Diffusion de particules

Cours complet · phénomènes de transport (PSI), chapitre 3 · CPGE PSI (2e année)

Lorsqu'une goutte d'encre est déposée sans agitation dans un verre d'eau immobile, la tache colorée s'étale lentement et finit par occuper tout le volume : la matière se déplace spontanément des régions les plus concentrées vers les régions les moins concentrées. Ce transport, appelé diffusion, n'est associé à aucun mouvement d'ensemble du fluide (pas de convection) : il résulte uniquement de l'agitation thermique et du désordre à l'échelle microscopique. C'est un processus lent, irréversible, et gouverné par une équation aux dérivées partielles universelle que l'on retrouve pour la chaleur (chapitre précédent), la quantité de mouvement ou encore la charge électrique.

Dans ce chapitre, nous construisons la description macroscopique de la diffusion de particules : le vecteur densité de flux $_{N}$ , le bilan local de conservation, la loi phénoménologique de Fick et l'équation de la diffusion qui en découle. Nous étudions les régimes stationnaires, dégageons les échelles caractéristiques (la fameuse loi $L \sim D t$ ) puis justifions le tout par un modèle microscopique de marche au hasard, que nous simulerons numériquement.

3.1 Densité particulaire et vecteur densité de flux

3.1.1 Description continue d'un milieu de particules

On considère une population de particules identiques (molécules d'un soluté, atomes d'un dopant dans un cristal, neutrons dans un réacteur…) suffisamment nombreuses pour être décrites par un champ continu.

Définition 3.1Densité particulaire

La densité particulaire (ou concentration en nombre) $n (M, t)$ est le nombre de particules par unité de volume au voisinage du point $M$ à l'instant $t$ :

$d N = n (M, t) d τ,$

où $d N$ est le nombre de particules contenues dans le volume mésoscopique $d τ$ . Elle s'exprime en $m^{- 3}$ .

La densité particulaire est reliée à la concentration molaire $c$ (en $m o l . m^{- 3}$ ) par $n = N_{A} c$ , où $N_{A} \approx 6.02 \times 1 0^{23} m o l^{- 1}$ est le nombre d'Avogadro.

3.1.2 Vecteur densité de flux de particules

Le mouvement des particules est décrit par le champ de vitesse locale $v (M, t)$ , vitesse moyenne des particules situées autour de $M$ . On définit alors le vecteur qui mesure le débit de particules.

Définition 3.2Vecteur densité de flux de particules

Le vecteur densité de flux de particules est

$_{N} (M, t) = n (M, t) v (M, t)$

Il s'exprime en $m^{- 2} . s^{- 1}$ . Sa direction et son sens sont ceux du déplacement moyen des particules ; sa norme mesure le nombre de particules traversant, par unité de temps, une surface unité perpendiculaire à l'écoulement.

Proposition 3.3Flux de particules à travers une surface

Le flux de particules à travers une surface orientée $S$ est le nombre de particules qui la traversent par unité de temps :

\Phi_N = \iint_{S} \vec{\jmath}_N \scal \dd\vec{S} \qquad \text{(en s^{-1}).}

Pour un élément de surface $d S = d S n$ , la quantité $_{N} \cdot d S$ est algébrique : elle est positive si les particules traversent $S$ dans le sens de $n$ , négative sinon.

Démonstration (Justification)

Pendant $d t$ , les particules qui franchissent l'élément $d S$ sont celles contenues dans le cylindre oblique de base $d S$ et de génératrice $v d t$ . Son volume algébrique est $v d t \cdot d S$ , il contient $d N = n v \cdot d S d t = _{N} \cdot d S d t$ particules. Le débit élémentaire vaut donc $d Φ_{N} = _{N} \cdot d S$ , que l'on intègre sur $S$ . ∎

Figure : Particules franchissant une tranche pendant

d t

: celles contenues dans le

cylindre de longueur $v d t$ traversent la surface orientée par $n$ .</div>

3.2 Bilan de particules

3.2.1 Bilan global

Considérons un volume fixe $V$ (fermé par la surface $S$ orientée vers l'extérieur), sans mouvement macroscopique du milieu. Le nombre de particules qu'il contient est $N (t) = ∭_{V} n d τ$ . Sa variation résulte de deux causes : les échanges à travers la frontière et une éventuelle production/destruction volumique interne.

Définition 3.4Terme source

On appelle terme source $σ (M, t)$ le nombre de particules créées (par réaction chimique, désintégration, ionisation…) par unité de volume et de temps, en $m^{- 3} . s^{- 1}$ . Il est positif pour une source, négatif pour un puits.

Proposition 3.5Bilan global de particules

Pour un volume fixe $V$ ,

$variation \frac{d N}{d t} = e ˊ change par la fronti e ˋ re - \oint \oint_{S} _{N} \cdot d S + cr e ˊ ation interne ∭_{V} σ d τ .$

Le signe $-$ traduit que le flux sortant ( $_{N} \cdot d S > 0$ ) fait diminuer le contenu du volume.

3.2.2 Équation locale de conservation

◆Théorème 3.6Équation locale de bilan

En tout point du milieu, la conservation du nombre de particules s'écrit

$\frac{\partial n}{\partial t} + div _{N} = σ$

En l'absence de source ( $σ = 0$ ), on retrouve l'équation de conservation :

$\frac{\partial n}{\partial t} + div _{N} = 0.$

Démonstration (Passage du global au local)

On part du bilan global et on transforme l'intégrale de surface par le théorème de Green--Ostrogradski : $\oint \oint_{S} _{N} \cdot d S = ∭_{V} div _{N} d τ$ . Comme $V$ est fixe, $\frac{d N}{d t} = ∭_{V} \frac{\partial n}{\partial t} d τ$ . Le bilan devient

$∭_{V} (\frac{\partial n}{\partial t} + div _{N} - σ) d τ = 0.$

Cette égalité étant vraie pour tout volume $V$ , l'intégrande est nul en tout point. ∎

Méthode : Bilan à une dimension par une tranche

Lorsque le problème ne dépend que d'une coordonnée, on établit directement l'équation locale par un bilan sur une tranche élémentaire, sans invoquer la divergence.

Cartésien : tranche $[x, x + d x]$ , section $S$ . Le contenu $n S d x$ varie sous l'effet du flux entrant $j_{N} (x) S$ et sortant $j_{N} (x + d x) S$ , d'où $\frac{\partial n}{\partial t} = - \frac{\partial j _{N}}{\partial x} + σ$ .
Cylindrique : couronne $[r, r + d r]$ de hauteur $h$ , sections $2 π r h$ et $2 π (r + d r) h$ : le facteur $r$ ne se simplifie pas et $div _{N} = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r j _{N} )}{\partial r}$ .
Sphérique : coquille $[r, r + d r]$ , sections $4 π r^{2}$ et $4 π (r + d r)^{2}$ : $div _{N} = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{N} )}{\partial r}$ .

3.3 Loi de Fick

Le bilan de conservation ne suffit pas à déterminer l'évolution : il relie deux champs inconnus $n$ et $_{N}$ . Il faut une relation phénoménologique supplémentaire, qui décrit comment le milieu réagit à une inhomogénéité de concentration.

◆Théorème 3.7Loi de Fick (1855)

Le vecteur densité de flux de particules est proportionnel et opposé au gradient de la densité particulaire :

$_{N} = - D grad n$

Le coefficient $D > 0$ est le coefficient de diffusion, exprimé en $m^{2} . s^{- 1}$ .

Important

Le signe $-$ garantit que les particules diffusent des zones de forte concentration vers les zones de faible concentration : le flux est dirigé dans le sens des $n$ décroissants. La loi de Fick est une loi de réponse linéaire, valable tant que les gradients ne sont pas trop intenses.

iRemarqueOrdres de grandeur de

D

Le coefficient de diffusion dépend fortement de l'état de la matière :

$gaz (conditions usuelles) liquides (petites mol e ˊ cules) solides (dopants) D \sim 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1} D \sim 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1} D \sim 1 0^{- 12} m^{2} . s^{- 1} ou moins (ex. : parfums dans l’air) (ex. : sucre dans l’eau)$

On retiendra $D_{gaz} \sim 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ dans les conditions usuelles.

Figure : Profil de concentration décroissant : le gradient

grad n

pointe vers les

$x$ croissants, le flux $_{N} = - D grad n$ est donc dirigé vers la droite, des zones concentrées vers les zones diluées.</div>

3.4 Équation de la diffusion

◆Théorème 3.8Équation de la diffusion (2^e loi de Fick)

En l'absence de source interne, en combinant le bilan local et la loi de Fick (avec $D$ uniforme), la densité particulaire obéit à l'équation de la diffusion :

$\frac{\partial n}{\partial t} = D Δ n$

À une dimension : $\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}}$ .

Démonstration (Combinaison des deux relations)

Le bilan sans source donne $\frac{\partial n}{\partial t} = - div _{N}$ . En y injectant la loi de Fick $_{N} = - D grad n$ avec $D$ constant :

$\frac{\partial n}{\partial t} = - div (- D grad n) = D div (grad n) = D Δ n,$

car $div (grad n) = Δ n$ par définition du laplacien. ∎

ImportantStructure et irréversibilité

L'équation de la diffusion est du premier ordre en temps et du second ordre en espace : elle n'est pas invariante par le changement $t \to - t$ . C'est une équation irréversible : elle décrit un étalement, un lissage des inhomogénéités, mais jamais leur reconstruction spontanée (une goutte d'encre ne se recompose jamais). Cette dissymétrie temporelle est la signature du second principe.

3.4.1 Régime stationnaire

Proposition 3.9Régime stationnaire

En régime stationnaire, $\frac{\partial n}{\partial t} = 0$ : l'équation de la diffusion se réduit à l'équation de Laplace

$Δ n = 0.$

De plus, sans source interne, le bilan impose $div _{N} = 0$ : le flux $Φ_{N}$ se conserve le long d'un tube de courant. À une dimension cartésienne, $j_{N}$ est uniforme et le profil $n (x)$ est affine.

Exemple 3.10Diffusion stationnaire dans un barreau

Un barreau de section $S$ et de longueur $L$ relie deux réservoirs maintenant les densités $n_{1}$ et $n_{2} < n_{1}$ à ses extrémités. En régime stationnaire 1D sans source, $\frac{d ^{2} n}{d x ^{2}} = 0$ , donc $n (x) = n_{1} + (n_{2} - n_{1}) \frac{x}{L}$ (profil affine). Le flux, uniforme, vaut

$Φ_{N} = j_{N} S = - D S \frac{d n}{d x} = D S \frac{n _{1} - n _{2}}{L} .$

On reconnaît une loi analogue à celle d'Ohm : $Φ_{N} = \frac{n _{1} - n _{2}}{R}$ avec une « résistance de diffusion » $R = \frac{L}{D S}$ .

3.4.2 Échelles caractéristiques

Méthode : Analyse en ordres de grandeur

L'équation $\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}}$ relie une échelle de temps $τ$ et une échelle de longueur $L$ . En estimant chaque dérivée par un rapport caractéristique, $\frac{\partial n}{\partial t} \sim \frac{n}{τ}$ et $\frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} \sim \frac{n}{L ^{2}}$ , on obtient

$\frac{n}{τ} \sim D \frac{n}{L ^{2}} ⟹ L \sim D τ τ \sim \frac{L ^{2}}{D}$

ImportantDiffusion : un transport très lent

La longueur diffusée croît comme la racine carrée du temps : diffuser deux fois plus loin prend quatre fois plus de temps. C'est la marque distinctive de la diffusion face au transport convectif (où $L \propto t$ ). Ainsi, dans un gaz ( $D \sim 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ ), parcourir $L = 1 m$ par diffusion pure demande $τ \sim L^{2} / D \sim 1 0^{5} s \approx 1 j o u r$ : c'est la convection, non la diffusion, qui propage les odeurs dans une pièce.

3.5 Approche microscopique : la marche au hasard

La diffusion, décrite macroscopiquement par $D$ , résulte à l'échelle microscopique de l'agitation thermique désordonnée. Chaque particule subit d'incessants chocs et suit une trajectoire erratique : une marche au hasard.

3.5.1 Modèle discret à une dimension

On modélise le mouvement d'une particule sur un axe par une succession de pas : à chaque intervalle de temps $τ^{*}$ , la particule effectue un saut de longueur $ℓ$ (le libre parcours moyen) vers la droite ou vers la gauche, avec la probabilité $1/2$ dans chaque sens, indépendamment des pas précédents.

Proposition 3.11Étalement quadratique

Après $N$ pas, la position $X_{N} = \sum_{i = 1}^{N} ε_{i} ℓ$ (avec $ε_{i} = \pm 1$ équiprobables et indépendants) vérifie

$⟨ X_{N} ⟩ = 0, ⟨ X_{N}^{2} ⟩ = N ℓ^{2} .$

Le déplacement moyen est nul (pas de sens privilégié), mais l'écart quadratique moyen croît : $⟨ X_{N}^{2} ⟩ = ℓ N$ .

Démonstration (Calcul de la variance)

Par linéarité, $⟨ X_{N} ⟩ = ℓ \sum_{i} ⟨ ε_{i} ⟩ = 0$ car $⟨ ε_{i} ⟩ = 0$ . Ensuite

$⟨ X_{N}^{2} ⟩ = ℓ^{2} i, j \sum ⟨ ε_{i} ε_{j} ⟩ = ℓ^{2} i \sum ⟨ ε_{i}^{2} ⟩ = ℓ^{2} i \sum 1 = N ℓ^{2},$

où les termes croisés $i \neq = j$ s'annulent par indépendance ( $⟨ ε_{i} ε_{j} ⟩ = ⟨ ε_{i} ⟩ ⟨ ε_{j} ⟩ = 0$ ) et $ε_{i}^{2} = 1$ . ∎

◆Théorème 3.12Coefficient de diffusion microscopique

En posant $t = N τ^{*}$ et en identifiant $⟨ X^{2} ⟩ = 2 D t$ (résultat de l'équation de diffusion à 1D pour une source ponctuelle), on obtient

$D = \frac{ℓ ^{2}}{2 τ ^{*}} = \frac{1}{2} ℓ v^{*}$

où $v^{*} = ℓ / τ^{*}$ est la vitesse quadratique moyenne d'agitation. Le coefficient de diffusion est ainsi fixé par le produit du libre parcours moyen et de la vitesse d'agitation thermique.

iRemarque

On retrouve bien $⟨ X^{2} ⟩ = N ℓ^{2} = (t / τ^{*}) ℓ^{2} = 2 D t$ , cohérent avec la loi macroscopique $L \sim D t$ . Le modèle microscopique et la description continue se raccordent parfaitement : la marche au hasard est la diffusion vue de près.

Figure : Marche au hasard à une dimension : à chaque pas de temps

τ^{*}

, la particule

saute de $\pm ℓ$ de façon équiprobable. Le déplacement moyen reste nul, mais l'écart quadratique croît en $N$ .</div>

Capacité numérique : Marche au hasard

On simule la marche au hasard d'un grand nombre de particules partant toutes de l'origine, et l'on vérifie que la variance de leur position croît linéairement avec le temps ( $⟨ X^{2} ⟩ = N ℓ^{2}$ ), c'est-à-dire un étalement en $t$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Nparticules = 20000     # nombre de particules
Npas = 400              # nombre de pas de temps
ell = 1.0               # longueur d'un saut (libre parcours moyen)

# Chaque pas vaut +ell ou -ell de facon equiprobable
sauts = ell * np.where(np.random.random((Nparticules, Npas)) < 0.5, -1, 1)
positions = np.cumsum(sauts, axis=1)   # trajectoires cumulees

# Variance en fonction du nombre de pas
variance = np.var(positions, axis=0)
pas = np.arange(1, Npas + 1)

# Verification : var(X) = N * ell^2  (loi lineaire en t)
print("pente mesuree :", np.polyfit(pas, variance, 1)[0])
print("valeur theorique ell^2 :", ell**2)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))

# Distribution finale : histogramme gaussien qui s'elargit
ax1.hist(positions[:, -1], bins=60, density=True, color="tab:red", alpha=0.7)
ax1.set_title("Distribution des positions apres %d pas" % Npas)
ax1.set_xlabel("position x")
ax1.set_ylabel("densite")

# Etalement : variance   t (donc ecart-type   sqrt(t))
ax2.plot(pas, variance, "b.", label="simulation")
ax2.plot(pas, pas * ell**2, "k-", label=r"theorie  $N ℓ^{2}$ ")
ax2.set_xlabel("nombre de pas N (proportionnel a t)")
ax2.set_ylabel(r"variance  $⟨ X^{2} ⟩$ ")
ax2.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

La distribution des positions tend vers une gaussienne dont la largeur croît en $t$ , et la variance mesurée suit la droite $N ℓ^{2}$ : on retrouve bien $D = ℓ^{2} / (2 τ^{*})$ et la loi d'étalement caractéristique de la diffusion.

3.6 Synthèse du chapitre

La diffusion est un transport de matière piloté par les inhomogénéités de concentration, sans mouvement d'ensemble. Elle se décrit par le triptyque densité de flux $\to$ bilan de conservation $\to$ loi de Fick, dont la combinaison donne l'équation de la diffusion, irréversible et lente ( $L \sim D t$ ). Le modèle microscopique de marche au hasard en fournit l'explication et relie $D$ au libre parcours moyen.

À retenir

Densité de flux : $_{N} = n v$ ( $m^{- 2} . s^{- 1}$ ) ; flux $Φ_{N} = \iint_{S} _{N} \cdot d S$ ( $s^{- 1}$ ).
Bilan local : $\frac{\partial n}{\partial t} + div _{N} = σ$ ( $σ$ : terme source, nul en l'absence de création interne).
Loi de Fick : $_{N} = - D grad n$ , avec $D > 0$ en $m^{2} . s^{- 1}$ ; ordre de grandeur $D_{gaz} \sim 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ .
Équation de la diffusion : $\frac{\partial n}{\partial t} = D Δ n$ (1^er ordre en $t$ , 2^e en $x$ : irréversible).
Régime stationnaire : $Δ n = 0$ , flux conservé, profil affine à 1D.
Échelles : $L \sim D τ$ , $τ \sim L^{2} / D$ (transport lent).
Microscopique : marche au hasard $\Rightarrow ⟨ X^{2} ⟩ = N ℓ^{2} = 2 D t$ , d'où $D = \frac{ℓ ^{2}}{2 τ ^{*}} = \frac{1}{2} ℓ v^{*}$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.7 Exercices résolus

Exemple 3.13Homogénéité et unité de

D

Retrouver l'unité SI du coefficient de diffusion à partir de la loi de Fick.

Démonstration

$[_{N}] = m^{- 2} . s^{- 1}$ et $[grad n] = m^{- 3} / m = m^{- 4}$ . La loi de Fick impose $[_{N}] = [D] [grad n]$ , soit $[D] = \frac{m ^{- 2} . s ^{- 1}}{m ^{- 4}} = m^{2} . s^{- 1}$ . ∎

Exemple 3.14Profil stationnaire entre deux plaques

Deux plaques parallèles distantes de $L = 2 mm$ imposent $n (0) = n_{0}$ et $n (L) = 0$ . En régime stationnaire 1D sans source, déterminer $n (x)$ puis $j_{N}$ .

Démonstration

$Δ n = \frac{d ^{2} n}{d x ^{2}} = 0 \Rightarrow n (x) = a x + b$ . Les conditions aux limites donnent $b = n_{0}$ et $a = - n_{0} / L$ , d'où $n (x) = n_{0} (1 - \frac{x}{L})$ . Le flux surfacique vaut $j_{N} = - D \frac{d n}{d x} = D \frac{n _{0}}{L}$ , uniforme et positif (des $x$ faibles vers les $x$ forts). ∎

Exemple 3.15Temps de diffusion dans une cellule biologique

Estimer le temps nécessaire à une molécule pour diffuser à travers une cellule de rayon $R = 10 μ m$ , avec $D = 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1}$ .

Démonstration

$τ \sim \frac{R ^{2}}{D} = \frac{( 1 0 ^{- 5} m ) ^{2}}{1 0 ^{- 9} m ^{2} . s ^{- 1}} = \frac{1 0 ^{- 10}}{1 0 ^{- 9}} = 0.1 s$ . La diffusion est efficace à l'échelle cellulaire (courtes distances), mais inopérante à l'échelle d'un organe : d'où la nécessité de systèmes convectifs (circulation sanguine). ∎

Exemple 3.16Bilan avec source de désintégration

Des noyaux radioactifs de densité $n$ diffusent et se désintègrent avec une constante $λ$ (chaque noyau disparaît au taux $λ$ ). Écrire l'équation locale à 1D.

Démonstration

La désintégration est un puits : $σ = - λn$ . Le bilan local $\frac{\partial n}{\partial t} + div _{N} = σ$ avec la loi de Fick donne

$\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} - λn .$

C'est une équation de réaction-diffusion : compétition entre l'étalement diffusif et la disparition exponentielle. ∎

Exemple 3.17Diffusion stationnaire à symétrie sphérique

Une petite sphère de rayon $a$ maintient une densité $n_{a}$ à sa surface ; loin d'elle, $n \to 0$ . Déterminer $n (r)$ en régime stationnaire sans source.

Démonstration

$Δ n = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d n}{d r}) = 0$ $\Rightarrow r^{2} \frac{d n}{d r} = cte \Rightarrow n (r) = - \frac{A}{r} + B$ . Les conditions $n (\infty) = 0$ et $n (a) = n_{a}$ donnent $B = 0$ et $A = - n_{a} a$ , soit $n (r) = n_{a} \frac{a}{r}$ . Le flux total sortant vaut $Φ_{N} = 4 π r^{2} j_{N} = 4 π r^{2} (- D \frac{d n}{d r}) = 4 π D a n_{a}$ , indépendant de $r$ (conservation du flux). ∎

Exemple 3.18Vitesse quadratique et coefficient de diffusion d'un gaz

Pour un gaz, $v^{*} \approx 500 m . s^{- 1}$ et le libre parcours moyen $ℓ \approx 0.1 μ m$ . Estimer $D$ et commenter.

Démonstration

$D = \frac{1}{2} ℓ v^{*} \approx \frac{1}{2} \times 1 0^{- 7} m \times 500 m . s^{- 1} \approx 2.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ , cohérent avec l'ordre de grandeur retenu $D_{gaz} \sim 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ . Bien que les molécules aillent vite ( $v^{*} \sim 500 m . s^{- 1}$ ), leur libre parcours minuscule rend le transport net très lent : c'est le désordre des chocs qui bride la diffusion. ∎

3.8 Exercices d'entraînement

Unités. Vérifier par analyse dimensionnelle que le terme source $σ$ s'exprime en $m^{- 3} . s^{- 1}$ et que $div _{N}$ a la même unité.

Flux à travers un disque. Un flux uniforme $_{N} = j_{0} u_{x}$ traverse un disque de rayon $R$ dont la normale fait un angle $θ$ avec l'axe $O x$ . Exprimer $Φ_{N}$ en fonction de $j_{0}$ , $R$ et $θ$ .

Profil affine. Dans un barreau de longueur $L = 5 c m$ et de section $S = 1 c m^{2}$ , on impose $n_{1} = 1 0^{24} m^{- 3}$ et $n_{2} = 0$ . Avec $D = 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1}$ , calculer le flux stationnaire $Φ_{N}$ et la résistance de diffusion $R_{diff} = L / (D S)$ .

Échelles de temps. Comparer les temps de diffusion sur $L = 1 c m$ dans un gaz ( $D = 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ ), un liquide ( $D = 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1}$ ) et un solide ( $D = 1 0^{- 13} m^{2} . s^{- 1}$ ). Commenter.

Réaction-diffusion stationnaire. Reprendre l'équation $D n^{''} - λn = 0$ à 1D avec $n (0) = n_{0}$ et $n (\infty) = 0$ . Montrer que $n (x) = n_{0} e^{- x / δ}$ et exprimer la longueur d'atténuation $δ$ en fonction de $D$ et $λ$ .

Symétrie cylindrique. Établir, en régime stationnaire sans source, le profil $n (r)$ entre deux cylindres coaxiaux de rayons $a$ et $b$ maintenus à $n_{a}$ et $n_{b}$ . On admettra $Δ n = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d n}{d r})$ .

Marche au hasard biaisée. Une particule saute à droite avec la probabilité $p$ et à gauche avec $1 - p$ . Calculer $⟨ X_{N} ⟩$ et $⟨ X_{N}^{2} ⟩ - ⟨ X_{N} ⟩^{2}$ . Interpréter l'apparition d'une vitesse de dérive (convection microscopique).

Solution gaussienne. Vérifier que $n (x, t) = \frac{A}{t} exp (- \frac{x ^{2}}{4 D t})$ est solution de l'équation de diffusion 1D. Identifier la largeur $\sim D t$ et relier $A$ au nombre total de particules (conservation).

Coefficient microscopique. Pour l'hélium à température ambiante, $v^{*} \approx 1300 m . s^{- 1}$ et $ℓ \approx 0.2 μ m$ . Estimer $D$ et le comparer à celui d'un gaz plus lourd (justifier qualitativement l'écart).

Diffusion instationnaire — ordre de grandeur. Une paroi de dopant est mise en contact avec un semi-conducteur à $t = 0$ . Le dopant a $D = 1 0^{- 16} m^{2} . s^{- 1}$ . Sur quelle profondeur a-t-il diffusé après $t = 1 h$ ? Après $t = 100 h$ ?

Bilan global. Dans un volume $V$ contenant $N (t)$ particules, on mesure un flux net sortant constant $Φ_{0}$ et une création interne totale $P = ∭_{V} σ d τ$ . Écrire et résoudre $\frac{d N}{d t}$ . À quelle condition le régime devient-il stationnaire ?

Analogie thermique. Sachant que le chapitre précédent introduit la loi de Fourier $_{Q} = - κ grad T$ , dresser un tableau d'analogie entre diffusion de particules et diffusion thermique ( $n \leftrightarrow T$ , loi de Fick $\leftrightarrow$ loi de Fourier, équation de la diffusion $\leftrightarrow$ équation de la chaleur).

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