Interférences par division du front d'onde : les trous d'Young

Cours complet · optique ondulatoire (MP), chapitre 3 · CPGE MP (2e année)

Le chapitre précédent a établi les conditions d'obtention d'interférences lumineuses : deux ondes ne donnent une figure d'interférences stable et contrastée que si elles sont cohérentes, c'est-à-dire issues d'une même source primaire, de même pulsation, et présentant une différence de phase constante dans le temps. La lumière étant émise par les atomes sous forme de trains d'ondes de durée très brève ( $\sim 1 0^{- 11} s$ ), deux sources indépendantes ne peuvent jamais interférer de façon observable. Pour contourner cette difficulté, on dédouble la lumière issue d'une même source.

Il existe deux grandes familles de dispositifs interférentiels. Les dispositifs par division du front d'onde prélèvent deux portions distinctes d'un même front d'onde : c'est le principe des trous d'Young, objet de ce chapitre. Les dispositifs par division d'amplitude (interféromètre de Michelson, chapitre suivant) séparent l'énergie de chaque rayon à l'aide d'une lame semi-réfléchissante.

L'expérience des trous d'Young, réalisée par Thomas Young en 1801, est historiquement décisive : elle démontre le caractère ondulatoire de la lumière. Elle constitue aujourd'hui le dispositif-modèle de l'optique ondulatoire, sur lequel se dégagent tous les concepts fondamentaux : différence de marche, ordre d'interférences, interfrange, et surtout la notion centrale de cohérence spatiale et temporelle de la source.

3.1 Le dispositif des trous d'Young

3.1.1 Description et principe

Une source ponctuelle monochromatique $S$ , de longueur d'onde $λ$ , éclaire un écran opaque percé de deux petites ouvertures (trous ou fentes) $S_{1}$ et $S_{2}$ , distantes de $a$ . Ces deux ouvertures, éclairées par la même onde issue de $S$ , se comportent comme deux sources secondaires synchrones : elles vibrent en phase (ou avec un déphasage fixe) car elles prélèvent un même front d'onde. Les ondes qu'elles rayonnent se superposent dans la région située au-delà du plan des trous : c'est le champ d'interférences. On observe la figure sur un écran $E$ placé à une distance $D$ , parallèle au plan contenant $S_{1}$ et $S_{2}$ .

Définition 3.1Champ d'interférences

Le champ d'interférences est le volume de l'espace, au-delà du plan des trous, où les deux ondes issues de $S_{1}$ et $S_{2}$ se recouvrent. En tout point de ce volume, la lumière peut interférer. Ce champ est très étendu (les ondes divergent) : on dit que les franges sont non localisées, on peut les observer partout dans le recouvrement.

3.1.2 Différence de marche géométrique

Soit $M$ un point de l'écran, repéré par son abscisse $x$ mesurée sur l'écran à partir du point $O$ , projection du milieu $I$ de $[S_{1} S_{2}]$ . La différence de marche entre les deux ondes qui parviennent en $M$ est

$δ (M) = (S S_{2} M) - (S S_{1} M) .$

La source $S$ étant placée sur l'axe de symétrie, les chemins $S S_{1}$ et $S S_{2}$ sont égaux : $δ (M) = S_{2} M - S_{1} M$ . Il reste à évaluer la différence des distances $r_{2} = S_{2} M$ et $r_{1} = S_{1} M$ .

Démonstration (Calcul de

δ

)

Plaçons l'origine au milieu $I$ des trous. Le point $M$ a pour coordonnées $(D, x)$ , et $S_{1, 2}$ sont en $(0, \pm a /2)$ . Alors

$r_{1}^{2} = D^{2} + (x - \frac{a}{2})^{2}, r_{2}^{2} = D^{2} + (x + \frac{a}{2})^{2} .$

Par différence, $r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = 2 a x$ , d'où

$r_{2} - r_{1} = \frac{2 a x}{r _{2} + r _{1}} .$

Dans les conditions usuelles $a ≪ D$ et $∣ x ∣ ≪ D$ (angles faibles), on a $r_{1} \approx r_{2} \approx D$ , donc $r_{2} + r_{1} \approx 2 D$ et

$δ (M) = \frac{a x}{D}$

Important

La différence de marche $δ = a x / D$ est proportionnelle à l'abscisse $x$ sur l'écran. C'est la clé de tout le dispositif : $δ$ varie linéairement d'un point à l'autre, ce qui engendre une alternance régulière de franges brillantes et sombres.

3.1.3 Déphasage, ordre d'interférences

Le déphasage entre les deux ondes en $M$ vaut

$φ (M) = \frac{2 π}{λ} δ (M) = \frac{2 π a x}{λ D} .$

Définition 3.2Ordre d'interférences

On appelle ordre d'interférences au point $M$ la quantité sans dimension

$p (M) = \frac{δ ( M )}{λ} = \frac{φ ( M )}{2 π} = \frac{a x}{λ D} .$

L'ordre $p$ mesure le nombre de longueurs d'onde contenues dans la différence de marche.

Les deux sources secondaires étant synchrones et de même amplitude, les deux ondes reçues en $M$ ont la même intensité $I_{0}$ ; d'après la formule de Fresnel du chapitre précédent, l'intensité résultante est

$I (M) = 2 I_{0} (1 + cos φ) = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{φ}{2}) = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π a x}{λ D}) .$

Proposition 3.3Franges brillantes et sombres

Franges brillantes (interférences constructives) : $φ = 2 p π$ , soit $δ = p λ$ avec $p \in Z$ . L'ordre $p$ y est entier. Intensité maximale $I = 4 I_{0}$ .
Franges sombres (interférences destructives) : $φ = (2 p + 1) π$ , soit $δ = (p + \frac{1}{2}) λ$ . L'ordre $p$ y est demi-entier. Intensité nulle $I = 0$ .

La frange centrale ( $x = 0$ , $δ = 0$ , $p = 0$ ) est brillante.

3.2 Système de franges et interfrange

3.2.1 Forme des franges

Proposition 3.4Franges rectilignes

L'intensité $I (M) = 4 I_{0} cos^{2} (π a x / λ D)$ ne dépend que de l'abscisse $x$ perpendiculaire aux trous, et non de la coordonnée parallèle aux trous. Les lieux d'égale intensité ( $x = cte$ ) sont donc des droites parallèles à la direction $S_{1} S_{2}$ . On observe un système de franges rectilignes, équidistantes, alternativement brillantes et sombres.

Démonstration (Justification de la forme des franges)

Rigoureusement, une frange brillante d'ordre $p$ est le lieu des points tels que $S_{2} M - S_{1} M = p λ = cte$ : c'est un hyperboloïde de révolution d'axe $S_{1} S_{2}$ et de foyers $S_{1}$ , $S_{2}$ . Sur un écran éloigné parallèle au plan des trous, l'intersection de ces hyperboloïdes avec l'écran donne des courbes qui, dans la zone paraxiale $∣ x ∣ ≪ D$ , sont assimilables à des droites parallèles aux trous. D'où l'aspect rectiligne des franges observées.

3.2.2 Interfrange

Définition 3.5Interfrange

L'interfrange $i$ est la distance qui sépare, sur l'écran, deux franges brillantes (ou deux franges sombres) consécutives.

Deux franges brillantes consécutives correspondent à $δ = p λ$ et $δ = (p + 1) λ$ , soit $a x_{p} / D = p λ$ et $a x_{p + 1} / D = (p + 1) λ$ . Par soustraction :

$i = x_{p + 1} - x_{p} = \frac{λ D}{a}$

Important

L'interfrange $i = \frac{λ D}{a}$ :

augmente quand la longueur d'onde $λ$ augmente (le rouge donne des franges plus larges que le bleu) ;
augmente avec la distance $D$ à l'écran ;
diminue quand l'écartement $a$ des trous augmente. Rapprocher les trous dilate la figure.

La mesure de $i$ permet de remonter à $λ$ : c'est un principe de spectrométrie.

Exemple 3.6Ordre de grandeur

Avec $λ = 0.5 μ m$ (vert), $a = 1 mm$ et $D = 2 m$ :

$i = \frac{λ D}{a} = \frac{0 , 5 \times 1 0 ^{- 6} \times 2}{1 0 ^{- 3}} = 1 0^{- 3} m = 1 mm .$

Les franges sont donc parfaitement visibles à l'œil nu ou à la loupe. On note que $a ≫ λ$ : les trous doivent rester peu écartés pour que l'interfrange soit exploitable, tout en restant assez larges pour laisser passer de la lumière.

3.2.3 Effet d'une lentille

En pratique, l'écran est souvent éloigné. On peut ramener la figure « à l'infini » dans le plan focal image d'une lentille convergente. Si une lentille de distance focale $f^{'}$ est placée derrière les trous, l'écran étant dans son plan focal image, les rayons parallèles issus de $S_{1}$ et $S_{2}$ dans une direction faisant l'angle $θ$ avec l'axe convergent en un même point $M^{'}$ du plan focal, d'abscisse $x = f^{'} θ$ .

Proposition 3.7Franges dans le plan focal

Avec une lentille convergente de focale $f^{'}$ , les rayons émergents parallèles inclinés de $θ$ présentent la différence de marche $δ = a sin θ \approx a θ$ (les trous jouant le rôle d'une petite « base »). Comme $x = f^{'} θ$ , on retrouve

$δ = \frac{a x}{f ^{'}}, i = \frac{λ f ^{'}}{a} .$

La lentille joue le rôle de la distance $D$ , remplacée par sa focale $f^{'}$ . Un tel montage, où l'on observe l'interférence de rayons parallèles dans le plan focal, est un montage de Fraunhofer.

iRemarque

La lentille ne déforme pas la figure : elle ne fait que projeter à distance finie une figure qui se formerait à l'infini. Le fait remarquable est que l'introduction d'une lentille bien centrée ne modifie pas la différence de marche entre deux rayons issus d'un même point-source (principe de l'égalité des chemins optiques entre points conjugués) : elle permet simplement de former une image nette du système de franges.

3.2.4 Du modèle réel aux fentes d'Young

Avec de simples trous, très peu de lumière passe : la figure est faible. On remplace alors les trous par deux fentes fines, parallèles, de même écartement $a$ . Chaque fente laisse passer beaucoup plus de flux ; comme toutes les tranches d'une fente donnent le même système de franges (invariance par translation le long de la fente), les figures se superposent en phase et l'on gagne fortement en luminosité sans brouiller les franges.

ImportantIntérêt des fentes

Les fentes d'Young sont bien plus lumineuses que les trous d'Young : c'est leur principal avantage pratique. L'interfrange reste $i = λ D / a$ . La contrepartie est que chaque fente, de largeur finie, diffracte la lumière : la figure d'interférences est modulée par une figure de diffraction (enveloppe en $sinc^{2}$ ), qui limite le nombre de franges visibles (la diffraction est hors programme MP — remarque de culture). En configuration de Fraunhofer (avec lentille), l'ordre d'interférences sur l'écran s'écrit toujours $p = a x / (λ f^{'})$ , la diffraction fixant seulement l'enveloppe du contraste.

3.3 Cohérence spatiale : élargissement de la source

Jusqu'ici la source $S$ était ponctuelle. Une source réelle a une étendue finie. Chaque point de la source produit son propre système de franges, décalé, et ces systèmes se superposent en intensité (les points-sources sont mutuellement incohérents). Il en résulte une perte de contraste, voire un brouillage total.

3.3.1 Décalage de la figure par un point-source déplacé

Considérons une source secondaire $S^{'}$ décalée de $x_{s}$ dans le plan de la source, situé à la distance $d$ en amont des trous. La différence de marche devient

$δ (M) = c o ˆ t e ˊ source (S^{'} S_{2} - S^{'} S_{1}) + c o ˆ t e ˊ e ˊ cran (S_{2} M - S_{1} M) = \frac{a x _{s}}{d} + \frac{a x}{D} .$

Démonstration (Origine du décalage)

Par le même calcul géométrique que précédemment, appliqué au triangle source--trous, le déplacement de la source de $x_{s}$ introduit un déphasage initial entre $S_{1}$ et $S_{2}$ correspondant à une différence de marche $a x_{s} / d$ . La condition de frange brillante $δ = p λ$ devient

$\frac{a x _{s}}{d} + \frac{a x}{D} = p λ ⟹ x = \frac{p λ D}{a} - \frac{D}{d} x_{s} .$

La figure entière est translatée de $- \frac{D}{d} x_{s}$ : l'interfrange $i = λ D / a$ est inchangé, mais la position de la frange centrale suit le déplacement de la source (en sens opposé).

3.3.2 Brouillage par une fente source large

Élargissons la source en une fente de largeur $b$ , centrée sur l'axe. Chaque tranche $x_{s} \in [- b /2, b /2]$ crée un système de franges décalé de $- \frac{D}{d} x_{s}$ . L'intensité observée est la somme (incohérente) de tous ces systèmes :

$I (x) = \int_{- b /2}^{b /2} 2 I_{0} [1 + cos (\frac{2 π a}{λ} (\frac{x _{s}}{d} + \frac{x}{D}))] \frac{d x _{s}}{b} .$

Le calcul de l'intégrale (calcul complément ; l'exigible est le critère de brouillage $Δ p \approx 1$ ci-dessous) fait apparaître un facteur de contraste :

$I (x) = 2 I_{0} [1 + C cos (\frac{2 π a x}{λ D})], C = sinc (\frac{π ab}{λ d}),$

où $sinc (u) = sin (u) / u$ . Le contraste $C$ décroît quand $b$ augmente : les franges pâlissent.

ImportantCritère semi-quantitatif de brouillage spatial

Le premier brouillage total ( $C = 0$ ) survient quand l'argument du sinus cardinal vaut $π$ , c'est-à-dire lorsque

$\frac{a b}{λ d} = 1 ⟺ b_{c} = \frac{λ d}{a} .$

On peut le lire ainsi : les franges se brouillent lorsque le décalage des systèmes extrêmes atteint un interfrange, soit une variation d'ordre $Δ p = 1$ entre les bords de la source. Pour observer des franges contrastées, il faut donc une source suffisamment fine : $b ≪ b_{c}$ . C'est la condition de cohérence spatiale.

iRemarque

Ce critère explique pourquoi le montage historique de Young utilise, en amont des deux trous, une fente source très fine (le « trou source »). C'est aussi pourquoi on ne peut pas faire d'interférences avec la lumière du Soleil directement (source angulairement large) sans la filtrer spatialement au préalable.

3.4 Cohérence temporelle : élargissement spectral

Une source réelle n'est jamais parfaitement monochromatique : elle émet dans une bande spectrale de largeur $Δ λ$ autour de $λ_{0}$ . Chaque longueur d'onde produit son propre système de franges, d'interfrange $i (λ) = λ D / a$ : les franges bleues sont plus serrées que les rouges. Ces systèmes se superposent en intensité (longueurs d'onde incohérentes entre elles).

3.4.1 Superposition des couleurs et teintes de Newton

Au centre ( $δ = 0$ ), toutes les longueurs d'onde sont en phase : la frange centrale est brillante et blanche en lumière blanche. En s'éloignant, les maxima des différentes couleurs se décalent : on observe d'abord quelques franges irisées (les teintes de Newton), puis, aux ordres élevés, les couleurs se recouvrent et se brouillent en un blanc uniforme dit blanc d'ordre supérieur.

Définition 3.8Spectre cannelé, cannelures

Le blanc d'ordre supérieur n'est pas un vrai blanc : si on l'analyse au spectroscope, certaines longueurs d'onde manquent. Ce sont celles pour lesquelles, à l'abscisse $x$ considérée, l'interférence est destructive :

$δ = (k + \frac{1}{2}) λ_{k} ⟹ λ_{k} = \frac{δ}{k + \frac{1}{2}}, k \in N .$

Le spectre présente alors des bandes noires appelées cannelures. Leur relevé permet de mesurer $δ$ au point d'observation.

3.4.2 Brouillage aux grands ordres

Pour une source de largeur spectrale $Δ λ$ centrée sur $λ_{0}$ , chaque couleur donne un ordre $p (λ) = δ / λ$ . À l'abscisse $x$ , l'étalement des ordres entre les bords de la bande vaut

$Δ p = δ \cdot Δ (\frac{1}{λ}) \approx \frac{δ Δ λ}{λ _{0}^{2}} = p_{0} \frac{Δ λ}{λ _{0}} .$

ImportantCritère semi-quantitatif de brouillage spectral

Le brouillage devient total lorsque les franges extrêmes du spectre se décalent d'un interfrange, soit $Δ p \approx 1$ :

$p_{0} \frac{Δ λ}{λ _{0}} \approx 1 ⟺ p_{brouillage} \approx \frac{λ _{0}}{Δ λ} .$

On ne peut donc observer des franges contrastées que pour les ordres faibles $p ≲ λ_{0} /Δ λ$ . Plus la source est monochromatique ( $Δ λ$ petit), plus on voit de franges.

3.4.3 Longueur de cohérence temporelle

La différence de marche maximale au-delà de laquelle les franges disparaissent définit la longueur de cohérence $L_{c}$ de la source :

$L_{c} = p_{brouillage} λ_{0} \approx \frac{λ _{0}^{2}}{Δ λ} .$

Elle correspond à la longueur des trains d'ondes émis. On lui associe un temps de cohérence $τ_{c} = L_{c} / c$ .

Proposition 3.9Relation d'ordre de grandeur

La longueur de cohérence temporelle, la largeur spectrale et la longueur d'onde sont reliées par

$L_{c} \approx \frac{λ _{0}^{2}}{Δ λ} et \frac{Δ λ}{λ _{0}} \approx \frac{Δ ν}{ν} .$

On observe des interférences tant que $∣ δ ∣ ≲ L_{c}$ .

Exemple 3.10Quelques ordres de grandeur

Lampe spectrale au sodium, raie jaune $λ_{0} = 589 nm$ , $Δ λ \sim 0.01 nm$ : $L_{c} \sim 3.5 cm$ , soit $p_{m a x} \sim 6 \times 1 0^{4}$ franges.
Lumière blanche, $λ_{0} = 0.5 μ m$ , $Δ λ \sim 0.3 μ m$ : $L_{c} \sim 1 μ m$ , soit $p_{m a x} \sim 2$ : on ne voit que quelques franges colorées.
Laser He-Ne stabilisé : $L_{c}$ de plusieurs mètres.

3.4.4 Cas du doublet

Une source émettant deux raies voisines $λ_{1}$ et $λ_{2} = λ_{1} + Δ λ$ (doublet, comme le doublet jaune du sodium $589.0 nm /589.6 nm$ ) donne deux systèmes de franges d'interfranges légèrement différents. Ils sont en coïncidence près du centre, puis se décalent : l'un « rattrape » l'autre.

Démonstration (Anti-coïncidence)

Le contraste s'annule (anti-coïncidence) quand les franges brillantes de $λ_{1}$ tombent sur les franges sombres de $λ_{2}$ , soit lorsque les ordres diffèrent d'un demi-entier :

$p (λ_{1}) - p (λ_{2}) = δ (\frac{1}{λ _{1}} - \frac{1}{λ _{2}}) \approx \frac{δ Δ λ}{λ _{0}^{2}} = \frac{1}{2} .$

Le brouillage se produit donc pour $δ_{brouillage} = \frac{λ _{0}^{2}}{2Δ λ}$ , c'est-à-dire à l'ordre $p \approx \frac{λ _{0}}{2Δ λ}$ . Au-delà, le contraste renaît (coïncidence à nouveau), puis s'annule périodiquement : le contraste est modulé par $cos (π δ Δ λ / λ_{0}^{2})$ .

iRemarque

La mesure de la période de ces battements de contraste (par exemple avec un Michelson au chapitre suivant) permet de déterminer $Δ λ$ avec une grande précision : c'est le principe de la spectroscopie par transformée de Fourier.

3.5 Rôle de la cohérence : synthèse conceptuelle

Proposition 3.11Les deux cohérences

L'observation de franges contrastées suppose deux conditions indépendantes :

Cohérence spatiale (liée à l'étendue de la source) : la source doit être assez fine, $b ≲ λ d / a$ . Elle contrôle la visibilité initiale des franges.
Cohérence temporelle (liée à la largeur spectrale) : la différence de marche doit rester inférieure à la longueur de cohérence, $∣ δ ∣ ≲ L_{c} \approx λ_{0}^{2} /Δ λ$ . Elle contrôle le nombre de franges visibles.

Le dispositif à division du front d'onde est sensible à la cohérence spatiale (il prélève deux points distincts du front d'onde) — c'est là sa limite majeure, que les dispositifs à division d'amplitude (Michelson) contournent.

3.6 Synthèse du chapitre

À retenir

Dispositif. Source ponctuelle monochromatique $\to$ deux trous (ou fentes) $S_{1}, S_{2}$ écartés de $a$ $\to$ écran à distance $D$ . Division du front d'onde : les deux ouvertures sont des sources secondaires synchrones.

Différence de marche et ordre.

$δ = \frac{a x}{D}, φ = \frac{2 π δ}{λ}, p = \frac{δ}{λ} = \frac{a x}{λ D} .$

Frange brillante : $δ = p λ$ ( $p$ entier) ; frange sombre : $δ = (p + \frac{1}{2}) λ$ .

Intensité et interfrange.

$I = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π a x}{λ D}), i = \frac{λ D}{a} .$

Franges rectilignes, parallèles aux trous, équidistantes. Application : $λ = 0.5 μ m, a = 1 mm, D = 2 m \Rightarrow i = 1 mm$ . Avec une lentille (Fraunhofer) : $i = λ f^{'} / a$ . Fentes plus lumineuses que trous.

Cohérence spatiale (source large $b$ ). Contraste $C = ∣ sinc (π ab / λ d) ∣$ ; brouillage total pour $b_{c} = λ d / a$ .

Cohérence temporelle (spectre $Δ λ$ ). Brouillage pour $p ≳ λ_{0} /Δ λ$ ; longueur de cohérence $L_{c} \approx λ_{0}^{2} /Δ λ$ . Lumière blanche : frange centrale blanche, teintes de Newton, blanc d'ordre supérieur, spectre cannelé. Doublet : anti-coïncidence à $δ = λ_{0}^{2} / (2Δ λ)$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.7 Exercices résolus

Exemple 3.12Mesure d'une longueur d'onde

Dans un dispositif de fentes d'Young, $a = 0.30 mm$ , $D = 1.5 m$ . On mesure la distance entre la $1^{re}$ et la $1 1^{e}$ frange brillante : $27.5 mm$ . Déterminer $λ$ .

Démonstration

Entre la $1^{re}$ et la $1 1^{e}$ frange brillante, il y a 10 interfranges : $10 i = 27.5 mm$ , donc $i = 2.75 mm$ . D'où

$λ = \frac{a i}{D} = \frac{0 , 30 \times 1 0 ^{- 3} \times 2 , 75 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 5} = 5, 5 \times 1 0^{- 7} m = 550 nm .$

Lumière verte. Mesurer sur plusieurs interfranges réduit l'incertitude relative.

Exemple 3.13Nombre de franges brillantes visibles

La lumière verte précédente n'éclaire l'écran que sur une largeur $L = 2.0 cm$ centrée sur $O$ . Combien de franges brillantes observe-t-on ?

Démonstration

Les franges brillantes sont en $x_{p} = p i$ . La condition $∣ x_{p} ∣ \leq L /2 = 1.0 cm$ donne $∣ p ∣ \leq L / (2 i) = 10/2, 75 \approx 3, 6$ , soit $p \in {- 3, \dots, 3}$ : 7 franges brillantes (dont la centrale). La largeur totale éclairée contient $L / i \approx 7, 3$ interfranges.

Exemple 3.14Décalage par déplacement de la source

La source ponctuelle $S$ , à $d = 0.50 m$ en amont des trous ( $a = 0.30 mm$ , $D = 1.5 m$ , $λ = 550 nm$ ), est déplacée de $x_{s} = 0.10 mm$ . De combien la figure se déplace-t-elle ?

Démonstration

La frange centrale se translate de $Δ x = - \frac{D}{d} x_{s}$ :

$∣ Δ x ∣ = \frac{1 , 5}{0 , 50} \times 0, 10 \times 1 0^{- 3} = 3 \times 1 0^{- 4} m = 0.30 mm .$

Ce décalage vaut environ $0, 11 i$ : il déplace la figure de $\sim 11%$ d'interfrange, dans le sens opposé au déplacement de la source. L'interfrange reste $i = 2.75 mm$ .

Exemple 3.15Largeur limite de la fente source

Avec $a = 0.30 mm$ , $d = 0.50 m$ , $λ = 550 nm$ , quelle largeur de fente source provoque le premier brouillage total ?

Démonstration

Le brouillage total se produit pour $b_{c} = \frac{λ d}{a}$ :

$b_{c} = \frac{550 \times 1 0 ^{- 9} \times 0 , 50}{0 , 30 \times 1 0 ^{- 3}} = 9, 2 \times 1 0^{- 4} m \approx 0.92 mm .$

Il faut donc une fente source $≪ 0.9 mm$ pour conserver un bon contraste. En pratique on prend $b ≲ b_{c} /10$ .

Exemple 3.16Nombre de franges en lumière blanche

La lumière blanche a $λ_{0} \approx 0.55 μ m$ et $Δ λ \approx 0.30 μ m$ . Combien de franges nettes observe-t-on de part et d'autre du centre ?

Démonstration

Le brouillage spectral survient pour $p_{m a x} \approx λ_{0} /Δ λ = 0, 55/0, 30 \approx 1, 8$ . On observe donc la frange centrale blanche puis une à deux franges irisées de chaque côté, avant le blanc d'ordre supérieur. C'est pourquoi le blanc « brouille » vite : sa cohérence temporelle est très faible ( $L_{c} \sim 1 μ m$ ).

Exemple 3.17Doublet du sodium

Le doublet du sodium a $λ_{1} = 589.0 nm$ , $λ_{2} = 589.6 nm$ . À quelle différence de marche $δ$ observe-t-on le premier brouillage ?

Démonstration

Anti-coïncidence pour $δ Δ λ / λ_{0}^{2} = 1/2$ , soit

$δ_{brouillage} = \frac{λ _{0}^{2}}{2Δ λ} = \frac{( 589 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}}{2 \times 0 , 6 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 2, 9 \times 1 0^{- 4} m \approx 0.29 mm,$

soit l'ordre $p \approx λ_{0} / (2Δ λ) \approx 490$ . Au-delà, le contraste renaît puis s'annule périodiquement.

Exemple 3.18Montage de Fraunhofer avec lentille

Les deux fentes ( $a = 0.50 mm$ ) sont suivies d'une lentille convergente de focale $f^{'} = 1.0 m$ , l'écran étant dans son plan focal. Calculer l'interfrange pour $λ = 600 nm$ .

Démonstration

Dans le plan focal, $i = \frac{λ f ^{'}}{a} = \frac{600 \times 1 0 ^{- 9} \times 1 , 0}{0 , 50 \times 1 0 ^{- 3}} = 1, 2 \times 1 0^{- 3} m = 1.2 mm$ . La lentille joue le rôle de $D$ ; l'ordre s'écrit $p = a x / (λ f^{'})$ .

3.8 Exercices d'entraînement

Interfrange. Des trous d'Young distants de $a = 0.8 mm$ sont éclairés par $λ = 633 nm$ (laser He-Ne), écran à $D = 3.0 m$ . Calculer $i$ . Que devient $i$ si on double $a$ ? si on double $D$ ?

Position d'une frange. Pour le dispositif précédent, donner l'abscisse de la frange sombre correspondant à $δ = 3, 5 λ$ . Combien de franges brillantes sur une plage $∣ x ∣ \leq 1 cm$ ?

Détermination de $λ$ . On mesure 8 interfranges sur $12.0 mm$ avec $a = 0.25 mm$ , $D = 1.2 m$ . En déduire $λ$ et la couleur.

Ordre d'interférences. En un point $M$ d'abscisse $x = 4.0 mm$ ( $a = 0.5 mm$ , $D = 2.0 m$ , $λ = 500 nm$ ), calculer $δ$ , $p$ et $φ$ . La frange y est-elle brillante, sombre, ou intermédiaire ?

Contraste et intensité. Établir que $I = 4 I_{0} cos^{2} (π a x / λ D)$ et vérifier que l'intensité moyenne vaut $2 I_{0}$ . Définir le contraste $C = (I_{m a x} - I_{m i n}) / (I_{m a x} + I_{m i n})$ et le calculer ici.

Trous d'amplitudes inégales. Un trou laisse passer deux fois plus de flux que l'autre ( $I_{1} = 2 I_{2}$ ). Écrire $I (x)$ , calculer $I_{m a x}$ , $I_{m i n}$ et le contraste. Conclure sur l'intérêt d'ouvertures identiques.

Fente source. Avec $a = 0.4 mm$ , $d = 0.60 m$ , $λ = 546 nm$ , calculer la largeur $b_{c}$ de brouillage total. Quelle largeur choisir pour un contraste supérieur à $0, 9$ ? (on donne $sinc (u) \geq 0, 9 \Leftrightarrow ∣ u ∣ \leq 0, 8$ ).

Déplacement de source. Montrer que déplacer la source de $x_{s}$ translate la figure de $- \frac{D}{d} x_{s}$ sans changer $i$ . Application : $x_{s} = 0.2 mm$ , $d = 0.5 m$ , $D = 2.0 m$ .

Lame mince devant un trou. On place devant $S_{1}$ une lame transparente d'indice $n = 1, 5$ et d'épaisseur $e = 5 μ m$ . Calculer le supplément de marche $(n - 1) e$ et le déplacement de la frange centrale ( $a = 0.5 mm$ , $D = 1.5 m$ , $λ = 550 nm$ ).

Cohérence temporelle. Une lampe émet autour de $λ_{0} = 600 nm$ avec $Δ λ = 5 nm$ . Calculer $L_{c}$ , le nombre maximal de franges visibles et l'ordre $p_{m a x}$ .

Doublet inconnu. On observe une extinction du contraste tous les $0.30 mm$ de différence de marche autour de $λ_{0} = 590 nm$ . En déduire l'écart $Δ λ$ du doublet.

Spectre cannelé. En un point où $δ = 6.0 μ m$ , on analyse le blanc d'ordre supérieur au spectroscope (domaine visible $400$ – $750 nm$ ). Déterminer les longueurs d'onde des cannelures (raies sombres) et leur nombre.

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