Transfert thermique par conduction et ondes thermiques

Cours · phénomènes de transport (PSI), chapitre 2 · CPGE PSI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'équation de la chaleur : un profil de température qui s'aplatit au fil du temps.

Lorsqu'un corps présente des inhomogénéités de température, l'agitation thermique se transmet spontanément des régions chaudes vers les régions froides, sans déplacement macroscopique de matière : c'est le transfert thermique par conduction, ou diffusion thermique. Ce mode de transport, formellement analogue à la conduction électrique et à la diffusion de particules, obéit à une loi phénoménologique linéaire (loi de Fourier, 1822) et conduit à une équation aux dérivées partielles irréversible : l'équation de la chaleur. Nous établissons dans ce chapitre la formulation infinitésimale des deux principes, le bilan local d'énergie interne et la loi de Fourier ; nous en tirons, en régime stationnaire, la notion de résistance thermique calquée sur la loi d'Ohm, puis, dans le cadre de l'ARQS, l'analogie avec un circuit $R C$ . Le chapitre culmine avec l'étude spécifiquement PSI des ondes thermiques : la réponse d'un milieu semi-infini à une température de surface sinusoïdale fait apparaître une onde amortie et une épaisseur de peau thermique, dont les applications concrètes (amplitude jour/nuit et saisonnière dans le sol, température des caves) closent le chapitre. Conformément au programme, les mises en équation locales sont menées à une seule dimension d'espace.

2.1 Formulation infinitésimale des principes

2.1.1 Premier et deuxième principes sous forme élémentaire

Définition 2.1Notations

d

δ

Pour une transformation élémentaire d'un système fermé, on distingue :

$d X$ : variation infinitésimale d'une fonction d'état $X$ (énergie interne $U$ , entropie $S$ , température $T$ …) ; c'est une différentielle exacte, dont l'intégrale ne dépend que des états extrêmes ;
$δ Y$ : quantité infinitésimale échangée qui n'est pas la variation d'une fonction d'état ( $δ Q$ transfert thermique, $δ W$ travail) ; sa valeur dépend du chemin suivi.

Proposition 2.2Principes sous forme infinitésimale

Pour une évolution élémentaire d'un système fermé au repos, sans travail autre que celui des forces de pression :

$d U = δ Q + δ W, d S = δ S_{e} + δ S_{c}, δ S_{e} = \frac{δ Q}{T _{0}}, δ S_{c} \geq 0.$

Le terme $δ S_{e} = δ Q / T_{0}$ est l'entropie échangée avec la source (température de frontière $T_{0}$ ) ; $δ S_{c} \geq 0$ est l'entropie créée, nulle pour une évolution réversible, strictement positive sinon.

iRemarque

Pour un solide indéformable, le travail des forces de pression est nul ( $δ W = 0$ ) et l'énergie interne massique vérifie $d u = c d T$ , où $c$ est la capacité thermique massique. C'est le point de départ du bilan local. La positivité de $δ S_{c}$ fixera le sens du transfert : du chaud vers le froid.

2.2 Vecteur densité de flux thermique

2.2.1 Modes de transfert thermique

On distingue trois modes de transfert de l'énergie thermique :

la conduction : transmission de proche en proche de l'agitation thermique, sans transport de matière ; c'est l'objet de ce chapitre ;
la convection : transport d'énergie par déplacement macroscopique d'un fluide ;
le rayonnement : transport par ondes électromagnétiques, ne nécessitant aucun support matériel (négligé ici).

2.2.2 Définition du vecteur densité de flux

Définition 2.3Vecteur densité de flux thermique

Le transfert thermique par conduction est décrit par un champ vectoriel, le vecteur densité de flux thermique $j_{Q} (M, t)$ , tel que la puissance thermique $d Φ$ traversant un élément de surface orientée $d S$ dans le sens de $d S$ vaut $d Φ = j_{Q} \cdot d S$ . Le flux thermique au travers d'une surface $S$ orientée est

$Φ = \iint_{S} j_{Q} \cdot d S,$

homogène à une puissance et exprimé en watts. La norme de $j_{Q}$ s'exprime en $W / m^{2}$ .

iRemarque

Le vecteur $j_{Q}$ pointe dans le sens du transfert thermique, des zones chaudes vers les zones froides. Le flux $Φ$ à travers une surface fermée orientée vers l'extérieur compte positivement l'énergie qui sort du volume. L'hypothèse d'équilibre thermodynamique local permet de définir en tout point $M$ et à tout instant $t$ des champs intensifs $T (M, t)$ , $ρ (M, t)$ … bien que le système global soit hors d'équilibre. À une dimension, $j_{Q} = j_{x} u_{x}$ et le flux à travers une section $S$ orientée selon $u_{x}$ vaut $Φ = j_{x} S$ : c'est une grandeur algébrique.

2.3 Bilan local d'énergie interne

2.3.1 Premier principe pour une tranche de solide

Méthode : Bilan d'énergie interne à une dimension

Considérons un milieu solide immobile, de masse volumique $ρ$ , de capacité thermique massique $c$ , siège éventuel d'une puissance volumique de sources $p_{v}$ (effet Joule : $p_{v} = j^{2} / γ$ , où $j$ est la densité de courant électrique et $γ$ la conductivité électrique). Isolons la tranche comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S$ constante. Pendant $d t$ , le premier principe appliqué au système fermé de volume $S d x$ s'écrit

$d U ρ S d x c \frac{\partial T}{\partial t} d t = transfert conductif [Φ (x) - Φ (x + d x)] d t + sources p_{v} S d x d t .$

Avec $Φ (x) = j_{Q} (x) S$ et $Φ (x + d x) = Φ (x) + \frac{\partial Φ}{\partial x} d x$ , on obtient l'équation locale du premier principe :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{Q}}{\partial x} + p_{v}$

2.3.2 Bilan sur une coquille cylindrique ou sphérique

Lorsque la température ne dépend que de la distance $r$ à un axe (symétrie cylindrique : tuyau, fil, crayon de combustible) ou à un centre (symétrie sphérique : réservoir, boulet, planète), le problème n'a encore qu'une variable d'espace. Le vecteur densité de flux est radial, $j_{Q} = j_{r} (r, t) u_{r}$ , mais la surface traversée n'est plus la même à toutes les distances : on fait le bilan sur une coquille.

Méthode : Bilan d'énergie interne sur une coquille

Isolons la coquille comprise entre les rayons $r$ et $r + d r$ : en géométrie cylindrique, de longueur $ℓ$ , d'aire latérale $A (r) = 2 π r ℓ$ et de volume $2 π r ℓ d r$ ; en géométrie sphérique, d'aire $A (r) = 4 π r^{2}$ et de volume $4 π r^{2} d r$ . Le flux sortant à travers la surface de rayon $r$ vaut $Φ (r, t) = j_{r} A (r)$ . Pendant $d t$ , le premier principe pour ce système fermé s'écrit

$ρ c A (r) d r \frac{\partial T}{\partial t} d t = [Φ (r, t) - Φ (r + d r, t)] d t + p_{v} A (r) d r d t = - \frac{\partial Φ}{\partial r} d r d t + p_{v} A (r) d r d t,$

d'où, en divisant par le volume de la coquille,

$cylindre : ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{r} )}{\partial r} + p_{v}, sph e ˋ re : ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r} + p_{v} .$

Le facteur $r$ ou $r^{2}$ à l'intérieur de la dérivée traduit que les deux faces de la coquille n'ont pas la même aire.

Figure : Bilan sur une coquille (vue en coupe : cylindre d'axe perpendiculaire à la

figure, ou sphère). Sans source et en régime stationnaire, ce qui entre par la face intérieure ressort par la face extérieure : le flux $Φ$ est conservé, alors que la

densité de flux diminue puisque l'aire croît avec

r

ImportantCe qui est conservé en géométrie radiale

En régime stationnaire et sans source, $\frac{\partial Φ}{\partial r} = 0$ : c'est le flux $Φ$ à travers un cylindre ou une sphère de rayon $r$ qui est indépendant de $r$ , et non la densité de flux, qui décroît comme $1/ r$ (cylindre) ou $1/ r^{2}$ (sphère). Avec une source uniforme, un bilan global sur le cylindre plein ou la boule de rayon $r$ donne directement

$2 π r ℓ j_{r} = p_{v} π r^{2} ℓ \Rightarrow j_{r} = \frac{p _{v} r}{2}, 4 π r^{2} j_{r} = p_{v} \frac{4}{3} π r^{3} \Rightarrow j_{r} = \frac{p _{v} r}{3} :$

le flux croît vers l'extérieur, chaque coquille ajoutant sa production.

Proposition 2.4Bilan local en géométrie quelconque

Les bilans de la tranche et de la coquille sont des cas particuliers d'une écriture générale, avec l'opérateur divergence (expression fournie) :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v} .$

En géométrie cylindrique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{r} )}{\partial r}$ ; en géométrie sphérique à symétrie radiale, $div j_{Q} = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r}$ : on retrouve les bilans sur une coquille.

iRemarque

Cette équation traduit la conservation de l'énergie : la variation locale d'énergie interne provient de ce que le flux entrant l'emporte sur le flux sortant (terme $- div j_{Q}$ ), augmentée de la production interne $p_{v}$ . En régime stationnaire et sans source, $div j_{Q} = 0$ : c'est la forme locale de la conservation du flux, dont la conservation de $Φ$ à travers une coquille est la forme globale.

2.4 Loi de Fourier et équation de la chaleur

2.4.1 Loi de Fourier

Définition 2.5Loi de Fourier

Dans un milieu isotrope, le vecteur densité de flux thermique est proportionnel et opposé au gradient de température :

$j_{Q} = - λ grad T$

où $λ > 0$ est la conductivité thermique du matériau, en $W / m / K$ . Le signe moins traduit le second principe : l'énergie migre spontanément du chaud vers le froid, ce qui assure $δ S_{c} \geq 0$ . À une dimension : $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ .

ImportantOrdres de grandeur de

λ

Quelques valeurs usuelles à retenir :

Matériau	$λ$ ( $W / m / K$ )
Air (immobile)	$\approx 0, 025$
Eau liquide	$\approx 0, 6$
Béton, verre	$\approx 1$
Acier	$\approx 15$ à $50$
Cuivre, argent	$\approx 400$

Les métaux, bons conducteurs électriques, sont aussi bons conducteurs thermiques (les électrons libres transportent l'énergie) ; l'air immobile est au contraire un excellent isolant, principe des matériaux alvéolaires.

2.4.2 Équation de la diffusion thermique

◆Théorème 2.6Équation de la chaleur

En reportant la loi de Fourier $j_{Q} = - λ grad T$ dans le bilan local $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v}$ , avec $λ$ uniforme, et sachant que $div (grad T) = Δ T$ , on obtient l'équation de la diffusion thermique :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D Δ T + \frac{p _{v}}{ρ c}, D = \frac{λ}{ρ c},$

où $D$ est la diffusivité thermique, en $m^{2} / s$ . En l'absence de source ( $p_{v} = 0$ ) et à une dimension : $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ .

Démonstration

Le bilan local s'écrit $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v}$ . On y injecte $j_{Q} = - λ grad T$ , d'où $div j_{Q} = - λ div (grad T) = - λ Δ T$ . Il vient $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = λ Δ T + p_{v}$ , soit après division par $ρ c$ le résultat annoncé, avec $D = λ / (ρ c)$ . $□$

ImportantLe laplacien en géométrie radiale (expressions fournies)

Pour une température qui ne dépend que de $r$ et de $t$ , $grad T = \frac{\partial T}{\partial r} u_{r}$ , et la divergence ci-dessus donne

$cylindre : Δ T = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r}), sph e ˋ re : Δ T = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}) = \frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} ( r T )}{\partial r ^{2}} .$

On retrouve l'équation obtenue par le bilan sur une coquille avec $j_{r} = - λ \frac{\partial T}{\partial r}$ . En régime stationnaire et sans source, $Δ T = 0$ donne les profils

$T (r) = A ln r + B (cylindre), T (r) = \frac{A}{r} + B (sph e ˋ re),$

logarithmique ou en $1/ r$ , et non affines. Ces expressions sont fournies : on ne les apprend pas, on sait les utiliser et les retrouver par un bilan.

2.4.3 Irréversibilité de la diffusion

Proposition 2.7Irréversibilité temporelle

L'équation de la chaleur n'est pas invariante par renversement du temps : changer $t$ en $- t$ change le signe de $\frac{\partial T}{\partial t}$ mais pas celui du second membre. L'évolution « à l'envers » d'une diffusion (un profil qui se reconcentre, deux corps en contact dont les températures s'écartent) ne vérifie pas l'équation : la diffusion est un phénomène irréversible.

Méthode : Entropie créée par conduction

Un mur traversé en régime stationnaire par le flux $Φ$ , de sa face à $T_{1}$ vers sa face à $T_{2}$ , ne change pas d'état : $d S = 0$ . Pendant $d t$ , il échange l'entropie $δ S_{e} = Φ d t (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ , d'où

$\frac{δ S _{c}}{d t} = Φ (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}}) \geq 0.$

Le second principe impose donc $Φ \geq 0$ si $T_{1} > T_{2}$ : le flux va du chaud vers le froid, comme l'exprime le signe de la loi de Fourier, et toute conduction à travers un écart de température crée de l'entropie. Localement, la création d'entropie par unité de volume vaut $λ (\frac{1}{T} \frac{\partial T}{\partial x})^{2} \geq 0$ .

ImportantAnalyse en ordres de grandeur

L'analyse dimensionnelle $\frac{1}{τ} \sim \frac{D}{L ^{2}}$ relie l'échelle de temps $τ$ à l'échelle spatiale $L$ :

$L \sim D τ$

Le temps de diffusion croît comme le carré de la distance : doubler l'épaisseur d'une paroi quadruple son temps de réponse thermique.

2.5 Régime stationnaire et résistance thermique

2.5.1 Profil de température dans un mur

Proposition 2.8Profil linéaire à une dimension

En régime stationnaire ( $\frac{\partial T}{\partial t} = 0$ ), sans source interne, l'équation de la chaleur à une dimension se réduit à $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : le champ de température est affine en $x$ . Le flux thermique $Φ = j_{Q} S$ est alors uniforme le long du mur (conservation du flux en l'absence de source).

Figure : Profil de température affine dans un mur en régime stationnaire (

T_{1} > T_{2}

). Le flux thermique s'écoule du chaud vers le froid.

2.5.2 Définition de la résistance thermique

Définition 2.9Résistance thermique

Par analogie avec l'électrocinétique ( $U = R I$ ), on définit la résistance thermique $R_{th}$ d'un système traversé par un flux $Φ$ entre deux faces aux températures $T_{1}$ et $T_{2}$ :

$T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$

Correspondances : température $T \leftrightarrow$ potentiel $V$ ; flux thermique $Φ \leftrightarrow$ intensité $I$ ; résistance thermique $R_{th} \leftrightarrow$ résistance $R$ . L'unité de $R_{th}$ est le $K / W$ . L'analogie n'est valable qu'en régime stationnaire (ou ARQS) et sans source dans le système considéré.

Méthode : Résistance d'un mur plan

Dans le mur ci-dessus, le profil affine donne $j_{Q} = - λ \frac{d T}{d x} = λ \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ , d'où $Φ = j_{Q} S = λ S \frac{T _{1} - T _{2}}{e}$ . En identifiant à $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ :

$R_{th} = \frac{e}{λ S}$

La résistance croît avec l'épaisseur, décroît avec la section et la conductivité, exactement comme $R = \frac{ℓ}{γ S}$ en électrocinétique.

Méthode : Résistance d'un cylindre calorifugé latéralement

Un barreau cylindrique de longueur $L$ et de section $S = π a^{2}$ , dont la surface latérale est calorifugée, est traversé selon son axe : aucun flux ne sort par la surface latérale, la température ne dépend que de l'abscisse $x$ le long de l'axe, et le problème est celui du mur plan. En régime stationnaire sans source, le flux $Φ = j_{x} S$ est le même à travers toute section, le profil est affine, et

$T (0) - T (L) = \frac{L}{λ S} Φ ⟹ R_{th} = \frac{L}{λ π a ^{2}}$

C'est l'analogue exact du fil électrique, $R = \frac{L}{γ S}$ : la surface latérale calorifugée joue le rôle de la gaine isolante.

Méthode : Construire la résistance d'une coque à partir du bilan

Pour une couche cylindrique (manchon de rayons $R_{1} < R_{2}$ , longueur $ℓ$ ) ou sphérique (coquille de rayons $R_{1} < R_{2}$ ), sans source et en régime stationnaire, on ne retient pas de formule : on la construit en quatre étapes.

Bilan sur la coquille $[r, r + d r]$ : le flux $Φ$ ne dépend pas de $r$ .
Loi de Fourier : $Φ = - λ A (r) \frac{d T}{d r}$ , avec $A (r) = 2 π r ℓ$ ou $4 π r^{2}$ .
Intégration de $R_{1}$ à $R_{2}$ , $Φ$ étant constant : $T_{1} - T_{2} = Φ \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{d r}{λ A ( r )}$ .
Définition $R_{th} = \frac{T _{1} - T _{2}}{Φ}$ :

$manchon : R_{th} = \frac{ln ( R _{2} / R _{1} )}{2 π λ ℓ}, coquille : R_{th} = \frac{1}{4 π λ} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{R _{2} - R _{1}}{λ 4 π R _{1} R _{2}} .$

Pour une couche mince ( $e = R_{2} - R_{1} ≪ R_{1}$ ), on retrouve le mur plan $e / (λ A)$ , l'aire étant prise au rayon moyen. Une source dans la couche ruine la construction : le flux n'y est plus conservé (exercice résolu du barreau chauffé par effet Joule).

2.5.3 Associations de résistances thermiques

Proposition 2.10Association série et parallèle

Les lois d'association sont identiques à celles de l'électrocinétique :

En série (murs empilés, même flux $Φ$ ) : $R_{th}^{tot} = \sum_{i} R_{th, i}$ .
En parallèle (murs côte à côte, même écart $T_{1} - T_{2}$ ) : $\frac{1}{R _{th}^{tot}} = \sum_{i} \frac{1}{R _{th, i}}$ .

2.5.4 Conditions aux limites

La résolution requiert des conditions aux limites : température imposée sur une face (thermostat), flux imposé (paroi chauffée), paroi calorifugée ( $j_{Q} \cdot n = 0$ ), continuité de la température pour un contact thermique parfait, et continuité du flux à l'interface entre deux milieux.

Proposition 2.11Continuité du flux et contact parfait

Une interface n'a pas d'épaisseur : l'énergie interne d'une tranche $[- ε, ε]$ qui la contient tend vers zéro avec $ε$ , et son bilan impose $j_{x} (0^{-}) = j_{x} (0^{+})$ : le flux est continu à toute interface sans source. Le contact est dit parfait lorsque les deux surfaces sont jointives (sans lame d'air ni rugosité) : la température est alors continue, $T (0^{-}) = T (0^{+})$ , et deux couches empilées sont deux résistances en série. Un contact imparfait se modélise par une résistance de contact ( $1 0^{- 5}$ à $1 0^{- 4} m^{2} K / W$ entre deux métaux serrés, moins avec une pâte thermique) : la température y subit un saut proportionnel au flux.

Définition 2.12Loi de Newton (fournie)

À l'interface entre un solide de température de surface $T_{s}$ et un fluide de température $T_{f}$ (loin de la paroi), le transfert conducto-convectif s'écrit $j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$ , où $h$ est le coefficient de Newton, en $W / m^{2} / K$ . Elle s'interprète comme une résistance de surface $R_{th}^{conv} = \frac{1}{h S}$ , associée en série aux résistances conductives.

ImportantOrdres de grandeur de

h

Air en convection naturelle, $h \sim 5$ à $10$ ; air en convection forcée, $10$ à $100$ ; eau, $1 0^{2}$ à $1 0^{4}$ $W / m^{2} / K$ . Dans le bâtiment, on emploie pour une paroi verticale des résistances superficielles conventionnelles, qui regroupent convection et rayonnement : $1/ h_{i} = 0, 13 m^{2} K / W$ côté intérieur et $1/ h_{e} = 0, 04 m^{2} K / W$ côté extérieur. Pour une paroi mince (simple vitrage), ce sont elles qui portent l'essentiel de la résistance.

2.6 Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

2.6.1 Temps caractéristique et analogie $R C$

Méthode : Refroidissement d'un corps : analogie $R C$

Considérons un corps solide de résistance thermique interne négligeable devant celle d'une paroi mince qui le sépare d'un thermostat à $T_{e}$ . On suppose sa température $T (t)$ uniforme (bonne conduction interne, hypothèse de l'ARQS) et sa capacité thermique totale $C_{th} = m c$ . Le corps échange par la paroi de résistance $R_{th}$ un flux $Φ = \frac{T - T _{e}}{R _{th}}$ . Le premier principe donne $C_{th} \frac{d T}{d t} = - Φ$ , soit

$R_{th} C_{th} \frac{d T}{d t} + (T - T_{e}) = 0, τ = R_{th} C_{th} .$

La solution $T (t) = T_{e} + (T_{0} - T_{e}) e^{- t / τ}$ est un déclin exponentiel de constante de temps $τ$ , exactement analogue à la décharge d'un condensateur $C$ dans une résistance $R$ ( $u_{C} = E e^{- t / R C}$ ).

Figure : Analogie électrique de l'ARQS thermique : la capacité thermique

$C_{th}$ joue le rôle d'un condensateur, la paroi celui d'une

résistance ; l'ensemble forme un circuit

R C

de constante de temps

τ

ImportantJustification de l'ARQS : deux conditions

Le modèle $R C$ repose sur deux approximations, à vérifier séparément :

le corps est uniforme : son temps de diffusion interne $τ_{int} \sim ℓ^{2} / D_{corps}$ (ou son brassage, pour un liquide) est très petit devant $τ = R_{th} C_{th}$ ;
la paroi est en régime quasi stationnaire (c'est l'ARQS proprement dite) : son propre temps de diffusion $e^{2} / D_{paroi}$ est très petit devant $τ$ , et sa capacité thermique négligeable devant $C_{th}$ . On peut alors lui appliquer, à chaque instant, la résistance du régime stationnaire.

2.7 Ondes thermiques et effet de peau

Nous étudions maintenant la réponse d'un milieu à une sollicitation thermique périodique imposée à sa surface. C'est le régime d'ondes harmoniques, au programme de PSI, qui décrit la pénétration des variations de température jour/nuit et saison/saison dans le sol.

2.7.1 Position du problème et notation complexe

Méthode : Milieu semi-infini à surface sinusoïdale

Un solide occupe le demi-espace $x \geq 0$ , de diffusivité $D$ , sans source. On impose en surface une température oscillant autour d'une moyenne $T_{0}$ :

$T (0, t) = T_{0} + θ cos (ω t),$

et l'on cherche la solution bornée quand $x \to + \infty$ . Posant $Θ = T - T_{0}$ , l'écart $Θ (x, t)$ vérifie l'équation de la chaleur sans source $\frac{\partial Θ}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} Θ}{\partial x ^{2}}$ . En régime forcé, on cherche une solution complexe de la forme d'une onde plane $Θ (x, t) = Θ_{0} e^{i (ω t - k x)}$ , avec $Θ (0, t) = θ cos (ω t)$ donc $Θ_{0} = θ$ .

◆Théorème 2.13Relation de dispersion des ondes thermiques

En injectant $Θ = θ e^{i (ω t - k x)}$ dans $\frac{\partial Θ}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} Θ}{\partial x ^{2}}$ , la dérivation en temps donne un facteur $i ω$ et la double dérivation en espace un facteur $(- i k)^{2} = - k^{2}$ :

$i ω = - D k^{2} ⟹ k^{2} = - \frac{i ω}{D}$

C'est la relation de dispersion : contrairement à une onde de propagation classique où $k$ est réel, $k$ est ici complexe, signature du couplage entre propagation et amortissement propre à la diffusion.

Démonstration

On a $\frac{\partial Θ}{\partial t} = i ω Θ$ et $\frac{\partial ^{2} Θ}{\partial x ^{2}} = (- i k)^{2} Θ = - k^{2} Θ$ . L'équation $\frac{\partial Θ}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} Θ}{\partial x ^{2}}$ impose $i ω = - D k^{2}$ , d'où $k^{2} = - i ω / D$ . $□$

2.7.2 Épaisseur de peau thermique

◆Théorème 2.14Onde thermique amortie et épaisseur de peau

Les racines de $k^{2} = - i ω / D$ s'obtiennent en écrivant $- i = e^{- i π /2}$ , donc $- i = e^{- i π /4} = \frac{1 - i}{2}$ . La racine assurant une onde bornée en $x \to + \infty$ (partie imaginaire de $k$ négative) est

$k = \frac{1 - i}{δ}, δ = \frac{2 D}{ω}$

où $δ$ est l'épaisseur de peau thermique. La solution physique (partie réelle) s'écrit

$T (x, t) = T_{0} + θ e^{- x / δ} cos (ω t - \frac{x}{δ})$

Démonstration

On pose $k = k_{1} - i k_{2}$ avec $k_{1}, k_{2} > 0$ , de sorte que $e^{- i k x} = e^{- k_{2} x} e^{- i k_{1} x}$ décroît en amplitude. La relation $k^{2} = - i ω / D = \frac{ω}{D} e^{- i π /2}$ donne $k = ω / D e^{- i π /4} = ω / D \frac{1 - i}{2}$ . On identifie $k_{1} = k_{2} = ω / (2 D) = 1/ δ$ avec $δ = 2 D / ω$ . En reportant, $Θ = θ e^{- x / δ} e^{i (ω t - x / δ)}$ , dont la partie réelle donne le résultat. $□$

Figure : Onde thermique amortie

T - T_{0} = θ e^{- x / δ} cos (ω t - x / δ)

à instant fixé : oscillation spatiale de longueur d'onde $2 π δ$ dont

l'amplitude décroît exponentiellement sous l'enveloppe

\pm θ e^{- x / δ}

ImportantLecture physique : atténuation et déphasage

L'onde thermique possède deux caractères indissociables :

Atténuation : l'amplitude $θ e^{- x / δ}$ est divisée par $e \approx 2, 7$ chaque fois que $x$ augmente de $δ$ , et par $e^{2 π} \approx 535$ sur une longueur d'onde $Λ = 2 π δ$ . La variation de surface ne pénètre en pratique que sur quelques $δ$ .
Déphasage : au point $x$ , l'oscillation est retardée d'une phase $x / δ$ , soit un retard temporel $Δ t = \frac{x}{δ ω}$ . En profondeur, le maximum de température survient en décalage par rapport à la surface (le fond est chaud quand la surface est froide, si le déphasage atteint $π$ ).

La peau thermique $δ = 2 D / ω$ augmente quand la période $T_{p} = 2 π / ω$ augmente : les variations lentes (saisonnières) pénètrent bien plus profond que les variations rapides (jour/nuit).

Exemple 2.15Amplitude thermique dans le sol

Le sol a une diffusivité $D \approx 5 \times 1 0^{- 7} m^{2} / s$ . Comparer la profondeur de pénétration des variations jour/nuit et saisonnières.

Démonstration

Pour le cycle diurne, $T_{p} = 24 h = 8, 6 \times 1 0^{4} s$ , $ω = 2 π / T_{p} \approx 7, 3 \times 1 0^{- 5} / s$ , d'où $δ_{jour} = 2 D / ω = \frac{2 \times 5 \cdot 1 0 ^{- 7}}{7 , 3 \cdot 1 0 ^{- 5}} \approx 0, 12 m$ . À $50 cm$ ( $\approx 4 δ$ ), l'amplitude jour/nuit est déjà quasi éteinte ( $e^{- 4} \approx 2 %$ ). Pour le cycle annuel, $T_{p} = 365 j$ , donc $ω$ est $365$ fois plus petit et $δ_{an} = δ_{jour} 365 \approx 2, 2 m$ . C'est pourquoi une cave à quelques mètres de profondeur conserve une température quasi constante, tiède l'hiver et fraîche l'été, avec un déphasage de plusieurs mois par rapport à la surface.

2.8 Synthèse du chapitre

À retenir

Principes infinitésimaux : $d U = δ Q + δ W$ , $d S = \frac{δ Q}{T _{0}} + δ S_{c}$ avec $δ S_{c} \geq 0$ ; $d$ pour une fonction d'état, $δ$ pour un échange.
Flux : $d Φ = j_{Q} \cdot d S$ , $j_{Q}$ en $W / m^{2}$ ; Fourier : $j_{Q} = - λ grad T$ , $λ$ en $W / m / K$ (air $\sim 0, 025$ , eau $\sim 0, 6$ , béton $\sim 1$ , acier $\sim 10$ – $50$ ).
Bilan local : $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v}$ $\Rightarrow$ équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t} = D Δ T + \frac{p _{v}}{ρ c}$ , $D = \frac{λ}{ρ c}$ en $m^{2} / s$ ; irréversible (non invariante par $t \to - t$ , $δ S_{c} > 0$ ) ; $L \sim D τ$ .
Géométrie radiale : bilan sur une coquille $[r, r + d r]$ ; sans source, le flux $Φ$ est conservé ( $j_{r} \propto 1/ r$ ou $1/ r^{2}$ ), profils $A ln r + B$ et $A / r + B$ ; avec une source uniforme, $j_{r} = p_{v} r /2$ ou $p_{v} r /3$ ; divergence et laplacien radiaux : expressions fournies.
Résistance thermique (stationnaire, sans source) : $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ ; mur ou barreau calorifugé latéralement $\frac{e}{λ S}$ ; coque construite par le bilan (manchon $\frac{ln ( R _{2} / R _{1} )}{2 π λ ℓ}$ ) ; série $\sum R_{i}$ , parallèle $(\sum 1/ R_{i})^{- 1}$ . Interface : flux continu ; contact parfait : $T$ continue. Newton (fournie) : $j_{Q} = h (T_{s} - T_{f})$ .
ARQS : corps uniforme et paroi quasi stationnaire ( $ℓ^{2} / D$ et $e^{2} / D_{paroi} ≪ τ$ ), analogie $R C$ , $τ = R_{th} C_{th}$ , déclin exponentiel.
Ondes thermiques : surface $T_{0} + θ cos ω t$ $\Rightarrow T = T_{0} + θ e^{- x / δ} cos (ω t - x / δ)$ ; dispersion $k^{2} = - i ω / D$ ; peau $δ = \frac{2 D}{ω}$ (atténuation + déphasage) ; sol : $δ_{jour} \sim 10 cm$ , $δ_{an} \sim 2 m$ .

Capacité numérique : Équation de la chaleur par différences finies

On résout l'équation de diffusion thermique 1D $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ sur une barre $[0, L]$ par la méthode d'Euler explicite : on discrétise l'espace ( $x_{i} = i Δ x$ ) et le temps ( $t_{n} = n Δ t$ ), et l'on approche la dérivée seconde par le schéma centré $\frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} \approx \frac{T _{i + 1} - 2 T _{i} + T _{i - 1}}{Δ x ^{2}}$ . Le schéma d'avancement s'écrit

$T_{i}^{n + 1} = T_{i}^{n} + r (T_{i + 1}^{n} - 2 T_{i}^{n} + T_{i - 1}^{n}), r = \frac{D Δ t}{Δ x ^{2}} .$

Il est stable si $r \leq \frac{1}{2}$ : $T_{i}^{n + 1}$ est alors une moyenne pondérée à coefficients positifs ( $r$ , $1 - 2 r$ , $r$ ) des valeurs voisines, et aucun extremum ne peut apparaître ; si $r > \frac{1}{2}$ , le coefficient $1 - 2 r$ est négatif et une perturbation en dents de scie est amplifiée d'un facteur $∣ 1 - 4 r ∣ > 1$ à chaque pas. On impose ici les températures aux bords (conditions de Dirichlet) ; une condition de Newton s'écrirait en égalant, au nœud de bord, le flux reçu du fluide et le flux de Fourier vers le nœud voisin.


import numpy as np

# --- Parametres physiques et numeriques ---
L  = 1.0          # longueur de la barre (m)
D  = 1.0e-4       # diffusivite thermique (m^2/s)
Nx = 51           # nombre de points d'espace
dx = L / (Nx - 1)
r  = 0.4          # r = D*dt/dx^2 : doit rester <= 1/2
dt = r * dx**2 / D
Nt = 1600         # nombre de pas (t final = 2560 s)

x = np.linspace(0, L, Nx)

# --- Barre a 20 C, zone chaude de 10 cm au centre ---
T = 20.0 * np.ones(Nx)
T[np.abs(x - 0.5) < 0.051] = 100.0

# --- Euler explicite, bords maintenus a 20 C ---
assert r <= 0.5, "Schema instable : reduire dt"
profils = [(0.0, T.copy())]
for n in range(Nt):
    T[1:-1] = T[1:-1] + r * (T[2:] - 2 * T[1:-1] + T[:-2])
    T[0], T[-1] = 20.0, 20.0
    if n + 1 in (25, 100, 400, 1600):   # enregistre APRES le pas
        profils.append(((n + 1) * dt, T.copy()))

for t, p in profils:
    exces = np.trapezoid(p - 20.0, x)   # energie en exces / (rho c S)
    print(f"t = {t:6.0f} s   Tmax = {p.max():5.1f} C   "
          f"exces = {exces:5.2f} K.m")

Résultat obtenu en exécutant le script :


t =      0 s   Tmax = 100.0 C   exces =  8.00 K.m
t =     40 s   Tmax =  53.7 C   exces =  8.00 K.m
t =    160 s   Tmax =  37.6 C   exces =  7.91 K.m
t =    640 s   Tmax =  28.5 C   exces =  5.38 K.m
t =   2560 s   Tmax =  21.3 C   exces =  0.81 K.m

La zone chaude s'étale : de $40$ à $160 s$ , la durée est multipliée par $4$ et l'écart $T_{m a x} - 20° C$ divisé par $1, 9$ (la largeur double, l'énergie en excès se conserve). Quand l'étalement $D t$ atteint les bords, l'énergie s'écoule par les extrémités maintenues à $20° C$ , et la barre tend vers le profil stationnaire uniforme. Avec $r = 0, 6$ , le même calcul atteint $1 0^{29}$ en $200$ pas : la condition de stabilité est impérative. En imposant à un bord une température sinusoïdale $T (0, t) = T_{0} + θ cos (ω t)$ , le même schéma reproduit l'onde thermique amortie et permet de mesurer $δ$ .

2.9 Travaux dirigés

2.9.1 Conduction à une dimension : loi de Fourier, équation de la chaleur, résistances thermiques

Exercice 1 — Sondes dans le sol par une nuit claire : d'où vient la chaleur, où va-t-elle ?

Par une nuit claire et sans vent, une station agronomique relève la température d'un sol nu et humide à quatre profondeurs. L'axe $x$ est vertical, orienté vers le bas, d'origine la surface. Relevé à 2 h du matin (relevé type, construit pour l'exercice) :

profondeur $x$ ( $cm$ )	$0$	$5$	$10$	$20$
$T$ ( $^{\circ} C$ )	$8, 0$	$11, 0$	$13, 0$	$14, 5$

Sol humide : $λ = 1, 0 W m^{- 1} K^{- 1}$ , $ρ c = 2, 0 \times 1 0^{6} J m^{- 3} K^{- 1}$ . Le transfert est supposé vertical (sol horizontal, homogène sur des distances grandes devant $20 cm$ ).

1) Estimer $\frac{\partial T}{\partial x}$ au milieu de chacun des trois intervalles, puis $j_{x}$ à $2, 5$ , $7, 5$ et $15 cm$ . Dans quel sens l'énergie traverse-t-elle le sol ? D'où vient-elle, où va-t-elle ?

2) Écrire le bilan d'énergie de la couche comprise entre $x_{1} = 2, 5 cm$ et $x_{2} = 15 cm$ , de section $S$ et de température moyenne $T$ . En déduire $\frac{d T}{d t}$ en $K h^{- 1}$ . Le régime est-il stationnaire ?

3) Refaire le bilan sur la couche $[7, 5 cm; 15 cm]$ , qui contient la sonde de $10 cm$ , et montrer que le résultat s'écrit $\frac{\partial T}{\partial t} \approx D \frac{Δ ( \partial T / \partial x )}{Δ x}$ avec $D = \frac{λ}{ρ c}$ . Valeur ?

4) Relier le signe de la courbure du profil au refroidissement. Que deviendrait le sol si le profil était affine ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. La loi de Fourier transforme un écart de température entre deux sondes en densité de flux ; le signe de $j_{x}$ , sur un axe orienté vers le bas, dit si l'énergie monte ou descend. Une couche qui ne reçoit pas par sa face inférieure ce qu'elle perd par sa face supérieure change de température : c'est le bilan d'énergie, écrit sur une couche finie puis sur une couche mince.

1) Le flux remonte. Une différence centrée donne la dérivée au milieu de l'intervalle :

$\frac{\partial T}{\partial x} (2, 5 cm) \approx \frac{11 , 0 - 8 , 0}{0 , 05} = 60 K m^{- 1},$

et de même $40 K m^{- 1}$ vers $7, 5 cm$ et $\frac{14 , 5 - 13 , 0}{0 , 10} = 15 K m^{- 1}$ vers $15 cm$ . Avec $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ :

$j_{x} (2, 5 cm) = - 60 W m^{- 2}, j_{x} (7, 5 cm) = - 40 W m^{- 2}, j_{x} (15 cm) = - 15 W m^{- 2} .$

$j_{x} < 0$ sur un axe orienté vers le bas : l'énergie monte, des couches profondes, plus chaudes, vers la surface, plus froide. C'est la non-uniformité de la température qui crée le flux, et il descend la pente de température. La surface reçoit d'en dessous environ $60 W m^{- 2}$ et ne s'échauffe pas : elle les perd vers le ciel. Par une nuit claire et calme, l'air échange peu ; c'est le rayonnement du sol vers le ciel nocturne, très froid, qui emporte quelques dizaines de watts par mètre carré, l'ordre de grandeur trouvé.

2) Le bilan d'une couche épaisse. La couche $[x_{1}, x_{2}]$ est un système fermé, solide, sans travail ni source. Pendant $d t$ , elle reçoit $j_{x} (x_{1}) S d t$ par sa face supérieure (comptée positivement dans le sens de $u_{x}$ , donc vers l'intérieur de la couche) et cède $j_{x} (x_{2}) S d t$ par sa face inférieure :

$ρ c S (x_{2} - x_{1}) \frac{d T}{d t} = [j_{x} (x_{1}) - j_{x} (x_{2})] S .$

Ici $j_{x} (x_{1}) - j_{x} (x_{2}) = - 60 - (- 15) = - 45 W m^{- 2}$ : la couche perd par le haut $60 W m^{- 2}$ et ne reçoit par le bas que $15$ . D'où

$\frac{d T}{d t} = \frac{- 45}{2 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 0 , 125} = - 1, 8 \times 1 0^{- 4} K s^{- 1} = - 0, 65 K h^{- 1} .$

La couche se refroidit : le régime n'est pas stationnaire. En régime stationnaire sans source, le flux serait le même à toutes les profondeurs.

3) Le bilan d'une couche mince. Sur $[7, 5; 15 cm]$ , $Δ x = 0, 075 m$ :

$\frac{\partial T}{\partial t} \approx \frac{j _{x} ( 7 , 5 ) - j _{x} ( 15 )}{ρ c Δ x} = \frac{- 40 + 15}{2 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 0 , 075} = - 1, 67 \times 1 0^{- 4} K s^{- 1} = - 0, 60 K h^{- 1} .$

En remplaçant chaque $j_{x}$ par la loi de Fourier :

$\frac{\partial T}{\partial t} \approx \frac{λ}{ρ c} \frac{\frac{\partial T}{\partial x} ( 15 ) - \frac{\partial T}{\partial x} ( 7 , 5 )}{Δ x} = D \frac{15 - 40}{0 , 075}, D = \frac{1 , 0}{2 , 0 \times 1 0 ^{6}} = 5, 0 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1} .$

La fraction est une estimation de $\frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} \approx - 333 K m^{- 2}$ vers $10 cm$ : on vient d'écrire, sous forme discrète, l'équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ , établie dans l'exercice sur la profondeur hors gel. Les deux bilans concordent ; la couche épaisse contient la partie la plus courbée du profil, près de la surface, et se refroidit un peu plus vite.

4) Courbure et refroidissement. Le profil est concave ( $\frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} < 0$ ) : la pente diminue avec la profondeur, donc chaque couche perd par le haut davantage qu'elle ne reçoit par le bas, et se refroidit. Un profil convexe se réchaufferait. Un profil affine ferait passer le même flux à toutes les profondeurs : le sol transmettrait l'énergie venue de plus bas sans se refroidir. À $0, 6 K h^{- 1}$ , la couche perd environ $6 K$ en dix heures, l'ordre de grandeur observé.

Ce que l'exercice installe. Le flux est algébrique : $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ se lit avec l'orientation de l'axe, et l'énergie va toujours vers les températures décroissantes. Un flux non uniforme signifie un régime non stationnaire : le bilan $ρ c e \frac{d T}{d t} = j (entr e ˊ e) - j (sortie)$ chiffre la vitesse de refroidissement, et sur une couche mince il devient l'équation de la chaleur. La courbure du profil dit si la matière se réchauffe ou se refroidit.

Exercice 2 — Profondeur hors gel et inertie d'un mur : la loi d'échelle $L \sim D τ$

On étudie la conduction dans un solide homogène, indéformable, sans source, de conductivité $λ$ uniforme, la température ne dépendant que de $x$ et de $t$ .

1) Par un bilan d'énergie sur la tranche $[x, x + d x]$ de section $S$ pendant $d t$ , établir l'équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ et l'expression de $D$ . Vérifier que $D$ s'exprime en $m^{2} s^{- 1}$ .

2) Une perturbation de température appliquée à la surface pendant une durée $τ$ affecte le milieu sur une épaisseur $L$ . Par une analyse en ordres de grandeur de l'équation, relier $L$ à $τ$ . L'analyse fixe-t-elle un préfacteur ?

3) Le gel. Sol humide : $D = 5, 0 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1}$ . Sur quelle épaisseur une baisse de la température de surface se fait-elle sentir après une nuit ( $12 h$ ), un jour, une vague de froid de deux semaines, un hiver de trois mois ? En France, les fondations d'une maison sont posées sous la profondeur hors gel, comprise entre $0, 5$ et $0, 9 m$ selon la région et l'altitude. Commenter ; que faire dans un pays où le sol reste gelé tout l'hiver ?

4) L'inertie d'un mur. Estimer le temps de réponse thermique d'un mur de béton plein ( $λ = 1, 75 W m^{- 1} K^{- 1}$ , $ρ = 2300 kg m^{- 3}$ , $c = 1000 J k g^{- 1} K^{- 1}$ ) de $20 cm$ , puis de $40 cm$ , et celui d'un mur de bois résineux ( $λ = 0, 13$ , $ρ = 500$ , $c = 1600$ , unités du SI) de $10 cm$ . Le bois conduit treize fois moins que le béton : pourquoi son temps de réponse n'est-il pas treize fois plus long ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Deux lois et un système : le premier principe pour la tranche (système fermé, solide indéformable, sans source) et la loi de Fourier pour les flux qui la traversent. L'équation obtenue ne contient qu'un paramètre, $D$ ; comparer ses deux membres en ordre de grandeur donne l'échelle de temps attachée à une longueur.

1) L'équation de la chaleur. La tranche a pour masse $ρS d x$ ; solide indéformable : le travail des forces de pression est nul, et $d u = c d T$ . Pendant $d t$ , elle reçoit $Φ (x, t) d t$ par la face d'abscisse $x$ et cède $Φ (x + d x, t) d t$ par l'autre, avec $Φ = j_{x} S$ :

$ρS d x c \frac{\partial T}{\partial t} d t = [Φ (x, t) - Φ (x + d x, t)] d t = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x} S d x d t,$

d'où le bilan local $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{x}}{\partial x}$ . Avec $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ et $λ$ uniforme :

$ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}, D = \frac{λ}{ρ c} .$

Unités : $\frac{W m ^{- 1} K ^{- 1}}{kg m ^{- 3} \times J k g ^{- 1} K ^{- 1}} = \frac{J s ^{- 1} m ^{- 1}}{J m ^{- 3}} = m^{2} s^{- 1}$ .

2) La loi d'échelle. Si la température varie de $Δ T$ en un temps $τ$ sur une longueur $L$ : $\frac{\partial T}{\partial t} \sim \frac{Δ T}{τ}$ et $D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} \sim D \frac{Δ T}{L ^{2}}$ . L'équation impose que ces deux termes soient du même ordre :

$τ \sim \frac{L ^{2}}{D}, L \sim D τ .$

Le préfacteur n'est pas fixé : il dépend de ce qu'on appelle « affecté » (la moitié, le dixième de la perturbation ?) et de la forme exacte de la perturbation. Seul l'ordre de grandeur compte, et la dépendance : la distance croît comme la racine du temps, le temps comme le carré de la distance.

3) La profondeur hors gel. $L = 5, 0 \times 1 0^{- 7} τ$ :

durée	une nuit ( $12 h$ )	un jour	deux semaines	trois mois
$L$ ( $m$ )	$0, 15$	$0, 21$	$0, 78$	$2, 0$

Une nuit de gelée ne pénètre que d'une quinzaine de centimètres. Une vague de froid de deux semaines atteint $0, 8 m$ , la profondeur hors gel : les fondations sont dimensionnées pour les plus longues périodes de froid continu du climat local, pas pour un hiver entier, dont la température moyenne de surface reste positive en France. Là où le sol reste gelé plusieurs mois, l'échelle atteint deux mètres, et l'on fonde bien plus profond. $D τ$ est d'ailleurs un majorant : l'eau du sol, en gelant, libère sa chaleur latente et ralentit le front de gel.

4) L'inertie des murs. Béton : $D = \frac{1 , 75}{2300 \times 1000} = 7, 6 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1}$ , et

$τ_{20} \sim \frac{0 , 2 0 ^{2}}{7 , 6 \times 1 0 ^{- 7}} = 5, 3 \times 1 0^{4} s \approx 15 h, τ_{40} \sim 58 h .$

Un mur de $20 cm$ met de l'ordre d'une demi-journée à répondre : il amortit et retarde l'alternance du jour et de la nuit, c'est l'inertie thermique des maisons en dur. Doubler l'épaisseur quadruple le temps. Bois : $D = \frac{0 , 13}{500 \times 1600} = 1, 6 \times 1 0^{- 7} m^{2} s^{- 1}$ et $τ_{10} \sim \frac{0 , 1 0 ^{2}}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 7}} = 6, 2 \times 1 0^{4} s \approx 17 h$ . Le bois conduit treize fois moins, mais il est aussi $2, 9$ fois moins capacitif ( $ρ c = 8, 0 \times 1 0^{5}$ contre $2, 3 \times 1 0^{6} J m^{- 3} K^{- 1}$ ) : sa diffusivité n'est que $4, 7$ fois plus faible. C'est $D$ , et non $λ$ seul, qui fixe la réponse en temps ; $λ$ seul fixe le flux en régime stationnaire.

Ce que l'exercice installe. Le bilan d'une tranche $[x, x + d x]$ et la loi de Fourier donnent $\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}$ , $D = \frac{λ}{ρ c}$ en $m^{2} s^{- 1}$ . L'analyse en ordres de grandeur donne $L \sim D τ$ , sans préfacteur : la diffusion est lente sur les grandes distances (le temps croît comme le carré). Inertie et pénétration se règlent par la diffusivité.

Exercice 3 — Carrelage ou parquet : pourquoi le sol « froid » n'est pas plus froid

Pieds nus dans une maison à $19^{\circ} C$ , on trouve le carrelage froid et le parquet tiède, alors que les deux sont à $19^{\circ} C$ . La peau, à $T_{1} = 33^{\circ} C$ , est posée à l'instant $t = 0$ sur un sol à $T_{2} = 19^{\circ} C$ ; on note $T_{c}$ la température de contact. Hypothèses (données) :

le contact est parfait : la peau et le sol ont la même température $T_{c}$ à l'interface ;
le transfert est unidimensionnel, selon $x$ , de la peau ( $x < 0$ ) vers le sol ( $x > 0$ ) ;
à l'instant $t$ , chaque milieu $i$ n'est affecté que sur une épaisseur $ℓ_{i} = k D_{i} t$ , avec le même facteur $k$ des deux côtés (profils de même forme), et le gradient à l'interface vaut, en ordre de grandeur, l'écart de température divisé par cette épaisseur.

On appelle effusivité d'un matériau la grandeur $E = \frac{λ}{D} = λ ρ c$ .

1) Montrer, par un bilan sur une tranche d'épaisseur infiniment petite contenant l'interface, que la densité de flux est continue à l'interface.

2) En déduire que $T_{c} = \frac{E _{1} T _{1} + E _{2} T _{2}}{E _{1} + E _{2}}$ . Dépend-elle du temps ? (Cette formule est exacte pour deux milieux semi-infinis initialement à température uniforme : on l'admet.)

3) Calculer $E$ et $T_{c}$ pour la peau ( $λ = 0, 37$ , $ρ = 1050$ , $c = 3700$ ) posée sur du chêne ( $0, 17$ ; $700$ ; $1600$ ), du pin ( $0, 13$ ; $500$ ; $1600$ ), du carrelage ( $1, 3$ ; $2300$ ; $840$ ), du béton ( $1, 75$ ; $2300$ ; $1000$ ), de l'acier ( $50$ ; $7800$ ; $460$ ) et du polystyrène expansé ( $0, 035$ ; $25$ ; $1300$ ), unités du SI. Expliquer la sensation.

4) Cas limites. Que vaut $T_{c}$ si $E_{2} ≫ E_{1}$ ? si $E_{2} ≪ E_{1}$ ? Dans un sauna à $90^{\circ} C$ , la peau est à $37^{\circ} C$ : quelle température touche-t-on en s'asseyant sur le banc de pin ? sur la tête d'un clou d'acier ?

5) Validité. Sur quelle épaisseur la peau est-elle affectée après une seconde de contact ? le carrelage ? Jusqu'à quelle durée un carreau de $1 cm$ se comporte-t-il comme un milieu semi-infini ?

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. Ce que l'on ressent, c'est la température de sa peau, pas celle du sol. Elle se fixe par l'égalité des flux de part et d'autre de l'interface ; chaque flux s'estime par la loi d'échelle $ℓ \sim D t$ , appliquée de chaque côté.

1) Continuité du flux. Une tranche $[- ε, ε]$ de section $S$ contenant l'interface a pour énergie interne au plus $ρ c S 2 ε T$ : son bilan s'écrit $[j_{x} (- ε) - j_{x} (ε)] S = \frac{d U}{d t}$ , et le second membre tend vers zéro avec $ε$ . Une interface sans épaisseur ne stocke rien : $j_{x} (0^{-}) = j_{x} (0^{+})$ .

2) La température de contact. Côté peau, la température passe de $T_{1}$ à $T_{c}$ sur $ℓ_{1}$ : $j_{x} (0^{-}) \approx λ_{1} \frac{T _{1} - T _{c}}{ℓ _{1}}$ ; côté sol, de $T_{c}$ à $T_{2}$ sur $ℓ_{2}$ : $j_{x} (0^{+}) \approx λ_{2} \frac{T _{c} - T _{2}}{ℓ _{2}}$ . Avec $ℓ_{i} = k D_{i} t$ , l'égalité des flux s'écrit

$\frac{λ _{1}}{D _{1}} (T_{1} - T_{c}) = \frac{λ _{2}}{D _{2}} (T_{c} - T_{2}) ⟹ T_{c} = \frac{E _{1} T _{1} + E _{2} T _{2}}{E _{1} + E _{2}},$

$k$ et $t$ s'étant simplifiés. $T_{c}$ ne dépend pas du temps : la sensation s'établit dès le premier instant et dure. $T_{c}$ est la moyenne de $T_{1}$ et $T_{2}$ pondérée par les effusivités ; $E = λ ρ c$ s'exprime en $J m^{- 2} K^{- 1} s^{- 1/2}$ . Le flux, lui, décroît comme $1/ t$ .

3) Les valeurs. Peau : $E_{1} = 0, 37 \times 1050 \times 3700 = 1, 20 \times 1 0^{3}$ (SI).

sol	$E_{2}$ (SI)	$T_{c}$ ( $^{\circ} C$ )
polystyrène expansé	$34$	$32, 6$
pin	$322$	$30, 0$
chêne	$436$	$29, 3$
carrelage	$1585$	$25, 0$
béton	$2006$	$24, 2$
acier	$13400$	$20, 2$

Sur le carrelage, la peau descend à $25^{\circ} C$ ; sur le chêne, elle reste à $29^{\circ} C$ . Les terminaisons nerveuses mesurent la température de la peau (et le flux qu'elle perd) : à température égale, un sol de forte effusivité paraît froid. Le carrelage n'est pas plus froid ; il pompe davantage d'énergie, parce qu'il la conduit bien et la stocke bien.

4) Cas limites. Si $E_{2} ≫ E_{1}$ , $T_{c} \to T_{2}$ : le métal impose sa température à la peau ( $20, 2^{\circ} C$ pour l'acier). Si $E_{2} ≪ E_{1}$ , $T_{c} \to T_{1}$ : l'isolant prend la température de la peau, et le polystyrène paraît « chaud » ( $32, 6^{\circ} C$ ). Au sauna :

$T_{c} (pin) = \frac{1199 \times 37 + 322 \times 90}{1199 + 322} = 48^{\circ} C,$

$T_{c} (acier) = \frac{1199 \times 37 + 13 394 \times 90}{1199 + 13 394} = 86^{\circ} C .$

Le bois est supportable, le clou brûle : on fabrique les bancs de sauna en bois tendre, et l'on y enfonce les clous.

5) Validité. En une seconde, la peau ( $D_{1} = \frac{0 , 37}{1050 \times 3700} = 9, 5 \times 1 0^{- 8} m^{2} s^{- 1}$ ) est affectée sur $D_{1} t = 0, 31 mm$ , le carrelage ( $D_{2} = 6, 7 \times 1 0^{- 7}$ ) sur $0, 82 mm$ , le bois sur $0, 4 mm$ : ces épaisseurs sont petites devant celles des matériaux et devant la taille du contact (le modèle 1D tient). Un carreau de $1 cm$ reste semi-infini tant que $t ≪ \frac{e ^{2}}{D _{2}} = 150 s$ , soit deux à trois minutes ; au-delà, la chape qui le porte intervient, et la circulation sanguine, qui réchauffe la peau, sort du modèle. Le contact parfait est lui aussi une idéalisation (rugosité, pression du pied).

Ce que l'exercice installe. À une interface, la densité de flux est continue (une surface ne stocke pas d'énergie) et, en contact parfait, la température aussi. La loi d'échelle appliquée de chaque côté donne la température de contact, moyenne pondérée par les effusivités $λ ρ c$ , indépendante du temps. Les cas limites (métal, isolant) se lisent sur la formule. Une hypothèse d'échelle se vérifie : épaisseur affectée petite devant le milieu, durée petite devant $e^{2} / D$ .

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques

2.1 Formulation infinitésimale des principes

2.1.1 Premier et deuxième principes sous forme élémentaire

2.2 Vecteur densité de flux thermique

2.2.1 Modes de transfert thermique

2.2.2 Définition du vecteur densité de flux

2.3 Bilan local d'énergie interne

2.3.1 Premier principe pour une tranche de solide

Méthode : Bilan d'énergie interne à une dimension

2.3.2 Bilan sur une coquille cylindrique ou sphérique

Méthode : Bilan d'énergie interne sur une coquille

2.4 Loi de Fourier et équation de la chaleur

2.4.1 Loi de Fourier

2.4.2 Équation de la diffusion thermique

2.4.3 Irréversibilité de la diffusion

Méthode : Entropie créée par conduction

2.5 Régime stationnaire et résistance thermique

2.5.1 Profil de température dans un mur

2.5.2 Définition de la résistance thermique

Méthode : Résistance d'un mur plan

Méthode : Résistance d'un cylindre calorifugé latéralement

Méthode : Construire la résistance d'une coque à partir du bilan

2.5.3 Associations de résistances thermiques

2.5.4 Conditions aux limites

2.6 Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

2.6.1 Temps caractéristique et analogie RC

Méthode : Refroidissement d'un corps : analogie RC

2.7 Ondes thermiques et effet de peau

2.7.1 Position du problème et notation complexe

Méthode : Milieu semi-infini à surface sinusoïdale

2.7.2 Épaisseur de peau thermique

2.8 Synthèse du chapitre

Capacité numérique : Équation de la chaleur par différences finies

2.9 Travaux dirigés

2.9.1 Conduction à une dimension : loi de Fourier, équation de la chaleur, résistances thermiques

Exercice 1 — Sondes dans le sol par une nuit claire : d'où vient la chaleur, où va-t-elle ?

Exercice 2 — Profondeur hors gel et inertie d'un mur : la loi d'échelle L∼Dτ​

Exercice 3 — Carrelage ou parquet : pourquoi le sol « froid » n'est pas plus froid

Exercices du chapitre

2.6.1 Temps caractéristique et analogie $R C$

Méthode : Refroidissement d'un corps : analogie $R C$

Exercice 2 — Profondeur hors gel et inertie d'un mur : la loi d'échelle $L \sim D τ$