Système fermé et bilans d'énergie

Cours complet · phénomènes de transport (PSI), chapitre 5 · CPGE PSI (2e année)

La physique de deuxième année multiplie les situations où l'on ne cherche plus à décrire le mouvement point par point, mais à comptabiliser une grandeur : de l'énergie qui entre dans une turbine, de la matière qui traverse un réacteur, de la quantité de mouvement échangée par une éolienne. Toutes ces analyses reposent sur un même outil : le bilan d'une grandeur extensive sur un système fermé. Ce chapitre installe d'abord la méthode générale des bilans — un langage unique valable pour la masse, la charge, l'énergie ou la quantité de mouvement — puis l'applique à l'énergie. On revisite les bilans d'énergie mécanique (théorème de l'énergie cinétique, énergie potentielle, puissance des forces), avant d'aborder les installations en écoulement. La clé, en PSI, est de toujours se ramener à un système fermé, quitte à le faire coïncider instantanément avec un volume de contrôle traversé par un fluide.

5.1 Le langage des bilans

5.1.1 Système ouvert, système fermé

Définition 5.1Système fermé, système ouvert

Un système fermé est une portion de matière qui n'échange pas de matière avec l'extérieur : sa masse est constante, on suit toujours les mêmes particules. Un système ouvert échange de la matière avec l'extérieur à travers sa frontière (on parle alors de surface de contrôle).

Les grands théorèmes de la mécanique et de la thermodynamique (principe fondamental de la dynamique, théorème de l'énergie cinétique, premier et second principes) sont énoncés pour un système fermé. Une turbine, un compresseur, une tuyère sont pourtant traversés en permanence par un fluide : ce sont des systèmes ouverts. Toute la stratégie PSI consiste à ramener l'étude d'un système ouvert à celle d'un système fermé judicieusement choisi.

ImportantPrincipe directeur du chapitre

On ne sait écrire de lois d'évolution que pour un système fermé. Devant un dispositif traversé par un écoulement, on définit un système fermé — le fluide contenu à l'instant $t$ dans un volume de contrôle — et on suit son évolution entre $t$ et $t + d t$ .

5.1.2 Grandeur extensive : la structure d'un bilan

Définition 5.2Grandeur extensive

Une grandeur $G$ est extensive si, pour un système formé de la réunion de deux sous-systèmes disjoints, elle est la somme des grandeurs de chaque partie : $G = G_{1} + G_{2}$ . Masse, charge, énergie, entropie, quantité de mouvement, moment cinétique sont extensives ; température, pression, masse volumique sont intensives.

La propriété d'additivité permet de compter. Sur un intervalle de temps, la quantité de $G$ contenue dans le système peut varier pour deux raisons seulement : parce que du $G$ a traversé la frontière (échange), ou parce que du $G$ a été créé ou détruit à l'intérieur (production).

◆Théorème 5.3Équation générale de bilan

Pour toute grandeur extensive $G$ et tout système, sur un intervalle de temps $d t$ ,

$variation d G = e ˊ chang e ˊ δ^{e} G + cr e ˊ e ˊ (produit) δ^{c} G$

ou, sous forme de débits (grandeurs par unité de temps),

$\frac{d G}{d t} = F_{e ˊ ch} + P_{cr e ˊ e ˊ},$

où $F_{e ˊ ch}$ est le flux échangé à travers la frontière et $P_{cr e ˊ e ˊ}$ le taux de production interne.

Définition 5.4Grandeur conservative

Une grandeur extensive est dite conservative lorsque son terme de production est identiquement nul ( $δ^{c} G = 0$ ) : elle ne peut ni apparaître ni disparaître, seulement être échangée. La masse (hors réaction nucléaire), la charge électrique, l'énergie et la quantité de mouvement sont conservatives ; l'entropie ne l'est pas (elle est créée par toute irréversibilité), pas plus que le nombre de particules d'une espèce chimique consommée par une réaction.

iRemarqueConventions de signe

Comme en thermodynamique, on compte positivement ce qui est reçu par le système : un terme d'échange positif augmente $G$ . Un flux entrant est $> 0$ , un flux sortant $< 0$ . Le respect scrupuleux des signes est la principale source d'erreur dans les bilans.

Méthode : Conduire un bilan de grandeur extensive

Choisir le système fermé et le préciser sans ambiguïté (quelle matière, entre quels instants).
Choisir la grandeur extensive $G$ pertinente (énergie cinétique, énergie, quantité de mouvement…).
Écrire la variation $d G = G (t + d t) - G (t)$ du système fermé.
Inventorier les échanges à travers la frontière (travail, transfert thermique, flux convectif de matière).
Évaluer la production interne (nulle si $G$ est conservative).
Égaler et projeter pour obtenir la relation cherchée.

Exemple 5.5Bilan de matière dans un réservoir

Un réservoir reçoit un débit massique $D_{e}$ et en laisse échapper $D_{s}$ . La masse $m (t)$ contenue est une grandeur conservative (aucune production). Le bilan s'écrit simplement

$\frac{d m}{d t} = D_{e} - D_{s} .$

Démonstration

Ici $G = m$ , $P_{cr e ˊ e ˊ} = 0$ (la masse ne se crée pas). Le flux échangé est la différence entre ce qui entre ( $+ D_{e}$ ) et ce qui sort ( $- D_{s}$ ). En régime stationnaire $d m / d t = 0$ , d'où $D_{e} = D_{s}$ : conservation du débit.

5.2 Bilan d'énergie mécanique d'un système fermé

On applique maintenant la structure précédente à l'énergie d'un système mécanique (point matériel ou solide) fermé, dans un référentiel galiléen.

5.2.1 Puissance et travail d'une force

Définition 5.6Puissance d'une force

La puissance instantanée d'une force $F$ dont le point d'application se déplace à la vitesse $v$ est le produit scalaire

$P = F \cdot v (en watts, W) .$

Le travail élémentaire est $δ W = P d t = F \cdot d ℓ$ , et le travail sur un trajet $W = \int F \cdot d ℓ$ .

Proposition 5.7Force motrice, résistante, ne travaillant pas

Le signe de $P = F \cdot v = F v cos θ$ classe les forces : motrice si $P > 0$ ( $F$ « tire » dans le sens du mouvement), résistante si $P < 0$ (frottements). Une force orthogonale à la vitesse (réaction normale d'un support, force magnétique, tension d'un fil pour un pendule) ne travaille pas.

5.2.2 Théorème de l'énergie cinétique

Définition 5.8Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un point de masse $m$ et de vitesse $v$ vaut $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Pour un système de points, elle est extensive : $E_{c} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}$ .

◆Théorème 5.9Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système fermé est égale à la somme des travaux (ou puissances) de toutes les forces, extérieures et intérieures :

$\frac{d E _{c}}{d t} = P_{ext} + P_{int} soit Δ E_{c} = W_{ext} + W_{int}$

Démonstration (Interprétation comme bilan)

L'énergie cinétique est extensive mais non conservative : elle est « produite » par le travail des forces. Dans le vocabulaire des bilans, $P_{ext} + P_{int}$ joue le rôle du terme source de $E_{c}$ . Pour un unique point matériel, il n'y a pas de forces intérieures et l'on retrouve $d (\frac{1}{2} m v^{2}) = F \cdot v d t$ , qui découle directement de $m \frac{d v}{d t} = F$ multiplié scalairement par $v$ .

AttentionNe pas oublier les forces intérieures

Pour un système déformable (deux mobiles reliés par un ressort, un solide qui se casse, une explosion), les forces intérieures travaillent en général : $P_{int} \neq = 0$ . Ce n'est que pour un solide indéformable que la puissance des forces intérieures est nulle.

5.2.3 Énergie potentielle et forces conservatives

Définition 5.10Force conservative, énergie potentielle

Une force $F$ est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi : il dérive d'une énergie potentielle $E_{p}$ telle que $δ W = - d E_{p}$ , c'est-à-dire $F = - grad E_{p}$ . Exemples : pesanteur $E_{p} = m g z$ , force de rappel élastique $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ , interaction gravitationnelle ou électrostatique.

Définition 5.11Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles associées aux forces conservatives :

$E_{m} = E_{c} + E_{p} .$

◆Théorème 5.12Bilan d'énergie mécanique

En séparant les forces en conservatives (d'énergie potentielle $E_{p}$ ) et non conservatives (de puissance $P_{nc}$ ), le théorème de l'énergie cinétique se réécrit

$\frac{d E _{m}}{d t} = P_{nc} soit Δ E_{m} = W_{nc}$

La variation d'énergie mécanique est égale au travail des seules forces non conservatives.

Démonstration (Passage du TEC au bilan mécanique)

Le TEC donne $d E_{c} = δ W_{cons} + δ W_{nc}$ . Or par définition $δ W_{cons} = - d E_{p}$ . Donc $d E_{c} + d E_{p} = δ W_{nc}$ , soit $d E_{m} = δ W_{nc}$ .

ImportantCas particulier : conservation de l'énergie mécanique

Si toutes les forces qui travaillent sont conservatives ( $P_{nc} = 0$ ), alors $E_{m} = cte$ : l'énergie mécanique se conserve. C'est la situation idéale sans frottement. Les forces non conservatives (frottements solides ou fluides, actions dissipatives) diminuent $E_{m}$ : $W_{nc} < 0$ , l'énergie mécanique est convertie en énergie interne (échauffement).

Figure : Descente d'un bloc avec frottement : la force de frottement

f

, non conservative et résistante, dissipe l'énergie mécanique.

Exemple 5.13Descente d'un bloc avec frottement

Un bloc de masse $m$ glisse sur une distance $L$ le long d'un plan incliné d'angle $α$ , soumis à un frottement solide de norme constante $f$ . Sa vitesse passe de $0$ à $v$ . Relier $v$ , $L$ , $α$ et $f$ .

Démonstration

La réaction normale ne travaille pas. Le poids (conservatif) fait varier $E_{p}$ de $- m g L sin α$ . Le frottement est non conservatif : $W_{nc} = - f L$ . Le bilan d'énergie mécanique donne

$Δ E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - m g L sin α = - f L ⟹ v = 2 L (g sin α - \frac{f}{m}) .$

Le mouvement n'est possible que si $g sin α > f / m$ : la composante motrice du poids doit vaincre le frottement.

Exemple 5.14Distance de freinage d'un véhicule

Une voiture de masse $m$ roulant à $v_{0}$ freine, roues bloquées, sur une route horizontale de coefficient de frottement $μ$ . Déterminer la distance d'arrêt $D$ .

Démonstration

La force de frottement vaut $f = μ m g$ (réaction normale $= m g$ ). Le bilan d'énergie mécanique (altitude constante, donc $Δ E_{p} = 0$ ) s'écrit $Δ E_{c} = W_{nc}$ :

$0 - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - μ m g D ⟹ D = \frac{v _{0}^{2}}{2 μg} .$

La distance d'arrêt croît comme le carré de la vitesse : doubler la vitesse quadruple la distance de freinage. Application : $v_{0} = 90 k m . h^{- 1} = 25 m . s^{- 1}$ , $μ = 0, 7$ , $g = 9, 81 m . s^{- 2}$ donnent $D \approx 45 m$ .

5.3 Chocs : bilans sur un système fermé de plusieurs corps

Un choc met en jeu un système fermé (les corps impliqués) sur lequel les actions extérieures sont négligeables pendant la brève durée de l'interaction. Deux grandeurs se comptabilisent : la quantité de mouvement, toujours conservée, et l'énergie cinétique, qui peut être conservée ou non.

Proposition 5.15Quantité de mouvement dans un choc

Pour un système fermé isolé (ou pseudo-isolé pendant le choc), la quantité de mouvement totale se conserve :

$p_{avant} = p_{apr e ˋ s} soit m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} .$

C'est un bilan de grandeur conservative : aucune production, aucun échange (forces extérieures négligées).

Définition 5.16Choc élastique / inélastique

Un choc est élastique si l'énergie cinétique totale se conserve ( $Δ E_{c} = 0$ ). Il est inélastique sinon ( $Δ E_{c} < 0$ ) : une partie de l'énergie cinétique est convertie en énergie interne (déformation, chaleur, son). Le choc parfaitement mou correspond au cas où les deux corps repartent solidaires.

Exemple 5.17Choc parfaitement mou : perte d'énergie

Un mobile de masse $m$ à la vitesse $v_{0}$ percute et emporte un mobile identique au repos. Calculer la vitesse commune et la fraction d'énergie cinétique dissipée.

Démonstration

Conservation de la quantité de mouvement : $m v_{0} = (2 m) V$ , d'où $V = v_{0} /2$ . Énergie cinétique :

$E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, E_{c,f} = \frac{1}{2} (2 m) (\frac{v _{0}}{2})^{2} = \frac{1}{4} m v_{0}^{2} .$

La fraction dissipée vaut $\frac{E _{c,i} - E _{c,f}}{E _{c,i}} = \frac{1}{2}$ : la moitié de l'énergie cinétique est perdue sous forme d'énergie interne. Le choc mou est le plus dissipatif à quantité de mouvement fixée.

5.4 Bilan d'énergie sur un système en écoulement

On aborde maintenant le cas d'une installation industrielle (turbine, compresseur, échangeur, tuyère) traversée par un fluide en régime stationnaire. Le dispositif est un système ouvert ; on le ramène à un système fermé par la technique du système coïncidant.

5.4.1 Le système fermé coïncidant

Figure : Système fermé coïncidant : entre

t

t + d t

, il perd la tranche entrante

d m_{e}

et gagne la tranche sortante

d m_{s}

; en régime stationnaire, l'intérieur de la machine est inchangé.

Méthode : Construction du système fermé coïncidant

Soit un volume de contrôle fixe (l'intérieur de la machine et un peu de conduite). On définit le système fermé $(Σ^{*})$ comme l'ensemble du fluide qui, à l'instant $t$ , occupe le volume de contrôle plus une petite tranche $d m_{e}$ sur le point d'entrer. À l'instant $t + d t$ , ce même système fermé occupe le volume de contrôle plus une tranche $d m_{s}$ qui vient de sortir. En régime stationnaire, le contenu du volume de contrôle est identique aux deux instants : la variation de toute grandeur extensive du système fermé se réduit à

$d G = G (tranche sortante) - G (tranche entrante) .$

Comme le régime est stationnaire, $d m_{e} = d m_{s} = D_{m} d t$ (conservation du débit).

5.4.2 Travail des forces de pression et enthalpie

Le premier principe appliqué au système fermé $(Σ^{*})$ s'écrit, pour une évolution entre $t$ et $t + d t$ ,

$d U + d E_{c} + d E_{p,pes} = δ W_{pression} + δ W_{u} + δ Q,$

où $δ W_{u}$ est le travail utile (fourni par les parties mobiles de la machine, dit « indiqué ») et $δ W_{pression}$ le travail des forces de pression aux frontières d'entrée et de sortie.

Proposition 5.18Travail de transvasement

Faire entrer la tranche $d m_{e}$ à la pression $P_{e}$ demande le travail moteur $+ P_{e} v_{e}^{mas} d m_{e}$ ( $v^{mas} = 1/ ρ$ volume massique), tandis que la sortie de $d m_{s}$ à $P_{s}$ coûte $- P_{s} v_{s}^{mas} d m_{s}$ . Ce travail de transvasement $δ W_{pression} = (P_{e} v_{e}^{mas} - P_{s} v_{s}^{mas}) D_{m} d t$ combine avec $d U$ pour faire apparaître l'enthalpie $H = U + P V$ .

◆Théorème 5.19Premier principe pour un écoulement stationnaire

Pour un système ouvert en régime stationnaire, à une entrée et une sortie, en grandeurs massiques (par unité de masse traversante),

$Δ h + Δ e_{c} + Δ (g z) = w_{u} + q$

où $Δ h = h_{s} - h_{e}$ est la variation d'enthalpie massique, $Δ e_{c} = \frac{1}{2} (v_{s}^{2} - v_{e}^{2})$ la variation d'énergie cinétique massique, $Δ (g z)$ celle d'énergie potentielle de pesanteur massique, $w_{u}$ le travail utile massique et $q$ le transfert thermique massique. En termes de puissances, en multipliant par $D_{m}$ :

$D_{m} [Δ h + Δ e_{c} + Δ (g z)] = P_{u} + P_{therm} .$

Démonstration (Apparition de l'enthalpie)

En regroupant $d U - δ W_{pression}$ pour les tranches : $d U + P_{s} v_{s}^{mas} d m_{s} - P_{e} v_{e}^{mas} d m_{e}$ . Or l'énergie interne de la tranche sortante moins celle de l'entrante est $(u_{s} - u_{e}) D_{m} d t$ . En ajoutant les termes $P v^{mas}$ , on forme $h = u + P v^{mas}$ , d'où $(h_{s} - h_{e}) D_{m} d t$ . Les termes cinétique et potentiel proviennent de $d E_{c}$ et $d E_{p}$ des tranches. On divise par $d m = D_{m} d t$ pour obtenir la forme massique.

ImportantLecture physique

L'enthalpie est la « bonne » fonction énergétique des écoulements : elle intègre automatiquement le travail de transvasement des forces de pression aux frontières. On n'a donc plus à comptabiliser séparément ce travail. Le travail utile $w_{u}$ ne concerne que les pièces mobiles (aubes de turbine, piston de compresseur).

Capacité numérique : Bilan énergétique d'une installation

Sur un tableur ou en Python, on tabule $h$ , $v$ , $z$ à l'entrée et à la sortie de chaque élément d'une installation (pompe, échangeur, turbine) et l'on calcule $w_{u} = Δ h + Δ e_{c} + Δ (g z) - q$ élément par élément, puis le rendement global comme rapport des puissances utiles.

Exemple 5.20Détente adiabatique dans une turbine

De la vapeur traverse une turbine calorifugée. À l'entrée $h_{e} = 3200 k J . k g^{- 1}$ , à la sortie $h_{s} = 2500 k J . k g^{- 1}$ . On néglige les variations d'énergie cinétique et d'altitude. Calculer le travail utile massique récupéré, puis la puissance pour un débit $D_{m} = 5, 0 k g . s^{- 1}$ .

Démonstration

Turbine calorifugée : $q = 0$ . Termes cinétique et potentiel négligés :

$w_{u} = Δ h = h_{s} - h_{e} = 2500 - 3200 = - 700 k J . k g^{- 1} .$

Le signe négatif signifie que la machine fournit du travail (reçoit un travail négatif). La puissance mécanique récupérée vaut

$∣ P_{u} ∣ = D_{m} ∣ w_{u} ∣ = 5, 0 \times 700 = 3500 k W = 3, 5 M W .$

Exemple 5.21Tuyère : conversion enthalpie / énergie cinétique

Un gaz entre dans une tuyère calorifugée à faible vitesse ( $v_{e} \approx 0$ ) avec $h_{e} = 800 k J . k g^{- 1}$ et en ressort avec $h_{s} = 500 k J . k g^{- 1}$ . La tuyère ne comporte pas de pièce mobile. Calculer la vitesse d'éjection.

Démonstration

Pas de pièce mobile : $w_{u} = 0$ . Calorifugée : $q = 0$ . Altitude constante. Le bilan devient $Δ h + \frac{1}{2} v_{s}^{2} = 0$ , soit

$v_{s} = 2 (h_{e} - h_{s}) = 2 \times 300 \cdot 1 0^{3} \approx 775 m . s^{- 1} .$

La tuyère convertit l'enthalpie du gaz en énergie cinétique : c'est le principe de la propulsion.

5.4.3 Bilan d'énergie mécanique et écoulement parfait

Lorsque le fluide est incompressible et l'écoulement parfait, on peut se contenter d'un bilan d'énergie purement mécanique, sans invoquer l'énergie interne.

ImportantPuissance des actions intérieures d'un écoulement parfait

Pour un écoulement parfait et incompressible, on admet que la puissance des actions intérieures (forces de pression internes) est nulle. Le bilan d'énergie mécanique du système fermé de fluide ne fait alors intervenir que les actions extérieures : pesanteur et forces de pression aux frontières d'entrée et de sortie.

Proposition 5.22Bilan mécanique

\Rightarrow

Bernoulli

En appliquant le bilan d'énergie mécanique au système fermé coïncidant d'un fluide parfait incompressible en régime stationnaire, sans machine ( $w_{u} = 0$ ), on retrouve la conservation de la charge le long d'un tube de courant :

$P_{e} + ρ g z_{e} + \frac{1}{2} ρ v_{e}^{2} = P_{s} + ρ g z_{s} + \frac{1}{2} ρ v_{s}^{2} .$

En présence d'une machine (pompe, turbine), on ajoute le travail utile massique : $\frac{w _{u}}{v ^{mas}} = w_{u} ρ$ s'insère comme un gain ou une perte de charge.

iRemarqueEffet Venturi

Dans un tube horizontal ( $z$ constant), un rétrécissement de section accélère le fluide (conservation du débit $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ , donc $v_{2} > v_{1}$ si $S_{2} < S_{1}$ ). La relation de Bernoulli impose alors

$P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} ⟹ P_{2} < P_{1} :$

la pression diminue là où la vitesse augmente. C'est l'effet Venturi, qui sous-tend le débitmètre de Venturi, la trompe à eau, le carburateur ou la portance ; la mesure de la dépression $P_{1} - P_{2}$ donne accès au débit.

Exemple 5.23Puissance d'une pompe

Une pompe élève de l'eau ( $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ ) d'une hauteur $H = 20 m$ avec un débit volumique $D_{v} = 5, 0 L . s^{- 1}$ , sections d'entrée et de sortie égales. Calculer la puissance hydraulique utile (pertes négligées).

Démonstration

Sections égales $\Rightarrow Δ e_{c} = 0$ . Écoulement incompressible sans échange thermique notable : le travail utile sert intégralement à monter le fluide. Par unité de masse, $w_{u} = g H$ . La puissance vaut

$P_{u} = D_{m} g H = ρ D_{v} g H = 1000 \times 5, 0 \cdot 1 0^{- 3} \times 9, 81 \times 20 \approx 981 W \approx 1, 0 k W .$

Exemple 5.24Puissance d'une éolienne (limite de Betz)

Une éolienne balaie une aire $A$ dans un vent de vitesse $v$ et de masse volumique $ρ$ . Estimer, par un bilan d'énergie cinétique, l'ordre de grandeur de la puissance récupérable.

Démonstration

Le débit massique d'air traversant le disque est $D_{m} = ρ A v$ . L'énergie cinétique massique disponible dans le vent est $\frac{1}{2} v^{2}$ . La puissance cinétique incidente vaut donc

$P_{vent} = D_{m} \cdot \frac{1}{2} v^{2} = \frac{1}{2} ρ A v^{3} .$

La puissance croît comme le cube de la vitesse du vent. Un bilan plus fin (théorie de Betz) montre qu'au mieux une fraction $16/27 \approx 59 %$ de cette puissance est convertible. Pour $A = 2, 0 \times 1 0^{3} m^{2}$ , $v = 10 m . s^{- 1}$ , $ρ = 1, 2 k g . m^{- 3}$ : $P_{vent} \approx 1, 2 M W$ , dont au plus $0, 7 M W$ récupérable.

5.5 Synthèse du chapitre

Système fermé : masse constante, mêmes particules. On ne sait écrire de lois que pour un système fermé ; devant un écoulement, on définit un système fermé coïncidant avec le volume de contrôle.
Équation générale de bilan d'une grandeur extensive $G$ : $d G = δ^{e} G + δ^{c} G$ (variation $=$ échange $+$ production). $G$ conservative $\Rightarrow$ production nulle (masse, charge, énergie, quantité de mouvement).
Théorème de l'énergie cinétique : $\frac{d E _{c}}{d t} = P_{ext} + P_{int}$ ; les forces intérieures ne travaillent pas pour un solide indéformable.
Bilan d'énergie mécanique : $Δ E_{m} = W_{nc}$ ; $E_{m}$ se conserve sans force non conservative, décroît avec les frottements. Freinage : $D = v_{0}^{2} / (2 μg)$ .
Chocs : quantité de mouvement toujours conservée ; $E_{c}$ conservée (élastique) ou non (inélastique / mou).
Écoulement stationnaire (système fermé coïncidant) : $Δ h + Δ e_{c} + Δ (g z) = w_{u} + q$ ; l'enthalpie absorbe le travail de transvasement des forces de pression.
Écoulement parfait incompressible : puissance des actions intérieures nulle (admis) ; le bilan mécanique redonne Bernoulli et le travail des pompes/turbines.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>5.6 Exercices résolus

Exemple 5.25Bilan de charge dans un conducteur

Un volume fermé contient une charge $Q (t)$ . Un courant d'intensité $I_{e}$ y entre, $I_{s}$ en sort. Écrire le bilan de charge et le commenter comme grandeur conservative.

Démonstration

La charge est extensive et conservative : aucune production. $\frac{d Q}{d t} = I_{e} - I_{s}$ . En régime permanent, $d Q / d t = 0$ donc $I_{e} = I_{s}$ : c'est la loi des nœuds, cas particulier d'un bilan de grandeur conservative.

Exemple 5.26Pendule simple lâché sans vitesse

Un pendule de longueur $ℓ$ est lâché depuis l'horizontale sans vitesse. Trouver la vitesse au point bas, sans intégrer l'équation du mouvement.

Démonstration

La tension du fil ne travaille pas (orthogonale à $v$ ). Seul le poids, conservatif, agit : $E_{m}$ se conserve. Entre l'horizontale ( $v = 0$ , $z = ℓ$ au-dessus du point bas) et le point bas ( $z = 0$ ),

$\frac{1}{2} m v^{2} = m g ℓ ⟹ v = 2 g ℓ .$

Exemple 5.27Bloc lancé contre un ressort

Un bloc de masse $m$ à la vitesse $v_{0}$ sur un plan horizontal sans frottement comprime un ressort de raideur $k$ . Déterminer la compression maximale $x_{m a x}$ .

Démonstration

Sans frottement, $E_{m}$ se conserve. À la compression maximale la vitesse s'annule : toute l'énergie cinétique est stockée dans le ressort.

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} k x_{m a x}^{2} ⟹ x_{m a x} = v_{0} \frac{m}{k} .$

Exemple 5.28Choc élastique frontal de deux masses égales

Deux mobiles de même masse, l'un à $v_{0}$ , l'autre au repos, subissent un choc élastique frontal. Déterminer les vitesses après le choc.

Démonstration

Conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique :

$v_{1} + v_{2} = v_{0}, v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = v_{0}^{2} .$

La solution non triviale est $v_{1} = 0$ , $v_{2} = v_{0}$ : les deux mobiles échangent leurs vitesses. Le premier s'arrête, le second repart à $v_{0}$ (cf. pendule de Newton).

Exemple 5.29Compresseur adiabatique

Un compresseur calorifugé porte de l'air de $h_{e} = 290 k J . k g^{- 1}$ à $h_{s} = 450 k J . k g^{- 1}$ pour un débit $D_{m} = 0, 50 k g . s^{- 1}$ . Variations cinétique et d'altitude négligeables. Calculer la puissance à fournir.

Démonstration

$q = 0$ , $Δ e_{c} = Δ (g z) = 0$ , donc $w_{u} = Δ h = 450 - 290 = 160 k J . k g^{- 1} > 0$ : le compresseur reçoit du travail. La puissance

$P_{u} = D_{m} w_{u} = 0, 50 \times 160 = 80 k W .$

Exemple 5.30Vidange et bilan d'énergie

Un réservoir de grande section se vide par un orifice situé à la profondeur $H$ . Retrouver la vitesse d'éjection par un bilan d'énergie mécanique du fluide (écoulement parfait incompressible).

Démonstration

Le système fermé coïncidant de fluide parfait incompressible : puissance des actions intérieures nulle. Entre la surface libre ( $v \approx 0$ , $P_{0}$ , altitude $H$ ) et l'orifice ( $P_{0}$ , altitude $0$ ), le bilan mécanique donne, par unité de masse, $g H = \frac{1}{2} v^{2}$ , soit $v = 2 g H$ (formule de Torricelli). On retrouve le résultat de Bernoulli, ici obtenu comme bilan d'énergie sur un système fermé.

Exemple 5.31Puissance dissipée par frottement fluide

Une bille en régime permanent tombe à la vitesse limite $v_{ℓ}$ dans un fluide, soumise à son poids apparent $F$ (poids moins poussée d'Archimède) et à une traînée. Exprimer la puissance dissipée.

Démonstration

En régime permanent, $v = v_{ℓ}$ constante donc $d E_{c} / d t = 0$ . Le bilan d'énergie cinétique impose $P_{motrice} + P_{tra ı ˆ n e ˊ e} = 0$ . La puissance motrice du poids apparent est $F v_{ℓ}$ , donc la traînée dissipe $P_{diss} = F v_{ℓ}$ . Toute l'énergie potentielle libérée est convertie en chaleur dans le fluide.

5.7 Exercices d'entraînement

Grandeur conservative ou non. Classer en conservatives / non conservatives : masse, entropie, énergie, nombre de moles d'un réactif, charge, énergie cinétique. Justifier pour chacune la présence ou l'absence d'un terme de production.
Bilan de population. Une cuve contient $N (t)$ bactéries se reproduisant à taux $α N$ et évacuées à débit $β N$ . Écrire le bilan et identifier échange et production. Discuter la stabilité selon le signe de $α - β$ .
Distance de freinage. Une voiture roulant à $130 k m . h^{- 1}$ freine ( $μ = 0, 8$ ). Calculer $D$ . Comparer à $50 k m . h^{- 1}$ et commenter la dépendance en $v_{0}^{2}$ .
Looping. Une bille parcourt sans frottement un rail circulaire vertical de rayon $R$ . Par un bilan d'énergie mécanique et la condition de non-décollement au sommet, trouver la hauteur minimale de lâcher.
Descente avec frottement fluide. Un mobile descend un plan incliné soumis à une traînée $f = k v$ . Écrire le bilan de puissance et en déduire l'équation différentielle vérifiée par $v (t)$ .
Choc mou général. Deux masses $m_{1}, m_{2}$ de vitesses $v_{1}, v_{2}$ s'agglomèrent. Exprimer la vitesse finale et la fraction d'énergie cinétique dissipée en fonction de la masse réduite $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ .
Pendule balistique. Une balle de masse $m$ à vitesse $v$ se fiche dans un bloc de masse $M$ suspendu ; l'ensemble monte d'une hauteur $H$ . Relier $v$ , $H$ , $m$ , $M$ . Pourquoi ne peut-on pas conserver l'énergie cinétique lors de l'impact ?
Turbine à vapeur. Détente $h_{e} = 3400 k J . k g^{- 1} \to h_{s} = 2300 k J . k g^{- 1}$ , pertes thermiques $q = - 50 k J . k g^{- 1}$ , $D_{m} = 8, 0 k g . s^{- 1}$ . Calculer la puissance mécanique fournie.
Échangeur thermique. Un fluide traverse un échangeur sans pièce mobile ( $w_{u} = 0$ ) et sans variation de vitesse ni d'altitude. Montrer que $q = Δ h$ et interpréter.
Tuyère de fusée. Des gaz entrent à $v_{e} = 100 m . s^{- 1}$ , $h_{e} = 2500 k J . k g^{- 1}$ et sortent avec $h_{s} = 900 k J . k g^{- 1}$ (calorifugée, sans pièce mobile). Calculer $v_{s}$ .
Pompe et perte de charge. Une pompe élève $D_{v} = 10 L . s^{- 1}$ d'eau de $H = 15 m$ ; les pertes de charge dissipent $20 %$ de la puissance utile. Estimer la puissance électrique à fournir pour un rendement moteur de $90 %$ .
Éolienne. Pour une éolienne d'aire $A = 5, 0 \times 1 0^{3} m^{2}$ dans un vent de $8 m . s^{- 1}$ , calculer la puissance incidente puis la puissance récupérable (limite de Betz $16/27$ ). Commenter l'intérêt d'un site venté.

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