Fluides en écoulement

Cours complet · phénomènes de transport (PSI), chapitre 4 · CPGE PSI (2e année)

Les phénomènes de transport étudiés jusqu'ici — charge électrique, énergie thermique, particules — partagent tous une même structure : un champ transporté, un vecteur densité de courant, une équation locale de conservation. L'écoulement d'un fluide relève exactement du même formalisme, la grandeur transportée étant la masse (et, plus subtilement, la quantité de mouvement). Ce chapitre installe le vocabulaire cinématique de l'écoulement (champ eulérien des vitesses, lignes de courant, débits), établit la conservation de la masse, introduit la viscosité sur un écoulement de cisaillement simple, puis en déduit deux situations essentielles : l'écoulement interne dans une conduite (loi de Hagen--Poiseuille, résistance hydraulique, analogie électrique) et l'écoulement externe autour d'un obstacle (traînée, portance, couche limite). Le nombre de Reynolds, rapport de deux temps caractéristiques, gouverne le passage d'un régime à l'autre.

Dans tout le chapitre, on note $μ (M, t)$ la masse volumique du fluide, $v (M, t)$ le champ eulérien des vitesses et $P (M, t)$ le champ de pression. Le fluide est supposé newtonien.

4.1 Description d'un fluide en écoulement

4.1.1 Particule de fluide et champ eulérien

Définition 4.1Particule de fluide

Une particule de fluide est un système mésoscopique de volume $d τ$ centré en un point $M$ : assez grand devant les distances intermoléculaires pour contenir un très grand nombre de molécules (les grandeurs moyennes y sont bien définies), assez petit devant l'échelle macroscopique pour être repéré par un point. Sa masse est constante : on la suit dans son mouvement comme un système fermé.

ImportantVitesse mésoscopique, description eulérienne

On distingue la vitesse microscopique (celle, désordonnée, d'une molécule donnée) de la vitesse mésoscopique $v$ , moyenne d'ensemble des vitesses des molécules d'une particule de fluide. En classe on adopte la description eulérienne : à chaque point fixe $M$ et à chaque instant $t$ on associe la vitesse $v (M, t)$ de la particule de fluide qui passe en $M$ à cet instant. Ce n'est pas la vitesse d'une particule identifiée, mais celle, changeante, de la particule présente en $M$ à l'instant $t$ .

iRemarqueOrdres de grandeur des masses volumiques

Dans les conditions usuelles, $μ_{eau} \approx 1000 kg / m^{3}$ et $μ_{air} \approx 1.2 kg / m^{3}$ : un facteur $\sim 800$ sépare liquide et gaz.

4.1.2 Lignes de courant, tube de courant

Définition 4.2Ligne de courant, tube de courant

Une ligne de courant à l'instant $t$ est une courbe tangente en chacun de ses points au champ $v (M, t)$ à cet instant : $d ℓ \land v = 0$ , soit en cartésiennes

$\frac{d x}{v _{x}} = \frac{d y}{v _{y}} = \frac{d z}{v _{z}} .$

Un tube de courant est la surface engendrée par les lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé. Le fluide ne traverse pas sa paroi latérale : il y « coule » comme dans une conduite virtuelle.

Définition 4.3Écoulement stationnaire

Un écoulement est stationnaire (ou permanent) dans un référentiel donné si tous les champs y sont indépendants du temps : $\partial v / \partial t = 0$ , $\partial μ / \partial t = 0$ , $\partial P / \partial t = 0$ . Le caractère stationnaire dépend du référentiel ; en régime stationnaire, lignes de courant et trajectoires coïncident.

4.1.3 Dérivée particulaire et accélération

Une particule de fluide voit sa vitesse évoluer pour deux raisons : le champ dépend explicitement du temps (terme local) et la particule se déplace vers des régions où le champ diffère (terme convectif).

Définition 4.4Dérivée particulaire, accélération

La dérivée particulaire d'un champ $g (M, t)$ est sa dérivée temporelle en suivant la particule :

$\frac{D g}{D t} = \frac{\partial g}{\partial t} + (v \cdot grad) g .$

Appliquée au champ des vitesses, elle donne l'accélération de la particule qui passe en $M$ :

$a (M, t) = \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v .$

Le terme convectif $(v \cdot grad) v$ est quadratique en vitesse : c'est lui qui rend la mécanique des fluides non linéaire.

4.1.4 Débits

Définition 4.5Débits à travers une surface orientée

À travers une surface orientée $S$ (vecteur normal $n$ ), on définit :

$d e ˊ bit massique D_{m} = \iint_{S} μ v \cdot d S (kg / s), d e ˊ bit volumique D_{V} = \iint_{S} v \cdot d S (m^{3} / s) .$

Le débit massique est le flux du vecteur $μ v$ ; le débit volumique celui de $v$ . Pour un fluide de masse volumique uniforme, $D_{m} = μ D_{V}$ .

Proposition 4.6Vitesse uniforme sur une section droite

Si $v$ est uniforme et normal à une section plane $S$ , alors $D_{V} = v S$ et $D_{m} = μ v S$ .

Exemple 4.7Ordre de grandeur

Eau ( $μ = 1000 kg / m^{3}$ ) circulant à $v = 1.5 m / s$ dans une conduite de section $S = 2 \times 1 0^{- 3} □ m$ : $D_{V} = v S = 3 \times 1 0^{- 3} m^{3} / s = 3 L / s$ et $D_{m} = μ D_{V} = 3 kg / s$ .

4.1.5 Conservation de la masse

Démonstration (Bilan de masse à une dimension)

On considère une tranche fixe entre les abscisses $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , dans un écoulement $v = v (x, t) e_{x}$ . La masse contenue est $d m = μ (x, t) S d x$ . Pendant $d t$ , sa variation $\frac{\partial μ}{\partial t} S d x d t$ est égale au bilan entrant $-$ sortant du flux $j = μv$ :

$\frac{\partial μ}{\partial t} S d x d t = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t .$

En divisant par $S d x d t$ et en passant à la limite : $\frac{\partial μ}{\partial t} + \frac{\partial ( μv )}{\partial x} = 0$ .

◆Théorème 4.8Équation locale de conservation de la masse

En géométrie quelconque, la masse ne se crée ni ne se détruit :

$\frac{\partial μ}{\partial t} + div (μ v) = 0.$

Définition 4.9Écoulement incompressible et homogène

Un écoulement est incompressible et homogène si la masse volumique est constante et uniforme : $μ = cte$ . Le volume d'un système fermé de fluide se conserve alors, et la conservation de la masse se réduit à

$div v = 0.$

Proposition 4.10Conservation du débit dans un tube de courant

Pour un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d'un tube de courant : $μ_{1} S_{1} v_{1} = μ_{2} S_{2} v_{2}$ . Si de plus l'écoulement est incompressible et le tube indéformable, c'est le débit volumique qui se conserve :

$D_{V} = S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2} = cte .$

Le fluide accélère là où la section se rétrécit.

4.2 Actions de contact : pression et viscosité

Sur une particule de fluide s'exercent des forces de volume (pesanteur) et des actions de contact exercées par le fluide voisin à travers sa surface. On les décompose en une composante normale (pression) et une composante tangentielle (viscosité).

4.2.1 Forces de pression

Définition 4.11Force de pression, équivalent volumique

La force de pression exercée par le fluide extérieur sur un élément de surface $d S$ (orienté vers l'extérieur) est normale et dirigée vers l'intérieur : $d F = - P d S$ . La résultante sur une particule de volume $d τ$ s'écrit comme une force volumique

$d F_{pression} = - grad P d τ, f_{P} = - grad P .$

Le fluide est poussé des hautes vers les basses pressions.

iRemarqueStatique des fluides

En l'absence d'écoulement, $- grad P + μ g = 0$ . Pour un fluide incompressible : $P (z) = P_{0} - μg z$ (loi de l'hydrostatique). Pour l'atmosphère isotherme, gaz parfait $μ = P M / (R T)$ , l'intégration donne la loi barométrique $P (z) = P_{0} e^{- z / H}$ avec la hauteur caractéristique $H = R T / (M g) \approx 8 km$ .

4.2.2 Viscosité : contrainte de cisaillement

Dans un fluide réel en mouvement, des forces tangentielles apparaissent entre couches animées de vitesses différentes : c'est la viscosité, manifestation du transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes. On l'introduit sur un écoulement parallèle (cisaillement simple) $v = v_{x} (y) e_{x}$ .

Définition 4.12Fluide newtonien, viscosité dynamique

Pour un écoulement parallèle $v = v_{x} (y) e_{x}$ , la force tangentielle exercée par le fluide situé au-dessus (côté $y$ croissant) sur la surface $d S$ du fluide situé en dessous vaut, pour un fluide newtonien,

$d F = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} d S e_{x} .$

$η$ est la viscosité dynamique ( $Pa s$ ). La contrainte tangentielle (force surfacique) vaut $τ = η \frac{\partial v _{x}}{\partial y}$ . On introduit aussi la viscosité cinématique $ν = η / μ$ ( $□ m / s$ ).

iRemarqueOrdres de grandeur à

20° C

Eau : $η \approx 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ; air : $η \approx 1.8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ ; glycérine : $η \approx 1 Pa s$ . À retenir : $η_{eau} \approx 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ .

ImportantCondition d'adhérence

À l'interface entre un fluide visqueux et un solide, le fluide adhère à la paroi : sa vitesse y est égale à celle de la paroi. Sur une paroi fixe, $v = 0$ . C'est cette condition d'adhérence qui impose l'existence de gradients de vitesse, donc de contraintes visqueuses, près des parois.

Exemple 4.13Écoulement de Couette plan

Deux plaques horizontales distantes de $h$ , l'inférieure fixe, la supérieure animée de $v = V e_{x}$ . En régime stationnaire, sans gradient de pression, le profil est linéaire $v_{x} (y) = V y / h$ (adhérence aux deux plaques). La contrainte est uniforme $τ = η V / h$ : la force à exercer par unité de surface pour entraîner la plaque supérieure vaut $η V / h$ .

4.3 Écoulement interne dans une conduite cylindrique

4.3.1 Régimes laminaire et turbulent

ImportantDeux régimes d'écoulement

Pour un écoulement incompressible et homogène dans une conduite :

régime laminaire : les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans se mélanger ; les lignes de courant sont régulières et parallèles à l'axe. Le transfert de quantité de mouvement transverse se fait par diffusion (viscosité).
régime turbulent : l'écoulement est tourbillonnaire, chaotique, fortement mélangé ; le transfert transverse de quantité de mouvement est dominé par la convection (déplacement macroscopique de paquets de fluide).

Le régime dépend du nombre de Reynolds (paragraphe suivant).

Définition 4.14Vitesse débitante

La vitesse débitante (ou vitesse moyenne) $v ˉ$ dans une conduite de section $S$ est définie par

$v ˉ = \frac{D _{V}}{S} = \frac{1}{S} \iint_{S} v \cdot d S .$

Elle relie simplement débit volumique et section : $D_{V} = v ˉ S$ . En régime laminaire, elle diffère de la vitesse maximale sur l'axe ; en régime turbulent, le profil est beaucoup plus « plat » et $v ˉ$ en est proche.

4.3.2 Écoulement de Poiseuille

À bas nombre de Reynolds, l'écoulement dans une conduite cylindrique de rayon $R$ est laminaire, stationnaire et de révolution : $v = v (r) e_{x}$ (axe $O x$ ). La viscosité impose l'adhérence $v (R) = 0$ , un gradient de pression axial constant entretient l'écoulement.

Démonstration (Profil parabolique de Hagen--Poiseuille)

Isolons un cylindre coaxial de rayon $r$ , de longueur $L$ . En régime permanent, la somme des forces axiales est nulle. Les forces de pression sur les deux bases donnent $[P (0) - P (L)] π r^{2} = Δ P π r^{2}$ (avec $Δ P = P_{1} - P_{2} > 0$ ). La force visqueuse s'exerce sur la surface latérale $2 π r L$ : le fluide extérieur (plus lent) freine, contrainte $τ = η \frac{d v}{d r}$ (négative). Le bilan axial s'écrit

$Δ P π r^{2} + η \frac{d v}{d r} 2 π r L = 0 ⟹ \frac{d v}{d r} = - \frac{Δ P}{2 η L} r .$

En intégrant avec $v (R) = 0$ :

$v (r) = \frac{Δ P}{4 η L} (R^{2} - r^{2}) .$

Le profil est parabolique, nul à la paroi, maximal sur l'axe $v_{m a x} = \frac{Δ P R ^{2}}{4 η L}$ .

◆Théorème 4.15Loi de Hagen--Poiseuille

Le débit volumique s'obtient en intégrant le profil sur la section :

$D_{V} = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r = \frac{2 π Δ P}{4 η L} \int_{0}^{R} (R^{2} - r^{2}) r d r = \frac{π R ^{4}}{8 η L} Δ P .$

Le débit est proportionnel à la quatrième puissance du rayon : diviser le rayon par deux divise le débit par $16$ à chute de pression fixée.

4.3.3 Résistance hydraulique et analogie électrique

Définition 4.16Résistance hydraulique

Pour un écoulement laminaire, la chute de pression est proportionnelle au débit. On définit la résistance hydraulique $R_{h}$ par

$Δ P = R_{h} D_{V}, R_{h} = \frac{8 η L}{π R ^{4}} (Pa s / m^{3}) .$

ImportantAnalogie électrocinétique

La relation $Δ P = R_{h} D_{V}$ est formellement identique à la loi d'Ohm $U = R I$ : la chute de pression $Δ P$ joue le rôle de la tension $U$ , le débit volumique $D_{V}$ celui de l'intensité $I$ , la résistance hydraulique $R_{h}$ celui de la résistance $R$ . Les règles d'association se transposent :

$en s e ˊ rie R_{h} = i \sum R_{h, i}, en parall e ˋ le \frac{1}{R _{h}} = i \sum \frac{1}{R _{h, i}} .$

Cette analogie structure l'étude des réseaux de conduites (microfluidique, circulation sanguine, réseaux d'irrigation).

4.3.4 Chute de pression en régime quelconque

iRemarqueAdimensionnement et similitude

La loi $Δ P = R_{h} D_{V}$ (linéaire) ne vaut qu'à bas Reynolds. En général, on présente la chute de pression sous forme adimensionnée : le coefficient de perte de charge $λ$ tel que $Δ P = λ \frac{L}{D} \frac{1}{2} μ v ˉ^{2}$ est une fonction du seul nombre de Reynolds (et de la rugosité). En laminaire, $λ = 64/ R e$ (on retrouve Hagen--Poiseuille) ; en turbulent, $λ$ dépend faiblement de $R e$ et $Δ P$ croît approximativement comme $v ˉ^{2}$ . Ce paramétrage adimensionné permet de transposer des résultats entre systèmes semblables réalisés à des échelles différentes (similitude).

4.4 Nombre de Reynolds

4.4.1 Deux temps caractéristiques

Le transfert transverse de quantité de mouvement se fait par deux mécanismes en compétition, auxquels on associe deux temps caractéristiques sur l'échelle spatiale $L$ et la vitesse $V$ de l'écoulement :

$τ_{diff} \sim \frac{L ^{2}}{ν} (diffusion visqueuse), τ_{conv} \sim \frac{L}{V} (convection) .$

Définition 4.17Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds est le rapport sans dimension

$R e = \frac{τ _{diff}}{τ _{conv}} = \frac{L ^{2} / ν}{L / V} = \frac{V L}{ν} = \frac{μ V L}{η} .$

Il compare le temps mis par la diffusion visqueuse pour transporter la quantité de mouvement sur $L$ au temps mis par la convection : $R e$ grand signifie que la convection l'emporte largement sur la diffusion.

Proposition 4.18Interprétation dynamique équivalente

Le nombre de Reynolds est aussi le rapport, en ordre de grandeur, du terme convectif (inertiel) au terme diffusif (visqueux) de l'équation du mouvement :

$\frac{( v \cdot grad ) v}{ν Δ v} \sim \frac{V ^{2} / L}{ν V / L ^{2}} = \frac{V L}{ν} = R e .$

4.4.2 Régimes et transition

ImportantCaractérisation du régime

$R e ≪ 1$ : la diffusion visqueuse domine, écoulement rampant, très visqueux (monde des micro-organismes).
$R e$ modéré (jusqu'à $\sim 2000$ en conduite) : écoulement laminaire.
$R e$ grand ( $≳ 4000$ en conduite) : écoulement turbulent.

La valeur de transition n'est pas universelle : elle dépend de la géométrie et des perturbations.

Exemple 4.19Calculs de Reynolds

Eau ( $ν = 1 \times 1 0^{- 6} □ m / s$ ) dans un tuyau de diamètre $L = 2 cm$ à $V = 1 m / s$ : $R e = V L / ν = 0, 02/1 0^{- 6} = 2 \cdot 1 0^{4}$ , turbulent. Pour une bactérie ( $L \sim 1 \times 1 0^{- 6} m$ , $V \sim 1 \times 1 0^{- 5} m / s$ ) : $R e \sim 1 0^{- 5}$ , monde rampant où l'inertie est négligeable.

4.5 Écoulement externe autour d'un obstacle

Un obstacle solide plongé dans un écoulement (ou se déplaçant dans un fluide au repos) subit une force de contact résultante $F$ . On la décompose en une composante parallèle à la vitesse relative — la traînée — et une composante perpendiculaire — la portance.

4.5.1 Force de traînée et coefficient $C_{x}$

Définition 4.20Traînée, coefficient

C_{x}

La force de traînée $F_{x}$ est la composante de $F$ colinéaire à la vitesse relative $v$ du fluide par rapport à l'obstacle ; elle s'oppose au mouvement de l'obstacle dans le fluide. On l'écrit

$F_{x} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{x},$

où $S$ est une surface de référence (maître-couple, $S = π R^{2}$ pour une sphère de rayon $R$ ) et $C_{x}$ le coefficient de traînée, sans dimension, fonction du nombre de Reynolds $R e = μv D / η$ (avec $D$ le diamètre).

ImportantDeux modèles de traînée selon

R e

Pour une sphère solide en mouvement rectiligne uniforme :

bas Reynolds ( $R e ≲ 1$ ) : traînée linéaire en vitesse (loi de Stokes)

$F_{x} = - 6 π η R v, soit C_{x} = \frac{24}{R e} .$

haut Reynolds ( $1 0^{3} ≲ R e ≲ 2 \cdot 1 0^{5}$ ) : traînée quadratique en vitesse, $C_{x}$ quasi constant ( $\approx 0, 4$ – $0, 5$ pour une sphère, « plateau »), d'où $F_{x} \propto v^{2}$ .

On associe donc une gamme de $R e$ à un modèle de traînée.

4.5.2 Couche limite

Définition 4.21Couche limite

À grand nombre de Reynolds, la viscosité n'est efficace que dans une fine zone au contact de l'obstacle, la couche limite, où la vitesse passe de $0$ (paroi, adhérence) à la valeur de l'écoulement extérieur. En dehors de cette couche, l'écoulement peut être traité comme parfait (viscosité négligée). La couche limite est le siège de la traînée visqueuse ; son décollement à l'arrière de l'obstacle engendre un sillage tourbillonnaire responsable d'une traînée de pression supplémentaire.

4.5.3 Portance : aile d'avion à haut Reynolds

Définition 4.22Traînée et portance d'une aile

Pour une aile d'avion à haut Reynolds, la force exercée par l'air se décompose en :

la traînée $F_{x}$ , parallèle à la vitesse relative de l'air, de même sens qu'elle (elle freine l'avion) : $F_{x} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{x}$ ;
la portance $F_{z}$ , perpendiculaire à la vitesse relative, dirigée vers le haut (elle soutient l'avion) : $F_{z} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{z}$ .

$S$ est la surface de référence de l'aile, $C_{x}$ et $C_{z}$ les coefficients de traînée et de portance, fonctions de l'angle d'incidence $α$ .

ImportantOrigine qualitative de la portance

Une aile profilée dévie vers le bas l'air qui la contourne ; par réaction, l'air exerce sur l'aile une force vers le haut. En termes de pression : l'écoulement est plus rapide sur l'extrados (dessus) que sur l'intrados (dessous), donc la pression y est plus faible (effet Bernoulli), d'où une résultante ascendante. La finesse $C_{z} / C_{x}$ mesure la qualité aérodynamique ; au-delà d'une incidence critique, la couche limite décroche et la portance chute brutalement (décrochage).

4.6 Synthèse du chapitre

Cinématique : champ eulérien $v (M, t)$ ; ligne de courant tangente à $v$ ; accélération $a = \partial v / \partial t + (v \cdot grad) v$ .
Débits : $D_{m} = \iint μ v \cdot d S$ , $D_{V} = \iint v \cdot d S$ ; conservation de la masse $\partial μ / \partial t + div (μ v) = 0$ ; incompressible et homogène : $μ = cte \Rightarrow div v = 0$ , débit conservé le long d'un tube.
Viscosité (newtonien, écoulement parallèle) : $τ = η \partial v_{x} / \partial y$ ; $η_{eau} \approx 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ; adhérence à la paroi.
Poiseuille : profil parabolique $v (r) = v_{m a x} (1 - r^{2} / R^{2})$ ; Hagen--Poiseuille $D_{V} = \frac{π R ^{4}}{8 η L} Δ P$ ; résistance hydraulique $R_{h} = \frac{8 η L}{π R ^{4}}$ , $Δ P = R_{h} D_{V}$ (analogie $U = R I$ , séries/parallèles).
Reynolds $R e = \frac{V L}{ν} = \frac{τ _{diff}}{τ _{conv}}$ : convection vs diffusion. Laminaire ( $R e$ petit) / turbulent ( $R e$ grand).
Traînée $F_{x} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{x}$ : linéaire (Stokes, $F = 6 π η R v$ ) à bas $R e$ , quadratique à haut $R e$ . Couche limite mince à grand $R e$ ; portance $F_{z} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{z}$ perpendiculaire à $v$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.7 Exercices résolus

Exemple 4.23Conservation du débit dans un rétrécissement

De l'eau incompressible passe d'une conduite de diamètre $D_{1} = 10 cm$ où $v_{1} = 2 m / s$ à une conduite $D_{2} = 5 cm$ . Calculer $v_{2}$ et le débit volumique.

Démonstration

Débit conservé : $v_{1} S_{1} = v_{2} S_{2}$ avec $S = π D^{2} /4$ , donc $v_{2} = v_{1} (D_{1} / D_{2})^{2} = 2 \times 2^{2} = 8 m / s$ . Le débit vaut $D_{V} = v_{1} S_{1} = 2 \times π (0, 05)^{2} \approx 1.57 \times 1 0^{- 2} m^{3} / s \approx 15.7 L / s$ .

Exemple 4.24Écoulement de Couette : force d'entraînement

De la glycérine ( $η = 1 Pa s$ ) remplit l'espace $h = 2 mm$ entre deux plaques de surface $S = 0.1 □ m$ . La plaque supérieure se déplace à $V = 0.5 m / s$ . Calculer la force à exercer.

Démonstration

Profil linéaire, contrainte uniforme $τ = η V / h$ . La force vaut

$F = τ S = η \frac{V}{h} S = 1 \times \frac{0 , 5}{2 \cdot 1 0 ^{- 3}} \times 0, 1 = 25 N .$

Exemple 4.25Résistance hydraulique d'un capillaire

De l'eau ( $η = 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ) s'écoule dans un capillaire de rayon $R = 0.5 mm$ et de longueur $L = 10 cm$ sous une chute de pression $Δ P = 100 Pa$ . Calculer $R_{h}$ puis $D_{V}$ .

Démonstration

$R_{h} = \frac{8 η L}{π R ^{4}} = \frac{8 \times 1 0 ^{- 3} \times 0 , 1}{π ( 5 \cdot 1 0 ^{- 4} ) ^{4}} \approx 4.1 \times 1 0^{9} Pa s / m^{3} .$

Puis $D_{V} = Δ P / R_{h} = 100/ (4, 1 \cdot 1 0^{9}) \approx 2.4 \times 1 0^{- 8} m^{3} / s \approx 2.4 \times 1 0^{- 2} mL / s$ . La dépendance en $R^{4}$ rend le capillaire très résistant.

Exemple 4.26Vérification du régime de Poiseuille

Dans le capillaire précédent, la vitesse débitante vaut $v ˉ = D_{V} / (π R^{2})$ . Calculer $v ˉ$ puis $R e$ ; le régime laminaire supposé est-il justifié ?

Démonstration

$v ˉ = D_{V} / (π R^{2}) = 2, 4 \cdot 1 0^{- 8} / (π (5 \cdot 1 0^{- 4})^{2}) \approx 3.1 \times 1 0^{- 2} m / s$ . Avec $ν = η / μ = 1 0^{- 6}$ et $L_{car} = 2 R = 1 \times 1 0^{- 3} m$ :

$R e = \frac{v ˉ ( 2 R )}{ν} = \frac{3 , 1 \cdot 1 0 ^{- 2} \times 1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 6}} \approx 31 ≪ 2000.$

L'écoulement est bien laminaire : la loi de Hagen--Poiseuille s'applique.

Exemple 4.27Nombre de Reynolds autour d'un câble

De l'air ( $μ = 1.2 kg / m^{3}$ , $η = 1.8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ ) s'écoule à $v = 15 m / s$ autour d'un câble de diamètre $D = 1 cm$ . Régime ?

Démonstration

$R e = \frac{μv D}{η} = \frac{1 , 2 \times 15 \times 0 , 01}{1 , 8 \cdot 1 0 ^{- 5}} = \frac{0 , 18}{1 , 8 \cdot 1 0 ^{- 5}} = 1, 0 \cdot 1 0^{4} .$

$R e \sim 1 0^{4}$ : régime turbulent, sillage tourbillonnaire derrière le câble (vibrations éoliennes possibles).

Exemple 4.28Vitesse limite de chute d'une bille (Stokes)

Une bille de rayon $R = 1 mm$ , masse volumique $μ_{b} = 2500 kg / m^{3}$ , tombe dans la glycérine ( $μ = 1260 kg / m^{3}$ , $η = 1 Pa s$ ). Calculer la vitesse limite, puis vérifier $R e$ .

Démonstration

À la vitesse limite, poids apparent = traînée de Stokes : $\frac{4}{3} π R^{3} (μ_{b} - μ) g = 6 π η R v_{ℓ}$ , d'où

$v_{ℓ} = \frac{2 R ^{2} ( μ _{b} - μ ) g}{9 η} = \frac{2 \times ( 1 0 ^{- 3} ) ^{2} \times 1240 \times 9 , 81}{9 \times 1} \approx 2.7 \times 1 0^{- 3} m / s .$

Vérification : $R e = μ v_{ℓ} (2 R) / η = 1260 \times 2, 7 \cdot 1 0^{- 3} \times 2 \cdot 1 0^{- 3} /1 \approx 7 \cdot 1 0^{- 3} ≪ 1$ : le modèle linéaire de Stokes est légitime.

Exemple 4.29Traînée quadratique d'une voiture

Une voiture ( $S = 2.2 □ m$ , $C_{x} = 0, 30$ ) roule à $v = 130 km / h$ dans l'air ( $μ = 1.2 kg / m^{3}$ ). Calculer la force de traînée et la puissance à fournir pour la vaincre.

Démonstration

$v = 130/3, 6 \approx 36 m / s$ .

$F_{x} = \frac{1}{2} μ v^{2} S C_{x} = \frac{1}{2} \times 1, 2 \times 3 6^{2} \times 2, 2 \times 0, 30 \approx 510 N .$

Puissance $P = F_{x} v \approx 510 \times 36 \approx 1.8 \times 1 0^{4} W \approx 18 kW$ . La croissance en $v^{3}$ explique l'intérêt de réduire la vitesse sur autoroute.

Exemple 4.30Portance et sustentation d'un avion

Un avion de masse $m = 7 \times 1 0^{4} kg$ vole à $v = 250 m / s$ , surface d'aile $S = 120 □ m$ , air $μ = 0.4 kg / m^{3}$ (altitude). Quel coefficient de portance $C_{z}$ assure la sustentation ?

Démonstration

La portance équilibre le poids : $\frac{1}{2} μ v^{2} S C_{z} = m g$ , d'où

$C_{z} = \frac{2 m g}{μ v ^{2} S} = \frac{2 \times 7 \cdot 1 0 ^{4} \times 9 , 81}{0 , 4 \times 25 0 ^{2} \times 120} \approx 0, 46.$

Valeur réaliste pour une aile en croisière.

4.8 Exercices d'entraînement

Débit et vitesse. Une conduite de diamètre $8 cm$ transporte $D_{V} = 10 L / s$ d'eau. Calculer la vitesse débitante et le débit massique.

Incompressibilité. Le champ $v = (a x^{2}) e_{x} + (b x y) e_{y}$ est-il incompressible ? Trouver la relation entre $a$ et $b$ .

Accélération convective. Pour $v = v_{0} (1 + x / L) e_{x}$ stationnaire, calculer l'accélération $a (x)$ et sa valeur en $x = L$ . Commenter le fait qu'elle soit non nulle en régime stationnaire.

Profil de Poiseuille. À partir de $v (r) = v_{m a x} (1 - r^{2} / R^{2})$ , montrer que la vitesse débitante vaut $v ˉ = v_{m a x} /2$ et exprimer $D_{V}$ en fonction de $v_{m a x}$ et $R$ .

Loi en $R^{4}$ . Une artère se rétrécit, son rayon diminuant de $20 %$ . À chute de pression constante, de quel facteur le débit est-il réduit ? Conclure sur les pathologies de sténose.

Résistances hydrauliques. Deux capillaires identiques de résistance $R_{h}$ sont montés (a) en série, (b) en parallèle. Donner la résistance équivalente et le rapport des débits totaux à $Δ P$ imposé.

Perte de charge. Entre deux points d'une conduite horizontale de section constante, on mesure $P_{1} - P_{2} = 5 \times 1 0^{3} Pa$ . Interpréter cette différence. Que vaudrait-elle pour un fluide parfait ?

Reynolds — sang. Sang $μ = 1060 kg / m^{3}$ , $η = 4 \times 1 0^{- 3} Pa s$ , aorte $D = 2.5 cm$ , $v = 0.3 m / s$ . Calculer $R e$ et conclure sur le régime.

Reynolds — similitude. Une maquette d'aile au $1/10$ est testée en soufflerie. À quelle vitesse d'air faut-il l'essayer pour retrouver le $R e$ du vol réel à $250 m / s$ ? Commenter la faisabilité.

Traînée de Stokes. Une gouttelette de brouillard ( $R = 5 μ m$ , $μ_{e} = 1000 kg / m^{3}$ ) tombe dans l'air ( $η = 1.8 \times 1 0^{- 5} Pa s$ ). Calculer sa vitesse limite et son $R e$ .

Traînée quadratique — parachute. Un parachutiste ( $m = 90 kg$ , $S = 25 □ m$ , $C_{x} = 1, 4$ ) descend dans l'air ( $μ = 1.2 kg / m^{3}$ ). Calculer sa vitesse limite de chute.

Finesse et décrochage. Pour une aile, $C_{z} (α)$ croît puis chute au-delà d'une incidence critique $α_{c}$ . Expliquer, par la couche limite, le phénomène de décrochage et l'existence d'une finesse $C_{z} / C_{x}$ maximale.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices

Fluides en écoulement

4.1 Description d'un fluide en écoulement

4.1.1 Particule de fluide et champ eulérien

4.1.2 Lignes de courant, tube de courant

4.1.3 Dérivée particulaire et accélération

4.1.4 Débits

4.1.5 Conservation de la masse

4.2 Actions de contact : pression et viscosité

4.2.1 Forces de pression

4.2.2 Viscosité : contrainte de cisaillement

4.3 Écoulement interne dans une conduite cylindrique

4.3.1 Régimes laminaire et turbulent

4.3.2 Écoulement de Poiseuille

4.3.3 Résistance hydraulique et analogie électrique

4.3.4 Chute de pression en régime quelconque

4.4 Nombre de Reynolds

4.4.1 Deux temps caractéristiques

4.4.2 Régimes et transition

4.5 Écoulement externe autour d'un obstacle

4.5.1 Force de traînée et coefficient Cx​

4.5.2 Couche limite

4.5.3 Portance : aile d'avion à haut Reynolds

4.6 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.7 Exercices résolus

4.8 Exercices d'entraînement

4.5.1 Force de traînée et coefficient $C_{x}$