Lentilles minces dans l'approximation de Gauss

Cours complet · optique géométrique (MP2I), chapitre 4 · CPGE MP2I (1re année)

Les lentilles minces sont les briques des instruments d'optique : lunettes, appareils photo, microscopes, télescopes. Dans l'approximation de Gauss (chapitre 3), elles forment des images que l'on sait construire géométriquement à l'aide de trois rayons, et calculer grâce aux formules de conjugaison. Ce chapitre, cœur du livre, met en place le vocabulaire (centre optique, foyers, distance focale, vergence), les constructions et les deux jeux de formules — Descartes et Newton.

Toutes les grandeurs sont algébriques, mesurées sur un axe optique orienté (sens de propagation de la lumière) ; on note $O A$ la mesure algébrique.

4.1 Centre optique, foyers, distance focale, vergence

Définition 4.1Lentille mince, centre optique

Une lentille mince est convergente (bords minces) ou divergente (bords épais). Son centre, le centre optique $O$ , a la propriété : tout rayon passant par $O$ n'est pas dévié.

Définition 4.2Foyers et distance focale

Le foyer principal image $F^{'}$ est le point où convergent (lentille convergente) les rayons parallèles à l'axe ; c'est l'image d'un objet à l'infini sur l'axe.
Le foyer principal objet $F$ est le point dont l'image est à l'infini ; il est symétrique de $F^{'}$ par rapport à $O$ .
La distance focale image est $f^{'} = O F^{'}$ ; $O F = - f^{'}$ .

Convergente : $f^{'} > 0$ ; divergente : $f^{'} < 0$ .

Définition 4.3Vergence

La vergence est $V = \frac{1}{f ^{'}}$ , en dioptries ( $/ m$ ). Positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente.

iRemarqueFoyers secondaires

Tout rayon parallèle entre eux converge dans le plan focal image (plan perpendiculaire à l'axe passant par $F^{'}$ ), en un foyer secondaire. De même, les rayons issus d'un point du plan focal objet émergent parallèles entre eux.

4.2 Construction de l'image

Méthode : Les trois rayons utiles

Pour construire l'image $B^{'}$ d'un point $B$ (hors de l'axe), on utilise deux des trois rayons suivants :

le rayon passant par $O$ : non dévié ;
le rayon parallèle à l'axe : émerge en passant par $F^{'}$ ;
le rayon passant par $F$ : émerge parallèle à l'axe.

L'image $A^{'}$ du pied $A$ (sur l'axe) est la projection de $B^{'}$ sur l'axe.

ImportantNature de l'image

L'image est réelle si les rayons s'y croisent effectivement (du côté émergent, $O A^{'} > 0$ ) : on peut la projeter sur un écran. Elle est virtuelle sinon (croisement des prolongements, $O A^{'} < 0$ ) : on ne peut que la voir. Un objet à l'infini donne une image dans le plan focal image.

4.2.1 Objet à l'infini

Un objet à l'infini, vu sous l'angle $α$ , envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux, inclinés de $α$ sur l'axe. Ils convergent au foyer image secondaire situé dans le plan focal image : le rayon passant par $O$ (non dévié) le localise. L'image, dans le plan focal, a pour taille $A^{'} B^{'} = - f^{'} α$ (petits angles) : la focale convertit un angle en une longueur.

4.2.2 Cas de la lentille divergente

Tout ce qui précède (formules comprises) reste valable pour une lentille divergente, à condition de tenir compte de $f^{'} < 0$ . Seule la construction géométrique change un peu, car les foyers sont virtuels et de position inversée.

ImportantFoyers et rayons d'une lentille divergente

Pour une lentille divergente ( $f^{'} < 0$ ), le foyer image $F^{'}$ est situé avant la lentille (du côté objet, à la distance $∣ f^{'} ∣$ ) et le foyer objet $F$ après : ce sont des foyers virtuels. Les trois rayons s'adaptent :

le rayon passant par $O$ : non dévié ;
le rayon parallèle à l'axe : émerge en divergeant, comme s'il provenait de $F^{'}$ (sa prolongation passe par $F^{'}$ ) ;
le rayon se dirigeant vers $F$ : émerge parallèle à l'axe.

Proposition 4.4

L'image d'un objet réel par une lentille divergente est toujours virtuelle, droite et réduite, située entre $O$ et $F^{'}$ : les rayons émergents divergent, et leurs prolongements se croisent en $B^{'}$ (voir aussi l'exercice résolu 6).

4.3 Formules de conjugaison et de grandissement

◆Théorème 4.5Formules de Descartes (origine en

O

)

$\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A} .$

Le grandissement $γ$ donne la taille ( $∣ γ ∣$ ) et le sens (signe : $> 0$ droite, $< 0$ renversée) de l'image.

◆Théorème 4.6Formules de Newton (origines en

F

F^{'}

)

$F A \cdot F^{'} A^{'} = - f^{' 2} γ = - \frac{F ^{'} A ^{'}}{f ^{'}} = \frac{f ^{'}}{F A} .$

Capacité numérique : Position et nature de l'image

On applique la formule de Descartes pour situer l'image et donner son grandissement, selon la position de l'objet (lentille convergente $f^{'} = 20 cm$ ).


fp = 0.20          # distance focale image f' (m), convergente
for OA in (-0.50, -0.40, -0.20, -0.10):     # position objet (m), < 0 : reel
    OAp = 1.0 / (1.0 / fp + 1.0 / OA)        # 1/OA' = 1/f' + 1/OA
    gamma = OAp / OA
    nature = "reelle" if OAp > 0 else "virtuelle"
    print("OA =", OA, "m -> OA' =", round(OAp, 3),
          "m , gamma =", round(gamma, 2), "(", nature, ")")

On observe : objet au-delà de $f^{'}$ $\to$ image réelle renversée ; objet en $F$ ( $O A = - f^{'}$ ) $\to$ image à l'infini ; objet entre $F$ et $O$ $\to$ image virtuelle, droite, agrandie (principe de la loupe).

4.4 Condition de formation d'une image réelle

Méthode : Distance minimale objet-écran

Pour un objet réel et une lentille convergente, notons $D = A A^{'} > 0$ la distance objet-image. En posant $d = - O A > 0$ , la formule de Descartes donne $O A^{'} = \frac{f ^{'} d}{d - f ^{'}}$ (qui n'est positive que si $d > f^{'}$ ), d'où

$D = d + O A^{'} = d + \frac{f ^{'} d}{d - f ^{'}} = \frac{d ^{2}}{d - f ^{'}} .$

La dérivée $\frac{d D}{d d} = \frac{2 d ( d - f ^{'} ) - d ^{2}}{( d - f ^{'} ) ^{2}} = \frac{d ( d - 2 f ^{'} )}{( d - f ^{'} ) ^{2}}$ s'annule en $d = 2 f^{'}$ (minimum), d'où

$D = A A^{'} \geq 4 f^{'}$

Une image réelle d'un objet réel par une lentille convergente n'existe que si l'écran est à une distance au moins $4 f^{'}$ de l'objet ; le minimum $D = 4 f^{'}$ est atteint pour un objet à $2 f^{'}$ (image à $2 f^{'}$ , grandissement $- 1$ ).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.5 Exercices résolus

Exercice 1 : Vergence et focale (

⋆

)

Une lentille a une vergence $V = 5 δ$ . Quelle est sa distance focale ? Est-elle convergente ?

Démonstration

$f^{'} = 1/ V = 1/5 = 0.20 m = 20 cm$ . $V > 0$ : la lentille est convergente.

Exercice 2 : Objet à l'infini (

⋆

)

Où se forme l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe, par une lentille convergente de focale $f^{'}$ ?

Démonstration

Les rayons issus de l'infini sur l'axe arrivent parallèles à l'axe et convergent au foyer image $F^{'}$ : l'image est au foyer, à la distance $f^{'}$ de la lentille.

Exercice 3 : Conjugaison de Descartes (

⋆ ⋆

)

Un objet réel est à $30 cm$ devant une lentille convergente $f^{'} = 20 cm$ . Déterminer la position de l'image et le grandissement.

Démonstration

$O A = - 30 cm$ . $\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{- 30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$ , donc $O A^{'} = + 60 cm$ : image réelle. $γ = O A^{'} / O A = 60/ (- 30) = - 2$ : image renversée, deux fois plus grande.

Exercice 4 : La loupe (

⋆ ⋆

)

Un objet est à $10 cm$ devant la même lentille ( $f^{'} = 20 cm$ ). Décrire l'image.

Démonstration

$\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{- 10} = \frac{1 - 2}{20} = - \frac{1}{20}$ , donc $O A^{'} = - 20 cm$ : image virtuelle (devant la lentille). $γ = (- 20) / (- 10) = + 2$ : droite, deux fois plus grande. C'est la loupe : l'objet placé entre $F$ et $O$ donne une image virtuelle agrandie.

Exercice 5 : Formule de Newton (

⋆ ⋆

)

Reprendre l'exercice 3 avec la formule de Newton.

Démonstration

$F A = O A - O F = - 30 - (- 20) = - 10 cm$ . Newton : $F^{'} A^{'} = - f^{' 2} / F A = - (20)^{2} / (- 10) = + 40 cm$ , donc $O A^{'} = O F^{'} + F^{'} A^{'} = 20 + 40 = 60 cm$ (cohérent). Grandissement $γ = - F^{'} A^{'} / f^{'} = - 40/20 = - 2$ (idem).

Exercice 6 : Lentille divergente (

⋆ ⋆

)

Montrer que l'image d'un objet réel par une lentille divergente est toujours virtuelle, droite et réduite.

Démonstration

$f^{'} < 0$ . Pour un objet réel $O A < 0$ : $\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{O A} < 0$ (somme de deux termes négatifs), donc $O A^{'} < 0$ : virtuelle. De plus $∣ O A^{'} ∣ < ∣ O A ∣$ , donc $0 < γ < 1$ : droite et réduite. (C'est l'image vue dans un viseur de porte.)

Exercice 7 : Distance minimale objet-écran (

⋆ ⋆ ⋆

)

Avec une lentille $f^{'} = 20 cm$ , peut-on projeter sur un écran l'image d'un objet situé à $70 cm$ de l'écran ?

Démonstration

La condition d'image réelle est $D \geq 4 f^{'} = 80 cm$ . Ici $D = 70 cm < 80 cm$ : impossible de former une image réelle sur l'écran avec cette lentille (quelle que soit sa position entre objet et écran).

Exercice 8 : Grandissement

- 1

(

⋆ ⋆

)

Pour quelle position de l'objet le grandissement vaut-il exactement $- 1$ ? Où est alors l'image ?

Démonstration

$γ = O A^{'} / O A = - 1$ impose $O A^{'} = - O A$ . Avec Descartes : $\frac{1}{- O A} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow - \frac{2}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow O A = - 2 f^{'}$ . L'objet est à $2 f^{'}$ , l'image à $2 f^{'}$ de l'autre côté : c'est la configuration de distance minimale $D = 4 f^{'}$ .

4.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Centre $O$ (rayon non dévié), foyers $F$ , $F^{'}$ symétriques, focale $f^{'} = O F^{'}$ , vergence $V = 1/ f^{'}$ (dioptries) ; convergente $f^{'} > 0$ , divergente $f^{'} < 0$ .
Trois rayons : par $O$ (non dévié), parallèle à l'axe $\to F^{'}$ , par $F \to$ parallèle à l'axe.
Descartes : $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$ , $γ = \frac{O A ^{'}}{O A}$ .
Newton : $F A \cdot F^{'} A^{'} = - f^{' 2}$ , $γ = - \frac{F ^{'} A ^{'}}{f ^{'}} = \frac{f ^{'}}{F A}$ .
Loupe : objet entre $F$ et $O$ $\to$ image virtuelle droite agrandie. Divergente : image toujours virtuelle, droite, réduite.
Image réelle (objet réel, convergente) : $A A^{'} \geq 4 f^{'}$ ; minimum $4 f^{'}$ pour un objet à $2 f^{'}$ ( $γ = - 1$ ).

4.7 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Une lentille a $f^{'} = - 25 cm$ . Vergence ? Nature ?

( $⋆$ ) Objet à l'infini, $f^{'} = 5 cm$ : où et de quelle taille est l'image d'un objet vu sous un angle $α$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Objet réel à $50 cm$ , $f^{'} = 20 cm$ : position et grandissement de l'image (Descartes puis Newton).

( $⋆ ⋆$ ) Construire l'image d'un objet placé entre $F$ et $O$ et vérifier qu'elle est virtuelle et agrandie.

( $⋆ ⋆$ ) Pour $f^{'} = 15 cm$ , quelle est la distance minimale objet-écran pour une image réelle ?

( $⋆ ⋆$ ) Une lentille divergente $f^{'} = - 10 cm$ : image d'un objet à $20 cm$ ?

( $⋆ ⋆$ ) Déterminer la position de l'objet donnant une image réelle de même taille que l'objet.

( $⋆ ⋆$ ) Vérifier l'équivalence des formules de Descartes et de Newton sur un exemple.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, tracer $O A^{'}$ en fonction de $O A$ et repérer l'asymptote en $O A = - f^{'}$ .

( $⋆ ⋆$ ) Deux lentilles accolées : montrer que les vergences s'ajoutent ( $V = V_{1} + V_{2}$ ).

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir la relation $D = d^{2} / (d - f^{'})$ et retrouver $D_{m i n} = 4 f^{'}$ .

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Méthode de Bessel : pour $D > 4 f^{'}$ fixé, montrer qu'il existe deux positions de la lentille donnant une image nette sur l'écran.

4.8 Problèmes contextualisés

Les lentilles minces sont au cœur des objets qui nous entourent : appareil photo, loupe, lunettes de vue, vidéoprojecteur, œil, phares. Les problèmes suivants les font fonctionner avec les formules de conjugaison.

Exemple 4.15La mise au point d'un appareil photo (

⋆ ⋆

)

L'objectif (assimilé à une lentille mince de focale $f^{'} = 50 mm$ ) forme l'image sur le capteur. Pour faire la mise au point, on déplace l'objectif par rapport au capteur.

Pour un sujet à l'infini, à quelle distance du capteur est l'objectif ?
Pour un sujet à $1.0 m$ , calculer la nouvelle distance objectif-capteur. Dans quel sens l'objectif se déplace-t-il ?
Pourquoi la mise au point devient-elle de plus en plus « sensible » pour les sujets proches ?

Démonstration

1. Sujet à l'infini $\to$ image au foyer : distance $= f^{'} = 50 mm$ .

2. $O A = - 1.0 m$ : $\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{0 , 050} + \frac{1}{- 1 , 0} = 20 - 1 = 19 / m$ , d'où $O A^{'} \approx 52.6 mm$ . L'objectif s'éloigne du capteur de $\approx 2.6 mm$ .

3. Plus le sujet se rapproche, plus $O A^{'}$ varie vite avec $O A$ (la conjugaison est non linéaire, divergente près de $F$ ) : la course de mise au point s'allonge fortement en macro.

Exemple 4.16La loupe (

⋆ ⋆

)

Une loupe est une lentille convergente de courte focale $f^{'} = 5.0 cm$ . On place l'objet au foyer objet $F$ pour observer sans fatigue (image à l'infini).

Où se forme l'image quand l'objet est en $F$ ?
Le grossissement commercial est $G = \frac{d _{m}}{f ^{'}}$ avec $d_{m} = 25 cm$ (distance minimale de vision nette). Le calculer.
Pourquoi une loupe plus puissante a-t-elle une focale plus courte ?

Démonstration

1. Objet en $F$ $\Rightarrow$ image à l'infini : l'œil observe sans accommoder, l'image sous-tend un grand angle.

2. $G = \frac{0 , 25}{0 , 050} = 5$ (notée $\times 5$ ) : l'objet paraît $5$ fois plus grand qu'à l'œil nu à $25 cm$ .

3. $G = d_{m} / f^{'}$ : plus $f^{'}$ est petite, plus $G$ est grand. Une loupe $\times 10$ a $f^{'} = 2.5 cm$ .

Exemple 4.17Les lunettes de vue (

⋆ ⋆ ⋆

)

On corrige un défaut de l'œil en plaçant devant lui une lentille de vergence $V$ adaptée ( $1 δ = 1 / m$ ).

Un myope ne voit net que jusqu'à $2.0 m$ (son « punctum remotum »). On veut qu'un objet à l'infini lui paraisse à $2.0 m$ . Quelle vergence faut-il ? Lentille convergente ou divergente ?
Un presbyte ne voit net qu'au-delà de $1.0 m$ . On veut qu'il lise à $25 cm$ : la lentille doit donner d'un objet à $25 cm$ une image virtuelle à $1.0 m$ . Quelle vergence ?
Commenter le signe des deux corrections.

Démonstration

1. La lentille doit donner, d'un objet à l'infini, une image à $O A^{'} = - 2.0 m$ (virtuelle, au remotum) : $V = \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{- 2 , 0} - 0 = - 0.5 δ$ : lentille divergente.

2. Objet $O A = - 0.25 m$ , image $O A^{'} = - 1.0 m$ : $V = \frac{1}{- 1 , 0} - \frac{1}{- 0 , 25} = - 1 + 4 = + 3 δ$ : lentille convergente.

3. Myopie : $V < 0$ (divergente, recule les images) ; presbytie/hypermétropie : $V > 0$ (convergente, rapproche le punctum proximum). Le signe de la correction signe le défaut.

Exemple 4.18Le vidéoprojecteur (

⋆ ⋆

)

Un vidéoprojecteur forme sur un écran l'image agrandie d'une petite dalle, à l'aide d'une lentille de focale $f^{'} = 10 cm$ . On veut un grandissement $γ = - 30$ (image renversée, $30$ fois plus grande).

Où placer la dalle par rapport à la lentille ?
À quelle distance se trouve l'écran ?
Pourquoi l'image projetée est-elle renversée (et la dalle montée à l'envers dans l'appareil) ?

Démonstration

1. $γ = \frac{O A ^{'}}{O A} = - 30 \Rightarrow O A^{'} = - 30 O A$ . Descartes : $\frac{1}{- 30 O A} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{0 , 10}$ , soit $\frac{- 31/30}{O A} = 10$ , d'où $O A \approx - 10.3 cm$ : la dalle est juste au-delà du foyer.

2. $O A^{'} = - 30 \times (- 0, 103) \approx + 3.1 m$ : l'écran est à $\approx 3.1 m$ .

3. L'image réelle d'un objet réel par une lentille convergente est renversée ( $γ < 0$ ) : on monte donc la dalle à l'envers pour que l'image projetée soit droite.

Exemple 4.19L'œil et l'accommodation (

⋆ ⋆ ⋆

)

On modélise l'œil par une lentille de vergence variable à $17 mm$ de la rétine (distance fixe). L'œil accommode en changeant sa vergence.

Quelle vergence faut-il pour voir net un objet à l'infini ?
Quelle vergence pour voir net à $25 cm$ (lecture) ?
En déduire l'amplitude d'accommodation (différence de vergence).

Démonstration

1. Image sur la rétine : $O A^{'} = 17 mm = 0.017 m$ . Objet à l'infini : $V_{\infty} = \frac{1}{0 , 017} - 0 \approx 59 δ$ .

2. Objet à $O A = - 0.25 m$ : $V = \frac{1}{0 , 017} - \frac{1}{- 0 , 25} \approx 58, 8 + 4 = 62.8 δ$ .

3. Amplitude $Δ V \approx 62, 8 - 58, 8 \approx 4 δ$ . C'est cette réserve d'accommodation qui diminue avec l'âge (presbytie).

Exemple 4.20Mesurer une focale : méthode de Bessel (

⋆ ⋆ ⋆

)

Objet et écran sont fixes, séparés de $D = 1.00 m$ . On déplace une lentille convergente entre les deux : on trouve deux positions donnant une image nette, distantes de $d = 20 cm$ . On admet $f^{'} = \frac{D ^{2} - d ^{2}}{4 D}$ .

Pourquoi existe-t-il deux positions (lien avec le retour inverse) ?
Calculer la focale de la lentille.
Quel est l'intérêt pratique de cette méthode ?

Démonstration

1. La conjugaison est symétrique objet/image : si une position convient, la position « miroir » (objet et image échangés) convient aussi (retour inverse de la lumière). D'où deux positions, sauf au minimum $D = 4 f^{'}$ où elles se confondent.

2. $f^{'} = \frac{D ^{2} - d ^{2}}{4 D} = \frac{1 , 0 0 ^{2} - 0 , 2 0 ^{2}}{4 \times 1 , 00} = \frac{0 , 96}{4} = 0.24 m = 24 cm$ .

3. On mesure $f^{'}$ sans repérer la position exacte de la lentille (souvent mal définie pour une lentille épaisse) : seuls comptent $D$ et $d$ , faciles à mesurer précisément.

Exemple 4.21La lentille de Fresnel d'un phare (

⋆ ⋆

)

Dans un phare, une lampe est placée au foyer d'une grande lentille de Fresnel (focale $f^{'} = 0.50 m$ ) pour envoyer un faisceau lumineux très loin.

Quelle est la nature du faisceau émergent lorsque la source est exactement en $F$ ?
Que devient le faisceau si la lampe s'écarte légèrement du foyer ?
Pourquoi une lentille de Fresnel (à gradins) plutôt qu'une lentille pleine ?

Démonstration

1. Une source ponctuelle au foyer objet donne un faisceau émergent parallèle (image à l'infini) : la lumière part en un pinceau qui ne diverge pas, donc porte loin.

2. Hors du foyer, l'image n'est plus à l'infini : le faisceau diverge (lampe entre $F$ et $O$ ) ou converge puis diverge (lampe au-delà de $F$ ) ; le faisceau s'élargit et la portée chute.

3. La lentille de Fresnel conserve la courbure des surfaces utiles en supprimant l'épaisseur de verre inutile : même focale, mais bien plus légère, moins absorbante et réalisable en très grand diamètre.

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