Réflexion et réfraction : lois de Snell-Descartes

Cours complet · optique géométrique (MPSI), chapitre 2 · CPGE MPSI (1re année)

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Lorsqu'un rayon lumineux rencontre la surface séparant deux milieux transparents (l'eau et l'air, le verre et l'air…), il se divise : une partie est réfléchie, l'autre est réfractée (transmise en changeant de direction). Les lois de Snell-Descartes quantifient ces deux phénomènes. Elles expliquent une foule d'observations quotidiennes — le bâton qui semble brisé dans l'eau, les mirages, l'éclat du diamant — et un phénomène essentiel : la réflexion totale, à la base des fibres optiques.

2.1 Dioptre, rayon incident, réfléchi et réfracté

Définition 2.1Dioptre

Un dioptre est la surface séparant deux milieux transparents d'indices différents $n_{1}$ et $n_{2}$ . Au point d'incidence, on définit la normale (perpendiculaire au dioptre) ; tous les angles sont mesurés par rapport à la normale. Le rayon incident, la normale, les rayons réfléchi et réfracté sont dans un même plan, le plan d'incidence.

2.2 Les lois de Snell-Descartes

◆Théorème 2.2Lois de Snell-Descartes

Réflexion : le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence ; l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :

$i_{r} = i_{1} .$

Réfraction : le rayon réfracté est dans le plan d'incidence ; les angles vérifient

$n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$

ImportantSens de la déviation

En passant dans un milieu plus réfringent ( $n_{2} > n_{1}$ , p. ex. air $\to$ eau), le rayon se rapproche de la normale ( $i_{2} < i_{1}$ ).
En passant dans un milieu moins réfringent ( $n_{2} < n_{1}$ , p. ex. eau $\to$ air), il s'écarte de la normale ( $i_{2} > i_{1}$ ).

2.3 La réflexion totale

Considérons le passage d'un milieu dense vers un milieu moins dense ( $n_{1} > n_{2}$ ). Alors $i_{2} > i_{1}$ : à mesure que $i_{1}$ augmente, $i_{2}$ atteint $9 0^{\circ}$ pour une valeur particulière de $i_{1}$ .

◆Théorème 2.3Angle limite et réflexion totale

Il existe un angle limite $i_{l i m}$ tel que $i_{2} = 9 0^{\circ}$ :

$sin i_{l i m} = \frac{n _{2}}{n _{1}} (n_{1} > n_{2}) .$

Pour $i_{1} > i_{l i m}$ , aucun rayon réfracté n'existe : toute la lumière est réfléchie, c'est la réflexion totale.

Démonstration

La loi de Snell-Descartes impose $sin i_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin i_{1}$ . Comme $n_{1} > n_{2}$ , ce quotient dépasse $1$ dès que $sin i_{1} > \frac{n _{2}}{n _{1}}$ : l'équation n'a alors plus de solution $i_{2}$ — le rayon réfracté n'existe pas, toute la lumière est réfléchie. Le cas limite $i_{2} = 9 0^{\circ}$ (rayon réfracté rasant) donne exactement $n_{1} sin i_{l i m} = n_{2} sin 9 0^{\circ} = n_{2}$ , soit $sin i_{l i m} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ .

iRemarqueApplications

La réflexion totale guide la lumière dans les fibres optiques (chapitre 5), permet aux prismes à réflexion totale (jumelles, périscopes) de renvoyer la lumière sans perte, explique l'éclat du diamant (indice élevé $\Rightarrow$ $i_{l i m}$ petit, la lumière reste « piégée ») et les mirages (gradient d'indice de l'air chaud).

Capacité numérique : Réfraction et réflexion totale

On calcule l'angle réfracté par la loi de Snell-Descartes et on détecte la réflexion totale (verre $\to$ air).


import numpy as np

n1, n2 = 1.50, 1.00       # verre -> air (dense vers moins dense)
ilim = np.degrees(np.arcsin(n2 / n1))     # angle limite (deg)
print("angle limite :", round(ilim, 1), "deg")

for i1 in (20, 40, 41.8, 60):             # angles d'incidence (deg)
    s = n1 * np.sin(np.radians(i1)) / n2
    if s <= 1.0:
        i2 = np.degrees(np.arcsin(s))
        print("i1 =", i1, "deg -> i2 =", round(i2, 1), "deg (refraction)")
    else:
        print("i1 =", i1, "deg -> reflexion totale")

Au-delà de $i_{l i m} \approx 41, 8^{\circ}$ , le programme ne trouve plus d'angle réfracté : c'est la réflexion totale.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.4 Exercices résolus

Exercice 1 : Réflexion (

⋆

)

Un rayon arrive sur un miroir plan avec un angle d'incidence de $3 0^{\circ}$ . Quel est l'angle de réflexion, et l'angle entre rayons incident et réfléchi ?

Démonstration

$i_{r} = i_{1} = 3 0^{\circ}$ . L'angle entre les deux rayons (de part et d'autre de la normale) vaut $i_{1} + i_{r} = 6 0^{\circ}$ .

Exercice 2 : Air vers eau (

⋆

)

Un rayon passe de l'air ( $n_{1} = 1, 00$ ) dans l'eau ( $n_{2} = 1, 33$ ) sous une incidence $i_{1} = 4 5^{\circ}$ . Calculer l'angle de réfraction.

Démonstration

$sin i_{2} = \frac{n _{1} sin i _{1}}{n _{2}} = \frac{1 , 00 \times sin 4 5 ^{\circ}}{1 , 33} \approx 0, 532$ , d'où $i_{2} \approx 3 2^{\circ}$ . Le rayon se rapproche de la normale (milieu plus réfringent).

Exercice 3 : Eau vers air (

⋆ ⋆

)

Un rayon passe de l'eau ( $n_{1} = 1, 33$ ) dans l'air sous $i_{1} = 3 0^{\circ}$ . Calculer $i_{2}$ et commenter.

Démonstration

$sin i_{2} = \frac{1 , 33 \times sin 3 0 ^{\circ}}{1 , 00} = 0, 665$ , d'où $i_{2} \approx 4 2^{\circ}$ . Le rayon s'écarte de la normale ( $i_{2} > i_{1}$ ), conformément au passage vers un milieu moins réfringent.

Exercice 4 : Angle limite eau-air (

⋆ ⋆

)

Calculer l'angle limite de réflexion totale pour le dioptre eau ( $1, 33$ ) / air.

Démonstration

$sin i_{l i m} = \frac{n _{2}}{n _{1}} = \frac{1 , 00}{1 , 33} \approx 0, 752$ , d'où $i_{l i m} \approx 48, 8^{\circ}$ . Sous l'eau, un plongeur regardant vers le haut ne voit le monde extérieur que dans un cône d'angle $i_{l i m}$ ; au-delà, la surface lui renvoie le fond (réflexion totale).

Exercice 5 : Prisme à 45° (

⋆ ⋆

)

Un prisme en verre ( $n = 1, 5$ ) a un angle droit et deux angles de $4 5^{\circ}$ . Un rayon entre perpendiculairement à une face et frappe l'hypoténuse sous $4 5^{\circ}$ . Que se passe-t-il ?

Démonstration

L'angle limite verre/air est $i_{l i m} = arcsin (1/1, 5) \approx 41, 8^{\circ}$ . L'angle d'incidence sur l'hypoténuse ( $4 5^{\circ}$ ) dépasse $i_{l i m}$ : il y a réflexion totale. Le rayon est renvoyé à $9 0^{\circ}$ sans perte : c'est le principe du prisme des jumelles.

Exercice 6 : Lame à faces parallèles (

⋆ ⋆

)

Un rayon traverse une lame de verre à faces parallèles. Montrer qu'il ressort parallèle au rayon incident.

Démonstration

À l'entrée : $n_{air} sin i_{1} = n_{verre} sin i_{2}$ . À la sortie (faces parallèles, donc même normale) : $n_{verre} sin i_{2} = n_{air} sin i_{3}$ . En combinant, $sin i_{3} = sin i_{1}$ , donc $i_{3} = i_{1}$ : le rayon émergent est parallèle à l'incident, simplement décalé latéralement.

Exercice 7 : Profondeur apparente (

⋆ ⋆

)

Un objet est posé au fond d'une piscine de profondeur réelle $h$ . Vu du dessus (petits angles), à quelle profondeur apparente $h^{'}$ semble-t-il ?

Démonstration

Pour de petits angles, $sin i \approx tan i$ . La loi de Snell-Descartes ( $n_{eau} sin i_{2} = n_{air} sin i_{1}$ ) combinée à la géométrie donne

$h^{'} = \frac{n _{air}}{n _{eau}} h = \frac{h}{1 , 33} \approx 0, 75 h .$

La piscine paraît moins profonde qu'elle ne l'est (d'environ un quart).

Exercice 8 : Déviation par un prisme (

⋆ ⋆ ⋆

)

Décrire qualitativement la marche d'un rayon à travers un prisme et expliquer la dispersion de la lumière blanche.

Démonstration

Le rayon se réfracte en entrant puis en sortant du prisme ; les deux réfractions le dévient vers la base. Comme l'indice du verre dépend (légèrement) de la longueur d'onde (milieu dispersif, livre des ondes), chaque couleur est déviée différemment : le violet (indice plus grand) est plus dévié que le rouge. La lumière blanche est ainsi décomposée en un spectre — c'est l'expérience de Newton.

2.5 Synthèse du chapitre

À retenir

Angles mesurés par rapport à la normale ; rayons incident, réfléchi, réfracté dans le plan d'incidence.
Réflexion : $i_{r} = i_{1}$ . Réfraction : $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ .
Vers un milieu plus réfringent, le rayon se rapproche de la normale ; vers un milieu moins réfringent, il s'en écarte.
Réflexion totale (de dense vers moins dense, $n_{1} > n_{2}$ ) si $i_{1} > i_{l i m}$ avec $sin i_{l i m} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ . Applications : fibres, prismes, diamant.

2.6 Exercices d'entraînement

( $⋆$ ) Un rayon passe de l'air dans le verre ( $n = 1, 5$ ) sous $i_{1} = 6 0^{\circ}$ : calculer $i_{2}$ .

( $⋆$ ) Angle limite verre ( $1, 5$ ) / air.

( $⋆ ⋆$ ) Angle limite diamant ( $2, 42$ ) / air ; commenter l'éclat du diamant.

( $⋆ ⋆$ ) Un plongeur voit le « cône de Snell » : calculer son demi-angle au sommet (eau/air).

( $⋆ ⋆$ ) Calculer le décalage latéral d'un rayon traversant une lame de verre d'épaisseur $e$ , sous incidence $i_{1}$ (on pourra rester en petits angles).

( $⋆ ⋆$ ) Pourquoi un bâton plongé obliquement dans l'eau paraît-il brisé à la surface ?

( $⋆ ⋆$ ) Reprendre l'exercice de la profondeur apparente pour un objet vu depuis l'eau dans l'air (objet en l'air, observateur sous l'eau).

( $⋆ ⋆$ ) Justifier qu'à incidence normale ( $i_{1} = 0$ ), le rayon n'est pas dévié.

( $⋆ ⋆$ ) À l'aide de l'encadré numérique, déterminer l'angle limite eau/air en modifiant les indices.

( $⋆ ⋆$ ) Expliquer le principe du guidage de la lumière dans une fibre par réflexions totales successives.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Établir la formule de la profondeur apparente $h^{'} = \frac{n _{2}}{n _{1}} h$ par un schéma en petits angles.

( $⋆ ⋆ ⋆$ ) Mirage : expliquer, par une succession de réfractions dans un air dont l'indice varie avec la température, pourquoi une route chaude semble refléter le ciel.

2.7 Problèmes contextualisés

Les lois de Snell-Descartes et la réflexion totale expliquent une foule de phénomènes réels : la fibre optique, les mirages, l'éclat du diamant, l'arc-en-ciel, la pêche au harpon, les prismes des jumelles.

Exemple 2.12La fibre optique (

⋆ ⋆

)

Une fibre optique a un cœur d'indice $n_{1} = 1, 48$ entouré d'une gaine d'indice $n_{2} = 1, 46$ . La lumière y reste piégée par réflexions totales successives à l'interface cœur/gaine.

Calculer l'angle limite à l'interface cœur/gaine. Au-delà de quel angle (mesuré par rapport à la normale à l'interface) la lumière est-elle guidée ?
Pour qu'un rayon entrant par l'extrémité soit ensuite en réflexion totale, son angle d'incidence à l'entrée doit rester sous une valeur maximale. On admet que cet angle d'acceptance $α$ vérifie $sin α = n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ . Le calculer.
Pourquoi une fibre ne « fuit »-elle pas la lumière dans les virages doux ?

Démonstration

1. $sin i_{l i m} = \frac{n _{2}}{n _{1}} = \frac{1 , 46}{1 , 48} \approx 0, 9865$ , d'où $i_{l i m} \approx 80, 6^{\circ}$ . La lumière est guidée si elle frappe la paroi sous un angle supérieur à $80, 6^{\circ}$ (donc en incidence très rasante).

2. $sin α = 1, 4 8^{2} - 1, 4 6^{2} = 0, 0588 \approx 0, 2425$ , d'où $α \approx 1 4^{\circ}$ : seuls les rayons entrant dans ce cœur d'acceptance sont guidés.

3. Dans un virage doux, l'angle d'incidence sur la paroi reste supérieur à $i_{l i m}$ : la réflexion totale persiste. Ce n'est que dans un coude trop serré que l'angle passe sous $i_{l i m}$ et que la lumière s'échappe.

Exemple 2.13Le mirage de la route chaude (

⋆ ⋆ ⋆

)

Par forte chaleur, l'air près du bitume est très chaud, donc moins dense, donc d'indice plus faible que l'air plus haut. On observe au loin une « flaque » qui reflète le ciel.

En empilant des couches d'air d'indice décroissant vers le sol, montrer (par la loi de Snell-Descartes appliquée de couche en couche) que le rayon venant du ciel s'incurve et finit par remonter.
Pourquoi parle-t-on d'une réflexion totale « progressive » ?
Pourquoi voit-on l'image du ciel (bleu) et non celle de la route ?

Démonstration

1. En descendant vers le sol, le rayon passe dans des couches de moins en moins réfringentes : à chaque interface $n sin i = cte$ impose, $n$ diminuant, que $sin i$ augmente, donc $i$ croît vers $9 0^{\circ}$ . Le rayon s'incurve et finit par se propager vers le haut.

2. Il n'y a pas de surface unique : c'est l'accumulation des réfractions dans le gradient d'indice qui ramène le rayon, comme une réflexion totale étalée sur plusieurs couches.

3. Les rayons qui parviennent à l'œil après cette remontée viennent du ciel : on voit donc une image du ciel au ras du sol, interprétée comme une flaque d'eau réfléchissante.

Exemple 2.14L'éclat du diamant (

⋆ ⋆

)

Le diamant a un indice très élevé, $n = 2, 42$ .

Calculer son angle limite (diamant/air).
Comparer à celui du verre ( $n = 1, 5$ ). Qu'est-ce que cela implique pour la lumière entrée dans la pierre ?
Pourquoi la taille « brillant » (facettes soigneusement orientées) accroît-elle l'éclat ?

Démonstration

1. $sin i_{l i m} = \frac{1}{2 , 42} \approx 0, 413$ , d'où $i_{l i m} \approx 24, 4^{\circ}$ .

2. Pour le verre, $i_{l i m} \approx 41, 8^{\circ}$ . L'angle limite du diamant étant bien plus petit, la lumière entrée subit beaucoup plus facilement la réflexion totale : elle est « piégée » et ressort par le dessus après plusieurs réflexions.

3. Les facettes du brillant sont taillées pour que les rayons frappent les faces inférieures sous un angle $> i_{l i m}$ (réflexion totale) et ressortent par le haut vers l'œil : d'où le feu et l'éclat caractéristiques.

Exemple 2.15L'arc-en-ciel (

⋆ ⋆ ⋆

)

Dans une goutte d'eau ( $n = 1, 33$ ), un rayon de Soleil se réfracte en entrant, subit une réflexion (interne) au fond de la goutte, puis se réfracte en sortant. La déviation totale passe par un minimum ( $\approx 13 8^{\circ}$ ), ce qui concentre la lumière à environ $4 2^{\circ}$ de la direction antisolaire.

Citer les trois étapes subies par le rayon dans la goutte.
Pourquoi l'arc-en-ciel apparaît-il toujours du côté opposé au Soleil, à environ $4 2^{\circ}$ ?
Pourquoi est-il coloré, et pourquoi le rouge est-il à l'extérieur ?

Démonstration

1. Réfraction à l'entrée (air $\to$ eau), réflexion interne au fond de la goutte, réfraction à la sortie (eau $\to$ air).

2. La déviation étant minimale ( $D_{m i n} \approx 13 8^{\circ}$ ), la lumière ressort majoritairement à $18 0^{\circ} - D_{m i n} \approx 4 2^{\circ}$ de la direction antisolaire : on voit donc un arc centré sur le point antisolaire, de rayon angulaire $\approx 4 2^{\circ}$ , dos au Soleil.

3. L'indice de l'eau dépend (un peu) de la couleur (dispersion) : chaque couleur sort sous un angle légèrement différent. Le rouge (indice plus faible) est dévié à $\approx 4 2^{\circ}$ , le violet à $\approx 4 0^{\circ}$ : le rouge est donc sur le bord extérieur de l'arc.

Exemple 2.16Le pêcheur et le poisson (

⋆ ⋆

)

Un pêcheur voit un poisson qui semble à une profondeur de $h^{'} = 0.60 m$ sous la surface (eau $n = 1, 33$ ), à la verticale. Il vise avec un harpon.

La profondeur apparente vérifie $h^{'} = h / n$ (vue de dessus, petits angles). Quelle est la profondeur réelle $h$ du poisson ?
Le poisson paraît-il plus haut ou plus bas que sa position réelle ?
Où le pêcheur doit-il viser : au-dessus ou en-dessous de l'image perçue ?

Démonstration

1. $h^{'} = h / n \Rightarrow h = n h^{'} = 1, 33 \times 0, 60 \approx 0.80 m$ .

2. Comme $h > h^{'}$ , le poisson est en réalité plus profond : son image paraît plus haute (plus proche de la surface) que sa vraie position.

3. Il faut viser en-dessous de l'image perçue, là où se trouve réellement le poisson. (Sans correction, on tire trop haut et on le manque.)

Exemple 2.17Le prisme à réflexion totale des jumelles (

⋆ ⋆

)

Dans des jumelles, on redresse l'image avec des prismes en verre ( $n = 1, 5$ ) à angle droit, où la lumière entre perpendiculairement à une face et frappe l'hypoténuse sous $4 5^{\circ}$ .

Vérifier qu'il y a réflexion totale sur l'hypoténuse.
Quel avantage par rapport à un miroir métallique ?
À quoi sert cette réflexion dans les jumelles ?

Démonstration

1. $i_{l i m} = arcsin (1/1, 5) \approx 41, 8^{\circ} < 4 5^{\circ}$ : l'incidence sur l'hypoténuse dépasse l'angle limite, il y a réflexion totale.

2. La réflexion totale renvoie 100 % de la lumière, sans la perte (et sans le ternissement) d'un miroir métallique.

3. Les prismes replient le trajet et redressent l'image (sinon inversée par l'objectif), tout en raccourcissant l'instrument.

Exemple 2.18Le décalage à travers une vitre épaisse (

⋆ ⋆

)

On regarde un objet à travers une vitre de verre ( $n = 1, 5$ ) d'épaisseur $e = 2.0 cm$ , sous une incidence $i_{1} = 4 5^{\circ}$ . Le rayon ressort parallèle mais décalé latéralement de $d = e \frac{sin ( i _{1} - i _{2} )}{cos i _{2}}$ .

Calculer l'angle réfracté $i_{2}$ dans le verre.
Calculer le décalage latéral $d$ .
Pourquoi ne voit-on pas ce décalage à travers une vitre fine et de face ?

Démonstration

1. $sin i_{2} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{1 , 5} \approx 0, 471$ , d'où $i_{2} \approx 28, 1^{\circ}$ .

2. $d = e \frac{sin ( i _{1} - i _{2} )}{cos i _{2}} = 0, 020 \times \frac{sin ( 16 , 9 ^{\circ} )}{cos ( 28 , 1 ^{\circ} )} \approx 0, 020 \times \frac{0 , 291}{0 , 882} \approx 6.6 mm$ .

3. Le décalage $d$ est proportionnel à l'épaisseur $e$ et croît avec l'incidence ; pour une vitre mince vue de face ( $i_{1} \approx 0$ ), $d \to 0$ : aucun décalage perceptible.

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