Modèle scalaire des ondes lumineuses

Cours · optique ondulatoire (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une onde lumineuse : les surfaces d'onde sont des sphères centrées sur la source, perpendiculaires aux rayons.

La lumière est une onde électromagnétique : elle est décrite rigoureusement par les champs vectoriels $E$ et $B$ solutions des équations de Maxwell. Pourtant, la plupart des phénomènes d'optique ondulatoire abordés en PC (interférences, diffraction) se comprennent parfaitement à l'aide d'une seule grandeur scalaire, notée $s (M, t)$ , appelée vibration lumineuse. Ce chapitre pose les fondations de ce modèle scalaire : nature de la vibration, chemin optique et retard de phase, surfaces d'onde et théorème de Malus, éclairement reçu par un détecteur, et enfin la notion centrale de cohérence temporelle, qui rendra compte de la capacité (ou non) de deux ondes à interférer. Ces outils seront exploités dans tous les chapitres suivants, consacrés à la superposition des ondes lumineuses.

1.1 La vibration lumineuse scalaire

1.1.1 Du champ électromagnétique à une grandeur scalaire

Une onde lumineuse est une onde électromagnétique dont les champs $E$ et $B$ oscillent à des fréquences très élevées. Pour la lumière visible, la longueur d'onde dans le vide $λ_{0}$ est comprise entre $400 nm$ (violet) et $800 nm$ (rouge), ce qui correspond à des fréquences

$ν = \frac{c}{λ _{0}} \sim \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{5 \times 1 0 ^{- 7}} \approx 6 \times 1 0^{14} Hz .$

Les détecteurs usuels sont sensibles au champ électrique $E$ (c'est lui qui agit sur les électrons de la matière). Plutôt que de manipuler les trois composantes du vecteur champ, on convient de suivre une seule composante de $E$ , ce qui définit la vibration lumineuse.

Définition 1.1Vibration lumineuse

On appelle vibration lumineuse en un point $M$ à l'instant $t$ la grandeur scalaire $s (M, t)$ associée à une composante du champ électrique de l'onde. Pour une onde monochromatique de pulsation $ω = 2 π ν$ , on l'écrit

$s (M, t) = a (M) cos (ω t - φ (M)),$

où $a (M) \geq 0$ est l'amplitude et $φ (M)$ la phase au point $M$ .

Le choix de suivre une seule composante scalaire n'est légitime que si la direction du champ reste bien définie et commune aux ondes que l'on superpose : c'est le cas dans les dispositifs interférentiels usuels. On ignore ainsi les effets de polarisation, ce qui suffit largement au programme de PC.

1.1.2 Notation complexe

Comme en électrocinétique, il est commode d'associer à la vibration réelle une amplitude complexe. On pose

$s (M, t) = a (M) e^{i (ω t - φ (M))} = a (M) e^{i ω t}, a (M) = a (M) e^{- i φ (M)},$

avec $s (M, t) = Re [s (M, t)]$ . La quantité $a (M)$ , appelée amplitude complexe, rassemble en un seul nombre l'amplitude et la phase. Cette écriture transforme les additions de cosinus déphasés en additions de nombres complexes, ce qui simplifie considérablement les calculs d'interférences.

iRemarque

On note $i$ l'unité imaginaire ( $i^{2} = - 1$ ) afin d'éviter la confusion avec l'intensité $I$ . La convention de signe $e^{+ i ω t}$ est un choix : toute la suite est cohérente pourvu qu'on le conserve.

1.2 Ondes planes et ondes sphériques

1.2.1 Surfaces d'onde

Définition 1.2Surface d'onde

Une surface d'onde (ou surface équiphase) à l'instant $t$ est le lieu des points $M$ de l'espace où la vibration lumineuse est en phase, c'est-à-dire où $φ (M)$ prend une valeur constante donnée.

La forme des surfaces d'onde permet de classer les ondes lumineuses. On en retient deux modèles idéaux.

Définition 1.3Onde plane et onde sphérique monochromatiques

Une onde plane monochromatique se propage dans une direction fixe $u$ ; ses surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à $u$ . En un point $M$ repéré par $r = O M$ ,

$s (M, t) = a cos (ω t - k \cdot r + φ_{0}), k = \frac{2 π}{λ} u .$

Une onde sphérique monochromatique diverge (ou converge) depuis un point source $S$ ; ses surfaces d'onde sont des sphères centrées sur $S$ . À la distance $r = S M$ ,

$s (M, t) = \frac{a _{0}}{r} cos (ω t - k r + φ_{0}) .$

Le facteur $1/ r$ de l'onde sphérique traduit la conservation de l'énergie : la puissance se répartit sur une sphère d'aire $4 π r^{2}$ , donc l'éclairement décroît en $1/ r^{2}$ et l'amplitude en $1/ r$ . Loin de la source, une petite portion de surface sphérique est quasi plane : à grande distance, une onde sphérique est localement assimilable à une onde plane. C'est le fondement de la source « à l'infini » utilisée en pratique (source ponctuelle au foyer d'une lentille).

Figure : Surfaces d'onde (traits épais) et rayons lumineux (flèches). Les rayons sont partout orthogonaux aux surfaces d'onde (théorème de Malus).

1.2.2 Rayon lumineux

Dans l'approximation de l'optique géométrique, l'énergie lumineuse se propage le long de courbes appelées rayons lumineux. Dans un milieu homogène, ces rayons sont des droites orientées dans le sens de propagation. La relation entre rayons et surfaces d'onde est fixée par le théorème de Malus, énoncé plus loin.

1.3 Chemin optique et retard de phase

1.3.1 Indice et vitesse de propagation

Dans un milieu transparent d'indice de réfraction $n$ , la lumière se propage à la vitesse

$v = \frac{c}{n} \leq c, n \geq 1.$

La fréquence $ν$ ne change pas lors du passage d'un milieu à un autre (elle est imposée par la source), mais la longueur d'onde, elle, dépend du milieu :

$λ = \frac{v}{ν} = \frac{c}{n ν} = \frac{λ _{0}}{n},$

où $λ_{0} = c / ν$ est la longueur d'onde dans le vide. La longueur d'onde est donc plus petite dans un milieu dense.

1.3.2 Chemin optique

Considérons un rayon allant d'un point $A$ à un point $B$ . Le temps mis par la lumière est $τ = \int_{A}^{B} d t = \int_{A}^{B} \frac{d ℓ}{v} = \int_{A}^{B} \frac{n d ℓ}{c}$ . On introduit la grandeur homogène à une longueur qui apparaît naturellement.

Définition 1.4Chemin optique

Le chemin optique le long d'un rayon allant de $A$ à $B$ est

$L_{A B} = (A B) = \int_{A}^{B} n (M) d ℓ$

où $d ℓ$ est l'élément de longueur le long du rayon et $n (M)$ l'indice local. Dans un milieu homogène d'indice $n$ sur une distance géométrique $d$ , on a simplement $L = n d$ .

Le chemin optique est la distance qu'aurait parcourue la lumière dans le vide pendant la même durée $τ$ : en effet

$L_{A B} = \int_{A}^{B} n d ℓ = c \int_{A}^{B} \frac{d ℓ}{v} = c τ .$

C'est donc un « temps de propagation exprimé en distance ».

Figure : Chemin optique le long d'un rayon traversant un milieu d'indice

n

. Chaque tronçon contribue par

n d ℓ

1.3.3 Retard de phase

La phase de la vibration au point $B$ est en retard sur celle du point $A$ d'une quantité proportionnelle au temps de propagation, donc au chemin optique.

ImportantRetard de phase dû à la propagation

Pour une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide $λ_{0}$ , le déphasage accumulé en allant de $A$ à $B$ le long d'un rayon vaut

$φ_{B} - φ_{A} = \frac{2 π}{λ _{0}} L_{A B} = ω τ$

La vibration en $B$ s'écrit donc $s (B, t) = a cos (ω t - φ_{A} - \frac{2 π}{λ _{0}} L_{A B})$ .

Démonstration (Justification)

Le temps de propagation de $A$ à $B$ est $τ = L_{A B} / c$ . La vibration reçue en $B$ à l'instant $t$ est celle émise en $A$ à l'instant $t - τ$ : $s (B, t) = s (A, t - τ)$ . Si $s (A, t) = a cos (ω t - φ_{A})$ , alors

$s (B, t) = a cos (ω (t - τ) - φ_{A}) = a cos (ω t - φ_{A} - ω τ),$

d'où $φ_{B} - φ_{A} = ω τ = \frac{ω L _{A B}}{c} = \frac{2 π ν}{c} L_{A B} = \frac{2 π}{λ _{0}} L_{A B}$ .

iRemarque

C'est bien $λ_{0}$ (longueur d'onde dans le vide) qui intervient, même si le rayon traverse plusieurs milieux : toute l'information sur les indices est déjà contenue dans $L_{A B} = \int n d ℓ$ . C'est l'un des grands avantages de la notion de chemin optique.

1.4 Théorème de Malus et surfaces d'onde

Rayons et surfaces d'onde sont deux descriptions équivalentes de la propagation. Le lien géométrique entre elles est donné par le théorème de Malus, admis.

◆Théorème 1.5Théorème de Malus

Dans un milieu isotrope, les rayons lumineux issus d'une même source sont, après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, orthogonaux aux surfaces d'onde. De plus, le chemin optique entre deux surfaces d'onde successives est le même pour tous les rayons :

$(A B) = (A^{'} B^{'}) si A, A^{'} et B, B^{'} sont sur deux m e ˆ mes surfaces d’onde.$

Ce théorème a une conséquence capitale pour la formation des images.

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