Réflexion sur un conducteur ; ondes stationnaires et cavités

Cours · ondes électromagnétiques (MP), chapitre 3 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde stationnaire dans une cavité : des nœuds fixes et des ventres, entre deux parois réfléchissantes.

Une onde électromagnétique se propageant dans le vide finit toujours par rencontrer un obstacle. Lorsque cet obstacle est un métal — modélisé ici par le conducteur parfait — l'onde ne peut y pénétrer : elle est intégralement renvoyée. La superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne naissance à une structure spatiale remarquable, l'onde stationnaire, dont les nœuds et ventres sont fixes dans l'espace.

L'objectif de ce chapitre est double. D'abord, établir l'onde réfléchie par un plan conducteur parfait sous incidence normale, en exploitant les relations de passage du champ électromagnétique, et interpréter les courants et charges qui apparaissent à sa surface. Ensuite, enfermer le champ entre deux plans conducteurs pour former une cavité électromagnétique : on découvre alors que seuls certains modes propres, aux pulsations quantifiées, peuvent y subsister. L'importance des conditions aux limites dans cette quantification est le fil du chapitre. Un parallèle avec les harmoniques d'une corde vibrante (corde de Melde), présenté en fin de chapitre pour aller plus loin, montre que cette physique dépasse le seul électromagnétisme.

3.1 Le modèle du conducteur parfait

3.1.1 Définition et champ intérieur nul

Définition 3.1Conducteur parfait

Un conducteur parfait est un milieu de conductivité infinie ( $γ \to \infty$ ). Dans un tel milieu, tout champ électrique induirait une densité de courant $ = γ E$ infinie : le champ électrique y est donc nécessairement nul. On admet qu'en régime variable le champ électromagnétique est intégralement nul dans le volume du conducteur :

$E_{int} = 0, B_{int} = 0 .$

iRemarque

Le conducteur parfait est la limite $γ \to \infty$ du conducteur ohmique étudié au chapitre précédent : l'épaisseur de peau $δ = 2/ (μ_{0} γ ω)$ tend vers zéro. L'onde ne pénètre plus du tout ; charges et courants se concentrent sur une pellicule d'épaisseur nulle, d'où les densités surfaciques qui suivent.

3.1.2 Relations de passage à la surface

À la traversée d'une surface portant une densité surfacique de charge $σ$ et une densité surfacique de courant $_{s}$ , le champ électromagnétique subit des discontinuités données par les relations de passage, que l'on admet.

ImportantRelations de passage (admises)

Soit $n_{1 \to 2}$ le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Alors :

$E_{2} - E_{1} = \frac{σ}{ε _{0}} n_{1 \to 2}, B_{2} - B_{1} = μ_{0} _{s} \land n_{1 \to 2} .$

Autrement dit : la composante tangentielle de $E$ est continue, la composante normale de $E$ subit un saut $σ / ε_{0}$ ; la composante normale de $B$ est continue, la composante tangentielle de $B$ subit un saut $μ_{0} _{s}$ .

Proposition 3.2Conditions aux limites sur un conducteur parfait

Soit le milieu 1 = conducteur parfait ( $E_{1} = B_{1} = 0$ ) et le milieu 2 = vide, de normale sortante $n$ dirigée du conducteur vers le vide. Au voisinage immédiat de la surface, côté vide :

$E_{∥} = 0, E_{⊥} = \frac{σ}{ε _{0}} n, B_{⊥} = 0, B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n .$

Démonstration

On applique les relations de passage avec $E_{1} = B_{1} = 0$ (conducteur) et $n_{1 \to 2} = n$ . Le saut de $E$ vaut $E_{2} = (σ / ε_{0}) n$ : sa partie tangentielle est nulle et sa partie normale vaut $σ / ε_{0}$ . Le saut de $B$ vaut $B_{2} = μ_{0} _{s} \land n$ : ce vecteur est orthogonal à $n$ , donc $B$ n'a pas de composante normale et sa composante tangentielle vaut $μ_{0} _{s} \land n$ .

ImportantÀ retenir

Sur un conducteur parfait : le champ électrique est normal à la surface (pas de composante tangentielle) et le champ magnétique est tangent à la surface (pas de composante normale). Ce sont ces deux conditions qui « pilotent » toute la réflexion.

3.2 Réflexion d'une onde plane sous incidence normale

3.2.1 Géométrie du problème

Le demi-espace $x > 0$ est vide ; le demi-espace $x < 0$ est occupé par un conducteur parfait. Sa surface est le plan $x = 0$ , de normale sortante $n = e_{x}$ (du conducteur vers le vide).

Une onde plane progressive harmonique (OPPH), polarisée rectilignement selon $e_{y}$ , se propage vers les $x$ décroissants et vient frapper le conducteur :

$E_{i} (x, t) = E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}, k = \frac{ω}{c} .$

L'onde ne peut pénétrer dans le conducteur ; il naît donc une onde réfléchie repartant vers les $x$ croissants. Comme le milieu est linéaire et l'incidence normale, elle garde la même pulsation, le même vecteur d'onde en module et la même direction de polarisation :

$E_{r} (x, t) = E_{r} cos (ω t - k x + φ) e_{y} .$

3.2.2 Détermination de l'onde réfléchie

Méthode : Exploiter la condition aux limites sur $E$

Le champ électrique total dans le vide est $E = E_{i} + E_{r}$ . La composante tangentielle de $E$ (ici selon $e_{y}$ , donc toute la composante) doit s'annuler sur le conducteur, en $x = 0$ , à tout instant. Cette unique condition fixe amplitude et phase de l'onde réfléchie.

Démonstration (Onde réfléchie)

En $x = 0$ , la nullité de la composante tangentielle de $E$ impose :

$E_{0} cos (ω t) + E_{r} cos (ω t + φ) = 0 \forall t .$

Cette égalité, valable pour tout $t$ , exige $E_{r} = E_{0}$ et $φ = π$ (déphasage de $π$ ) ; on écrit donc $E_{r} = - E_{0}$ avec $φ = 0$ . L'onde réfléchie s'écrit :

$E_{r} (x, t) = - E_{0} cos (ω t - k x) e_{y} .$

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique vaut $r = - 1$ : réflexion totale avec inversion (déphasage de $π$ ), analogue à la corde attachée à un mur.

iRemarqueChamps magnétiques associés

Pour une OPPH, $B = \frac{u \land E}{c}$ où $u$ est le sens de propagation. L'onde incidente ( $u = - e_{x}$ ) donne

$B_{i} = \frac{- e _{x} \land E _{i}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t + k x) e_{z},$

et l'onde réfléchie ( $u = + e_{x}$ ) donne

$B_{r} = \frac{e _{x} \land E _{r}}{c} = - \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) e_{z} .$

Contrairement au champ électrique, le champ magnétique se réfléchit sans inversion : le coefficient de réflexion en $B$ vaut $+ 1$ .

3.3 L'onde stationnaire résultante

3.3.1 Structure spatiale

En superposant onde incidente et onde réfléchie, on obtient le champ total dans le vide.

Démonstration (Champs totaux)

Pour le champ électrique :

$E = E_{i} + E_{r} = E_{0} [cos (ω t + k x) - cos (ω t - k x)] e_{y} .$

Avec $cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin a sin b$ (ici $a = ω t$ , $b = k x$ ) :

$E (x, t) = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y} .$

Pour le champ magnétique :

$B = B_{i} + B_{r} = - \frac{E _{0}}{c} [cos (ω t + k x) + cos (ω t - k x)] e_{z},$

et avec $cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b$ :

$B (x, t) = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

ImportantCaractère stationnaire

Dans ces deux expressions, les variables d'espace et de temps sont séparées : le champ s'écrit sous la forme (fonction de $x$ ) $\times$ (fonction de $t$ ). Il n'y a plus de terme en $ω t \pm k x$ : la structure spatiale est figée, seule son amplitude oscille dans le temps. C'est la signature d'une onde stationnaire. Aucune énergie ne se propage en moyenne.

Définition 3.3Nœud et ventre

Un nœud de vibration est un point où l'amplitude de la grandeur est constamment nulle ; un ventre est un point où cette amplitude est maximale.

3.3.2 Nœuds et ventres décalés

Proposition 3.4Positions des nœuds et ventres

Pour le champ électrique $\propto sin (k x)$ :

Nœuds de $E$ ( $sin k x = 0$ ) : $x_{n} = n \frac{λ}{2}$ , soit $x = 0, λ /2, λ, \dots$
Ventres de $E$ ( $∣ sin k x ∣ = 1$ ) : $x = λ /4, 3 λ /4, \dots$

Pour le champ magnétique $\propto cos (k x)$ :

Nœuds de $B$ ( $cos k x = 0$ ) : $x = λ /4, 3 λ /4, \dots$
Ventres de $B$ ( $∣ cos k x ∣ = 1$ ) : $x = 0, λ /2, λ, \dots$

ImportantDécalage de

λ /4

Les nœuds de $E$ coïncident avec les ventres de $B$ , et vice versa. Les deux réseaux d'ondes stationnaires sont décalés d'un quart de longueur d'onde. Sur le conducteur ( $x = 0$ ) : $E$ possède un nœud (cohérent avec $E_{∥} = 0$ ) et $B$ un ventre.

iRemarqueDéphasage temporel

$E \propto sin (ω t)$ tandis que $B \propto cos (ω t)$ : les deux champs sont aussi déphasés de $π /2$ dans le temps. Quand $E$ est maximal partout, $B$ est nul partout, et réciproquement. L'énergie oscille alternativement entre forme électrique et forme magnétique, sans se propager — comme entre l'énergie cinétique et potentielle d'un oscillateur.

3.4 Courants et charges surfaciques

Le champ, nul dans le conducteur et non nul dans le vide, impose par les relations de passage l'existence de charges et de courants localisés sur la surface $x = 0$ .

Démonstration (Charge surfacique)

La composante normale de $E$ (selon $e_{x}$ ) est ici nulle (le champ est selon $e_{y}$ , tangent). Donc

$σ = ε_{0} E_{⊥} = 0.$

Aucune charge surfacique n'apparaît : sous incidence normale, le champ électrique d'une onde plane est tangent au plan conducteur, quelle que soit sa polarisation.

Démonstration (Courant surfacique)

La relation de passage sur $B$ donne $B (0^{+}) = μ_{0} _{s} \land n$ avec $n = e_{x}$ . En $x = 0$ :

$B (0, t) = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (ω t) e_{z} .$

On cherche $_{s} = j_{s} e_{y}$ (courant dans le plan). Alors $_{s} \land e_{x} = j_{s} (e_{y} \land e_{x}) = - j_{s} e_{z}$ . L'identification donne

$- μ_{0} j_{s} e_{z} = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (ω t) e_{z} ⟹ _{s} (t) = \frac{2 E _{0}}{μ _{0} c} cos (ω t) e_{y} = 2 ε_{0} c E_{0} cos (ω t) e_{y} .$

ImportantInterprétation physique

Ce sont ces courants surfaciques oscillants qui « rayonnent » l'onde réfléchie. Physiquement, le champ incident met en mouvement les électrons libres de surface ; ceux-ci, oscillant en nappe, créent en retour l'onde qui repart vers $x > 0$ . La réflexion n'est donc pas un phénomène passif : elle est l'émission secondaire de la nappe de courant. On retrouve $j_{s} = 2 ε_{0} c E_{0}$ , à relier au champ magnétique ventral $B_{m a x} = 2 E_{0} / c = μ_{0} j_{s}$ .

3.5 Cavité électromagnétique à une dimension

3.5.1 Deux plans conducteurs

Enfermons maintenant le champ entre deux plans conducteurs parfaits, situés en $x = 0$ et $x = L$ . Le champ électrique, tangent à ces plans, doit s'y annuler en permanence : ce sont deux conditions aux limites simultanées.

Démonstration (Quantification des modes)

Cherchons une onde stationnaire du champ électrique de la forme $E (x, t) = f (x) sin (ω t) e_{y}$ avec $f (x) = A sin (k x) + B cos (k x)$ (solution de l'équation de propagation, $k = ω / c$ ).

Condition en $x = 0$ : $E (0, t) = 0 \Rightarrow f (0) = 0 \Rightarrow B = 0$ . Donc $f (x) = A sin (k x)$ .

Condition en $x = L$ : $E (L, t) = 0 \Rightarrow sin (k L) = 0 \Rightarrow k L = nπ$ , $n \in N^{*}$ .

Le vecteur d'onde est donc quantifié :

$k_{n} = \frac{nπ}{L}, n = 1, 2, 3, \dots$

et par $ω = c k$ , les pulsations propres sont quantifiées :

$ω_{n} = \frac{nπ c}{L}, f_{n} = \frac{n c}{2 L}, λ_{n} = \frac{2 L}{n} .$

ImportantModes propres de la cavité

Seules certaines fréquences peuvent exister durablement dans la cavité : ce sont ses modes propres. La condition $L = n λ_{n} /2$ signifie que la longueur de la cavité contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Le mode $n = 1$ (fondamental) a une demi-longueur d'onde dans la cavité ; le mode $n$ possède $n$ ventres et $n + 1$ nœuds de $E$ .

3.5.2 Champ complet d'un mode

Proposition 3.5Mode propre

n

Le champ du mode $n$ s'écrit :

$E_{n} (x, t) = E_{n} sin (k_{n} x) sin (ω_{n} t) e_{y}, B_{n} (x, t) = \frac{E _{n}}{c} cos (k_{n} x) cos (ω_{n} t) e_{z} .$

Les nœuds de $E$ (dont les deux parois) sont les ventres de $B$ : sur chaque paroi, $E$ s'annule et $B$ est maximal, ce qui est cohérent avec $E_{∥} = 0$ et l'existence de courants surfaciques sur les deux plaques.

iRemarqueSolution générale

Un champ quelconque dans la cavité est une superposition de modes :

$E (x, t) = n = 1 \sum \infty E_{n} sin (\frac{nπ x}{L}) sin (ω_{n} t + ϕ_{n}) e_{y} .$

C'est un développement en série de Fourier spatiale : les modes propres forment une base des états du champ dans la cavité.

Exemple 3.6Four à micro-ondes

Un four à micro-ondes est une cavité résonnante ( $f \approx 2, 45 G H z$ , $λ \approx 12, 2 c m$ ). Les ventres de champ électrique correspondent aux points chauds (les aliments y chauffent plus) ; les nœuds sont des points froids. Le plateau tournant existe précisément pour déplacer les aliments à travers ce réseau de nœuds et ventres. La distance entre deux points chauds successifs (deux ventres) est $λ /2 \approx 6 c m$ . Un four est en réalité une cavité à trois dimensions, aux modes bien plus nombreux : le modèle à une dimension n'en donne que l'ordre de grandeur.

3.6 Analogie avec la corde de Melde

Cette section est un prolongement : les ondes sur une corde ne sont au programme ni de MP, MPI et PT, ni de leurs premières années (MPSI, MP2I, PTSI). L'équation de propagation de la corde et sa célérité $c = T / μ$ ( $T$ tension, $μ$ masse linéique) sont admises.

ImportantUne même physique

La cavité électromagnétique est le pendant exact de la corde de Melde, corde tendue fixée à ses deux extrémités. Les deux systèmes obéissent à la même équation d'onde avec les mêmes conditions aux limites (grandeur nulle aux bords), d'où des modes propres identiques.

	Corde de Melde	Cavité EM 1D
Grandeur qui vibre	déplacement $y (x, t)$	champ $E (x, t)$
Célérité	$c = T / μ$ (admise)	$c = 1/ μ_{0} ε_{0}$
Condition aux bords	$y = 0$ (fixe)	$E_{∥} = 0$
Quantification	$k_{n} = nπ / L$	$k_{n} = nπ / L$
Fréquences propres	$f_{n} = n c /2 L$	$f_{n} = n c /2 L$
Fondamental + harmoniques	$f_{n} = n f_{1}$	$f_{n} = n f_{1}$

iRemarque

Comme pour la corde, les fréquences propres de la cavité forment une suite harmonique ( $f_{n} = n f_{1}$ ) : le spectre est constitué du fondamental et de ses multiples entiers. C'est cette structure harmonique qui explique la richesse des cavités résonnantes en instruments de mesure (fréquencemètres à cavité, lasers).

Capacité numérique : Visualiser les modes d'une cavité

On peut tracer et animer les premiers modes stationnaires $E_{n} (x) = sin (nπ x / L)$ pour comprendre nœuds et ventres.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L = 1.0
x = np.linspace(0, L, 400)
for n in range(1, 4):
    plt.plot(x, np.sin(n*np.pi*x/L), label=f"mode n={n}")
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.6)
plt.title("Modes propres d'une cavité 1D : E_n(x) = sin(n pi x / L)")
plt.xlabel("x / L"); plt.ylabel("amplitude")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

On vérifie visuellement que le mode $n$ possède $n$ ventres et s'annule bien aux deux parois.

3.7 Synthèse du chapitre

Conducteur parfait : $E = B = 0$ à l'intérieur. Aux bords, $E$ est normal ( $E_{∥} = 0$ , $E_{⊥} = σ / ε_{0}$ ) et $B$ est tangent ( $B_{⊥} = 0$ , $B_{∥} = μ_{0} _{s} \land n$ ).
Réflexion sous incidence normale : $r_{E} = - 1$ (déphasage $π$ sur $E$ ), $r_{B} = + 1$ (pas d'inversion sur $B$ ). Réflexion totale.
Onde stationnaire :

$E = - 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y}, B = - \frac{2 E _{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

Variables séparées, aucune propagation moyenne d'énergie.

Nœuds et ventres décalés de $λ /4$ : nœud de $E$ = ventre de $B$ . Sur le conducteur : nœud de $E$ , ventre de $B$ . Déphasage temporel $π /2$ entre $E$ et $B$ .
Courants surfaciques : $_{s} = 2 ε_{0} c E_{0} cos (ω t) e_{y}$ ; ce sont eux qui « rayonnent » l'onde réfléchie.
Cavité 1D (deux plans en $0$ et $L$ ) : quantification $k_{n} = nπ / L$ , $ω_{n} = nπ c / L$ , $f_{n} = n c /2 L$ , $λ_{n} = 2 L / n$ . La cavité contient $n$ demi-longueurs d'onde.
Analogie corde de Melde (pour aller plus loin) : même équation, mêmes CL, mêmes modes ; spectre harmonique $f_{n} = n f_{1}$ .

Exercices du chapitre

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