Transport de charge : conducteur ohmique

Cours · phénomènes de transport (PSI), chapitre 1 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un conducteur ohmique : les électrons se déplacent en sens inverse du champ, et la densité de courant suit la loi d'Ohm locale.

Introduction

L'électrocinétique de première année manipule des grandeurs globales : intensité $I$ , tension $U$ , résistance $R$ . Ce chapitre en donne le fondement local. On y décrit le déplacement des porteurs de charge à l'échelle mésoscopique — celle d'un petit volume contenant un grand nombre de porteurs, mais assez petit pour être traité comme un point vis-à-vis des variations macroscopiques. Deux champs suffisent : la densité volumique de charge $ρ$ et le vecteur densité de courant $j$ .

Nous établirons d'abord l'équation de conservation de la charge, principe universel qui contraint toute distribution de courant. Le modèle de Drude fournira ensuite une interprétation microscopique de la conduction et justifiera la loi d'Ohm locale $j = γ E$ , d'où découleront la résistance d'un conducteur cylindrique ( $U = R I$ ) et l'effet Joule. Cette conductivité $γ$ sera réutilisée dans l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans les conducteurs.

1.2 Vecteur densité de courant et intensité

1.2.1 Description mésoscopique du transport

Considérons un conducteur où une seule espèce de porteurs, de charge $q$ et de densité volumique (nombre par unité de volume) $n$ , se déplace à la vitesse moyenne $v$ , dite vitesse de dérive. Cette vitesse est la moyenne d'ensemble des vitesses individuelles, très petite devant la vitesse d'agitation thermique.

Définition 1.1Vecteur densité de courant volumique

Le vecteur densité de courant volumique associé à une espèce de porteurs est

$j = n q v (A / m^{2}) .$

En présence de plusieurs espèces (indice $k$ ),

$j = k \sum n_{k} q_{k} v_{k} = k \sum ρ_{k} v_{k} .$

iRemarqueSigne des porteurs

Le sens de $j$ ne dépend pas du signe des porteurs : des charges négatives ( $q < 0$ ) se déplaçant vers la gauche donnent un $j = n q v$ dirigé vers la droite. C'est le sens conventionnel du courant, celui du déplacement de charges positives fictives. Dans un métal, les porteurs sont les électrons de conduction ( $q = - e$ ).

1.2.2 Intensité comme flux de $j$

Pendant $d t$ , les porteurs situés sur un élément de surface orienté $d S$ parcourent $v d t$ . Ils balaient un cylindre oblique de volume $d τ = v d t \cdot d S$ , contenant la charge $δ^{2} q = ρ d τ = j \cdot d S d t$ . Le débit de charge à travers $d S$ vaut donc $j \cdot d S$ .

Définition 1.2Intensité et flux de

j

L'intensité du courant $I$ à travers une surface orientée $S$ est le flux du vecteur densité de courant :

$I = \iint_{S} j \cdot d S (A) .$

Proposition 1.3Fil filiforme

Pour un fil de section $S$ où $j$ est uniforme et parallèle à l'axe, $I = j S$ , donc $j = I / S$ . La densité de courant est une intensité surfacique.

Exemple 1.4Vitesse de dérive dans le cuivre

Un fil de cuivre de section $S = 1, 0 m m^{2}$ transporte $I = 10 A$ . Le cuivre possède $n = 8, 5 \times 1 0^{28} / m^{3}$ électrons de conduction ( $\approx$ un par atome).

Démonstration

$j = I / S = 10/1 0^{- 6} = 1, 0 \times 1 0^{7} A / m^{2}$ . Comme $j = n e v$ ,

$v = \frac{j}{n e} = \frac{1 0 ^{7}}{8.5 \times 1 0 ^{28} \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 7 \times 1 0^{- 4} m / s \approx 0, 7 mm / s .$

La vitesse de dérive est extrêmement lente (moins de $1 mm / s$ ) : ce n'est pas elle qui « transmet » le signal électrique, mais la propagation du champ électromagnétique, quasi instantanée.

1.3 Conservation de la charge

1.3.1 Bilan intégral

Soit un volume $V$ fixe, délimité par une surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur. La charge qu'il contient est $Q (t) = ∭_{V} ρ d τ$ . La charge étant conservée (elle ne peut ni apparaître ni disparaître), $Q$ ne varie que par flux à travers $S$ . Le courant sortant vaut $\oint \oint_{S} j \cdot d S$ ; toute charge qui sort fait diminuer $Q$ :

Proposition 1.5Bilan global de charge

$\frac{d Q}{d t} = - \oint \oint_{S} j \cdot d S, soit \frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = - \oint \oint_{S} j \cdot d S .$

1.3.2 Équation locale de continuité

◆Théorème 1.6Équation de conservation de la charge

En tout point de l'espace et à tout instant, la densité de charge et le vecteur densité de courant vérifient l'équation de continuité :

$div j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$

Démonstration (Passage du global au local)

Le théorème de Green–Ostrogradski transforme le flux sortant en intégrale de volume :

$\oint \oint_{S} j \cdot d S = ∭_{V} div j d τ .$

Comme $V$ est fixe, $\frac{d}{d t} ∭_{V} ρ d τ = ∭_{V} \frac{\partial ρ}{\partial t} d τ$ . Le bilan global devient

$∭_{V} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + div j) d τ = 0.$

Ceci étant vrai pour tout volume $V$ , l'intégrande est identiquement nul, d'où l'équation locale.

Démonstration (Bilan à une dimension (interprétation))

Prenons $j = j (x, t) u_{x}$ et faisons le bilan de charge dans la tranche $[x, x + d x]$ de section $S$ (volume $S d x$ ). La charge y varie de $\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t$ pendant $d t$ . Elle entre en $x$ ( $j (x) S d t$ ) et sort en $x + d x$ ( $j (x + d x) S d t$ ) :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} S d x d t = [j (x) - j (x + d x)] S d t = - \frac{\partial j}{\partial x} S d x d t .$

On retrouve $\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$ , que $div j$ généralise en dimension trois.

1.3.3 Régime stationnaire et loi des n{œ}uds

Proposition 1.7

j

à flux conservatif

En régime stationnaire (ou permanent), $\frac{\partial ρ}{\partial t} = 0$ , donc

$div j = 0.$

Le vecteur $j$ est à flux conservatif : son flux à travers toute surface fermée est nul et se conserve le long d'un tube de courant.

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