Superposition d'ondes lumineuses

Lorsque deux faisceaux lumineux se rencontrent dans une région de l'espace, le champ électromagnétique total y est, en vertu de la linéarité des équations de Maxwell, la somme des champs de chaque onde. Pourtant, l'expérience quotidienne semble contredire l'existence d'un phénomène d'interférence : éclairer un mur avec deux lampes ne produit jamais de zones alternativement brillantes et sombres, mais un simple ajout des éclairements. Ce paradoxe apparent est au cœur de ce chapitre. Nous allons voir que la superposition de deux ondes ne se réduit à l'addition de leurs intensités que dans certaines conditions, et qu'à l'inverse un contraste marqué exige des ondes mutuellement cohérentes, ce qui impose en pratique de diviser une même source primaire. Nous établirons la formule de Fresnel, socle de toute l'optique interférentielle, puis nous discuterons du contraste des franges et des limites imposées par la cohérence temporelle de la lumière réelle.

2.1 Rappels sur le modèle scalaire et l'intensité

On rappelle qu'une onde lumineuse quasi-monochromatique de pulsation $\omega$ est décrite, dans le modèle scalaire, par une grandeur réelle

$$s(M,t)=a\cos (\omega t-\phi (M)),$$

où $a$ est l'amplitude (supposée réelle positive) et $\phi (M)$ la phase au point $M$. Le détecteur (œil, photodiode, plaque photographique) est insensible aux variations à la pulsation optique $\omega \sim 10^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : il mesure une moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire.

L'intensité est donc proportionnelle au carré de l'amplitude. C'est une grandeur positive, mesurable, et c'est la seule quantité accessible à l'expérience en optique : toute la phénoménologie des interférences consiste à faire apparaître la phase dans la carte d'intensité.

2.2 Superposition de deux ondes et formule de Fresnel

2.2.1 Position du problème

On superpose au point $M$ deux ondes quasi-monochromatiques de même pulsation $\omega$ :

$$s_1=a_1\cos (\omega t-{\phi }_1),s_2=a_2\cos (\omega t-{\phi }_2).$$

La grandeur scalaire résultante est, par linéarité, $s=s_1+s_2$. Son intensité vaut

$$I=K⟨(s_1+s_2{)}^2⟩=K⟨s_1^2⟩+K⟨s_2^2⟩+2K⟨s_1{s}_2⟩=I_1+I_2+2K⟨s_1{s}_2⟩.$$

Tout le contenu physique est concentré dans le terme d'interférence $2K⟨s_1{s}_2⟩$. Développons-le :

$$⟨s_1{s}_2⟩=a_1{a}_2⟨\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)⟩.$$

En linéarisant le produit de cosinus,

$$\cos (\omega t-{\phi }_1)\cos (\omega t-{\phi }_2)=\frac{1}{2}\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)+\frac{1}{2}\cos (2\omega t-{\phi }_1-{\phi }_2).$$

Le second terme oscille à $2\omega$ : sa moyenne temporelle est nulle. Il reste

$$⟨s_1{s}_2⟩=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1).$$

Démonstration (Démonstration)

On a établi $I=I_1+I_2+2K⟨s_1{s}_2⟩$ avec $⟨s_1{s}_2⟩=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2\cos (\Delta \phi )$. Or $I_1=\frac{1}{2}K{a}_1^2$ et $I_2=\frac{1}{2}K{a}_2^2$, d'où $\frac{1}{2}K{a}_1{a}_2=\sqrt{(\frac{1}{2}K{a}_1^2)(\frac{1}{2}K{a}_2^2)}=\sqrt{I_1{I}_2}$. En reportant, $2K⟨s_1{s}_2⟩=2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \phi )$, ce qui donne la formule annoncée.

2.2.2 Interprétation : la construction de Fresnel

La formule de Fresnel se lit géométriquement. À chaque onde on associe un vecteur (un « phaseur ») de longueur proportionnelle à son amplitude $a_k$ et faisant avec l'axe horizontal l'angle $-{\phi }_k$. L'amplitude résultante est la somme vectorielle de ces phaseurs, et l'intensité $I$ est proportionnelle au carré de la longueur du vecteur somme.

Le vecteur somme est le plus long lorsque les deux phaseurs sont alignés ($\Delta \phi =0$) et le plus court lorsqu'ils sont opposés ($\Delta \phi =\pi$). On retrouve ainsi qualitativement les interférences constructives et destructives.

2.3 Conditions d'interférence

La formule de Fresnel n'est valable que si le terme d'interférence $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (\Delta \phi )$ survit à la moyenne temporelle du détecteur. Ceci n'est pas automatique : c'est même l'exception plutôt que la règle avec des sources réelles. Recensons les conditions nécessaires.

2.3.1 Additivité des intensités : le cas incohérent

Deux ondes issues de sources distinctes (deux lampes, deux atomes différents) ne sont jamais mutuellement cohérentes. La lumière est en effet émise par bouffées (trains d'onde) d'une durée ${\tau }_c\sim 10^{-11}\mathrm{s}$ à $10^{-9}\mathrm{s}$, avec une phase à l'origine tirée au hasard à chaque émission. Le déphasage $\Delta \phi (t)$ entre les deux sources fluctue donc de façon aléatoire sur une échelle de temps ${\tau }_c$, immensément courte devant le temps de réponse du détecteur ($\sim 10^{-2}\mathrm{s}$ pour l'œil).

2.3.2 La cohérence exige de diviser une source unique

Puisque deux sources distinctes sont toujours incohérentes, la seule façon d'obtenir deux ondes cohérentes est de diviser en deux la lumière issue d'une même source primaire, puis de recombiner les deux parties. Comme les deux ondes proviennent du même train d'onde initial, leurs fluctuations de phase sont identiques : leur différence de phase, elle, est parfaitement définie et stable. C'est le principe de tous les dispositifs interférentiels.

2.4 Franges, différence de marche et ordre d'interférence

2.4.1 Déphasage et différence de marche

Le déphasage entre les deux ondes cohérentes en $M$ est relié à la différence de marche $\delta$, c'est-à-dire à la différence des chemins optiques parcourus depuis le point de division :

$$\Delta \phi (M)=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\delta (M),\delta =(SM{)}_2-(SM{)}_1,$$

où ${\lambda }_0$ est la longueur d'onde dans le vide et $(SM{)}_k$ le chemin optique de la $k$-ième onde. La différence de marche est une longueur, homogène et facile à calculer géométriquement.

L'ordre $p$ compte le nombre de longueurs d'onde contenues dans la différence de marche. Il est entier sur les franges brillantes, demi-entier sur les franges sombres.

2.4.2 Franges brillantes et sombres

Reprenons la formule de Fresnel avec $\Delta \phi =2\pi p$. L'intensité oscille entre deux valeurs extrêmes lorsque $p$ varie :

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos (2\pi p).$$

Dans le cas particulier très fréquent de deux ondes de même intensité $I_1=I_2=I_0$, la formule de Fresnel se simplifie remarquablement :

$$I=2I_0(1+\cos \Delta \phi )=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\Delta \phi }{2}\right),$$

qui varie entre $I_{\min }=0$ (extinction totale) et $I_{\max }=4I_0$. La figure suivante représente cette variation en fonction du déphasage.