Interférences par division du front d'onde : les trous d'Young

Le chapitre précédent a établi les conditions d'obtention d'interférences lumineuses : deux ondes ne donnent une figure d'interférences stable et contrastée que si elles sont cohérentes, c'est-à-dire issues d'une même source primaire, de même pulsation, et présentant une différence de phase constante dans le temps. La lumière étant émise par les atomes sous forme de trains d'ondes de durée très brève ($\sim 10^{-11}\mathrm{s}$), deux sources indépendantes ne peuvent jamais interférer de façon observable. Pour contourner cette difficulté, on dédouble la lumière issue d'une même source.

Il existe deux grandes familles de dispositifs interférentiels. Les dispositifs par division du front d'onde prélèvent deux portions distinctes d'un même front d'onde : c'est le principe des trous d'Young, objet de ce chapitre. Les dispositifs par division d'amplitude (interféromètre de Michelson, chapitre suivant) séparent l'énergie de chaque rayon à l'aide d'une lame semi-réfléchissante.

L'expérience des trous d'Young, réalisée par Thomas Young en 1801, est historiquement décisive : elle démontre le caractère ondulatoire de la lumière. Elle constitue aujourd'hui le dispositif-modèle de l'optique ondulatoire, sur lequel se dégagent tous les concepts fondamentaux : différence de marche, ordre d'interférences, interfrange, et surtout la notion centrale de cohérence spatiale et temporelle de la source.

3.1 Le dispositif des trous d'Young

3.1.1 Description et principe

Une source ponctuelle monochromatique $S$, de longueur d'onde $\lambda$, éclaire un écran opaque percé de deux petites ouvertures (trous ou fentes) $S_1$ et $S_2$, distantes de $a$. Ces deux ouvertures, éclairées par la même onde issue de $S$, se comportent comme deux sources secondaires synchrones : elles vibrent en phase (ou avec un déphasage fixe) car elles prélèvent un même front d'onde. Les ondes qu'elles rayonnent se superposent dans la région située au-delà du plan des trous : c'est le champ d'interférences. On observe la figure sur un écran $\mathcal{E}$ placé à une distance $D$, parallèle au plan contenant $S_1$ et $S_2$.

3.1.2 Différence de marche géométrique

Soit $M$ un point de l'écran, repéré par son abscisse $x$ mesurée sur l'écran à partir du point $O$, projection du milieu $I$ de $[S_1{S}_2]$. La différence de marche entre les deux ondes qui parviennent en $M$ est

$$\delta (M)=(S{S}_{2}M)-(S{S}_{1}M).$$

La source $S$ étant placée sur l'axe de symétrie, les chemins $S{S}_1$ et $S{S}_2$ sont égaux : $\delta (M)=S_{2}M-S_{1}M$. Il reste à évaluer la différence des distances $r_2=S_{2}M$ et $r_1=S_{1}M$.

Démonstration (Calcul de $\delta$)

Plaçons l'origine au milieu $I$ des trous. Le point $M$ a pour coordonnées $(D,x)$, et $S_{1,2}$ sont en $(0,\pm a/2)$. Alors

$$r_1^2=D^2+(x-\frac{a}{2}{)}^2,r_2^2=D^2+(x+\frac{a}{2}{)}^2.$$

Par différence, $r_2^2-r_1^2=2ax$, d'où

$$r_2-r_1=\frac{2ax}{r_2+r_1}.$$

Dans les conditions usuelles $a\ll D$ et $\left|x\right|\ll D$ (angles faibles), on a $r_1\approx r_2\approx D$, donc $r_2+r_1\approx 2D$ et

$$\boxed{\delta (M)=\frac{ax}{D}}$$

3.1.3 Déphasage, ordre d'interférences

Le déphasage entre les deux ondes en $M$ vaut

$$\phi (M)=\frac{2\pi }{\lambda }\delta (M)=\frac{2\pi ax}{\lambda D}.$$

Les deux sources secondaires étant synchrones et de même amplitude, les deux ondes reçues en $M$ ont la même intensité $I_0$ ; d'après la formule de Fresnel du chapitre précédent, l'intensité résultante est

$$I(M)=2I_0(1+\cos \phi )=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\phi }{2}\right)=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi ax}{\lambda D}\right).$$

3.2 Système de franges et interfrange

3.2.1 Forme des franges

Démonstration (Justification de la forme des franges)

Rigoureusement, une frange brillante d'ordre $p$ est le lieu des points tels que $S_{2}M-S_{1}M=p\lambda =\text{cte}$ : c'est un hyperboloïde de révolution d'axe $S_1{S}_2$ et de foyers $S_1$, $S_2$. Sur un écran éloigné parallèle au plan des trous, l'intersection de ces hyperboloïdes avec l'écran donne des courbes qui, dans la zone paraxiale $\left|x\right|\ll D$, sont assimilables à des droites perpendiculaires à $S_1{S}_2$. D'où l'aspect rectiligne des franges observées.

3.2.2 Interfrange

Deux franges brillantes consécutives correspondent à $\delta =p\lambda$ et $\delta =(p+1)\lambda$, soit $a{x}_p/D=p\lambda$ et $a{x}_{p+1}/D=(p+1)\lambda$. Par soustraction :

$$\boxed{i=x_{p+1}-x_p=\frac{\lambda D}{a}}$$

3.2.3 Effet d'une lentille

En pratique, l'écran est souvent éloigné. On peut ramener la figure « à l'infini » dans le plan focal image d'une lentille convergente. Si une lentille de distance focale $f^{\prime }$ est placée derrière les trous, l'écran étant dans son plan focal image, les rayons parallèles issus de $S_1$ et $S_2$ dans une direction faisant l'angle $\theta$ avec l'axe convergent en un même point $M^{\prime }$ du plan focal, d'abscisse $x=f^{\prime }\theta$.

3.2.4 Du modèle réel aux fentes d'Young

Avec de simples trous, très peu de lumière passe : la figure est faible. On remplace alors les trous par deux fentes fines, parallèles, de même écartement $a$. Chaque fente laisse passer beaucoup plus de flux ; comme toutes les tranches d'une fente donnent le même système de franges (invariance par translation le long de la fente), les figures se superposent en phase et l'on gagne fortement en luminosité sans brouiller les franges.

3.3 Cohérence spatiale : élargissement de la source

Jusqu'ici la source $S$ était ponctuelle. Une source réelle a une étendue finie. Chaque point de la source produit son propre système de franges, décalé, et ces systèmes se superposent en intensité (les points-sources sont mutuellement incohérents). Il en résulte une perte de contraste, voire un brouillage total.

3.3.1 Décalage de la figure par un point-source déplacé

Considérons une source secondaire $S^{\prime }$ décalée de $x_s$, parallèlement à $S_1{S}_2$, dans le plan de la source, situé à la distance $d$ en amont des trous. On garde la convention de la démonstration du calcul de $\delta$ : $S_1$ est en $x=+a/2$, $S_2$ en $x=-a/2$. La différence de marche devient

$$\delta (M)=\underset{\text{coˆteˊ source}}{\underbrace{(S^{\prime }{S}_2-S^{\prime }{S}_1)}}+\underset{\text{coˆteˊ eˊcran}}{\underbrace{(S_{2}M-S_{1}M)}}=\frac{a{x}_s}{d}+\frac{ax}{D}.$$

Démonstration (Origine du décalage)

Par le même calcul géométrique que précédemment, appliqué au triangle source--trous : $S^{\prime }{S}_1^2=d^2+(x_s-a/2{)}^2$ et $S^{\prime }{S}_2^2=d^2+(x_s+a/2{)}^2$, donc $S^{\prime }{S}_2^2-S^{\prime }{S}_1^2=2a{x}_s$ et $S^{\prime }{S}_2-S^{\prime }{S}_1\approx a{x}_s/d$ pour $a,\left|x_s\right|\ll d$. Le signe est clair : pour $x_s>0$, la source est plus proche de $S_1$, et le trajet par $S_2$ est le plus long. Un décalage de la source perpendiculairement à $S_1{S}_2$, ou le long de l'axe, ne change pas ce terme. La condition de frange brillante $\delta =p\lambda$ devient

$$\frac{a{x}_s}{d}+\frac{ax}{D}=p\lambda ⟹x=\frac{p\lambda D}{a}-\frac{D}{d}{x}_s.$$

La figure entière est translatée de $-\frac{D}{d}{x}_s$ : l'interfrange $i=\lambda D/a$ est inchangé, mais la position de la frange centrale suit le déplacement de la source (en sens opposé) : elle reste sur la droite qui joint $S^{\prime }$ au milieu $I$ des trous.

3.3.2 Brouillage par une fente source large

Élargissons la source en une fente de largeur $b$, centrée sur l'axe. Chaque tranche $x_s\in [-b/2,b/2]$ crée un système de franges décalé de $-\frac{D}{d}{x}_s$. L'intensité observée est la somme (incohérente) de tous ces systèmes :

$$I(x)={\int }_{-b/2}^{b/2}2I_0[1+\cos (\frac{2\pi a}{\lambda }(\frac{x_s}{d}+\frac{x}{D})\left)\right]\frac{\mathrm{d}{x}_s}{b}.$$

Le calcul de l'intégrale (calcul complément ; l'exigible est le critère de brouillage $\Delta p\approx 1$ ci-dessous) fait apparaître un facteur de contraste :

$$I(x)=2I_0[1+\mathcal{C}\cos (\frac{2\pi ax}{\lambda D}\left)\right],\mathcal{C}=\left|\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi ab}{\lambda d}\right)\right|,$$

où $\mathrm{sinc}(u)=\sin (u)/u$. Le contraste $\mathcal{C}$ décroît quand $b$ augmente : les franges s'estompent. Attention, elles ne « pâlissent » pas : l'éclairement moyen $2I_0$ ne change pas, ce sont les maxima qui descendent et les minima qui remontent vers lui.

3.4 Cohérence temporelle : élargissement spectral

Une source réelle n'est jamais parfaitement monochromatique : elle émet dans une bande spectrale de largeur $\Delta \lambda$ autour de ${\lambda }_0$. Chaque longueur d'onde produit son propre système de franges, d'interfrange $i(\lambda )=\lambda D/a$ : les franges bleues sont plus serrées que les rouges. Ces systèmes se superposent en intensité (longueurs d'onde incohérentes entre elles).

3.4.1 Superposition des couleurs et teintes de Newton

Au centre ($\delta =0$), toutes les longueurs d'onde sont en phase : la frange centrale est brillante et blanche en lumière blanche. En s'éloignant, les maxima des différentes couleurs se décalent : on observe d'abord quelques franges irisées (les teintes de Newton), puis, aux ordres élevés, les couleurs se recouvrent et se brouillent en un blanc uniforme dit blanc d'ordre supérieur.

3.4.2 Brouillage aux grands ordres

Pour une source de largeur spectrale $\Delta \lambda$ centrée sur ${\lambda }_0$, chaque couleur donne un ordre $p(\lambda )=\delta /\lambda$. À l'abscisse $x$, l'étalement des ordres entre les bords de la bande vaut

$$\Delta p=\delta \cdot \left|\Delta \left(\frac{1}{\lambda }\right)\right|\approx \frac{\delta \Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}=p_0\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}.$$

3.4.3 Longueur de cohérence temporelle

La différence de marche maximale au-delà de laquelle les franges disparaissent définit la longueur de cohérence ${\ell }_{\text{c}}$ de la source :

$${\ell }_{\text{c}}=p_{\text{brouillage}}{\lambda }_0\approx \frac{{\lambda }_0^2}{\Delta \lambda }.$$

Elle correspond à la longueur des trains d'ondes émis. On lui associe un temps de cohérence ${\tau }_{\text{c}}={\ell }_{\text{c}}/c$.

3.4.4 Cas du doublet

Une source émettant deux raies voisines ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2={\lambda }_1+\Delta \lambda$ (doublet, comme le doublet jaune du sodium $589,0\mathrm{nm}/589,6\mathrm{nm}$) donne deux systèmes de franges d'interfranges légèrement différents. Ils sont en coïncidence près du centre, puis se décalent : l'un « rattrape » l'autre.

Démonstration (Anti-coïncidence)

Le contraste s'annule (anti-coïncidence) quand les franges brillantes de ${\lambda }_1$ tombent sur les franges sombres de ${\lambda }_2$, soit lorsque les ordres diffèrent d'un demi-entier :

$$p({\lambda }_1)-p({\lambda }_2)=\delta (\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2})\approx \frac{\delta \Delta \lambda }{{\lambda }_0^2}=\frac{1}{2}.$$

Le brouillage se produit donc pour ${\delta }_{\text{brouillage}}=\frac{{\lambda }_0^2}{2\Delta \lambda }$, c'est-à-dire à l'ordre $p\approx \frac{{\lambda }_0}{2\Delta \lambda }$. Au-delà, le contraste renaît (coïncidence à nouveau), puis s'annule périodiquement : le contraste est modulé par $\left|\cos (\pi \delta \Delta \lambda /{\lambda }_0^2)\right|$.

3.5 Rôle de la cohérence : synthèse conceptuelle

3.6 Synthèse du chapitre