Interférences par division d'amplitude : l'interféromètre de Michelson

Cours · optique ondulatoire (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'interféromètre de Michelson : une lame séparatrice envoie la lumière vers deux miroirs, puis recombine les deux rayons.

Les trous d'Young réalisent des interférences par division du front d'onde : deux portions distinctes de l'onde incidente sont prélevées, puis recombinées. Ce procédé impose une source quasi ponctuelle, sous peine de brouiller les franges. L'interféromètre de Michelson repose sur un principe radicalement différent : la division d'amplitude. Une même onde est partagée en deux ondes de directions différentes par une lame semi-réfléchissante, puis recombinée après avoir suivi deux chemins distincts. L'avantage est décisif : le dispositif peut être éclairé par une source spatialement étendue, ce qui accroît considérablement la luminosité et ouvre la voie à la métrologie de précision (mesure de longueurs d'onde, d'écarts de doublets, de largeurs spectrales, d'indices et d'épaisseurs). Dans tout ce chapitre, conformément au programme, la séparatrice est supposée d'épaisseur négligeable.

4.1 Principe de l'interféromètre de Michelson

4.1.1 Description du dispositif

L'interféromètre de Michelson est constitué de quatre éléments optiques essentiels :

une séparatrice $Sp$ : lame de verre dont une face est traitée (couche métallique semi-réfléchissante) de manière à réfléchir environ la moitié de l'énergie lumineuse et à transmettre l'autre moitié ;
deux miroirs plans $M_{1}$ et $M_{2}$ , orthogonaux entre eux dans le réglage de référence, l'un des deux (par exemple $M_{1}$ ) étant translatable par une vis micrométrique et orientable par des vis de réglage fin ;
une compensatrice $Cp$ : lame de verre identique à la séparatrice, parallèle à celle-ci, dont le rôle est explicité plus bas.

4.1.2 Division d'amplitude et rôle de la compensatrice

Un rayon issu de la source frappe la séparatrice sous incidence voisine de $4 5^{\circ}$ . Il donne naissance à deux rayons que l'onde incidente ne pouvait produire seule :

un rayon réfléchi, dirigé vers le miroir $M_{1}$ ;
un rayon transmis, dirigé vers le miroir $M_{2}$ .

Chaque rayon est renvoyé par son miroir, revient sur la séparatrice, qui recombine une partie de chaque faisceau vers la voie de sortie. On récupère ainsi deux ondes cohérentes entre elles (issues du même rayon initial, donc du même point source) : elles interfèrent. C'est la division d'amplitude.

ImportantSéparatrice et compensatrice

La séparatrice étant une lame de verre, le faisceau réfléchi vers $M_{1}$ ne la traverse qu'une seule fois, tandis que le faisceau transmis vers $M_{2}$ la traverse trois fois (aller, retour, puis à nouveau à la recombinaison). Cette dissymétrie introduit une différence de marche parasite, dispersive (dépendant de $λ$ ), qui ruinerait l'observation en lumière blanche. La compensatrice, lame de verre identique et parallèle, est placée sur l'autre voie pour que chaque faisceau traverse au total la même épaisseur de verre. Les deux voies sont alors optiquement équivalentes : la différence de marche ne provient plus que du décalage des miroirs.

4.2 Miroirs équivalents et lame d'air

4.2.1 Construction du miroir équivalent

L'analyse est grandement simplifiée par un procédé de « dépliage ». La séparatrice se comporte, pour la voie transmise, comme un miroir plan : on remplace le miroir $M_{2}$ par son image $M_{2}^{'}$ dans le plan de la séparatrice. Tout se passe alors comme si la lumière, après division, se réfléchissait sur les deux miroirs $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ sans changer de direction : le Michelson est optiquement équivalent à la lame d'air (ou au coin d'air) comprise entre $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ .

Définition 4.1Lame d'air / coin d'air équivalents

On appelle miroir équivalent l'image $M_{2}^{'}$ du miroir fixe $M_{2}$ par la séparatrice. La différence de marche entre les deux ondes recombinées ne dépend que de la position relative de $M_{1}$ et de $M_{2}^{'}$ :

si $M_{1} ∥ M_{2}^{'}$ , l'espace entre les deux est une lame d'air d'épaisseur $e$ ;
si $M_{1}$ et $M_{2}^{'}$ font un petit angle $α$ , cet espace est un coin d'air d'épaisseur variable.

4.2.2 Différence de marche pour une lame d'air

Considérons $M_{1} ∥ M_{2}^{'}$ séparés d'une épaisseur d'air $e$ (indice $n = 1$ ). Un rayon incident sous l'angle d'incidence $i$ (par rapport à la normale aux miroirs) se réfléchit successivement sur les deux miroirs. La différence de marche entre les deux ondes émergentes est celle, classique, d'une lame à faces parallèles éclairée en réflexion :

$δ = 2 e cos i$

iRemarque

On admet qu'il n'y a pas de terme supplémentaire $λ /2$ à ajouter : les deux réflexions (sur $M_{1}$ et sur $M_{2}^{'}$ ) sont de même nature, leurs déphasages à la réflexion se compensent. L'ordre d'interférences en un point vu sous l'angle $i$ vaut donc

$p = \frac{δ}{λ} = \frac{2 e cos i}{λ} .$

Le maximum de $δ$ (et de $p$ ) est atteint au centre, pour $i = 0$ : $δ_{m a x} = 2 e$ , $p_{0} = 2 e / λ$ .

4.3 Configuration lame d'air : anneaux d'égale inclinaison

4.3.1 Localisation à l'infini

En configuration lame d'air, la différence de marche $δ = 2 e cos i$ ne dépend que de l'angle $i$ , et non du point d'entrée sur les miroirs. Tous les rayons ayant la même inclinaison $i$ (parallèles entre eux) émergent avec la même différence de marche : ils convergent, après une lentille, en un même point du plan focal. On dit que les franges sont localisées à l'infini.

Proposition 4.2Conditions d'observation

En lame d'air, on éclaire l'interféromètre par une source spatialement étendue (par exemple une lampe spectrale devant un dépoli), afin de disposer de tous les angles d'incidence $i$ . On observe les franges à l'infini, c'est-à-dire dans le plan focal image d'une lentille convergente (ou en accommodant l'œil à l'infini). Chaque frange correspond à une valeur de $i$ : c'est une frange d'égale inclinaison.

Comme la figure présente la symétrie de révolution autour de l'axe optique, les franges d'égale inclinaison sont des anneaux concentriques : les anneaux d'égale inclinaison.

4.3.2 Rayon des anneaux

Plaçons une lentille de distance focale $f^{'}$ derrière l'interféromètre ; un rayon d'inclinaison $i$ converge à la distance $ρ = f^{'} tan i \approx f^{'} i$ du centre. Un anneau brillant d'ordre $p$ vérifie $2 e cos i = p λ$ . Pour les angles faibles, $cos i \approx 1 - i^{2} /2$ , donc

$2 e (1 - \frac{i ^{2}}{2}) = p λ ⟹ i^{2} = \frac{2 e - p λ}{e} .$

En notant $p_{0} = 2 e / λ$ l'ordre (non entier en général) au centre et $p = p_{0} - k$ ( $k = 0, 1, 2, \dots$ numérote les anneaux à partir du centre), on obtient

$ρ_{k} = f^{'} i_{k} = f^{'} \frac{λ}{e} k + ε (ε = p_{0} - ⌊ p_{0} ⌋) .$

Les rayons croissent comme $k$ : les anneaux sont resserrés vers le bord et espacés au centre. Ils sont d'autant plus fins et nombreux que l'épaisseur $e$ est grande.

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