

$Δ ω Δ t ≳ 1 (de m e ˆ me Δ k Δ z ≳ 1) .$

Un paquet bref est spectralement large ; un signal quasi monochromatique ( $Δ ω$ petit) est nécessairement long. C'est l'analogue classique des inégalités de Heisenberg (relation retrouvée en physique quantique).

2.4.2 Vitesse de groupe

Considérons la superposition de deux ondes de pulsations voisines $ω_{0} \pm \frac{Δ ω}{2}$ et de vecteurs d'onde $k_{0} \pm \frac{Δ k}{2}$ , d'égale amplitude :

$s (z, t) = enveloppe 2 s_{0} cos (\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} z) porteuse cos (ω_{0} t - k_{0} z) .$

Figure : Paquet d'ondes : la porteuse (trait plein) avance à la vitesse de phase

v_{φ}

, l'enveloppe (tiretés) à la vitesse de groupe

v_{g}

La porteuse se déplace à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ ; l'enveloppe se déplace à $Δ ω /Δ k$ . En passant à la limite continue :

Définition 2.11Vitesse de groupe

La vitesse de groupe d'un paquet d'ondes centré sur $ω_{0}$ est

$v_{g} = \frac{d ω}{d k}_{ω_{0}} (= (\frac{d k}{d ω})^{- 1}) .$

C'est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet, donc de l'énergie et de l'information dans un milieu transparent.

Figure : Interprétation géométrique :

v_{φ}

est la pente de la corde

O M

v_{g}

la pente de la tangente en

M

à la courbe

ω (k)

Méthode : Calculer $v_{φ}$ et $v_{g}$

À partir de la relation de dispersion :

exprimer $k (ω)$ (ou $ω (k)$ ) dans le domaine propagatif ( $k$ réel) ;
vitesse de phase : $v_{φ} = ω / k$ ;
vitesse de groupe : $v_{g} = d ω / d k$ , soit $v_{g} = 1/ (d k / d ω)$ .

Milieu non dispersif $\Leftrightarrow$ $v_{φ} = v_{g} = cte$ .

2.4.3 Étalement d'un paquet dans un milieu dispersif

Proposition 2.12Dispersion et étalement

Dans un milieu dispersif, $v_{g} = d ω / d k$ dépend de $ω$ . Les différentes composantes spectrales du paquet se propageant à des vitesses différentes, le paquet s'étale : sa largeur $Δ z$ croît, son amplitude crête décroît (à énergie conservée). L'étalement est d'autant plus rapide que la courbure $d^{2} ω / d k^{2}$ (dispersion de vitesse de groupe) est grande. Le programme se limite au régime faiblement dispersif, où l'on assimile le paquet à une enveloppe rigide se déplaçant à $v_{g}$ sur des distances modérées.

Capacité numérique : Propagation d'un paquet d'ondes dispersif

Complément : cette capacité numérique figure aux programmes de PC et de PSI ; elle n'est pas exigible en MP ni en MPI. On simule la propagation d'un paquet gaussien dans un plasma ( $ω (k) = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ ), en unités réduites ( $c = ω_{p} = 1$ ). Le paquet initial, écrit avec la convention du cours $e^{j (ω t - k z)}$ , est $s (z, 0) = e^{- z^{2} /2 σ^{2}} e^{- j k_{0} z}$ ; il est complexe, ce qui ne garde que les ondes qui avancent vers les $z > 0$ (un signal réel contiendrait aussi la moitié qui part vers les $z < 0$ ). On le décompose par transformée de Fourier discrète, on multiplie chaque composante par $e^{j ω (k) t}$ , on reconstruit le signal et l'on trace sa partie réelle (le signal physique) et son module (l'enveloppe). On visualise l'étalement et l'on compare la position du centre du paquet à $v_{g} t$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, omega_p = 1.0, 1.0          # unites reduites
k0, sigma = 2.0, 2.0           # vecteur d'onde central, largeur initiale

def omega(k):                  # relation de dispersion du plasma (paire en k)
    return np.sqrt(omega_p**2 + (c*k)**2)

N = 8192
z = np.linspace(-200.0, 800.0, N, endpoint=False)   # boite longue : pas de repliement
dz = z[1] - z[0]

# Convention du cours exp(j(omega t - k z)) : a t = 0, le paquet vaut
# exp(-z^2/2 sigma^2) exp(-j k0 z).
s0 = np.exp(-z**2/(2*sigma**2)) * np.exp(-1j*k0*z)
S0 = np.fft.fft(s0)
q = 2*np.pi*np.fft.fftfreq(N, d=dz)   # la FFT decompose sur exp(+j q z), soit q = -k

def paquet(t):                 # chaque composante recoit le facteur exp(+j omega t)
    return np.fft.ifft(S0 * np.exp(1j*omega(q)*t))

def centre_largeur(s):         # centre et largeur quadratique de |s|^2
    p = np.abs(s)**2
    zm = np.sum(z*p)/np.sum(p)
    return zm, np.sqrt(np.sum((z - zm)**2*p)/np.sum(p))

v_phi, v_g = omega(k0)/k0, c**2*k0/omega(k0)
print("v_phi = %.3f   v_g = %.3f   v_phi*v_g = %.3f" % (v_phi, v_g, v_phi*v_g))

_, larg0 = centre_largeur(paquet(0.0))
fig, ax = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 6), sharex=True, sharey=True)
for a, t in zip(ax, [0.0, 90.0, 180.0]):
    s = paquet(t)
    zm, larg = centre_largeur(s)
    print("t = %3.0f : centre %5.1f (v_g*t = %5.1f), largeur x %.2f, amplitude %.2f"
          % (t, zm, v_g*t, larg/larg0, np.abs(s).max()))
    a.plot(z, s.real, color="#0f7387", lw=0.6)       # signal physique
    a.plot(z, np.abs(s), color="crimson", lw=1.2)    # enveloppe
    a.axvline(v_g*t, color="crimson", ls="--", lw=0.8)
    a.set_ylabel("t = %.0f" % t)
ax[-1].set_xlim(-20, 200); ax[-1].set_xlabel("z")
ax[0].set_title("Etalement d'un paquet d'ondes dans un plasma")
plt.tight_layout(); plt.savefig("paquet_dispersif.png", dpi=130)

Le programme affiche :


v_phi = 1.118   v_g = 0.894   v_phi*v_g = 1.000
t =   0 : centre  -0.0 (v_g*t =   0.0), largeur x 1.00, amplitude 1.00
t =  90 : centre  79.8 (v_g*t =  80.5), largeur x 2.58, amplitude 0.68
t = 180 : centre 159.7 (v_g*t = 161.0), largeur x 4.87, amplitude 0.51

Observations. Un unique paquet avance vers la droite ; son centre suit $v_{g} t$ à $1 %$ près (trait tireté de la figure qui suit), alors que les crêtes de la porteuse vont plus vite ( $v_{φ} > v_{g}$ ) et traversent l'enveloppe d'arrière en avant ; on vérifie $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ . Surtout, le paquet s'étale : sa largeur est multipliée par $2, 6$ en $t = 90$ et par $4, 9$ en $t = 180$ , et son amplitude crête est divisée par deux. La porteuse n'est plus régulière : les composantes de grand $k$ , plus rapides ( $v_{g}$ croît avec $k$ ), sont passées en tête. Le choix des paramètres compte : avec un paquet plus large ( $σ = 6$ ) centré sur $k_{0} = 4$ , le même code ne montre aucun étalement visible (largeur multipliée par $1, 003$ seulement en $t = 180$ ). L'étalement est d'autant plus marqué que le spectre du paquet est large ( $σ$ petit) et que la courbure $d^{2} ω / d k^{2}$ est grande (ici, près de la coupure).

Figure : Résultat de la simulation (

k_{0} = 2

σ = 2

, unités réduites) aux instants

t = 0

$90$ et $180$ : signal $Re s$ (trait fin) et enveloppe $\pm ∣ s ∣$ (trait épais). Le trait tireté marque la position $v_{g} t$ . Le paquet s'élargit et s'affaisse :

c'est l'étalement dispersif.

2.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Méthode : $s \propto e^{j (ω t - k z)}$ ( $\frac{\partial}{\partial t} \to j ω$ , $\frac{\partial}{\partial z} \to - j k$ ) $\Rightarrow$ relation de dispersion $k (ω) = k^{'} - j k^{''}$ . $k^{'} \to$ phase et dispersion ; $k^{''} \to$ atténuation $e^{- k^{''} z}$ (absorption si $k^{'} \neq = 0$ , évanescence si $k^{'} = 0$ ).
Plasma dilué : $γ = - j n e^{2} / (mω)$ (imaginaire pure, non dissipatif) ; $ω^{2} = ω_{p}^{2} + c^{2} k^{2}$ , $ω_{p} = n e^{2} / (m ε_{0})$ .
$ω > ω_{p}$ : transparence, $v_{φ} > c$ , $v_{g} < c$ , $v_{φ} v_{g} = c^{2}$ ; $ω < ω_{p}$ : onde évanescente, réflexion totale, Poynting moyen nul. Ionosphère : $f_{p} \sim$ quelques MHz.
Effet de peau (conducteur ohmique, courant de déplacement négligé) : équation de diffusion $Δ E = μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t}$ , $k = (1 - j) / δ$ , $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ ; onde amortie et propagative, dissipation Joule ( $δ \propto 1/ f$ ).
Vitesses : $v_{φ} = ω / k^{'}$ (crêtes, peut dépasser $c$ ) ; $v_{g} = d ω / d k$ (enveloppe, énergie, information ; $v_{g} < c$ dans le plasma).
Paquet d'ondes : $Δ ω Δ t ≳ 1$ ; en milieu dispersif il s'étale ( $d^{2} ω / d k^{2} \neq = 0$ ).

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre