Interférences par division d'amplitude : l'interféromètre de Michelson

Cours · optique ondulatoire (MP), chapitre 4 · CPGE MP (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'interféromètre de Michelson : une lame séparatrice envoie la lumière vers deux miroirs, puis recombine les deux rayons.

Les trous d'Young réalisent des interférences par division du front d'onde : deux portions distinctes de l'onde incidente sont prélevées, puis recombinées. Ce procédé impose une source quasi ponctuelle, sous peine de brouiller les franges. L'interféromètre de Michelson repose sur un principe radicalement différent : la division d'amplitude. Une même onde est partagée en deux ondes de directions différentes par une lame semi-réfléchissante, puis recombinée après avoir suivi deux chemins distincts. L'avantage est décisif : le dispositif peut être éclairé par une source spatialement étendue, ce qui accroît considérablement la luminosité et ouvre la voie à la métrologie de précision (mesure de longueurs d'onde, d'écarts de doublets, de largeurs spectrales, d'indices et d'épaisseurs). Dans tout ce chapitre, conformément au programme, la séparatrice est supposée d'épaisseur négligeable.

4.1 Principe de l'interféromètre de Michelson

4.1.1 Description du dispositif

L'interféromètre de Michelson est constitué de quatre éléments optiques essentiels :

une séparatrice $Sp$ : lame de verre dont une face est traitée (couche métallique semi-réfléchissante) de manière à réfléchir environ la moitié de l'énergie lumineuse et à transmettre l'autre moitié ;
deux miroirs plans $M_{1}$ et $M_{2}$ , orthogonaux entre eux dans le réglage de référence, l'un des deux (par exemple $M_{1}$ ) étant translatable par une vis micrométrique et orientable par des vis de réglage fin ;
une compensatrice $Cp$ : lame de verre identique à la séparatrice, parallèle à celle-ci, dont le rôle est explicité plus bas.

4.1.2 Division d'amplitude et rôle de la compensatrice

Un rayon issu de la source frappe la séparatrice sous incidence voisine de $4 5^{\circ}$ . Il donne naissance à deux rayons que l'onde incidente ne pouvait produire seule :

un rayon réfléchi, dirigé vers le miroir $M_{1}$ ;
un rayon transmis, dirigé vers le miroir $M_{2}$ .

Chaque rayon est renvoyé par son miroir, revient sur la séparatrice, qui recombine une partie de chaque faisceau vers la voie de sortie. On récupère ainsi deux ondes cohérentes entre elles (issues du même rayon initial, donc du même point source) : elles interfèrent. C'est la division d'amplitude.

ImportantSéparatrice et compensatrice

La séparatrice étant une lame de verre, le faisceau réfléchi vers $M_{1}$ traverse le verre trois fois au total, tandis que le faisceau transmis vers $M_{2}$ ne le traverse qu'une seule fois. Cette dissymétrie introduit une différence de marche parasite, dispersive (dépendant de $λ$ ), qui ruinerait l'observation en lumière blanche. La compensatrice, lame de verre identique et parallèle, est placée sur la voie de $M_{2}$ pour que chaque faisceau traverse au total la même épaisseur de verre. Les deux voies sont alors optiquement équivalentes : la différence de marche ne provient plus que du décalage des miroirs.

iRemarqueModèle du programme

Le décompte des traversées du verre ci-dessus dépend de la face traitée de la séparatrice ; il décrit l'appareil réel et sort du modèle du programme, où la séparatrice est infiniment mince. Seul le rôle qualitatif de la compensatrice est à retenir : sans elle, la différence de marche dépendrait de $λ$ , et l'observation en lumière blanche serait impossible.

4.2 Miroirs équivalents et lame d'air

4.2.1 Construction du miroir équivalent

L'analyse est grandement simplifiée par un procédé de « dépliage ». La séparatrice se comporte, pour la voie transmise, comme un miroir plan : on remplace le miroir $M_{2}$ par son image $M_{2}^{'}$ dans le plan de la séparatrice. Tout se passe alors comme si la lumière, après division, se réfléchissait sur les deux miroirs $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ sans changer de direction : le Michelson est optiquement équivalent à la lame d'air (ou au coin d'air) comprise entre $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ .

Définition 4.1Lame d'air / coin d'air équivalents

On appelle miroir équivalent l'image $M_{2}^{'}$ du miroir fixe $M_{2}$ par la séparatrice. La différence de marche entre les deux ondes recombinées ne dépend que de la position relative de $M_{1}$ et de $M_{2}^{'}$ :

si $M_{1} ∥ M_{2}^{'}$ , l'espace entre les deux est une lame d'air d'épaisseur $e$ ;
si $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ font un petit angle $α$ , cet espace est un coin d'air d'épaisseur variable.

4.2.2 Différence de marche pour une lame d'air

Considérons $M_{1} ∥ M_{2}^{'}$ séparés d'une épaisseur d'air $e$ (indice $n = 1$ ). Un rayon incident sous l'angle d'incidence $i$ (par rapport à la normale aux miroirs) se réfléchit successivement sur les deux miroirs (dans le schéma déplié, l'onde 2 traverse fictivement le plan de $M_{1}$ ). La différence de marche entre les deux ondes émergentes est celle d'une lame à faces parallèles éclairée en réflexion ; le programme demande de l'établir.

Proposition 4.2Différence de marche de la lame d'air

Pour une lame d'air d'épaisseur $e$ et des rayons d'incidence $i$ observés à l'infini,

$δ = 2 e cos i$

Démonstration

Le rayon incident atteint $M_{1}$ en $A$ ; l'onde 1 s'y réfléchit. L'onde 2 se réfléchit sur $M_{2}^{'}$ en $B$ et recoupe le plan de $M_{1}$ en $C$ , d'où elle repart parallèlement à l'onde 1 (les deux réflexions obéissent à la même loi, sur deux plans parallèles). Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur le rayon 1. Le plan passant par $C$ et $H$ , perpendiculaire aux deux rayons émergents, est une surface d'onde (théorème de Malus) : les chemins optiques de $C$ et de $H$ jusqu'au point d'observation à l'infini (ou jusqu'au foyer d'une lentille) sont égaux. Les deux ondes ayant le même chemin jusqu'en $A$ ,

$δ = (A B + B C) - A H .$

Dans la lame, $A B = B C = \frac{e}{cos i}$ et $A C = 2 e tan i$ ; l'angle entre $A C$ (le long de $M_{1}$ ) et le rayon 1 vaut $\frac{π}{2} - i$ , donc $A H = A C sin i = 2 e tan i sin i$ . D'où

$δ = \frac{2 e}{cos i} - \frac{2 e sin ^{2} i}{cos i} = \frac{2 e ( 1 - sin ^{2} i )}{cos i} = 2 e cos i .$

Autre lecture : les deux ondes semblent issues des images $S_{1}$ et $S_{2}$ d'un même point par $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ , alignées sur la normale aux miroirs et distantes de $2 e$ ; à l'infini, dans la direction faisant l'angle $i$ avec la normale, $δ$ est la projection de $S_{2} S_{1}$ sur cette direction, soit encore $2 e cos i$ .

iRemarque

On admet qu'il n'y a pas de terme supplémentaire $λ /2$ à ajouter : les deux réflexions (sur $M_{1}$ et sur $M_{2}^{'}$ ) sont de même nature, leurs déphasages à la réflexion se compensent. En pratique, selon les traitements des miroirs et de la séparatrice, un déphasage supplémentaire peut subsister : le centre est souvent sombre au contact optique. L'ordre d'interférences en un point vu sous l'angle $i$ vaut donc

$p = \frac{δ}{λ} = \frac{2 e cos i}{λ} .$

Le maximum de $δ$ (et de $p$ ) est atteint au centre, pour $i = 0$ : $δ_{m a x} = 2 e$ , $p_{0} = 2 e / λ$ .

4.3 Configuration lame d'air : anneaux d'égale inclinaison

4.3.1 Localisation à l'infini

En configuration lame d'air, la différence de marche $δ = 2 e cos i$ ne dépend que de l'angle $i$ , et non du point d'entrée sur les miroirs. Tous les rayons ayant la même inclinaison $i$ (parallèles entre eux) émergent avec la même différence de marche : ils convergent, après une lentille, en un même point du plan focal. On dit que les franges sont localisées à l'infini.

Proposition 4.3Conditions d'observation

En lame d'air, on éclaire l'interféromètre par une source spatialement étendue (par exemple une lampe spectrale devant un dépoli), afin de disposer de tous les angles d'incidence $i$ . On observe les franges à l'infini, c'est-à-dire dans le plan focal image d'une lentille convergente (ou en accommodant l'œil à l'infini). Chaque frange correspond à une valeur de $i$ : c'est une frange d'égale inclinaison.

Comme la figure présente la symétrie de révolution autour de l'axe optique, les franges d'égale inclinaison sont des anneaux concentriques : les anneaux d'égale inclinaison.

4.3.2 Rayon des anneaux

Plaçons une lentille de distance focale $f^{'}$ derrière l'interféromètre ; un rayon d'inclinaison $i$ converge à la distance $ρ = f^{'} tan i \approx f^{'} i$ du centre.

Un anneau brillant d'ordre $p$ vérifie $2 e cos i = p λ$ . Pour les angles faibles, $cos i \approx 1 - i^{2} /2$ , donc

$2 e (1 - \frac{i ^{2}}{2}) = p λ ⟹ i^{2} = \frac{2 e - p λ}{e} .$

En notant $p_{0} = 2 e / λ$ l'ordre (non entier en général) au centre, le premier anneau brillant a l'ordre entier $⌊ p_{0} ⌋$ , et l'anneau brillant de rang $k$ ( $k = 0, 1, 2, \dots$ à partir du centre) a l'ordre $p = ⌊ p_{0} ⌋ - k$ , soit $p_{0} - p = k + ε$ ; d'où

$ρ_{k} = f^{'} i_{k} = f^{'} \frac{λ}{e} k + ε (ε = p_{0} - ⌊ p_{0} ⌋) .$

Les rayons croissent comme $k$ : les anneaux sont resserrés vers le bord et espacés au centre. Ils sont d'autant plus fins et nombreux que l'épaisseur $e$ est grande.

4.3.3 Défilement des anneaux : chariotage

Translater le miroir $M_{1}$ (« chariotage ») fait varier l'épaisseur $e$ . Au centre, l'ordre $p_{0} = 2 e / λ$ change ; chaque fois que $p_{0}$ augmente d'une unité, un anneau naît au centre (si $e$ croît) ou y disparaît (si $e$ décroît). Si l'on compte $N$ anneaux défilant au centre lorsque $M_{1}$ se déplace de $Δ e$ :

$N = \frac{2 Δ e}{λ} .$

Cette relation est à la base de la mesure interférométrique des longueurs d'onde et des déplacements.

Méthode : Mesurer $λ$ par chariotage

On règle la lame d'air, on repère le passage de $N$ anneaux au centre pendant que la vis micrométrique déplace $M_{1}$ d'une quantité $Δ e$ lue sur le tambour. On en déduit $λ = 2Δ e / N$ . Compter un grand $N$ réduit l'incertitude relative $\approx 1/ N$ .

4.4 Configuration coin d'air : franges d'égale épaisseur

Conformément au programme, le coin d'air est abordé de façon exclusivement expérimentale : l'expression de la différence de marche y est admise, et l'on s'en sert pour lire la géométrie d'une surface.

4.4.1 Différence de marche et franges d'égale épaisseur

En inclinant légèrement $M_{1}$ , les miroirs équivalents $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ font un petit angle $α$ : c'est le coin d'air. On l'éclaire alors sous incidence quasi normale ( $i \approx 0$ , $cos i \approx 1$ ), au moyen d'une source étendue et d'un faisceau peu ouvert. En un point $P$ des miroirs, où l'épaisseur d'air vaut $e (P)$ , on admet que la différence de marche des deux ondes vaut

$δ (P) \approx 2 e (P) (admise) .$

$δ$ ne dépend plus que de l'épaisseur locale : les franges joignent les points de même épaisseur, ce sont des franges d'égale épaisseur. D'une frange brillante à la suivante (ordres $p$ et $p + 1$ ), l'épaisseur varie de $λ /2$ : les franges sont les courbes de niveau de l'épaisseur, espacées de $λ /2$ . Pour deux miroirs plans, ce sont des droites parallèles à l'arête du coin, équidistantes ; un défaut de planéité les déforme, ce qui permet de contrôler une surface à une fraction de longueur d'onde près.

4.4.2 Localisation sur les miroirs

Proposition 4.4Conditions d'observation en coin d'air

Les franges d'égale épaisseur sont localisées au voisinage des miroirs (sur le coin lui-même ; localisation admise). On les observe en formant, à l'aide d'une lentille, l'image des miroirs sur un écran (le coin est « conjugué » à l'écran). L'éclairage se fait en incidence quasi normale avec une source étendue.

Plus l'angle du coin est petit, plus l'épaisseur varie lentement et plus les franges sont larges ; à angle nul (miroirs parallèles), l'épaisseur est uniforme, l'écran conjugué des miroirs est uniformément éclairé, et l'on retombe sur la lame d'air, dont les franges sont à l'infini.

iRemarqueHors programme MP : le coin d'air exploité

Pour deux miroirs plans formant le petit angle $α$ , l'épaisseur à la distance $x$ de l'arête vaut $e = α x$ , d'où $δ = 2 α x$ et un interfrange uniforme $λ /2 α$ sur les miroirs. Cette exploitation quantitative du coin d'air (relier l'angle du coin à l'interfrange) est au programme de PC ; en MP, le coin d'air reste exclusivement expérimental.

4.5 Localisation des franges : bilan

ImportantDeux régimes, deux localisations

	Lame d'air	Coin d'air
Miroirs équivalents	parallèles	inclinés d'un angle $α$
$δ$	$2 e cos i$ (établie)	$\approx 2 e (P)$ (admise)
Franges	d'égale inclinaison	d'égale épaisseur
Forme	anneaux concentriques	courbes de niveau de $e$
Localisation	à l'infini	sur les miroirs
Éclairage	étendu, tous angles $i$	étendu, incidence normale

La source étendue est autorisée précisément parce que la division d'amplitude fait interférer deux ondes issues du même rayon : le brouillage par extension de source, fatal aux trous d'Young, est ici évité à condition d'observer dans le plan de localisation. Hors de ce plan, les franges se brouillent.

4.6 Utilisation en lumière blanche et étude des sources

4.6.1 Lumière blanche : teinte plate et contact optique

En lumière blanche, chaque longueur d'onde $λ$ donne son propre système de franges, avec son propre interfrange. Les systèmes ne coïncident que là où $δ$ est très petite devant toutes les longueurs d'onde. On observe alors :

pour $δ = 0$ (contact optique, $e = 0$ ) : toutes les radiations sont dans le même état d'interférence, la frange centrale est achromatique : blanche (blanc d'ordre zéro), ou noire si la séparatrice introduit un déphasage de $π$ sur la sortie observée ;
pour $δ$ de l'ordre de quelques $λ$ : quelques franges irisées (colorées), certaines longueurs d'onde étant éteintes par interférence destructive ;
pour $δ$ grande : brouillage, retour à un blanc d'ordre supérieur : de nombreuses radiations, réparties dans tout le spectre, sont éteintes et autant sont renforcées, et l'œil n'y perçoit plus de couleur franche.

Méthode : Recherche du contact optique

Les franges de lumière blanche n'existent que sur un micromètre environ autour du contact : on approche d'abord celui-ci en lumière monochromatique (en lame d'air, on chariote dans le sens où les anneaux rentrent, jusqu'à la teinte plate), on passe en coin d'air, puis on éclaire en lumière blanche et on chariote lentement $M_{1}$ jusqu'à voir apparaître les franges colorées, puis la frange achromatique : on a réalisé le contact optique ( $e = 0$ , $δ = 0$ ). C'est le réglage de référence : on repère ainsi le « zéro » de l'épaisseur avec une précision de l'ordre du micromètre.

4.6.2 Étude des sources : doublet et largeur spectrale

Doublet.

Une source comme la lampe à vapeur de sodium émet deux raies voisines $λ_{1}$ et $λ_{2}$ (doublet, $λ_{1} \approx λ_{2} = λ$ , $Δ λ = ∣ λ_{1} - λ_{2} ∣$ petit). Les deux systèmes d'anneaux se superposent ; le contraste est maximal quand ils coïncident et nul (anticoïncidence) quand ils sont décalés d'une demi-frange. En chariotant, la visibilité des franges passe par des minima périodiques. Entre deux brouillages successifs, l'épaisseur varie de $Δ e$ tel que les ordres des deux radiations diffèrent d'une unité :

$\frac{2Δ e}{λ _{1}} - \frac{2Δ e}{λ _{2}} = 1 ⟹ Δ λ = \frac{λ ^{2}}{2 Δ e} .$

La mesure de $Δ e$ entre deux brouillages donne l'écart $Δ λ$ du doublet.

Largeur spectrale et longueur de cohérence.

Une raie réelle n'est pas monochromatique : elle possède une largeur $Δ λ$ . Les franges ne restent contrastées que tant que $δ$ reste inférieure à la longueur de cohérence $ℓ_{c} \approx λ^{2} /Δ λ$ . Au-delà, elles disparaissent définitivement. On mesure donc $Δ λ$ en repérant l'épaisseur $e_{m a x}$ (soit $δ_{m a x} = 2 e_{m a x}$ ) à partir de laquelle les franges cessent d'être visibles, avec $ℓ_{c} = 2 e_{m a x}$ .

4.7 Synthèse du chapitre

À retenir

Principe : le Michelson divise l'amplitude d'une même onde (séparatrice), d'où l'usage d'une source étendue. La compensatrice égalise les traversées de verre des deux voies.
Miroir équivalent : $M_{2}^{'}$ , image de $M_{2}$ par la séparatrice. Le dispositif équivaut à la lame (ou au coin) d'air entre $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ .
Lame d'air ( $M_{1} ∥ M_{2}^{'}$ , épaisseur $e$ ) : $δ = 2 e cos i$ (établie), ordre $p = 2 e cos i / λ$ , $p_{0} = 2 e / λ$ au centre. Franges d'égale inclinaison, anneaux localisés à l'infini ; l'anneau brillant de rang $k$ a l'ordre $⌊ p_{0} ⌋ - k$ et $ρ_{k} \propto k + ε$ . Chariotage : $N = 2Δ e / λ$ anneaux au centre.
Coin d'air (exclusivement expérimental, incidence quasi normale) : $δ \approx 2 e (P)$ admise, franges d'égale épaisseur, courbes de niveau de l'épaisseur espacées de $λ /2$ , localisées sur les miroirs.
Lumière blanche : frange achromatique au contact optique ( $δ = 0$ ), franges irisées, puis blanc d'ordre supérieur. Réglage de référence.
Sources : doublet $Δ λ = λ^{2} /2Δ e$ (brouillages périodiques) ; largeur spectrale via la longueur de cohérence $ℓ_{c} = λ^{2} /Δ λ$ .

4.8 Travaux dirigés

Exercice 1 — Division d'amplitude : deux ondes égales, et où va l'énergie

La séparatrice est modélisée, comme le veut le programme, par une surface infiniment mince qui réfléchit la fraction $R$ de l'intensité qu'elle reçoit et transmet la fraction $T = 1 - R$ , sans absorption, quel que soit le côté par lequel la lumière l'atteint. Les miroirs $M_{1}$ et $M_{2}$ sont parfaitement réfléchissants. Une onde d'intensité $I_{0}$ entre dans l'interféromètre ; on note $φ$ le déphasage entre les deux ondes qui se recombinent.

1) Suivre chacune des deux voies jusqu'à la sortie d'observation : combien de réflexions et de transmissions sur la séparatrice ? Montrer que les deux ondes qui sortent ont la même intensité $R T I_{0}$ , quel que soit $R$ . Pourquoi sont-elles cohérentes ? En quoi ce partage diffère-t-il de celui des trous d'Young ?

2) Exprimer l'intensité en sortie en fonction de $φ$ . En déduire le facteur de contraste et l'intensité maximale. Quelle valeur de $R$ rend l'appareil le plus lumineux ? Valeurs pour $R = 0, 5$ et $R = 0, 4$ .

3) L'interféromètre a une seconde sortie : la lumière qui revient vers la source. Quelles sont les intensités des deux ondes qui y interfèrent ? Calculer le facteur de contraste de cette sortie pour $R = 0, 4$ .

4) Les miroirs et la séparatrice n'absorbant rien, toute la puissance entrée ressort par l'une des deux sorties. En déduire que les déphasages des deux sorties diffèrent de $π$ , et que les deux sorties ne peuvent pas être brillantes en même temps. Que dit ce résultat de la remarque du cours selon laquelle « le centre est souvent sombre au contact optique » ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On suit l'intensité le long de chaque voie (facteur $R$ par réflexion sur la séparatrice, $T$ par transmission), on applique Fresnel à chaque sortie, et la conservation de l'énergie, qui ne demande rien de plus que $R + T = 1$ , fixe la relation de phase entre les deux sorties.

1) Deux ondes de même intensité. Voie 1 : l'onde est réfléchie par la séparatrice vers $M_{1}$ (facteur $R$ ), réfléchie par $M_{1}$ (facteur $1$ ), puis transmise par la séparatrice vers la sortie (facteur $T$ ) : intensité $R T I_{0}$ . Voie 2 : transmise vers $M_{2}$ (facteur $T$ ), réfléchie par $M_{2}$ , puis réfléchie par la séparatrice vers la sortie (facteur $R$ ) : intensité $T R I_{0}$ . Chaque voie subit une réflexion et une transmission : les deux intensités sont égales, $I_{1} = I_{2} = R T I_{0}$ , quelle que soit la séparatrice. Les deux ondes sont cohérentes parce qu'elles proviennent du même train d'onde, issu du même point de la source, dont l'amplitude a été partagée en deux : leurs phases aléatoires sont identiques et s'éliminent dans le déphasage, qui ne dépend plus que de la différence des chemins. C'est la division d'amplitude. Les trous d'Young prélèvent deux portions distinctes du front d'onde (division du front d'onde), ce qui exige une source quasi ponctuelle ; l'exercice 2 montre que la division d'amplitude lève cette exigence.

2) Contraste 1, luminosité $4 R T I_{0}$ . Par la formule de Fresnel, avec $I_{1} = I_{2} = R T I_{0}$ :

$I_{sortie} = 2 R T I_{0} (1 + cos φ) .$

Donc $I_{m i n} = 0$ et $V = 1$ : le contraste vaut 1 quel que soit $R$ , parce que les deux ondes sont d'intensités égales (le cours du chapitre 2 associe un bon contraste à des intensités voisines). L'intensité maximale vaut $I_{m a x} = 4 R T I_{0} = 4 R (1 - R) I_{0}$ , maximale pour $R = \frac{1}{2}$ (dérivée $4 (1 - 2 R)$ nulle) où elle vaut $I_{0}$ : toute la lumière entrée sort sur une frange brillante. Pour $R = 0, 4$ , $I_{m a x} = 4 \times 0, 4 \times 0, 6 I_{0} = 0, 96 I_{0}$ : une séparatrice imparfaite ne coûte presque rien en luminosité ( $4 %$ ) et rien en contraste.

3) La sortie « retour ». Vers la source, la voie 1 a subi deux réflexions sur la séparatrice (intensité $R^{2} I_{0}$ ) et la voie 2 deux transmissions ( $T^{2} I_{0}$ ). Les mêmes bras ayant été parcourus, la différence de marche est la même qu'à la sortie d'observation. Par Fresnel :

$I_{retour} = (R^{2} + T^{2}) I_{0} + 2 R T I_{0} cos φ^{'}, V_{retour} = \frac{2 R T}{R ^{2} + T ^{2}} .$

Pour $R = 0, 4$ : $V_{retour} = \frac{0 , 48}{0 , 16 + 0 , 36} = \frac{0 , 48}{0 , 52} \approx 0, 92$ . Intensités inégales, contraste moindre : on observe sur l'autre sortie.

4) Les deux sorties sont complémentaires. La puissance qui entre ressort tout entière : $I_{sortie} + I_{retour} = I_{0}$ pour toute épaisseur $e$ . Or

$I_{sortie} + I_{retour} = (R + T)^{2} I_{0} + 2 R T I_{0} (cos φ + cos φ^{'}) = I_{0} + 2 R T I_{0} (cos φ + cos φ^{'}) .$

Il faut donc $cos φ^{'} = - cos φ$ pour toute valeur de $e$ . Les deux déphasages varient de la même façon avec $e$ (ils contiennent le même terme $2 π δ / λ$ ) et ne diffèrent que par des constantes dues aux réflexions sur la séparatrice ; l'égalité pour tout $e$ impose $φ^{'} = φ + π$ (à $2 π$ près). Les deux sorties sont en opposition : quand l'une est brillante, l'autre est à son minimum. Pour $R = \frac{1}{2}$ : $I_{sortie} = \frac{I _{0}}{2} (1 + cos φ)$ et $I_{retour} = \frac{I _{0}}{2} (1 - cos φ)$ .

Conséquence au contact optique. À $e = 0$ , la différence de marche géométrique est nulle dans les deux sorties ; si les déphasages n'étaient dus qu'aux chemins, les deux sorties seraient brillantes à la fois, et l'énergie ne serait pas conservée. Il y a donc nécessairement, entre les deux sorties, un déphasage supplémentaire de $π$ apporté par les réflexions sur la séparatrice ; le modèle « $R$ , $T$ » ne dit pas laquelle des deux sorties en hérite, cela dépend du traitement de la séparatrice. C'est l'origine du « centre souvent sombre au contact optique » : une phase à la réflexion que la conservation de l'énergie rend inévitable sur l'une des deux sorties.

Ce que l'exercice installe. Chaque voie du Michelson subit une réflexion et une transmission : les deux ondes sont d'intensités égales, d'où un contraste égal à 1 quelle que soit la séparatrice, qui ne règle que la luminosité. Et un réflexe : un bilan d'énergie contraint les phases (sorties complémentaires) sans aucun modèle microscopique de la lame.

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