Transport de charge : conducteur ohmique

Cours complet · phénomènes de transport (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année)

Introduction

L'électrocinétique de première année manipule des grandeurs globales : intensité $I$ , tension $U$ , résistance $R$ . Ce chapitre en donne le fondement local. On y décrit le déplacement des porteurs de charge à l'échelle mésoscopique — celle d'un petit volume contenant un grand nombre de porteurs, mais assez petit pour être traité comme un point vis-à-vis des variations macroscopiques. Deux champs suffisent : la densité volumique de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $j$ .

Nous établirons d'abord l'équation de conservation de la charge, principe universel qui contraint toute distribution de courant. Le modèle de Drude fournira ensuite une interprétation microscopique de la conduction et justifiera la loi d'Ohm locale $j = γ E$ , d'où découleront la résistance d'un conducteur cylindrique ( $U = R I$ ) et l'effet Joule. Cette conductivité $γ$ sera réutilisée dans l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans les conducteurs.

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Description mésoscopique du transport

Considérons un conducteur où une seule espèce de porteurs, de charge $q$ et de densité volumique (nombre par unité de volume) $n$ , se déplace à la vitesse moyenne $v$ , dite vitesse de dérive. Cette vitesse est la moyenne d'ensemble des vitesses individuelles, très petite devant la vitesse d'agitation thermique.

Définition 1.1Vecteur densité de courant volumique

Le vecteur densité de courant volumique associé à une espèce de porteurs est

$j = n q v (A / m^{2}) .$

En présence de plusieurs espèces (indice $k$ ),

$j = k \sum n_{k} q_{k} v_{k} = k \sum ρ_{k} v_{k} .$

iRemarqueSigne des porteurs

Le sens de $j$ ne dépend pas du signe des porteurs : des charges négatives ( $q < 0$ ) se déplaçant vers la gauche donnent un $j = n q v$ dirigé vers la droite. C'est le sens conventionnel du courant, celui du déplacement de charges positives fictives. Dans un métal, les porteurs sont les électrons de conduction ( $q = - e$ ).

1.2.2 Intensité comme flux de $j$

Pendant $d t$ , les porteurs situés sur un élément de surface orienté $d S$ parcourent $v d t$ . Ils balaient un cylindre oblique de volume $d τ = v d t \cdot d S$ , contenant la charge $δ^{2} q = ρ d τ = j \cdot d S d t$ . Le débit de charge à travers $d S$ vaut donc $j \cdot d S$ .

Définition 1.2Intensité et flux de

j

L'intensité du courant $I$ à travers une surface orientée $S$ est le flux du vecteur densité de courant :

$I = \iint_{S} j \cdot d S (A) .$

Proposition 1.3Fil filiforme

Pour un fil de section $S$ où $j$ est uniforme et parallèle à l'axe, $I = j S$ , donc $j = I / S$ . La densité de courant est une intensité surfacique.

Exemple 1.4Vitesse de dérive dans le cuivre

Un fil de cuivre de section $S = 1.0 m m^{2}$ transporte $I = 10 A$ . Le cuivre possède $n = 8.5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ électrons de conduction ( $\approx$ un par atome).

Démonstration

$j = I / S = 10/1 0^{- 6} = 1.0 \times 1 0^{7} A / m^{2}$ . Comme $j = n e v$ ,

$v = \frac{j}{n e} = \frac{1 0 ^{7}}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 7 \times 1 0^{- 4} m / s \approx 0.7 mm / s .$

La vitesse de dérive est extrêmement lente (moins de $1 mm / s$ ) : ce n'est pas elle qui « transmet » le signal électrique, mais la propagation du champ électromagnétique, quasi instantanée.

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Bilan intégral

Soit un volume $V$ fixe, délimité par une surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur. La charge qu'il contient est $Q (t) = ∭_{V} ρ d τ$ . La charge étant conservée (elle ne peut ni apparaître ni disparaître), $Q$ ne varie que par flux à travers $S$ . Le courant sortant vaut $\oint \oint_{S} j \cdot d S$ ; toute charge qui sort fait diminuer $Q$ :

Proposition 1.5Bilan global de charge

$\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S, soit \frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = - \oint \oint_{S} j \cdot d S .$

1.3.2 Équation locale de continuité

◆Théorème 1.6Équation de conservation de la charge

En tout point de l'espace et à tout instant, la densité de charge et le vecteur densité de courant vérifient l'équation de continuité :

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$

Démonstration (Passage du global au local)

Le théorème de Green–Ostrogradski transforme le flux sortant en intégrale de volume :

$\oint \oint_{S} j \cdot d S = ∭_{V} div j d τ .$

Comme $V$ est fixe, $\frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d τ$ . Le bilan global devient

$∭_{V} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j) d τ = 0.$

Ceci étant vrai pour tout volume $V$ , l'intégrande est identiquement nul, d'où l'équation locale.

Démonstration (Bilan à une dimension (interprétation))

Prenons $j = j (x, t) u_{x}$ et faisons le bilan de charge dans la tranche $[x, x + d x]$ de section $S$ (volume $S d x$ ). La charge y varie de $\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t$ pendant $d t$ . Elle entre en $x$ ( $j (x) S d t$ ) et sort en $x + d x$ ( $j (x + d x) S d t$ ) :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = [j (x) - j (x + d x)] S d t = - \frac{\partial j}{\partial x} S d x d t .$

On retrouve $\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$ , que $div j$ généralise en dimension trois.

1.3.3 Régime stationnaire et loi des n{œ}uds

Proposition 1.7

j

à flux conservatif

En régime stationnaire (ou permanent), $\frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ , donc

$div j = 0.$

Le vecteur $j$ est à flux conservatif : son flux à travers toute surface fermée est nul et se conserve le long d'un tube de courant.

ImportantLa loi des n{œ}uds est la conservation de la charge

Entourons un n{œ}ud d'un circuit par une surface fermée $S$ traversée par les fils $1, 2, \dots$ . En régime stationnaire, $\oint \oint_{S} j \cdot d S = \sum_{k} \pm I_{k} = 0$ (signe $+$ si le courant sort, $-$ s'il entre). On obtient la loi des n{œ}uds

$entrant \sum I_{k} = sortant \sum I_{k} .$

Elle n'est rien d'autre que la conservation de la charge en régime permanent.

1.4 Le conducteur ohmique : modèle de Drude

1.4.1 Le modèle microscopique

Pour interpréter la conduction, Paul Drude (1900) modélise les électrons de conduction comme un « gaz » de particules libres, de charge $- e$ , de masse $m$ , de densité $n$ , soumises à :

la force électrique $- e E$ due au champ appliqué ;
une force de frottement fluide $- \frac{m}{τ} v$ modélisant en moyenne l'effet des collisions avec les défauts et les vibrations du réseau (phonons). Le paramètre $τ$ est le temps de relaxation, ordre de grandeur du temps moyen entre deux collisions.

On néglige le poids et la force magnétique (vitesses de dérive faibles).

La relation fondamentale de la dynamique, appliquée à un électron « moyen », s'écrit :

$m \frac{d v}{d t} = - e E - \frac{m}{τ} v .$

1.4.2 Régime permanent : conductivité

Démonstration (Vitesse de dérive et loi d'Ohm locale)

En régime stationnaire, $d v / d t = 0$ , d'où la vitesse de dérive :

$v = - \frac{e τ}{m} E .$

Le vecteur densité de courant vaut alors $j = n (- e) v = \frac{n e ^{2} τ}{m} E$ , proportionnel à $E$ . On identifie la conductivité.

◆Théorème 1.8Loi d'Ohm locale

Dans un conducteur ohmique, le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique local :

$j = γ E, γ = \frac{n e ^{2} τ}{m},$

où $γ$ est la conductivité électrique (en $S / m$ ). Son inverse $ρ_{e ˊ l} = 1/ γ$ est la résistivité (en $Ω m$ ).

Définition 1.9Mobilité

La mobilité $μ$ des porteurs relie la vitesse de dérive au champ : $v = μ E$ , avec ici $μ = \frac{e τ}{m}$ . La conductivité s'écrit alors $γ = n e μ$ .

iRemarqueOrdres de grandeur — cuivre

Pour le cuivre, $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ (résistivité $ρ_{e ˊ l} \approx 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ). On en déduit $τ = \frac{mγ}{n e ^{2}} \approx 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ . Parcourue à la vitesse de Fermi ( $v_{F} \approx 1.6 \times 1 0^{6} m / s$ ), la distance entre deux collisions (libre parcours moyen) est de l'ordre de $ℓ = v_{F} τ \approx 40 nm$ , très grande devant la distance interatomique ( $\approx 0.3 nm$ ) : c'est une limite du modèle classique de Drude, levée par la mécanique quantique. On retiendra les classes : métaux $γ \sim 1 0^{6}$ – $1 0^{8} S / m$ , semi-conducteurs intermédiaires, isolants $γ ≲ 1 0^{- 8} S / m$ .

iRemarqueValidité en fréquence

En champ alternatif $E = E_{0} e^{i ω t}$ , l'équation de Drude donne une conductivité complexe $γ (ω) = \frac{γ _{0}}{1 + i ω τ}$ . Tant que $ω τ ≪ 1$ (soit $f ≪ 1/ τ \sim 1 0^{13} Hz$ , jusqu'à l'infrarouge), $γ$ reste réelle et égale à sa valeur statique. Le modèle $j = γ E$ est donc valable dans tout le domaine des ondes hertziennes.

1.4.3 Résistance d'un conducteur cylindrique

Méthode : De la loi locale à la loi d'Ohm intégrale $U = R I$

Considérons un cylindre conducteur de longueur $L$ , de section $S$ , de conductivité $γ$ , parcouru par un courant uniforme selon son axe $u_{x}$ .

Le courant vaut $I = j S = γ E S$ , donc $E = \frac{I}{γ S}$ (champ uniforme).
La tension entre les extrémités est $U = \int_{0}^{L} E d x = E L = \frac{L}{γ S} I$ .
Par identification avec $U = R I$ :

$R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S} .$

iRemarque

La résistance croît avec la longueur et décroît avec la section : un câble épais et court résiste peu. La résistivité $ρ_{e ˊ l}$ est une propriété intrinsèque du matériau (et de la température), indépendante de la géométrie.

1.5 Puissance électrique et effet Joule

Démonstration (Puissance volumique cédée aux porteurs)

La force électrique sur un porteur est $f = q E$ ; la puissance qu'elle lui cède est $f \cdot v = q E \cdot v$ . Pour les $n d τ$ porteurs d'un volume mésoscopique $d τ$ :

$d P = n d τ \times q E \cdot v = (n q v) \cdot E d τ = j \cdot E d τ .$

La puissance volumique vaut donc $p = j \cdot E$ .

◆Théorème 1.10Loi de Joule locale

La puissance volumique cédée par le champ électrique aux porteurs de charge est

$p = j \cdot E (W / m^{3}) .$

Dans un conducteur ohmique ( $j = γ E$ ), elle est toujours positive :

$p = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0.$

ImportantInterprétation de l'effet Joule

En régime permanent, la vitesse de dérive est constante : l'énergie reçue du champ n'est pas convertie en énergie cinétique mais intégralement transférée au réseau lors des collisions, sous forme de chaleur. C'est l'effet Joule : $p > 0$ traduit une dissipation irréversible. La puissance totale dissipée dans le cylindre précédent vaut

$P = ∭ p d τ = γ E^{2} (S L) = \frac{U ^{2}}{R} = R I^{2},$

en accord avec l'électrocinétique.

Capacité numérique : bilan thermique d'un câble

Estimer par un programme Python l'échauffement d'un câble de cuivre en régime permanent en équilibrant la puissance Joule $R I^{2}$ et les pertes par convection $h S_{lat} (T - T_{0})$ , pour discuter le calibre maximal admissible en fonction de $I$ .

1.6 Synthèse

Densité de courant et intensité.

Vecteur densité de courant : $j = \sum_{k} n_{k} q_{k} v_{k}$ ; unité $A / m^{2}$ .
Intensité $=$ flux de $j$ : $I = \iint_{S} j \cdot d S$ ; fil : $I = j S$ .

Conservation de la charge.

Bilan global : $\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S$ .
Équation locale de continuité : $div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ .
Régime permanent : $div j = 0$ ( $j$ à flux conservatif) $\Rightarrow$ loi des n{œ}uds.

Conducteur ohmique (Drude).

Équation du mouvement : $m \frac{d v}{d t} = - e E - \frac{m}{τ} v$ .
Loi d'Ohm locale : $j = γ E$ , $γ = \frac{n e ^{2} τ}{m} = n e μ$ ( $S / m$ ).
Cuivre : $γ \approx 6 \times 1 0^{7} S / m$ , $τ \approx 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ , $v_{d e ˊ rive} \sim 1 mm / s$ .
Résistance d'un cylindre : $R = \frac{L}{γ S} = \frac{ρ _{e ˊ l} L}{S}$ .
Effet Joule local : $p = j \cdot E = γ E^{2} = \frac{j ^{2}}{γ} \geq 0$ ; total $P = R I^{2}$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

Exemple 1.11Densité de courant et vitesse de dérive

Un ruban d'aluminium de section rectangulaire $2.0 mm \times 0.50 mm$ est parcouru par $I = 5.0 A$ . La densité de porteurs est $n = 1.8 \times 1 0^{29} / m^{3}$ . Calculer $j$ et la vitesse de dérive.

Démonstration

$S = 2.0 \times 1 0^{- 3} \times 0.50 \times 1 0^{- 3} = 1.0 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ . Donc $j = I / S = 5.0 \times 1 0^{6} A / m^{2}$ . Puis $v = j / (n e) = 5.0 \times 1 0^{6} / (1.8 \times 1 0^{29} \times 1.6 \times 1 0^{- 19}) \approx 1.7 \times 1 0^{- 4} m / s$ , soit $0.17 mm / s$ .

Exemple 1.12Résistance d'un câble

Un câble de cuivre ( $ρ_{e ˊ l} = 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ) de longueur $L = 100 m$ et de diamètre $d = 2.0 mm$ alimente un appareil sous $I = 10 A$ . Calculer $R$ et la puissance perdue par effet Joule.

Démonstration

Section : $S = π d^{2} /4 = π (2.0 \times 1 0^{- 3})^{2} /4 \approx 3.14 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ . Résistance : $R = ρ_{e ˊ l} L / S = 1.7 \times 1 0^{- 8} \times 100/ (3.14 \times 1 0^{- 6}) \approx 0.54 Ω$ . Puissance Joule : $P = R I^{2} = 0.54 \times 100 \approx 54 W$ . Pertes non négligeables : d'où l'intérêt de sections importantes pour le transport.

Exemple 1.13Temps de relaxation du cuivre

Déduire $τ$ et la mobilité $μ$ du cuivre à partir de $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ et $n = 8.5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ .

Démonstration

$τ = \frac{mγ}{n e ^{2}} = \frac{9.1 \times 1 0 ^{- 31} \times 6.0 \times 1 0 ^{7}}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times ( 1.6 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}} \approx 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ . Mobilité : $μ = \frac{e τ}{m} = \frac{γ}{n e} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{7}}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 4.4 \times 1 0^{- 3} m^{2} / V / s$ .

Exemple 1.14Résistance longitudinale d'un tube

Un tube conducteur de rayons intérieur $a$ et extérieur $b$ , de longueur $L$ , conduit le courant le long de son axe. Exprimer sa résistance.

Démonstration

Le courant est axial, la section utile est la couronne $S = π (b^{2} - a^{2})$ , uniforme sur toute la longueur. Donc $R = \frac{L}{γ π ( b ^{2} - a ^{2} )}$ . Le résultat suppose le courant axial ; un courant radial donnerait au contraire une expression logarithmique (exercice suivant).

Exemple 1.15Résistance radiale d'un tube

Reprendre le tube précédent, mais le courant circule maintenant radialement, du cylindre intérieur ( $r = a$ ) vers l'extérieur ( $r = b$ ). Établir $R$ .

Démonstration

Par symétrie, $j = j (r) u_{r}$ avec $I = j (r) \times 2 π r L$ constant, donc $j (r) = \frac{I}{2 π r L}$ et $E (r) = j / γ = \frac{I}{2 π γ L r}$ . La tension entre les deux faces :

$U = \int_{a}^{b} E d r = \frac{I}{2 π γ L} \int_{a}^{b} \frac{d r}{r} = \frac{I}{2 π γ L} ln \frac{b}{a} ⟹ R = \frac{ln ( b / a )}{2 π γ L} .$

La section traversée variant avec $r$ , on intègre la résistance des couches en série.

Exemple 1.16Temps de relaxation d'un excès de charge

Dans un conducteur ohmique homogène, on injecte localement une densité de charge $ρ (r, 0)$ . Montrer qu'elle s'évanouit exponentiellement et donner le temps caractéristique pour le cuivre. On admet la relation de Maxwell–Gauss $div E = ρ / ε_{0}$ .

Démonstration

En reportant $j = γ E$ dans l'équation de continuité :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + γ div E = 0 ⟹ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{γ}{ε _{0}} ρ = 0.$

D'où $ρ (r, t) = ρ (r, 0) e^{- t / τ_{r}}$ avec $τ_{r} = \frac{ε _{0}}{γ}$ . Pour le cuivre, $τ_{r} = \frac{8.85 \times 1 0 ^{- 12}}{6.0 \times 1 0 ^{7}} \approx 1.5 \times 1 0^{- 19} s$ : tout excès de charge volumique disparaît quasi instantanément, la charge migrant vers la surface. C'est pourquoi on prend $ρ = 0$ à l'intérieur d'un conducteur en régime quasi permanent.

Exemple 1.17Association de deux matériaux en série

Deux cylindres coaxiaux de même section $S$ , de conductivités $γ_{1}$ et $γ_{2}$ et de longueurs $L_{1}$ et $L_{2}$ , sont accolés et traversés par le même courant $I$ . Déterminer la résistance équivalente et comparer les densités de courant.

Démonstration

Le courant étant conservé ( $div j = 0$ , flux constant), $j = I / S$ est identique dans les deux matériaux, mais les champs diffèrent : $E_{i} = j / γ_{i}$ . Les tensions s'ajoutent :

$U = E_{1} L_{1} + E_{2} L_{2} = (\frac{L _{1}}{γ _{1} S} + \frac{L _{2}}{γ _{2} S}) I ⟹ R_{e ˊ q} = \frac{L _{1}}{γ _{1} S} + \frac{L _{2}}{γ _{2} S} = R_{1} + R_{2} .$

Le champ (et donc l'effet Joule volumique) est plus intense dans le matériau le moins conducteur.

Exemple 1.18Densité de puissance et échauffement

Un fil de nichrome ( $γ = 9.1 \times 1 0^{5} S / m$ ) de section $S = 0.10 m m^{2}$ est parcouru par $I = 2.0 A$ . Calculer la puissance volumique dissipée.

Démonstration

$j = I / S = 2.0/1 0^{- 7} = 2.0 \times 1 0^{7} A / m^{2}$ . Puissance volumique : $p = j^{2} / γ = (2.0 \times 1 0^{7})^{2} / (9.1 \times 1 0^{5}) \approx 4.4 \times 1 0^{8} W / m^{3}$ . Cette densité énorme, obtenue grâce à la faible conductivité du nichrome, explique son emploi dans les résistances chauffantes.

1.8 Exercices d'entraînement

Interpréter $j$ . Un faisceau d'ions Cu $^{2 +}$ ( $q = + 2 e$ ) de densité $n = 1.0 \times 1 0^{16} / m^{3}$ se déplace à $v = 3.0 \times 1 0^{5} m / s$ . Calculer $j$ et l'intensité à travers une section de $1.0 c m^{2}$ .

Deux espèces de porteurs. Dans un électrolyte, des cations ( $q_{+} = + e$ , $n_{+}$ , $v_{+}$ ) et des anions ( $q_{-} = - e$ , $n_{-}$ , $v_{-}$ ) circulent. Écrire $j$ et montrer que cations et anions contribuent dans le même sens au courant lorsqu'ils migrent en sens opposés.

Fil de section variable. Un fil de cuivre passe d'une section $S_{1}$ à une section $S_{2} < S_{1}$ . En régime permanent, comparer les densités de courant $j_{1}$ et $j_{2}$ et les vitesses de dérive. Conclusion sur l'effet Joule local.

Vérification d'homogénéité. Vérifier que $γ = n e^{2} τ / m$ est bien homogène à des $S / m$ , puis que $p = γ E^{2}$ est en $W / m^{3}$ .

Loi d'Ohm globale. Établir $R = ρ_{e ˊ l} L / S$ pour un barreau, puis calculer la résistance d'une piste de circuit imprimé de cuivre : $L = 5.0 cm$ , largeur $0.30 mm$ , épaisseur $35 μ m$ .

Chauffage électrique. Une résistance de four dissipe $2.0 kW$ sous $230 V$ . En déduire $R$ , $I$ et, si le fil a une résistivité $1.1 \times 1 0^{- 6} Ω m$ et une section $0.20 m m^{2}$ , sa longueur.

Conductivité et température. La résistivité d'un métal croît avec $T$ ( $τ$ diminue, les phonons étant plus nombreux). Sachant que $ρ_{e ˊ l}$ du cuivre passe de $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ à $20° C$ à $2.3 \times 1 0^{- 8} Ω m$ à $100° C$ , estimer le coefficient de température $α$ défini par $ρ_{e ˊ l} (T) = ρ_{0} [1 + α (T - T_{0})]$ .

Bilan local à une dimension. Une densité de courant $j (x, t) = j_{0} cos (k x - ω t)$ règne dans un conducteur. En déduire $\partial ρ / \partial t$ puis $ρ (x, t)$ (à une constante près). Le régime est-il stationnaire ?

Sphère qui se décharge. Une charge $Q_{0}$ est dispersée dans un milieu ohmique de conductivité $γ$ et de permittivité $ε_{0}$ . En utilisant $τ_{r} = ε_{0} / γ$ , donner l'expression $Q (t)$ et l'application numérique pour de l'eau de mer ( $γ \approx 5 S / m$ ).

Modèle de Drude transitoire. À $t = 0$ , on établit brusquement un champ uniforme $E_{0}$ . Résoudre $m v ˙ = - e E_{0} - (m / τ) v$ avec $v (0) = 0$ et montrer que $v (t) = v_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ . Interpréter $τ$ et estimer le temps d'établissement du régime permanent.

Câble de transport. Une ligne haute tension transporte $P = 100 MW$ . Comparer les pertes Joule sur $100 km$ de câble ( $R = 5 Ω$ ) selon qu'on transporte sous $20 kV$ ou sous $400 kV$ . Justifier le choix de la très haute tension.

Effet de peau (ouverture). À partir de la conductivité complexe $γ (ω) = γ_{0} / (1 + i ω τ)$ , discuter qualitativement pourquoi, à haute fréquence, le courant se concentre près de la surface d'un conducteur. À quelle condition sur $ω$ peut-on encore utiliser $γ ≃ γ_{0}$ ? On donnera l'ordre de grandeur de la fréquence limite pour le cuivre.

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Transport de charge : conducteur ohmique

Introduction

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Description mésoscopique du transport

1.2.2 Intensité comme flux de j​

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Bilan intégral

1.3.2 Équation locale de continuité

1.3.3 Régime stationnaire et loi des n{œ}uds

1.4 Le conducteur ohmique : modèle de Drude

1.4.1 Le modèle microscopique

1.4.2 Régime permanent : conductivité

1.4.3 Résistance d'un conducteur cylindrique

Méthode : De la loi locale à la loi d'Ohm intégrale U=RI

1.5 Puissance électrique et effet Joule

Capacité numérique : bilan thermique d'un câble

1.6 Synthèse

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>1.7 Exercices résolus

1.8 Exercices d'entraînement

1.2.2 Intensité comme flux de $j$

Méthode : De la loi locale à la loi d'Ohm intégrale $U = R I$