Interférences par division du front d'onde : les trous d'Young

Cours · optique ondulatoire (PC), chapitre 3 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les trous d'Young : deux trous éclairés par une même source créent des franges sur un écran, selon la différence de marche.

Le chapitre précédent a établi les conditions d'obtention d'interférences lumineuses : deux ondes ne donnent une figure d'interférences stable et contrastée que si elles sont cohérentes, c'est-à-dire issues d'une même source primaire, de même pulsation, et présentant une différence de phase constante dans le temps. La lumière étant émise par les atomes sous forme de trains d'ondes de durée très brève ( $\sim 1 0^{- 11} s$ ), deux sources indépendantes ne peuvent jamais interférer de façon observable. Pour contourner cette difficulté, on dédouble la lumière issue d'une même source.

Il existe deux grandes familles de dispositifs interférentiels. Les dispositifs par division du front d'onde prélèvent deux portions distinctes d'un même front d'onde : c'est le principe des trous d'Young, objet de ce chapitre. Les dispositifs par division d'amplitude (interféromètre de Michelson, chapitre suivant) séparent l'énergie de chaque rayon à l'aide d'une lame semi-réfléchissante.

L'expérience des trous d'Young, réalisée par Thomas Young en 1801, est historiquement décisive : elle démontre le caractère ondulatoire de la lumière. Elle constitue aujourd'hui le dispositif-modèle de l'optique ondulatoire, sur lequel se dégagent tous les concepts fondamentaux : différence de marche, ordre d'interférences, interfrange, et surtout la notion centrale de cohérence spatiale et temporelle de la source.

3.1 Le dispositif des trous d'Young

3.1.1 Description et principe

Une source ponctuelle monochromatique $S$ , de longueur d'onde $λ$ , éclaire un écran opaque percé de deux petites ouvertures (trous ou fentes) $S_{1}$ et $S_{2}$ , distantes de $a$ . Ces deux ouvertures, éclairées par la même onde issue de $S$ , se comportent comme deux sources secondaires synchrones : elles vibrent en phase (ou avec un déphasage fixe) car elles prélèvent un même front d'onde. Les ondes qu'elles rayonnent se superposent dans la région située au-delà du plan des trous : c'est le champ d'interférences. On observe la figure sur un écran $E$ placé à une distance $D$ , parallèle au plan contenant $S_{1}$ et $S_{2}$ .

Définition 3.1Champ d'interférences

Le champ d'interférences est le volume de l'espace, au-delà du plan des trous, où les deux ondes issues de $S_{1}$ et $S_{2}$ se recouvrent. En tout point de ce volume, la lumière peut interférer. Ce champ est très étendu (les ondes divergent) : on dit que les franges sont non localisées, on peut les observer partout dans le recouvrement.

3.1.2 Différence de marche géométrique

Soit $M$ un point de l'écran, repéré par son abscisse $x$ mesurée sur l'écran à partir du point $O$ , projection du milieu $I$ de $[S_{1} S_{2}]$ . La différence de marche entre les deux ondes qui parviennent en $M$ est

$δ (M) = (S S_{2} M) - (S S_{1} M) .$

La source $S$ étant placée sur l'axe de symétrie, les chemins $S S_{1}$ et $S S_{2}$ sont égaux : $δ (M) = S_{2} M - S_{1} M$ . Il reste à évaluer la différence des distances $r_{2} = S_{2} M$ et $r_{1} = S_{1} M$ .

Démonstration (Calcul de

δ

)

Plaçons l'origine au milieu $I$ des trous. Le point $M$ a pour coordonnées $(D, x)$ , et $S_{1, 2}$ sont en $(0, \pm a /2)$ . Alors

$r_{1}^{2} = D^{2} + (x - \frac{a}{2})^{2}, r_{2}^{2} = D^{2} + (x + \frac{a}{2})^{2} .$

Par différence, $r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = 2 a x$ , d'où

$r_{2} - r_{1} = \frac{2 a x}{r _{2} + r _{1}} .$

Dans les conditions usuelles $a ≪ D$ et $∣ x ∣ ≪ D$ (angles faibles), on a $r_{1} \approx r_{2} \approx D$ , donc $r_{2} + r_{1} \approx 2 D$ et

$δ (M) = \frac{a x}{D}$

Important

La différence de marche $δ = a x / D$ est proportionnelle à l'abscisse $x$ sur l'écran. C'est la clé de tout le dispositif : $δ$ varie linéairement d'un point à l'autre, ce qui engendre une alternance régulière de franges brillantes et sombres.

3.1.3 Déphasage, ordre d'interférences

Le déphasage entre les deux ondes en $M$ vaut

$φ (M) = \frac{2 π}{λ} δ (M) = \frac{2 π a x}{λ D} .$

Définition 3.2Ordre d'interférences

On appelle ordre d'interférences au point $M$ la quantité sans dimension

$p (M) = \frac{δ ( M )}{λ} = \frac{φ ( M )}{2 π} = \frac{a x}{λ D} .$

L'ordre $p$ mesure le nombre de longueurs d'onde contenues dans la différence de marche.

Les deux sources secondaires étant synchrones et de même amplitude, les deux ondes reçues en $M$ ont la même intensité $I_{0}$ ; d'après la formule de Fresnel du chapitre précédent, l'intensité résultante est

$I (M) = 2 I_{0} (1 + cos φ) = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{φ}{2}) = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π a x}{λ D}) .$

Proposition 3.3Franges brillantes et sombres

Franges brillantes (interférences constructives) : $φ = 2 p π$ , soit $δ = p λ$ avec $p \in Z$ . L'ordre $p$ y est entier. Intensité maximale $I = 4 I_{0}$ .
Franges sombres (interférences destructives) : $φ = (2 p + 1) π$ , soit $δ = (p + \frac{1}{2}) λ$ . L'ordre $p$ y est demi-entier. Intensité nulle $I = 0$ .

La frange centrale ( $x = 0$ , $δ = 0$ , $p = 0$ ) est brillante.

3.2 Système de franges et interfrange

3.2.1 Forme des franges

Proposition 3.4Franges rectilignes

L'intensité $I (M) = 4 I_{0} cos^{2} (π a x / λ D)$ ne dépend que de l'abscisse $x$ perpendiculaire aux trous, et non de la coordonnée parallèle aux trous. Les lieux d'égale intensité ( $x = cte$ ) sont donc des droites parallèles à la direction $S_{1} S_{2}$ . On observe un système de franges rectilignes, équidistantes, alternativement brillantes et sombres.

Démonstration (Justification de la forme des franges)

Rigoureusement, une frange brillante d'ordre $p$ est le lieu des points tels que $S_{2} M - S_{1} M = p λ = cte$ : c'est un hyperboloïde de révolution d'axe $S_{1} S_{2}$ et de foyers $S_{1}$ , $S_{2}$ . Sur un écran éloigné parallèle au plan des trous, l'intersection de ces hyperboloïdes avec l'écran donne des courbes qui, dans la zone paraxiale $∣ x ∣ ≪ D$ , sont assimilables à des droites parallèles aux trous. D'où l'aspect rectiligne des franges observées.

3.2.2 Interfrange

Définition 3.5Interfrange

L'interfrange $i$ est la distance qui sépare, sur l'écran, deux franges brillantes (ou deux franges sombres) consécutives.

Deux franges brillantes consécutives correspondent à $δ = p λ$ et $δ = (p + 1) λ$ , soit $a x_{p} / D = p λ$ et $a x_{p + 1} / D = (p + 1) λ$ . Par soustraction :

$i = x_{p + 1} - x_{p} = \frac{λ D}{a}$

Important

L'interfrange $i = \frac{λ D}{a}$ :

augmente quand la longueur d'onde $λ$ augmente (le rouge donne des franges plus larges que le bleu) ;
augmente avec la distance $D$ à l'écran ;
diminue quand l'écartement $a$ des trous augmente. Rapprocher les trous dilate la figure.

La mesure de $i$ permet de remonter à $λ$ : c'est un principe de spectrométrie.

Exemple 3.6Ordre de grandeur

Avec $λ = 0, 5 μ m$ (vert), $a = 1 mm$ et $D = 2 m$ :

$i = \frac{λ D}{a} = \frac{0 , 5 \times 1 0 ^{- 6} \times 2}{1 0 ^{- 3}} = 1 0^{- 3} m = 1 mm .$

Les franges sont donc parfaitement visibles à l'œil nu ou à la loupe. On note que $a ≫ λ$ : les trous doivent rester peu écartés pour que l'interfrange soit exploitable, tout en restant assez larges pour laisser passer de la lumière.

3.2.3 Effet d'une lentille

En pratique, l'écran est souvent éloigné. On peut ramener la figure « à l'infini » dans le plan focal image d'une lentille convergente. Si une lentille de distance focale $f^{'}$ est placée derrière les trous, l'écran étant dans son plan focal image, les rayons parallèles issus de $S_{1}$ et $S_{2}$ dans une direction faisant l'angle $θ$ avec l'axe convergent en un même point $M^{'}$ du plan focal, d'abscisse $x = f^{'} θ$ .

Proposition 3.7Franges dans le plan focal

Avec une lentille convergente de focale $f^{'}$ , les rayons émergents parallèles inclinés de $θ$ présentent la différence de marche $δ = a sin θ \approx a θ$ (les trous jouant le rôle d'une petite « base »). Comme $x = f^{'} θ$ , on retrouve

$δ = \frac{a x}{f ^{'}}, i = \frac{λ f ^{'}}{a} .$

La lentille joue le rôle de la distance $D$ , remplacée par sa focale $f^{'}$ . Un tel montage, où l'on observe l'interférence de rayons parallèles dans le plan focal, est un montage de Fraunhofer.

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