Transfert thermique par conduction et ondes thermiques

Lorsqu'un corps présente des inhomogénéités de température, l'agitation thermique se transmet spontanément des régions chaudes vers les régions froides, sans déplacement macroscopique de matière : c'est le transfert thermique par conduction, ou diffusion thermique. Ce mode de transport, formellement analogue à la conduction électrique et à la diffusion de particules, obéit à une loi phénoménologique linéaire (loi de Fourier, 1822) et conduit à une équation aux dérivées partielles irréversible : l'équation de la chaleur. Nous établissons dans ce chapitre la formulation infinitésimale des deux principes, le bilan local d'énergie interne et la loi de Fourier ; nous en tirons, en régime stationnaire, la notion de résistance thermique calquée sur la loi d'Ohm, puis, dans le cadre de l'ARQS, l'analogie avec un circuit $RC$. Le chapitre culmine avec l'étude spécifiquement PSI des ondes thermiques : la réponse d'un milieu semi-infini à une température de surface sinusoïdale fait apparaître une onde amortie et une épaisseur de peau thermique, dont les applications concrètes (amplitude jour/nuit et saisonnière dans le sol, température des caves) closent le chapitre. Conformément au programme, les mises en équation locales sont menées à une seule dimension d'espace.

2.1 Formulation infinitésimale des principes

2.1.1 Premier et deuxième principes sous forme élémentaire

2.2 Vecteur densité de flux thermique

2.2.1 Modes de transfert thermique

On distingue trois modes de transfert de l'énergie thermique :

• la conduction : transmission de proche en proche de l'agitation thermique, sans transport de matière ; c'est l'objet de ce chapitre ;
• la convection : transport d'énergie par déplacement macroscopique d'un fluide ;
• le rayonnement : transport par ondes électromagnétiques, ne nécessitant aucun support matériel (négligé ici).

2.2.2 Définition du vecteur densité de flux

2.3 Bilan local d'énergie interne

2.3.1 Premier principe pour une tranche de solide

2.4 Loi de Fourier et équation de la chaleur

2.4.1 Loi de Fourier

2.4.2 Équation de la diffusion thermique

2.5 Régime stationnaire et résistance thermique

2.5.1 Profil de température dans un mur

Figure : Profil de température affine dans un mur en régime stationnaire

($T_1>T_2$). Le flux thermique s'écoule du chaud vers le froid.</div>

2.5.2 Définition de la résistance thermique

Définition 2.8Résistance thermique

Par analogie avec l'électrocinétique ($U=RI$), on définit la résistance thermique $R_{\mathrm{th}}$ d'un système traversé par un flux $\Phi$ entre deux faces aux températures $T_1$ et $T_2$ :

$$\boxed{T_1-T_2=R_{\mathrm{th}}\Phi }$$

Correspondances : température $T\leftrightarrow$ potentiel $V$ ; flux thermique $\Phi \leftrightarrow$ intensité $I$ ; résistance thermique $R_{\mathrm{th}}\leftrightarrow$ résistance $R$. L'unité de $R_{\mathrm{th}}$ est le $\mathrm{K}/\mathrm{W}$. L'analogie n'est valable qu'en régime stationnaire (ou ARQS) et sans source dans le système considéré.

Méthode : Résistance d'un mur plan

Dans le mur ci-dessus, le profil affine donne $j_Q=-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\lambda \frac{T_1-T_2}{e}$, d'où $\Phi =j_{Q}S=\lambda S\frac{T_1-T_2}{e}$. En identifiant à $T_1-T_2=R_{\mathrm{th}}\Phi$ :

$$\boxed{R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}}$$

La résistance croît avec l'épaisseur, décroît avec la section et la conductivité, exactement comme $R=\frac{\ell }{\gamma S}$ en électrocinétique.

Méthode : Résistance d'un cylindre calorifugé latéralement

Pour un manchon cylindrique (rayons $R_1<R_2$, longueur $\ell$), la conservation du flux en régime stationnaire impose $\Phi =-\lambda (2\pi r\ell )\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}$ constant. En séparant les variables et en intégrant de $R_1$ à $R_2$ :

$$T_1-T_2=\frac{\Phi }{2\pi \lambda \ell }\ln \frac{R_2}{R_1}⟹\boxed{R_{\mathrm{th}}=\frac{\ln (R_2/R_1)}{2\pi \lambda \ell }}$$

Le profil de température est ici logarithmique, et non affine, à cause de la géométrie cylindrique.

2.5.3 Associations de résistances thermiques

Proposition 2.9Association série et parallèle

Les lois d'association sont identiques à celles de l'électrocinétique :

• En série (murs empilés, même flux $\Phi$) : $R_{\mathrm{th}}^{\text{tot}}={\sum }_i{R}_{\mathrm{th},i}$.
• En parallèle (murs côte à côte, même écart $T_1-T_2$) : $\frac{1}{R_{\mathrm{th}}^{\text{tot}}}={\sum }_i\frac{1}{R_{\mathrm{th},i}}$.

2.5.4 Conditions aux limites

La résolution requiert des conditions aux limites : température imposée sur une face (thermostat), flux imposé (paroi chauffée), paroi calorifugée ($\overrightarrow{j_Q}\cdot \overrightarrow{n}=0$), continuité de la température pour un contact thermique parfait, et continuité du flux à l'interface entre deux milieux.

Définition 2.10Loi de Newton (fournie)

À l'interface entre un solide de température de surface $T_s$ et un fluide de température $T_f$ (loin de la paroi), le transfert conducto-convectif s'écrit $j_Q=h(T_s-T_f)$, où $h$ est le coefficient de Newton, en $\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2/\mathrm{K}$. Elle s'interprète comme une résistance de surface $R_{\mathrm{th}}^{\text{conv}}=\frac{1}{hS}$, associée en série aux résistances conductives.

2.6 Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

2.6.1 Temps caractéristique et analogie $RC$

Méthode : Refroidissement d'un corps : analogie $RC$

Considérons un corps solide de résistance thermique interne négligeable devant celle d'une paroi mince qui le sépare d'un thermostat à $T_e$. On suppose sa température $T(t)$ uniforme (bonne conduction interne, hypothèse de l'ARQS) et sa capacité thermique totale $C_{\mathrm{th}}=mc$. Le corps échange par la paroi de résistance $R_{\mathrm{th}}$ un flux $\Phi =\frac{T-T_e}{R_{\mathrm{th}}}$. Le premier principe donne $C_{\mathrm{th}}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-\Phi$, soit

$$R_{\mathrm{th}}{C}_{\mathrm{th}}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+(T-T_e)=0,\tau =R_{\mathrm{th}}{C}_{\mathrm{th}}.$$

La solution $T(t)=T_e+(T_0-T_e){\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ est un déclin exponentiel de constante de temps $\tau$, exactement analogue à la décharge d'un condensateur $C$ dans une résistance $R$ ($u_C=E{\mathrm{e}}^{-t/RC}$).

Figure : Analogie électrique de l'ARQS thermique : la capacité thermique

$C_{\mathrm{th}}$ joue le rôle d'un condensateur, la paroi celui d'une résistance ; l'ensemble forme un circuit $RC$ de constante de temps $\tau$.</div>

ImportantJustification de l'ARQS

L'ARQS est licite lorsque le temps de diffusion interne ${\tau }_{\text{int}}\sim {\ell }^2/D$ (mise à l'équilibre du corps) est très petit devant le temps d'échange $\tau =R_{\mathrm{th}}{C}_{\mathrm{th}}$ avec l'extérieur. On peut alors considérer la température quasi uniforme dans le corps et lui appliquer les lois du régime stationnaire à chaque instant.

2.7 Ondes thermiques et effet de peau

Nous étudions maintenant la réponse d'un milieu à une sollicitation thermique périodique imposée à sa surface. C'est le régime d'ondes harmoniques, au programme de PSI, qui décrit la pénétration des variations de température jour/nuit et saison/saison dans le sol.

2.7.1 Position du problème et notation complexe

Méthode : Milieu semi-infini à surface sinusoïdale

Un solide occupe le demi-espace $x\ge 0$, de diffusivité $D$, sans source. On impose en surface une température oscillant autour d'une moyenne $T_0$ :

$$T(0,t)=T_0+\theta \cos (\omega t),$$

et l'on cherche la solution bornée quand $x\to +\infty$. Posant $\Theta =T-T_0$, l'écart $\Theta (x,t)$ vérifie l'équation de la chaleur sans source ${\partial }_t\Theta =D{\partial }_{xx}\Theta$. En régime forcé, on cherche une solution complexe de la forme d'une onde plane $\underline{\Theta }(x,t)=\underline{{\Theta }_0}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\underline{k}x)}$, avec $\Theta (0,t)=\theta \cos (\omega t)$ donc $\underline{{\Theta }_0}=\theta$.

◆Théorème 2.11Relation de dispersion des ondes thermiques

En injectant $\underline{\Theta }=\theta {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\underline{k}x)}$ dans ${\partial }_t\Theta =D{\partial }_{xx}\Theta$, la dérivation en temps donne un facteur $\mathrm{i}\omega$ et la double dérivation en espace un facteur $(-{\underline{k}}^2)\times (-1)=-{\underline{k}}^2$ :

$$\mathrm{i}\omega =-D{\underline{k}}^2⟹\boxed{{\underline{k}}^2=-\frac{\mathrm{i}\omega }{D}}$$

C'est la relation de dispersion : contrairement à une onde de propagation classique où $k$ est réel, $\underline{k}$ est ici complexe, signature du couplage entre propagation et amortissement propre à la diffusion.

Démonstration

On a ${\partial }_t\underline{\Theta }=\mathrm{i}\omega \underline{\Theta }$ et ${\partial }_{xx}\underline{\Theta }=(-\mathrm{i}\underline{k}{)}^2\underline{\Theta }=-{\underline{k}}^2\underline{\Theta }$. L'équation ${\partial }_t\underline{\Theta }=D{\partial }_{xx}\underline{\Theta }$ impose $\mathrm{i}\omega =-D{\underline{k}}^2$, d'où ${\underline{k}}^2=-\mathrm{i}\omega /D$. $\square$

2.7.2 Épaisseur de peau thermique

◆Théorème 2.12Onde thermique amortie et épaisseur de peau

Les racines de ${\underline{k}}^2=-\mathrm{i}\omega /D$ s'obtiennent en écrivant $-\mathrm{i}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}$, donc $\sqrt{-\mathrm{i}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}=\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$. La racine assurant une onde bornée en $x\to +\infty$ (partie imaginaire de $\underline{k}$ négative) est

$$\underline{k}=\frac{1-\mathrm{i}}{\delta },\boxed{\delta =\sqrt{\frac{2D}{\omega }}}$$

où $\delta$ est l'épaisseur de peau thermique. La solution physique (partie réelle) s'écrit

$$\boxed{T(x,t)=T_0+\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }\cos (\omega t-\frac{x}{\delta })}$$

Démonstration

On pose $\underline{k}=k_1-\mathrm{i}{k}_2$ avec $k_1,k_2>0$, de sorte que ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\underline{k}x}={\mathrm{e}}^{-k_{2}x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{1}x}$ décroît en amplitude. La relation ${\underline{k}}^2=-\mathrm{i}\omega /D=\frac{\omega }{D}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}$ donne $\underline{k}=\sqrt{\omega /D}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}=\sqrt{\omega /D}\frac{1-\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$. On identifie $k_1=k_2=\sqrt{\omega /(2D)}=1/\delta$ avec $\delta =\sqrt{2D/\omega }$. En reportant, $\underline{\Theta }=\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-x/\delta )}$, dont la partie réelle donne le résultat. $\square$

Figure : Onde thermique amortie $T-T_0=\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta )$

à instant fixé : oscillation spatiale de longueur d'onde $2\pi \delta$ dont l'amplitude décroît exponentiellement sous l'enveloppe $\pm \theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }$.</div>

ImportantLecture physique : atténuation et déphasage

L'onde thermique possède deux caractères indissociables :

• Atténuation : l'amplitude $\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }$ est divisée par $\mathrm{e}\approx 2,7$ chaque fois que $x$ augmente de $\delta$, et par ${\mathrm{e}}^{2\pi }\approx 535$ sur une longueur d'onde $\Lambda =2\pi \delta$. La variation de surface ne pénètre en pratique que sur quelques $\delta$.
• Déphasage : au point $x$, l'oscillation est retardée d'une phase $x/\delta$, soit un retard temporel $\Delta t=\frac{x}{\delta \omega }$. En profondeur, le maximum de température survient en décalage par rapport à la surface (le fond est chaud quand la surface est froide, si le déphasage atteint $\pi$).

La peau thermique $\delta =\sqrt{2D/\omega }$ augmente quand la période $T_{\text{p}}=2\pi /\omega$ augmente : les variations lentes (saisonnières) pénètrent bien plus profond que les variations rapides (jour/nuit).

Exemple 2.13Amplitude thermique dans le sol

Le sol a une diffusivité $D\approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$. Comparer la profondeur de pénétration des variations jour/nuit et saisonnières.

Démonstration

Pour le cycle diurne, $T_{\text{p}}=24\mathrm{h}=8.6\times 10^4\mathrm{s}$, $\omega =2\pi /T_{\text{p}}\approx 7.3\times 10^{-5}/\mathrm{s}$, d'où ${\delta }_{\text{jour}}=\sqrt{2D/\omega }=\sqrt{\frac{2\times 5\cdot 10^{-7}}{7,3\cdot 10^{-5}}}\approx 0.12\mathrm{m}$. À $50\mathrm{cm}$ ($\approx 4\delta$), l'amplitude jour/nuit est déjà quasi éteinte (${\mathrm{e}}^{-4}\approx 2\%$). Pour le cycle annuel, $T_{\text{p}}=365\mathrm{j}$, donc $\omega$ est $365$ fois plus petit et ${\delta }_{\text{an}}={\delta }_{\text{jour}}\sqrt{365}\approx 2.3\mathrm{m}$. C'est pourquoi une cave à quelques mètres de profondeur conserve une température quasi constante, tiède l'hiver et fraîche l'été, avec un déphasage de plusieurs mois par rapport à la surface.

2.8 Synthèse du chapitre

À retenir

• Principes infinitésimaux : $\mathrm{d}U=\delta Q+\delta W$, $\mathrm{d}S=\frac{\delta Q}{T_0}+\delta S_c$ avec $\delta S_c\ge 0$ ; $\mathrm{d}$ pour une fonction d'état, $\delta$ pour un échange.
• Flux : $\mathrm{d}\Phi =\overrightarrow{j_Q}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$, $j_Q$ en $\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ ; Fourier : $\overrightarrow{j_Q}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$, $\lambda$ en $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ (air $\sim 0,025$, eau $\sim 0,6$, béton $\sim 1$, acier $\sim 10$–$50$).
• Bilan local : $\rho c{\partial }_{t}T=-\mathrm{div}\overrightarrow{j_Q}+p_v$ $\Rightarrow$ équation de la chaleur ${\partial }_{t}T=D\Delta T+\frac{p_v}{\rho c}$, $D=\frac{\lambda }{\rho c}$ en ${\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$ ; irréversible ; $L\sim \sqrt{D\tau }$.
• Résistance thermique (stationnaire, sans source) : $T_1-T_2=R_{\mathrm{th}}\Phi$ ; mur $\frac{e}{\lambda S}$ ; cylindre $\frac{\ln (R_2/R_1)}{2\pi \lambda \ell }$ ; série $\sum R_i$, parallèle $(\sum 1/R_i{)}^{-1}$. Newton (fournie) : $j_Q=h(T_s-T_f)$.
• ARQS : température quasi uniforme, analogie $RC$, $\tau =R_{\mathrm{th}}{C}_{\mathrm{th}}$, déclin exponentiel.
• Ondes thermiques : surface $T_0+\theta \cos \omega t$ $\Rightarrow T=T_0+\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta )$ ; dispersion ${\underline{k}}^2=-\mathrm{i}\omega /D$ ; peau $\delta =\sqrt{\frac{2D}{\omega }}$ (atténuation + déphasage) ; sol : ${\delta }_{\text{jour}}\sim 10\mathrm{cm}$, ${\delta }_{\text{an}}\sim 2\mathrm{m}$.

Capacité numérique : Équation de la chaleur par différences finies

On résout l'équation de diffusion thermique 1D ${\partial }_{t}T=D{\partial }_{xx}T$ sur une barre $[0,L]$ par la méthode d'Euler explicite : on discrétise l'espace ($x_i=i\Delta x$) et le temps ($t_n=n\Delta t$), et l'on approche la dérivée seconde par le schéma centré ${\partial }_{xx}T\approx \frac{T_{i+1}-2T_i+T_{i-1}}{\Delta x^2}$. Le schéma d'avancement s'écrit

$$T_i^{n+1}=T_i^n+r\left(T_{i+1}^n-2T_i^n+T_{i-1}^n\right),r=\frac{D\Delta t}{\Delta x^2}.$$

Il est stable sous la condition de Courant $r\le \frac{1}{2}$. On impose ici les températures aux bords (conditions de Dirichlet).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- Parametres physiques et numeriques ---
L  = 1.0          # longueur de la barre (m)
D  = 1.0e-4       # diffusivite thermique (m^2/s)
Nx = 51           # nombre de points d'espace
dx = L / (Nx - 1)
r  = 0.4          # nombre de Fourier r = D*dt/dx^2 : doit rester <= 0.5
dt = r * dx**2 / D
Nt = 4000         # nombre de pas de temps

x = np.linspace(0, L, Nx)

# --- Condition initiale : barre a 20 C, pic chaud au centre ---
T = 20.0 * np.ones(Nx)
T[Nx // 2] = 100.0

# --- Conditions aux limites de Dirichlet ---
T[0], T[-1] = 20.0, 20.0

# --- Boucle temporelle (Euler explicite) ---
assert r <= 0.5, "Schema instable : reduire dt ou augmenter dx"
profils = [T.copy()]
for n in range(Nt):
    Tn = T.copy()
    T[1:-1] = Tn[1:-1] + r * (Tn[2:] - 2 * Tn[1:-1] + Tn[:-2])
    T[0], T[-1] = 20.0, 20.0          # on maintient les bords
    if n % 800 == 0:
        profils.append(T.copy())

# --- Trace de l'evolution du profil T(x, t) ---
for k, p in enumerate(profils):
    plt.plot(x, p, label=f"t = {k * 800 * dt:.2f} s")
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("Temperature (C)")
plt.title("Diffusion thermique 1D - Euler explicite")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

On observe l'étalement progressif du pic de température et le retour vers le profil stationnaire uniforme imposé par les bords. Augmenter $r$ au-delà de $0,5$ fait diverger la solution : la condition de stabilité est impérative. En imposant à un bord une température sinusoïdale $T(0,t)=T_0+\theta \cos (\omega t)$, le même schéma reproduit l'onde thermique amortie et permet de mesurer $\delta$.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>2.9 Exercices résolus

Exemple 2.14Homogénéité de la diffusivité

Vérifier par analyse dimensionnelle que $D=\lambda /(\rho c)$ s'exprime bien en ${\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$, et retrouver la loi d'échelle $L\sim \sqrt{D\tau }$.

Démonstration

$[\lambda ]=\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}=\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, $[\rho ]=\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$, $[c]=\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. Alors $[\rho c]=\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3/\mathrm{K}$ et $[D]=\frac{\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}}{\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}}=\mathrm{W}{\mathrm{J}}^{-1}{\mathrm{m}}^2={\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$ car $\mathrm{W}=\mathrm{J}/\mathrm{s}$. Le terme ${\partial }_{t}T\sim T/\tau$ et $D{\partial }_{xx}T\sim DT/L^2$ s'équilibrent, d'où $L\sim \sqrt{D\tau }$.

Exemple 2.15Flux à travers un mur

Un mur de brique d'épaisseur $e=20\mathrm{cm}$, de surface $S=15{\mathrm{m}}^2$ et de conductivité $\lambda =0.8\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ sépare un intérieur à $20°\mathrm{C}$ d'un extérieur à $5°\mathrm{C}$. Calculer la résistance thermique et le flux perdu.

Démonstration

$R_{\mathrm{th}}=\frac{e}{\lambda S}=\frac{0,20}{0,8\times 15}=1.67\times 10^{-2}\mathrm{K}/\mathrm{W}$. Le flux perdu est $\Phi =\frac{T_1-T_2}{R_{\mathrm{th}}}=\frac{15}{1,67\times 10^{-2}}\approx 900\mathrm{W}$. L'écart de température se mesure indifféremment en kelvins ou en degrés Celsius.

Exemple 2.16Double vitrage

Un double vitrage est formé de deux plaques de verre ($e_v=4\mathrm{mm}$, ${\lambda }_v=1.0\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) séparées par une lame d'air ($e_a=16\mathrm{mm}$, ${\lambda }_a=0.025\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), de surface $S=2{\mathrm{m}}^2$. Comparer sa résistance à celle d'un simple vitrage de $4\mathrm{mm}$.

Démonstration

Trois couches en série. Verre : $R_v=\frac{4\times 10^{-3}}{1,0\times 2}=2.0\times 10^{-3}\mathrm{K}/\mathrm{W}$ ; air : $R_a=\frac{16\times 10^{-3}}{0,025\times 2}=0.32\mathrm{K}/\mathrm{W}$. Total : $R_{\mathrm{th}}=2R_v+R_a\approx 0.324\mathrm{K}/\mathrm{W}$. Le simple vitrage a $R=2.0\times 10^{-3}\mathrm{K}/\mathrm{W}$ : le double vitrage est $\sim 160$ fois plus résistant, la lame d'air dominant entièrement le résultat.

Exemple 2.17Constante de temps d'un ballon d'eau chaude

Un ballon d'eau ($C_{\mathrm{th}}=8\times 10^5\mathrm{J}/\mathrm{K}$) perd sa chaleur à travers une isolation de résistance $R_{\mathrm{th}}=0.05\mathrm{K}/\mathrm{W}$. Estimer la constante de temps de refroidissement et le temps pour perdre la moitié de l'écart initial avec l'ambiance.

Démonstration

$\tau =R_{\mathrm{th}}{C}_{\mathrm{th}}=0,05\times 8\cdot 10^5=4\times 10^4\mathrm{s}\approx 11\mathrm{h}$. Le déclin est $\Theta (t)={\Theta }_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ ; la demi-vie vaut $t_{1/2}=\tau \ln 2\approx 0,69\times 4\cdot 10^4\approx 2.8\times 10^4\mathrm{s}\approx 7.7\mathrm{h}$. L'analogie $RC$ donne directement ce résultat sans résoudre l'EDP complète.

Exemple 2.18Épaisseur de peau et fréquence

Un bloc métallique ($D=1.0\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$) est soumis en surface à une température oscillant à la fréquence $f=1\mathrm{Hz}$. Calculer l'épaisseur de peau thermique, puis pour $f=1\times 10^{-2}\mathrm{Hz}$.

Démonstration

$\omega =2\pi f$, $\delta =\sqrt{2D/\omega }=\sqrt{D/(\pi f)}$. Pour $f=1\mathrm{Hz}$ : $\delta =\sqrt{\frac{10^{-5}}{\pi }}\approx 1.8\times 10^{-3}\mathrm{m}$, soit $1.8\mathrm{mm}$. Pour $f=1\times 10^{-2}\mathrm{Hz}$, $\delta$ est multiplié par $\sqrt{100}=10$ : $\delta \approx 1.8\times 10^{-2}\mathrm{m}=1.8\mathrm{cm}$. La peau croît comme $1/\sqrt{f}$ : plus le forçage est lent, plus il pénètre.

Exemple 2.19Déphasage d'une onde thermique

Pour l'onde $T=T_0+\theta {\mathrm{e}}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta )$, à quelle profondeur le signal est-il en opposition de phase avec la surface ? Quelle fraction de l'amplitude subsiste alors ?

Démonstration

Le déphasage est $\phi (x)=x/\delta$. L'opposition de phase $\phi =\pi$ survient en $x=\pi \delta$. L'amplitude résiduelle y vaut ${\mathrm{e}}^{-x/\delta }={\mathrm{e}}^{-\pi }\approx 4,3\%$. C'est le phénomène qui rend une cave « fraîche l'été, tiède l'hiver » : à cette profondeur, le maximum thermique arrive un demi-cycle après celui de la surface.

Exemple 2.20Barreau chauffé par effet Joule

Un barreau conducteur de section $S$, conductivité thermique $\lambda$, calorifugé latéralement, maintenu à $T_0$ en $x=0$ et $x=L$, dissipe une puissance volumique uniforme $p_v$. Déterminer le profil stationnaire $T(x)$ et la température maximale.

Démonstration

En régime stationnaire avec source, $\lambda \frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}+p_v=0$, soit $\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}=-\frac{p_v}{\lambda }$. En intégrant deux fois avec $T(0)=T(L)=T_0$ : $T(x)=T_0+\frac{p_v}{2\lambda }x(L-x)$. Le profil est parabolique, maximal au centre : $T_{\max }=T_0+\frac{p_v{L}^2}{8\lambda }$.

2.10 Exercices d'entraînement

• Modes de transfert. Décrire les trois modes de transfert thermique et donner pour chacun un exemple de la vie courante.

• Notations $\mathrm{d}$ et $\delta$. Justifier pourquoi $\delta Q$ n'est pas une différentielle exacte alors que $\mathrm{d}U$ l'est. Exprimer $\delta S_e$ pour une évolution monotherme à $T_0$.

• Mur simple. Un mur de béton ($\lambda =1.0\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $e=30\mathrm{cm}$, $S=20{\mathrm{m}}^2$) sépare deux milieux à $18°\mathrm{C}$ et $2°\mathrm{C}$. Calculer $R_{\mathrm{th}}$ et le flux perdu.

• Isolation. On double le mur précédent d'une couche de laine de verre (${\lambda }^{\prime }=0.04\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $e^{\prime }=10\mathrm{cm}$). Calculer la nouvelle résistance et le facteur de réduction du flux.

• Cylindre calorifugé. Un tube d'acier ($\lambda =50\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $R_1=2\mathrm{cm}$, $R_2=2.5\mathrm{cm}$, $\ell =10\mathrm{m}$) transporte de la vapeur. Calculer sa résistance thermique et le flux si l'écart interne-externe vaut $60°\mathrm{C}$.

• Association parallèle. Une paroi de $S=10{\mathrm{m}}^2$ comporte une fenêtre de $S_2=2{\mathrm{m}}^2$ ($R_2=5\times 10^{-3}\mathrm{K}/\mathrm{W}$) dans une partie pleine ($R_1=5\times 10^{-2}\mathrm{K}/\mathrm{W}$). Donner $R_{\mathrm{th}}$ équivalente et commenter le rôle de la fenêtre.

• Analogie $RC$. Un thermomètre de capacité $C_{\mathrm{th}}=2\mathrm{J}/\mathrm{K}$ échange avec l'air via $R_{\mathrm{th}}=5\mathrm{K}/\mathrm{W}$. Calculer $\tau$ et le temps de réponse à $95\%$.

• Justification de l'ARQS. Un petit objet ($\ell =1\mathrm{cm}$, $D=1\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$) est plongé dans un fluide. Estimer ${\tau }_{\text{int}}$ et discuter la validité de l'hypothèse de température uniforme si $\tau =100\mathrm{s}$.

• Relation de dispersion. Établir ${\underline{k}}^2=-\mathrm{i}\omega /D$ à partir de l'équation de la chaleur, puis en déduire $\delta =\sqrt{2D/\omega }$ en explicitant $\sqrt{-\mathrm{i}}$.

• Peau saisonnière. Avec $D=5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$ pour le sol, calculer $\delta$ pour le cycle annuel et la profondeur où l'amplitude est réduite à $1/10$.

• Cave. À quelle profondeur enterrer une cave pour qu'elle soit en opposition de phase saisonnière avec la surface (max en janvier au lieu de juillet) ? On prend ${\delta }_{\text{an}}=2.3\mathrm{m}$.

• Régime transitoire (numérique). Reprendre le code de la capacité numérique en imposant $T(0,t)=20+10\cos (\omega t)$ avec une période de $60\mathrm{s}$ ; vérifier l'apparition d'une onde amortie et mesurer $\delta$ sur le profil enveloppe.

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