Interférences par division d'amplitude : l'interféromètre de Michelson

Les trous d'Young réalisent des interférences par division du front d'onde : deux portions distinctes de l'onde incidente sont prélevées, puis recombinées. Ce procédé impose une source quasi ponctuelle, sous peine de brouiller les franges. L'interféromètre de Michelson repose sur un principe radicalement différent : la division d'amplitude. Une même onde est partagée en deux ondes de directions différentes par une lame semi-réfléchissante, puis recombinée après avoir suivi deux chemins distincts. L'avantage est décisif : le dispositif peut être éclairé par une source spatialement étendue, ce qui accroît considérablement la luminosité et ouvre la voie à la métrologie de précision (mesure de longueurs d'onde, d'écarts de doublets, de largeurs spectrales, d'indices et d'épaisseurs). Dans tout ce chapitre, conformément au programme, la séparatrice est supposée d'épaisseur négligeable.

4.1 Principe de l'interféromètre de Michelson

4.1.1 Description du dispositif

L'interféromètre de Michelson est constitué de quatre éléments optiques essentiels :

• une séparatrice $\mathrm{Sp}$ : lame de verre dont une face est traitée (couche métallique semi-réfléchissante) de manière à réfléchir environ la moitié de l'énergie lumineuse et à transmettre l'autre moitié ;
• deux miroirs plans $M_1$ et $M_2$, orthogonaux entre eux dans le réglage de référence, l'un des deux (par exemple $M_1$) étant translatable par une vis micrométrique et orientable par des vis de réglage fin ;
• une compensatrice $\mathrm{Cp}$ : lame de verre identique à la séparatrice, parallèle à celle-ci, dont le rôle est explicité plus bas.

4.1.2 Division d'amplitude et rôle de la compensatrice

Un rayon issu de la source frappe la séparatrice sous incidence voisine de $45^{\circ }$. Il donne naissance à deux rayons que l'onde incidente ne pouvait produire seule :

• un rayon réfléchi, dirigé vers le miroir $M_1$ ;
• un rayon transmis, dirigé vers le miroir $M_2$.

Chaque rayon est renvoyé par son miroir, revient sur la séparatrice, qui recombine une partie de chaque faisceau vers la voie de sortie. On récupère ainsi deux ondes cohérentes entre elles (issues du même rayon initial, donc du même point source) : elles interfèrent. C'est la division d'amplitude.

4.2 Miroirs équivalents et lame d'air

4.2.1 Construction du miroir équivalent

L'analyse est grandement simplifiée par un procédé de « dépliage ». La séparatrice se comporte, pour la voie transmise, comme un miroir plan : on remplace le miroir $M_2$ par son image $M_2^{\prime }$ dans le plan de la séparatrice. Tout se passe alors comme si la lumière, après division, se réfléchissait sur les deux miroirs $M_1$ et $M_2^{\prime }$ sans changer de direction : le Michelson est optiquement équivalent à la lame d'air (ou au coin d'air) comprise entre $M_1$ et $M_2^{\prime }$.

4.2.2 Différence de marche pour une lame d'air

Considérons $M_1\parallel M_2^{\prime }$ séparés d'une épaisseur d'air $e$ (indice $n=1$). Un rayon incident sous l'angle d'incidence $i$ (par rapport à la normale aux miroirs) se réfléchit successivement sur les deux miroirs. La différence de marche entre les deux ondes émergentes est celle, classique, d'une lame à faces parallèles éclairée en réflexion :

$$\begin{array}{c}\boxed{\delta =2e\cos i}\end{array}$$

4.3 Configuration lame d'air : anneaux d'égale inclinaison

4.3.1 Localisation à l'infini

En configuration lame d'air, la différence de marche $\delta =2e\cos i$ ne dépend que de l'angle $i$, et non du point d'entrée sur les miroirs. Tous les rayons ayant la même inclinaison $i$ (parallèles entre eux) émergent avec la même différence de marche : ils convergent, après une lentille, en un même point du plan focal. On dit que les franges sont localisées à l'infini.

Comme la figure présente la symétrie de révolution autour de l'axe optique, les franges d'égale inclinaison sont des anneaux concentriques : les anneaux d'égale inclinaison.

4.3.2 Rayon des anneaux

Plaçons une lentille de distance focale $f^{\prime }$ derrière l'interféromètre ; un rayon d'inclinaison $i$ converge à la distance $\rho =f^{\prime }\tan i\approx f^{\prime }i$ du centre. Un anneau brillant d'ordre $p$ vérifie $2e\cos i=p\lambda$. Pour les angles faibles, $\cos i\approx 1-i^2/2$, donc

$$\begin{array}{c}2e\left(1-\frac{i^2}{2}\right)=p\lambda ⟹i^2=\frac{2e-p\lambda }{e}.\end{array}$$

En notant $p_0=2e/\lambda$ l'ordre (non entier en général) au centre et $p=p_0-k$ ($k=0,1,2,\dots$ numérote les anneaux à partir du centre), on obtient

$$\begin{array}{c}\boxed{{\rho }_k=f^{\prime }{i}_k=f^{\prime }\sqrt{\frac{\lambda }{e}}\sqrt{k+\epsilon }}(\epsilon =p_0-\lfloor p_0\rfloor ).\end{array}$$

Les rayons croissent comme $\sqrt{k}$ : les anneaux sont resserrés vers le bord et espacés au centre. Ils sont d'autant plus fins et nombreux que l'épaisseur $e$ est grande.

4.3.3 Défilement des anneaux : chariotage

Translater le miroir $M_1$ (« chariotage ») fait varier l'épaisseur $e$. Au centre, l'ordre $p_0=2e/\lambda$ change ; chaque fois que $p_0$ augmente d'une unité, un anneau naît au centre (si $e$ croît) ou y disparaît (si $e$ décroît). Si l'on compte $N$ anneaux défilant au centre lorsque $M_1$ se déplace de $\Delta e$ :

$$\begin{array}{c}\boxed{N=\frac{2\Delta e}{\lambda }}.\end{array}$$

Cette relation est à la base de la mesure interférométrique des longueurs d'onde et des déplacements.

4.4 Configuration coin d'air : franges d'égale épaisseur

4.4.1 Différence de marche et franges rectilignes

En inclinant légèrement $M_1$, les miroirs équivalents $M_1$ et $M_2^{\prime }$ font un petit angle $\alpha$ : c'est le coin d'air. On l'éclaire alors sous incidence quasi normale ($i\approx 0$, $\cos i\approx 1$), au moyen d'une source étendue et d'un faisceau peu ouvert. L'épaisseur d'air dépend de la position $x$ mesurée depuis l'arête du coin : $e(x)=\alpha x$. La différence de marche devient

$$\begin{array}{c}\boxed{\delta (x)=2e(x)=2\alpha x}.\end{array}$$

$\delta$ ne dépend plus que de l'épaisseur locale : les franges joignent les points de même épaisseur, ce sont des franges d'égale épaisseur, rectilignes et parallèles à l'arête du coin.

4.4.2 Localisation sur les miroirs, interfrange

Une frange brillante correspond à $\delta =2\alpha x=p\lambda$ avec $p$ entier. Deux franges brillantes consécutives ($p$ et $p+1$) sont distantes de l'interfrange

$$\begin{array}{c}\boxed{i=\frac{\lambda }{2\alpha }}.\end{array}$$

L'interfrange est uniforme : les franges sont équidistantes. Plus l'angle $\alpha$ est petit, plus les franges sont larges et faciles à observer ; à angle nul (miroirs parallèles) on retombe sur la teinte uniforme de la lame d'air.

4.5 Localisation des franges : bilan

La source étendue est autorisée précisément parce que la division d'amplitude fait interférer deux ondes issues du même rayon : le brouillage par extension de source, fatal aux trous d'Young, est ici évité à condition d'observer dans le plan de localisation. Hors de ce plan, les franges se brouillent.

4.6 Utilisation en lumière blanche et étude des sources

4.6.1 Lumière blanche : teinte plate et contact optique

En lumière blanche, chaque longueur d'onde $\lambda$ donne son propre système de franges, avec son propre interfrange. Les systèmes ne coïncident que là où $\delta$ est très petite devant toutes les longueurs d'onde. On observe alors :

• pour $\delta =0$ (contact optique, $e=0$) : toutes les radiations sont en phase, la frange centrale est blanche (blanc d'ordre zéro) ;
• pour $\delta$ de l'ordre de quelques $\lambda$ : quelques franges irisées (colorées), certaines longueurs d'onde étant éteintes par interférence destructive ;
• pour $\delta$ grande : brouillage, retour à un blanc d'ordre supérieur (la « teinte plate »), le spectre étant cannelé mais l'œil n'y percevant plus de couleur franche.

4.6.2 Étude des sources : doublet et largeur spectrale

Doublet.

Une source comme la lampe à vapeur de sodium émet deux raies voisines ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$ (doublet, ${\lambda }_1\approx {\lambda }_2=\lambda$, $\Delta \lambda =\left|{\lambda }_1-{\lambda }_2\right|$ petit). Les deux systèmes d'anneaux se superposent ; le contraste est maximal quand ils coïncident et nul (anticoïncidence) quand ils sont décalés d'une demi-frange. En chariotant, la visibilité des franges passe par des minima périodiques. Entre deux brouillages successifs, l'épaisseur varie de $\Delta e$ tel que les ordres des deux radiations diffèrent d'une unité :

$$\frac{2\Delta e}{{\lambda }_1}-\frac{2\Delta e}{{\lambda }_2}=1⟹\boxed{\Delta \lambda =\frac{{\lambda }^2}{2\Delta e}}.$$

La mesure de $\Delta e$ entre deux brouillages donne l'écart $\Delta \lambda$ du doublet.

Largeur spectrale et longueur de cohérence.

Une raie réelle n'est pas monochromatique : elle possède une largeur $\Delta \lambda$. Les franges ne restent contrastées que tant que $\delta$ reste inférieure à la longueur de cohérence ${\ell }_c\approx {\lambda }^2/\Delta \lambda$. Au-delà, elles disparaissent définitivement. On mesure donc $\Delta \lambda$ en repérant l'épaisseur $e_{\max }$ (soit ${\delta }_{\max }=2e_{\max }$) à partir de laquelle les franges cessent d'être visibles, avec ${\ell }_c=2e_{\max }$.

4.7 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.8 Exercices résolus

Démonstration

Au centre : $p_0=2e/\lambda =2\times 10^{-4}/(546\times 10^{-9})\approx 366,3$. L'ordre au centre vaut donc environ $366$. Pour $i=5^{\circ }$, $\cos i\approx 0,9962$ et $p=2e\cos i/\lambda \approx 365,0$. Le nombre d'anneaux entre le centre et $5^{\circ }$ est $p_0-p\approx 1,3$, soit un seul anneau complet visible dans ce petit champ. Pour en voir davantage il faut augmenter $e$.

Démonstration

$N=2\Delta e/\lambda \Rightarrow \lambda =2\Delta e/N=2\times 68,2\times 10^{-6}/250\approx 5,46\times 10^{-7}\mathrm{m}=546\mathrm{nm}$. On retrouve la raie verte du mercure. Compter un grand nombre d'anneaux améliore la précision relative $\approx 1/N$.

Démonstration

$i=\lambda /(2\alpha )=589\times 10^{-9}/(2\times 2\times 10^{-4})\approx 1,47\times 10^{-3}\mathrm{m}\approx 1.5\mathrm{mm}$. En divisant $\alpha$ par deux, $i$ double : les franges s'élargissent. On règle ainsi la largeur des franges à l'observation.

Démonstration

$\Delta \lambda ={\lambda }^2/(2\Delta e)$ avec $\lambda \approx 589\mathrm{nm}$ : $\Delta \lambda =(589\times 10^{-9}{)}^2/(2\times 0,29\times 10^{-3})\approx 5,98\times 10^{-10}\mathrm{m}\approx 0.60\mathrm{nm}$. La valeur tabulée du doublet est $0.6\mathrm{nm}$ : accord excellent. Chaque brouillage correspond à un ordre de retard d'une radiation sur l'autre.

Démonstration

La longueur de cohérence est ${\ell }_c=2e_{\max }=0.30\mathrm{m}$. Alors $\Delta \lambda \approx {\lambda }^2/{\ell }_c=(600\times 10^{-9}{)}^2/0,30\approx 1,2\times 10^{-12}\mathrm{m}\approx 1.2\mathrm{pm}$. La raie est extrêmement fine (source très monochromatique, typique d'un laser ou d'une raie isotopique).

Démonstration

La lame ajoute un chemin optique supplémentaire $\Delta =2(n-1)\ell$ sur la voie considérée (différence entre verre et air, aller-retour). Le nombre d'anneaux défilant est $N=\Delta /\lambda =2(n-1)\ell /\lambda =2\times 0,50\times 10\times 10^{-6}/(546\times 10^{-9})\approx 18,3$, soit environ $18$ anneaux. On mesure ainsi $(n-1)\ell$, donc l'indice ou l'épaisseur.

4.9 Exercices d'entraînement

• Vocabulaire. Distinguer division du front d'onde et division d'amplitude. Pourquoi seule la seconde autorise une source spatialement étendue ?
• Rôle de la compensatrice. Expliquer pourquoi, sans compensatrice, le réglage en lumière blanche serait impossible. Combien de fois chaque faisceau traverse-t-il le verre de la séparatrice ?
• Différence de marche. Établir $\delta =2e\cos i$ pour la lame d'air par un schéma de rayons, et $\delta =2\alpha x$ pour le coin d'air.
• Ordre au centre. Une lame d'air a une épaisseur $e=0.50\mathrm{mm}$, $\lambda =633\mathrm{nm}$ (laser He-Ne). Calculer $p_0$. Combien d'anneaux séparent le centre de l'inclinaison $i=3^{\circ }$ ?
• Rayons des anneaux. Montrer que ${\rho }_k=f^{\prime }\sqrt{\lambda /e}\sqrt{k+\epsilon }$ et vérifier que les anneaux se resserrent vers le bord. Que devient l'espacement quand $e$ augmente ?
• Chariotage. On compte $N=400$ anneaux au centre pour un déplacement de $M_1$ de $\Delta e=0.126\mathrm{mm}$. En déduire $\lambda$.
• Sens du défilement. On chariote et les anneaux rentrent vers le centre (disparaissent). L'épaisseur $e$ augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Justifier avec $p_0=2e/\lambda$.
• Coin d'air. Pour $\lambda =546\mathrm{nm}$, on veut un interfrange de $2.0\mathrm{mm}$. Quel angle $\alpha$ faut-il régler ?
• Contact optique. Décrire, en lumière blanche, la succession des teintes observées lorsqu'on chariote lentement autour de $e=0$. Où voit-on la frange blanche centrale ?
• Doublet. En lumière de sodium, on observe des brouillages tous les $\Delta e=0.289\mathrm{mm}$. Calculer $\Delta \lambda$ ($\lambda =589\mathrm{nm}$).
• Cohérence. Les franges d'une raie disparaissent au-delà de $e_{\max }=25\mathrm{cm}$. Estimer la largeur $\Delta \lambda$ et la longueur de cohérence ($\lambda =546\mathrm{nm}$).
• Mesure d'indice. Une lame mince transparente d'épaisseur $\ell =8.0\mu \mathrm{m}$, introduite sur une voie, fait défiler $22$ anneaux ($\lambda =546\mathrm{nm}$). En déduire l'indice $n$ de la lame.