Rayonnement du dipôle oscillant ; diffusion Rayleigh

Cours · ondes électromagnétiques (MP), chapitre 4 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le rayonnement d'un dipôle oscillant : la puissance émise suit sin² θ, nulle dans l'axe et maximale à angle droit.

Toute charge accélérée rayonne : c'est l'origine des ondes électromagnétiques émises par une antenne, par un atome excité ou par une molécule éclairée. Le modèle du dipôle oscillant — un moment dipolaire électrique sinusoïdal $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ — constitue la brique élémentaire du rayonnement. Il permet d'expliquer aussi bien le fonctionnement d'une antenne que la couleur bleue du ciel et le rougissement du Soleil couchant, deux manifestations de la diffusion Rayleigh. Dans tout ce chapitre les expressions des champs sont admises ; l'objectif est de les exploiter par des arguments de symétrie, de conservation de l'énergie et d'analyse dimensionnelle, conformément au programme.

4.1 Le modèle du dipôle oscillant

4.1.1 Définition et exemples

Définition 4.1Dipôle électrique oscillant

Un dipôle électrique oscillant est une distribution de charges dont le moment dipolaire électrique varie sinusoïdalement dans le temps :

$p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}, p_{0} = q d,$

où $q$ est la charge de chacun des deux pôles $\pm q$ séparés d'une distance $d$ , et $ω$ la pulsation d'oscillation. On oriente conventionnellement le moment selon l'axe $e_{z}$ ; l'origine $O$ est placée au centre du dipôle.

On peut réaliser un tel dipôle par une charge $+ q$ fixe et une charge $- q$ oscillant à la pulsation $ω$ , ou plus simplement par une charge unique $- q$ (un électron) oscillant autour d'une position d'équilibre : $p (t) = - q z (t) e_{z}$ avec $z (t) = z_{0} cos (ω t)$ .

Exemple 4.2Exemples de dipôles rayonnants

Antenne courte (taille $a ≪ λ$ ) alimentée par un courant alternatif : les charges oscillent le long du brin conducteur ( $ω$ dans le domaine radio ou hertzien). Une antenne demi-onde ( $a = λ /2$ ) rayonne de façon analogue, mais ne relève du modèle que qualitativement, puisque $a ≪ λ$ n'y est plus vérifié.
Atome excité qui se désexcite : l'électron oscille autour du noyau, $ω$ dans le visible ( $f \sim 5 \times 1 0^{14} Hz$ ).
Molécule éclairée par une onde : le nuage électronique est mis en mouvement forcé à la pulsation de l'onde incidente (diffusion Rayleigh, dernière section du chapitre).

4.1.2 Les trois échelles de longueur

L'étude du rayonnement d'un dipôle repose sur la comparaison de trois longueurs caractéristiques.

ImportantLes trois échelles de longueur

On distingue :

$a$ : la taille du dipôle (dimension de la source, $a \sim d$ ) ;
$r$ : la distance d'observation entre la source et le point $M$ ;
$λ$ : la longueur d'onde du rayonnement, $λ = \frac{2 π c}{ω}$ .

Le modèle du dipôle oscillant et l'étude de la zone de rayonnement supposent la double hiérarchie :

$a ≪ λ ≪ r .$

L'approximation dipolaire $a ≪ λ$ signifie que la source est ponctuelle à l'échelle de l'onde : on peut négliger le retard entre les différentes parties du dipôle.
L'approximation de la zone de rayonnement (ou zone de champ lointain) $λ ≪ r$ signifie que l'on observe l'onde à une distance grande devant la longueur d'onde, là où sa structure devient localement plane.

Attention

Ces deux conditions sont indépendantes. La première porte sur la source, la seconde sur le point d'observation. Toutes les expressions de champs de ce chapitre ne sont valables que dans la zone de rayonnement $λ ≪ r$ .

4.1.3 Géométrie et notations

On repère le point d'observation $M$ par ses coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ d'axe $O z$ (axe du dipôle), avec la base sphérique $(e_{r}, e_{θ}, e_{φ})$ . Par symétrie de révolution autour de $O z$ , rien ne dépend de $φ$ .

4.2 Champs rayonnés dans la zone de rayonnement

4.2.1 Expressions des champs (admises)

Proposition 4.3Champs du dipôle oscillant en zone de rayonnement

Dans la zone de rayonnement ( $λ ≪ r$ ), les champs créés en $M (r, θ)$ par le dipôle $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ s'écrivent, en tenant compte du retard $t - r / c$ :

$E (M, t) = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r} sin θ cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{θ}$

$B (M, t) = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r c} sin θ cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{φ}$

Ces expressions sont fournies ; on retiendra surtout leur structure.

4.2.2 Lecture qualitative de la structure

Méthode : Analyser la structure du champ rayonné

On exploite les expressions ci-dessus par trois arguments généraux.

Onde localement plane, transverse, progressive. On a

$B = \frac{e _{r} \land E}{c}, E ⊥ e_{r}, B ⊥ e_{r}, E ⊥ B, E = c B .$

La direction de propagation est $e_{r}$ (l'onde s'éloigne de la source) ; le trièdre $(E, B, e_{r})$ est direct comme pour une OPPM dans le vide. Localement, au voisinage de $M$ , l'onde sphérique ressemble à une onde plane.

Dépendance en $1/ r$ . L'amplitude décroît en $1/ r$ (et non en $1/ r^{2}$ comme un champ électrostatique). C'est imposé par la conservation de l'énergie : la puissance traversant une sphère de rayon $r$ doit être indépendante de $r$ (voir $§3$ ), donc le vecteur de Poynting en $1/ r^{2}$ et le champ en $1/ r$ .
Dépendance en $sin θ$ et en $ω^{2}$ . Le champ est proportionnel à $sin θ$ (nul dans l'axe du dipôle) et à $ω^{2}$ (donc à l'accélération des charges, car $p ¨ = - p_{0} ω^{2} cos ω t$ ). Une charge rayonne parce qu'elle accélère.

iRemarqueAnalyse dimensionnelle

On peut retrouver la structure $E \propto \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{r} sin θ$ sans calcul. Le champ est linéaire en l'accélération $p ¨$ du dipôle et transverse. La symétrie (tout plan contenant $O z$ est plan de symétrie) le place dans le plan méridien et, jointe à la transversalité, l'annule dans l'axe ; mais l'annulation dans l'axe ne fixe pas la loi en $θ$ ( $sin^{2} θ$ s'annule aussi). C'est la transversalité, jointe à la linéarité, qui donne le facteur $sin θ$ : $E$ est proportionnel à la projection de $p ¨$ sur le plan orthogonal à $e_{r}$ , $p ¨_{⊥} = - p ¨ sin θ e_{θ}$ . La décroissance en $1/ r$ vient de la conservation de l'énergie, le préfacteur $μ_{0} / r$ de l'homogénéité. Seul le facteur numérique exige le calcul complet : $E = - \frac{μ _{0}}{4 π r} p ¨_{⊥} (t - r / c)$ .

Exemple 4.4Champ magnétique par la relation de structure

Vérifier la cohérence $B = \frac{e _{r} \land E}{c}$ .

Démonstration

Avec $E = E_{θ} e_{θ}$ et la base sphérique directe $e_{r} \land e_{θ} = e_{φ}$ , on obtient

$B = \frac{e _{r} \land ( E _{θ} e _{θ} )}{c} = \frac{E _{θ}}{c} e_{φ} .$

En reportant $E_{θ} = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2}}{4 π r} sin θ cos (ω (t - r / c))$ on retrouve exactement l'expression de $B$ donnée, avec $B = E / c$ . La donnée du seul champ $E$ suffit donc à reconstruire $B$ .

4.3 Puissance rayonnée

4.3.1 Vecteur de Poynting

Proposition 4.5Vecteur de Poynting du dipôle

Le vecteur de Poynting $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ est radial, dirigé vers l'extérieur :

$Π (M, t) = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{16 π ^{2} r ^{2} c} sin^{2} θ cos^{2} (ω (t - \frac{r}{c})) e_{r} .$

Sa moyenne temporelle vaut (car $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ ) :

$⟨ Π ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} r ^{2} c} sin^{2} θ e_{r} .$

On vérifie que $⟨ Π ⟩$ décroît en $1/ r^{2}$ et est toujours sortant ( $\propto e_{r}$ ) : le dipôle est bien une source qui cède de l'énergie au champ.

4.3.2 Formule de Larmor

◆Théorème 4.6Puissance rayonnée --- formule de Larmor

La puissance moyenne totale rayonnée par le dipôle à travers une sphère de rayon $r$ vaut

$⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} .$

Elle est indépendante de $r$ (conservation de l'énergie) et croît comme $ω^{4}$ : c'est la loi en $ω^{4}$ , essentielle pour la diffusion Rayleigh.

Exemple 4.7Intégration du flux de Poynting

Démontrer la formule de Larmor.

Démonstration

On calcule le flux de $⟨ Π ⟩$ à travers la sphère $S_{r}$ de rayon $r$ . L'élément de surface est $d S = r^{2} sin θ d θ d φ e_{r}$ , donc

$⟨ P ⟩ = \iint_{S_{r}} ⟨ Π ⟩ \cdot d S = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} r ^{2} c} \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} sin^{2} θ r^{2} sin θ d θ .$

Le facteur $r^{2}$ se simplifie (d'où l'indépendance en $r$ ). L'intégrale angulaire donne

$\int_{0}^{2 π} d φ = 2 π, \int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \frac{4}{3} .$

On rappelle $\int_{0}^{π} sin^{3} θ d θ = \int_{0}^{π} (1 - cos^{2} θ) sin θ d θ = [- cos θ + \frac{c o s ^{3} θ}{3}]_{0}^{π} = \frac{4}{3}$ . D'où

$⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} \times 2 π \times \frac{4}{3} = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} .$

iRemarqueÉcriture avec l'accélération

La puissance qui traverse à l'instant $t$ la sphère de rayon $r$ vaut $P = \frac{μ _{0} p ¨ ^{2} ( t - r / c )}{6 π c}$ ; pour le dipôle oscillant, $⟨ p ¨^{2} ⟩ = \frac{1}{2} p_{0}^{2} ω^{4}$ , et l'on retrouve $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c}$ . Pour une charge $q$ d'accélération $a$ (non relativiste), $p ¨ = q a$ et la formule de Larmor se réécrit $P = \frac{μ _{0} q ^{2} a ^{2}}{6 π c}$ (où $a$ désigne l'accélération instantanée) : la puissance rayonnée est proportionnelle au carré de l'accélération. Une charge en mouvement rectiligne uniforme ( $a = 0$ ) ne rayonne pas.

4.4 Indicatrice de rayonnement

4.4.1 Définition et diagramme en $sin^{2} θ$

Définition 4.8Indicatrice de rayonnement

L'indicatrice de rayonnement est la représentation polaire, dans un plan méridien contenant l'axe $O z$ , de la puissance moyenne rayonnée par unité d'angle solide en fonction de la direction $θ$ :

$\frac{d ⟨ P ⟩}{d Ω} = r^{2} ⟨ Π ⟩ \cdot e_{r} = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{32 π ^{2} c} sin^{2} θ \propto sin^{2} θ .$

ImportantPropriétés de l'indicatrice

Le rayonnement est maximal dans le plan équatorial $θ = π /2$ (perpendiculaire au dipôle).
Le rayonnement est nul dans l'axe du dipôle $θ = 0$ et $θ = π$ : un dipôle ne rayonne pas dans la direction de ses oscillations.
L'indicatrice possède la symétrie de révolution autour de $O z$ : le diagramme 3D est un tore (donut) engendré par la rotation du « papillon » $sin^{2} θ$ .

Capacité numérique : Tracer l'indicatrice de rayonnement

Le diagramme polaire $r (θ) = sin^{2} θ$ se trace en quelques lignes de Python (matplotlib, projection polaire). On mesure $θ$ à partir de l'axe $O z$ du dipôle.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
r = np.sin(theta)**2            # indicatrice en sin^2(theta)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='polar')
ax.plot(theta, r, color='teal')
ax.fill(theta, r, color='teal', alpha=0.2)
ax.set_title("Indicatrice de rayonnement du dipole")
plt.show()

On observe les deux lobes (« papillon »), maximaux à $θ = π /2$ et nuls à $θ = 0, π$ .

4.5 Diffusion Rayleigh

4.5.1 Modèle de la charge élastiquement liée

Définition 4.9Charge élastiquement liée

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié, l'électron d'une molécule est traité comme un point de charge $- e$ et de masse $m$ , rappelé vers sa position d'équilibre par une force élastique $- m ω_{0}^{2} r$ (pulsation propre $ω_{0}$ dans l'ultraviolet pour les molécules de l'air). Soumis au champ électrique $E (t) = E_{0} cos (ω t) e_{z}$ d'une onde incidente (polarisée rectilignement), il obéit à

$m r ¨ = - m ω_{0}^{2} r - e E (t) .$

(On néglige la force magnétique et l'amortissement hors résonance.)

Proposition 4.10Dipôle induit en régime forcé

En régime sinusoïdal établi, l'électron oscille à la pulsation $ω$ de l'onde. En notation réelle, $z (t) = z_{0} cos (ω t)$ avec

$z_{0} = \frac{- e E _{0} / m}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} .$

Le moment dipolaire induit $p (t) = - e z (t) e_{z} = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ a pour amplitude

$p_{0} = \frac{e ^{2} E _{0}}{m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )} .$

La molécule éclairée se comporte donc comme un dipôle oscillant qui rayonne à son tour : c'est la diffusion de l'onde. L'énergie prélevée sur l'onde incidente est réémise dans toutes les directions selon l'indicatrice en $sin^{2} θ$ .

Exemple 4.11Établir l'amplitude du dipôle induit

Démonstration

On cherche $z (t) = z_{0} cos (ω t)$ solution de $m z ¨ = - m ω_{0}^{2} z - e E_{0} cos ω t$ . En reportant, $z ¨ = - ω^{2} z_{0} cos ω t$ , d'où

$- m ω^{2} z_{0} = - m ω_{0}^{2} z_{0} - e E_{0} ⟹ z_{0} (ω_{0}^{2} - ω^{2}) = - \frac{e E _{0}}{m} ⟹ z_{0} = \frac{- e E _{0} / m}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} .$

Puis $p_{0} = - e z_{0} = \frac{e ^{2} E _{0}}{m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )}$ .

4.5.2 Régime de Rayleigh et loi en $ω^{4}$

ImportantLes trois régimes

Selon la position de $ω$ par rapport à la pulsation propre $ω_{0}$ :

$ω ≪ ω_{0}$ : régime de Rayleigh. Alors $ω_{0}^{2} - ω^{2} ≃ ω_{0}^{2}$ , donc $p_{0} ≃ \frac{e ^{2} E _{0}}{m ω _{0}^{2}}$ est quasi indépendant de $ω$ .
$ω ≃ ω_{0}$ : résonance, $p_{0}$ diverge (l'amortissement, ici négligé, borne l'amplitude) : forte absorption.
$ω ≫ ω_{0}$ : $p_{0} ≃ - \frac{e ^{2} E _{0}}{m ω ^{2}}$ (électron quasi libre, diffusion Thomson).

◆Théorème 4.12Puissance diffusée en régime de Rayleigh

Dans le régime de Rayleigh ( $ω ≪ ω_{0}$ ), la puissance moyenne diffusée par une molécule s'obtient par la formule de Larmor avec $p_{0} ≃ e^{2} E_{0} / (m ω_{0}^{2})$ (indépendant de $ω$ ) :

$⟨ P_{diff} ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} = \frac{μ _{0} e ^{4} E _{0}^{2}}{12 π c m ^{2} ω _{0}^{4}} ω^{4} \propto ω^{4} = \frac{( 2 π c ) ^{4}}{λ ^{4}} .$

La puissance diffusée croît comme $ω^{4}$ , c'est-à-dire comme $1/ λ^{4}$ : le bleu (courte longueur d'onde) est bien plus diffusé que le rouge.

4.5.3 Section efficace de diffusion

(Complément hors programme strict — le programme ne demande que puissance diffusée, résonance et domaine de Rayleigh.)

Définition 4.13Section efficace de diffusion

La section efficace $σ$ est le rapport de la puissance diffusée par la molécule au flux de puissance incident (intensité $⟨ Π_{inc} ⟩ = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2}$ ) :

$σ = \frac{⟨ P _{diff} ⟩}{⟨ Π _{inc} ⟩} .$

Homogène à une surface, elle mesure la « taille effective » de la molécule vue par l'onde.

Proposition 4.14Section efficace de Rayleigh

En régime de Rayleigh,

$σ_{R} = σ_{0} (\frac{ω}{ω _{0}})^{4} \propto \frac{1}{λ ^{4}}$

où $σ_{0}$ regroupe les constantes. Le rapport des intensités diffusées entre l'extrémité bleue ( $λ_{b} ≃ 450 nm$ ) et rouge ( $λ_{r} ≃ 700 nm$ ) du spectre visible vaut

$\frac{σ ( λ _{b} )}{σ ( λ _{r} )} = (\frac{λ _{r}}{λ _{b}})^{4} ≃ (\frac{700}{450})^{4} ≃ 5, 9.$

Le bleu est donc diffusé environ 6 fois plus que le rouge.

4.5.4 Applications : bleu du ciel et rouge du couchant

ImportantCouleur du ciel

La lumière solaire (blanche) traverse l'atmosphère et est diffusée par les molécules de l'air ( $N_{2}$ , $O_{2}$ , dont $ω_{0}$ est dans l'UV, donc $ω_{visible} ≪ ω_{0}$ : régime de Rayleigh). La loi en $1/ λ^{4}$ privilégie fortement les courtes longueurs d'onde :

Ciel bleu : en regardant le ciel hors du disque solaire, on ne voit que la lumière diffusée, majoritairement bleue.
Soleil rougeoyant au couchant : à l'horizon, les rayons traversent une grande épaisseur d'atmosphère ; le bleu, fortement diffusé, est retiré du faisceau direct, qui s'appauvrit en bleu et paraît rouge-orangé.

iRemarquePolarisation de la lumière du ciel

La lumière diffusée à $9 0^{\circ}$ de la direction du Soleil est notablement polarisée. Le champ incident, transverse, est perpendiculaire au faisceau solaire : les dipôles induits le sont aussi. Vu à $9 0^{\circ}$ du faisceau, seule rayonne vers l'observateur la composante de ces dipôles perpendiculaire à la ligne de visée, c'est-à-dire perpendiculaire au plan de diffusion (qui contient le faisceau et la direction d'observation) : le champ diffusé est polarisé rectilignement, perpendiculairement à ce plan. On l'observe avec un filtre polarisant.

AttentionPourquoi les nuages sont blancs

Les gouttelettes d'eau des nuages ont une taille $a ≳ λ$ : on n'est plus dans le régime de Rayleigh ( $a ≪ λ$ ) mais dans la diffusion de Mie, quasi indépendante de $λ$ . Toutes les couleurs sont diffusées de la même façon $\Rightarrow$ les nuages paraissent blancs.

4.6 Synthèse du chapitre

Dipôle oscillant : $p (t) = p_{0} cos (ω t) e_{z}$ , modèle de toute source rayonnante (antenne, atome, molécule). Hiérarchie des trois échelles : $a ≪ λ ≪ r$ (approximation dipolaire + zone de rayonnement).
Champs rayonnés (zone de rayonnement) : onde localement plane, transverse, progressive selon $e_{r}$ , avec $E = c B$ . Amplitude $\propto \frac{sin θ}{r} ω^{2}$ : décroissance en $1/ r$ (conservation de l'énergie), facteur $sin θ$ (transversalité : projection de $p ¨$ ), facteur $ω^{2}$ (accélération des charges).
Puissance rayonnée (Larmor) : $⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c}$ , indépendante de $r$ et $\propto ω^{4}$ .
Indicatrice de rayonnement : $\frac{d P}{d Ω} \propto sin^{2} θ$ ; maximale dans le plan équatorial, nulle dans l'axe du dipôle, tore par révolution.
Diffusion Rayleigh : molécule = charge élastiquement liée $\to$ dipôle induit $p_{0} = \frac{e ^{2} E _{0}}{m ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )}$ . Régime $ω ≪ ω_{0}$ : $⟨ P_{diff} ⟩ \propto ω^{4} \propto 1/ λ^{4}$ .
Applications : ciel bleu (bleu $\sim 6 \times$ plus diffusé que le rouge), Soleil rouge au couchant, polarisation du ciel à $9 0^{\circ}$ ; nuages blancs = diffusion de Mie ( $a ≳ λ$ , achromatique).

4.7 Travaux dirigés

Exercice 1 — Trois longueurs, cinq sources : quand le modèle du dipôle s'applique-t-il ?

Le modèle du dipôle oscillant et les expressions des champs rayonnés supposent la double hiérarchie $a ≪ λ ≪ r$ , où $a$ est la taille de la source et $r$ la distance d'observation. On la confronte à cinq sources réelles (l'émetteur AM émet en ondes moyennes, la ligne électrique est à haute tension).

Source	$f$	Taille $a$	Distance $r$
Atome (raie visible)	$5 \times 1 0^{14} Hz$	$0, 1 nm$ (atome)	$1 m$ (spectroscope)
Émetteur AM	$1 MHz$	$75 m$ (pylône)	$10 km$ (auditeur)
Borne Wi-Fi	$2, 45 GHz$	$3 cm$ (antenne)	$5 m$ (ordinateur)
Téléphone	$900 MHz$	$3 cm$ (antenne)	$2 cm$ (tête), $1 km$ (relais)
Ligne électrique	$50 Hz$	$100 km$ (ligne)	$30 m$ (maison)

1) Calculer la longueur d'onde $λ$ et la longueur $λ /2 π$ pour chaque source.

2) L'approximation dipolaire. On note $τ_{a} = a / c$ la durée que met un signal pour traverser la source et $T$ la période. Montrer que $a / λ = τ_{a} / T$ . En déduire pourquoi, si $a ≪ λ$ , toutes les charges de la source sont vues en phase depuis $M$ , de sorte que la source se réduit à un seul dipôle ponctuel. Pour quelles sources cette condition est-elle satisfaite ?

3) La zone de rayonnement. Pour quels points d'observation a-t-on $r ≫ λ$ ? Pourquoi, dans ce cas, l'onde a-t-elle localement la structure d'une onde plane ?

4) Deux observateurs hors de la zone de rayonnement. La tête de l'utilisateur du téléphone, la maison voisine de la ligne : peut-on y utiliser les expressions des champs rayonnés ? Quelle est la nature du champ qui y règne ?

5) Bilan. Pour chaque source, dire laquelle des deux inégalités est vérifiée, laquelle ne l'est pas, et ce qu'on peut attendre du modèle.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On calcule $λ = c / f$ , puis les deux rapports $a / λ$ et $r / λ$ . Chaque inégalité a un sens physique précis : la première est une condition de retard à l'intérieur de la source, la seconde une condition de géométrie au point d'observation. Elles sont indépendantes : l'une porte sur la source, l'autre sur l'observateur.

1) Les longueurs d'onde. Avec $λ = c / f$ :

Source	$λ$	$λ /2 π$
Atome	$600 nm$	$95 nm$
Émetteur AM	$300 m$	$47, 7 m$
Borne Wi-Fi	$12, 2 cm$	$1, 95 cm$
Téléphone	$33, 3 cm$	$5, 3 cm$
Ligne 50 Hz	$6000 km$	$954 km$

Treize ordres de grandeur séparent la ligne de l'atome : le même modèle couvre tout le spectre, à condition de comparer les longueurs à $λ$ .

2) $a ≪ λ$ : une condition de retard. $\frac{a}{λ} = \frac{a}{c T} = \frac{a / c}{T} = \frac{τ _{a}}{T}$ . Le champ reçu en $M$ à l'instant $t$ a été émis par chaque charge, de position $P$ , à l'instant retardé $t - P M / c$ ; les distances $P M$ diffèrent d'au plus $a$ environ, donc les instants d'émission d'au plus $τ_{a}$ . Si $τ_{a} ≪ T$ , toutes les charges sont vues dans la même phase, et leurs contributions s'ajoutent comme celles d'un seul moment dipolaire $p (t - r / c)$ placé en $O$ . Numériquement :

atome : $a / λ = 1, 7 \times 1 0^{- 4}$ ( $τ_{a} = 3 \times 1 0^{- 19} s$ pour $T = 2 \times 1 0^{- 15} s$ ) : parfait ;
émetteur AM : $a / λ = 1/4$ : le signal met un quart de période à parcourir le pylône : approximation seulement qualitative ;
borne Wi-Fi : $a / λ = 0, 25$ : même verdict ;
téléphone : $a / λ = 0, 09$ : acceptable ;
ligne : $a / λ = 1, 7 \times 1 0^{- 2}$ : satisfaite.

Les antennes réelles mesurent un quart ou une moitié de longueur d'onde, justement pour bien rayonner (exercice 4).

3) $r ≫ λ$ : une condition de géométrie. $r / λ$ vaut $1, 7 \times 1 0^{6}$ (atome), $33$ (auditeur AM), $41$ (ordinateur), $0, 06$ (tête) et $3000$ (relais), $5 \times 1 0^{- 6}$ (maison). Atome, auditeur, ordinateur et relais sont dans la zone de rayonnement : sur quelques longueurs d'onde autour de $M$ , les surfaces d'onde, sphères de rayon $r$ , sont pratiquement planes et l'amplitude, en $1/ r$ , varie peu ; l'onde est localement plane, avec $E ⊥ B ⊥ e_{r}$ et $∥ E ∥ = c ∥ B ∥$ . L'exercice 2 précise le critère : $r ≫ λ /2 π$ .

4) Hors de la zone de rayonnement. La tête est à $2 cm$ , moins que $λ /2 π = 5, 3 cm$ : elle est dans la zone proche, où dominent des champs quasi statiques en $1/ r^{3}$ , absents des expressions admises (exercice 2) : ni le champ en $sin θ / r$ ni la relation de structure n'y valent. La maison : le temps de propagation $r / c = 0, 1 μ s$ est négligeable devant la période de $20 ms$ , c'est l'approximation des régimes quasi stationnaires : à chaque instant, le champ électrique est celui des charges de la ligne, le champ magnétique celui de ses courants. Le terme rayonné y est un milliard de fois plus faible (exercice 2) : la ligne ne « rayonne » pas vers la maison.

5) Bilan. Atome : $a ≪ λ ≪ r$ , le modèle est excellent. Émetteur AM, borne Wi-Fi : observateur en zone de rayonnement, mais source non petite devant $λ$ : le modèle donne la structure de l'onde et l'allure de l'indicatrice, pas les valeurs exactes. Téléphone : bon modèle pour le relais, inutilisable pour la tête. Ligne : source petite devant $λ$ , mais observateur en régime quasi statique. Les deux conditions sont bien indépendantes : l'émetteur AM viole la première et respecte la seconde, la ligne fait l'inverse.

Ce que l'exercice installe. Trois longueurs, deux comparaisons, chacune avec son sens : $a ≪ λ$ équivaut à un retard négligeable à l'intérieur de la source ( $a / c ≪ T$ ), qui permet de la réduire à un dipôle ponctuel ; $r ≫ λ$ est la zone de rayonnement, où l'onde est localement plane. Et un ordre de grandeur : à $50 Hz$ on est toujours dans l'ARQS, en optique toujours dans la zone de rayonnement.

Exercices du chapitre

Trois longueurs, cinq sources : quand le modèle du dipôle s'applique-t-il ? corrigé
La structure du champ rayonné sans calcul corrigé
Bilan d'énergie : où va la puissance, et en combien de temps ? corrigé
L'antenne courte et sa résistance de rayonnement corrigé
Détecter le rayonnement d'un dipôle : relevés et indicatrice corrigé
Deux dipôles : diriger le rayonnement corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Rayonnement du dipôle oscillant ; diffusion Rayleigh

4.1 Le modèle du dipôle oscillant

4.1.1 Définition et exemples

4.1.2 Les trois échelles de longueur

4.1.3 Géométrie et notations

4.2 Champs rayonnés dans la zone de rayonnement

4.2.1 Expressions des champs (admises)

4.2.2 Lecture qualitative de la structure

Méthode : Analyser la structure du champ rayonné

4.3 Puissance rayonnée

4.3.1 Vecteur de Poynting

4.3.2 Formule de Larmor

4.4 Indicatrice de rayonnement

4.4.1 Définition et diagramme en sin2θ

Capacité numérique : Tracer l'indicatrice de rayonnement

4.5 Diffusion Rayleigh

4.5.1 Modèle de la charge élastiquement liée

4.5.2 Régime de Rayleigh et loi en ω4

4.5.3 Section efficace de diffusion

4.5.4 Applications : bleu du ciel et rouge du couchant

4.6 Synthèse du chapitre

4.7 Travaux dirigés

Exercice 1 — Trois longueurs, cinq sources : quand le modèle du dipôle s'applique-t-il ?

Exercices du chapitre

4.4.1 Définition et diagramme en $sin^{2} θ$

4.5.2 Régime de Rayleigh et loi en $ω^{4}$