Système fermé et bilans d'énergie

Pour toute grandeur extensive $G$ et tout système, sur un intervalle de temps $\mathrm{d}t$,

$$\boxed{\underset{\text{variation}}{\underbrace{\mathrm{d}G}}=\underset{\text{eˊchangeˊ}}{\underbrace{{\delta }^{\text{e}}G}}+\underset{\text{creˊeˊ (produit)}}{\underbrace{{\delta }^{\text{c}}G}}}$$

ou, sous forme de débits (grandeurs par unité de temps),

$$\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}={\mathcal{F}}_{\text{eˊch}}+{\mathcal{P}}_{\text{creˊeˊ}},$$

où ${\mathcal{F}}_{\text{eˊch}}$ est le flux échangé à travers la frontière et ${\mathcal{P}}_{\text{creˊeˊ}}$ le taux de production interne.

Comme en thermodynamique, on compte positivement ce qui est reçu par le système : un terme d'échange positif augmente $G$. Un flux entrant est $>0$, un flux sortant $<0$. Le respect scrupuleux des signes est la principale source d'erreur dans les bilans.

Un réservoir reçoit un débit massique $D_{\text{e}}$ et en laisse échapper $D_{\text{s}}$. La masse $m(t)$ contenue est une grandeur conservative (aucune production). Le bilan s'écrit simplement

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=D_{\text{e}}-D_{\text{s}}.$$

Le signe de $\mathcal{P}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{F}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta$ classe les forces : motrice si $\mathcal{P}>0$ ($\overrightarrow{F}$ « tire » dans le sens du mouvement), résistante si $\mathcal{P}<0$ (frottements). Une force orthogonale à la vitesse (réaction normale d'un support, force magnétique, tension d'un fil pour un pendule) ne travaille pas.

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système fermé est égale à la somme des travaux (ou puissances) de toutes les forces, extérieures et intérieures :

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}{E}_{\text{c}}}{\mathrm{d}t}={\mathcal{P}}_{\text{ext}}+{\mathcal{P}}_{\text{int}}\text{soit}\Delta E_{\text{c}}=W_{\text{ext}}+W_{\text{int}}}$$

En séparant les forces en conservatives (d'énergie potentielle $E_{\text{p}}$) et non conservatives (de puissance ${\mathcal{P}}_{\text{nc}}$), le théorème de l'énergie cinétique se réécrit

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}{E}_{\text{m}}}{\mathrm{d}t}={\mathcal{P}}_{\text{nc}}\text{soit}\Delta E_{\text{m}}=W_{\text{nc}}}$$

La variation d'énergie mécanique est égale au travail des seules forces non conservatives.

Un bloc de masse $m$ glisse sur une distance $L$ le long d'un plan incliné d'angle $\alpha$, soumis à un frottement solide de norme constante $f$. Sa vitesse passe de $0$ à $v$. Relier $v$, $L$, $\alpha$ et $f$.

Une voiture de masse $m$ roulant à $v_0$ freine, roues bloquées, sur une route horizontale de coefficient de frottement $\mu$. Déterminer la distance d'arrêt $D$.

Pour un système fermé isolé (ou pseudo-isolé pendant le choc), la quantité de mouvement totale se conserve :

$${\overrightarrow{p}}_{\text{avant}}={\overrightarrow{p}}_{\text{apreˋs}}\text{soit}{m}_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2=m_1{\overrightarrow{v}}_1{}^{\prime }+m_2{\overrightarrow{v}}_2{}^{\prime }.$$

C'est un bilan de grandeur conservative : aucune production, aucun échange (forces extérieures négligées).

Un mobile de masse $m$ à la vitesse $v_0$ percute et emporte un mobile identique au repos. Calculer la vitesse commune et la fraction d'énergie cinétique dissipée.

Faire entrer la tranche $\mathrm{d}{m}_{\text{e}}$ à la pression $P_{\text{e}}$ demande le travail moteur $+P_{\text{e}}{v}_{\text{e}}^{\text{mas}}\mathrm{d}{m}_{\text{e}}$ ($v^{\text{mas}}=1/\rho$ volume massique), tandis que la sortie de $\mathrm{d}{m}_{\text{s}}$ à $P_{\text{s}}$ coûte $-P_{\text{s}}{v}_{\text{s}}^{\text{mas}}\mathrm{d}{m}_{\text{s}}$. Ce travail de transvasement $\delta W_{\text{pression}}=(P_{\text{e}}{v}_{\text{e}}^{\text{mas}}-P_{\text{s}}{v}_{\text{s}}^{\text{mas}})D_m\mathrm{d}t$ combine avec $\mathrm{d}U$ pour faire apparaître l'enthalpie $H=U+PV$.

Pour un système ouvert en régime stationnaire, à une entrée et une sortie, en grandeurs massiques (par unité de masse traversante),

$$\boxed{\Delta h+\Delta e_{\text{c}}+\Delta (gz)=w_u+q}$$

où $\Delta h=h_{\text{s}}-h_{\text{e}}$ est la variation d'enthalpie massique, $\Delta e_{\text{c}}=\frac{1}{2}(v_{\text{s}}^2-v_{\text{e}}^2)$ la variation d'énergie cinétique massique, $\Delta (gz)$ celle d'énergie potentielle de pesanteur massique, $w_u$ le travail utile massique et $q$ le transfert thermique massique. En termes de puissances, en multipliant par $D_m$ :

$$D_m[\Delta h+\Delta e_{\text{c}}+\Delta (gz)]={\mathcal{P}}_u+{\mathcal{P}}_{\text{therm}}.$$

Sur un tableur ou en Python, on tabule $h$, $v$, $z$ à l'entrée et à la sortie de chaque élément d'une installation (pompe, échangeur, turbine) et l'on calcule $w_u=\Delta h+\Delta e_{\text{c}}+\Delta (gz)-q$ élément par élément, puis le rendement global comme rapport des puissances utiles.

De la vapeur traverse une turbine calorifugée. À l'entrée $h_{\text{e}}=3200kJ.k{g}^{-1}$, à la sortie $h_{\text{s}}=2500kJ.k{g}^{-1}$. On néglige les variations d'énergie cinétique et d'altitude. Calculer le travail utile massique récupéré, puis la puissance pour un débit $D_m=5,0kg.s^{-1}$.

Un gaz entre dans une tuyère calorifugée à faible vitesse ($v_{\text{e}}\approx 0$) avec $h_{\text{e}}=800kJ.k{g}^{-1}$ et en ressort avec $h_{\text{s}}=500kJ.k{g}^{-1}$. La tuyère ne comporte pas de pièce mobile. Calculer la vitesse d'éjection.

À partir d'ici, comme dans les tables thermodynamiques et dans les exercices de thermodynamique industrielle, la vitesse du fluide est notée $c$ et son volume massique $v$ (noté $v^{\text{mas}}$ plus haut) ; les indices $e$ et $s$ repèrent l'entrée et la sortie, sauf dans $s_e$, qui désigne l'entropie massique échangée.

Pour un système ouvert en régime stationnaire, à une entrée et une sortie, la variation d'entropie massique entre entrée et sortie s'écrit

$$\boxed{\Delta s=s_e+s_c},\Delta s=s_{\text{sortie}}-s_{\text{entreˊe}},$$

où $s_e=\int \frac{\delta q}{T_{\text{front}}}$ est l'entropie massique échangée avec l'extérieur par transfert thermique ($s_e=q/T_0$ pour un transfert $q$ reçu d'un thermostat à $T_0$) et $s_c\ge 0$ l'entropie massique créée par les irréversibilités.

Une tuyère est une conduite fixe ($w_u=0$), généralement adiabatique ($q\approx 0$) et horizontale ($\Delta e_p\approx 0$). Le premier principe donne

$$\Delta h+\frac{1}{2}(c_s^2-c_e^2)=0⟹c_s=\sqrt{c_e^2+2(h_e-h_s)}.$$

La détente ($h_e>h_s$) accélère le fluide : l'enthalpie est convertie en énergie cinétique. C'est le principe des propulseurs. C'est aussi le seul organe usuel où $\Delta e_c$ est le terme principal (exemple de la tuyère ci-dessus).

Turbine et compresseur sont des machines à parties mobiles, adiabatiques ($q\approx 0$), avec $\Delta e_c$ et $\Delta e_p$ négligeables. Le premier principe donne dans les deux cas

$$\boxed{w_u=\Delta h=h_s-h_e}.$$

La turbine détend le fluide ($h_s<h_e$, donc $w_u<0$ : travail fourni à l'arbre). Le compresseur comprime le fluide ($h_s>h_e$, donc $w_u>0$ : travail reçu). Le résultat vaut aussi pour un compresseur à piston : le travail du piston sur un tour, aire du diagramme de Watt, est le travail indiqué $w_u$. Le modèle idéal est isentropique ($s_c=0$) ; le rendement isentropique compare la machine réelle à ce modèle.

Le passage d'un fluide à travers une vanne ou un milieu poreux est adiabatique ($q\approx 0$), sans partie mobile ($w_u=0$), avec $\Delta e_c,\Delta e_p$ négligeables. Le premier principe impose

$$\boxed{\Delta h=0}(\text{transformation isenthalpique}).$$

Le second principe donne $\Delta s=s_c>0$ (irréversible). Pour un gaz parfait ($h$ ne dépend que de $T$), $\Delta h=0\Rightarrow \Delta T=0$ ; pour un gaz réel ou un fluide diphasé, la température varie (effet Joule--Thomson exploité dans les liquéfacteurs et machines frigorifiques ; à température ambiante, la plupart des gaz se refroidissent). Sur le diagramme $(P,h)$, le laminage est une verticale qui traverse les isothermes.

Dans un échangeur, un fluide circule sans partie mobile ($w_u=0$) et reçoit (ou cède) de la chaleur à un autre fluide à travers une paroi. Avec $\Delta e_c,\Delta e_p$ négligeables :

$$\boxed{q=\Delta h=h_s-h_e}.$$

Si les deux fluides sont thermiquement isolés de l'extérieur, la puissance thermique cédée par l'un, $D_{m,1}\left|\Delta h_1\right|$, est reçue par l'autre, $D_{m,2}\left|\Delta h_2\right|$ : $D_{m,1}\Delta h_1+D_{m,2}\Delta h_2=0$.

En multipliant les grandeurs massiques par le débit $D_m$, on obtient les puissances : puissance mécanique $P_u=D_m{w}_u$ et puissance thermique $P_{th}=D_{m}q$, en watts. C'est sous cette forme qu'on dimensionne les machines.

Sur un tour, $h$ et $s$ reviennent à leur valeur initiale. En sommant les bilans des organes :

$$\sum _{\text{organes}}(w_u+q)=0\text{et}\sum _{\text{organes}}{s}_e+\sum _{\text{organes}}{s}_c=0.$$

Avec deux sources de températures $T_c$ et $T_f$, $\sum s_e=q_c/T_c+q_f/T_f$ et $\sum s_c\ge 0$ : on retrouve l'inégalité de Clausius et les bornes de Carnot de première année, par exemple $\mathrm{COP}\le T_c/(T_c-T_f)$ pour une pompe à chaleur.

Une centrale à vapeur parcourt le cycle en sens inverse (moteur) : pompe, chaudière, turbine, condenseur. Le rendement $\eta =-\frac{w_p+w_t}{q_c}$ se lit, lui aussi, en abscisses, et reste inférieur à $1-T_f/T_c$.

En appliquant le bilan d'énergie mécanique au système fermé coïncidant d'un fluide parfait incompressible en régime stationnaire, sans machine ($w_u=0$), on retrouve la conservation de la charge le long d'un tube de courant :

$$P_{\text{e}}+\rho g{z}_{\text{e}}+\frac{1}{2}\rho v_{\text{e}}^2=P_{\text{s}}+\rho g{z}_{\text{s}}+\frac{1}{2}\rho v_{\text{s}}^2.$$

En présence d'une machine (pompe, turbine), on ajoute le travail utile massique : $\frac{w_u}{v^{\text{mas}}}=w_u\rho$ s'insère comme un gain ou une perte de charge.

Dans un tube horizontal ($z$ constant), un rétrécissement de section accélère le fluide (conservation du débit $S_1{v}_1=S_2{v}_2$, donc $v_2>v_1$ si $S_2<S_1$). La relation de Bernoulli impose alors

$$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2⟹P_2<P_1:$$

la pression diminue là où la vitesse augmente. C'est l'effet Venturi, qui sous-tend le débitmètre de Venturi, la trompe à eau, le carburateur ou la portance ; la mesure de la dépression $P_1-P_2$ donne accès au débit.

Une pompe élève de l'eau ($\rho =1000kg.m^{-3}$) d'une hauteur $H=20m$ avec un débit volumique $D_v=5,0L.s^{-1}$, sections d'entrée et de sortie égales. Calculer la puissance hydraulique utile (pertes négligées).

Une éolienne balaie une aire $A$ dans un vent de vitesse $v$ et de masse volumique $\rho$. Estimer, par un bilan d'énergie cinétique, l'ordre de grandeur de la puissance récupérable.