Bilans de quantité de mouvement et de moment cinétique

Cours complet · phénomènes de transport (PSI), chapitre 6 · CPGE PSI (2e année)

Le chapitre précédent a établi les bilans d'énergie sur un écoulement. On complète ici la description macroscopique des fluides en mouvement par les deux autres grandeurs dynamiques fondamentales : la quantité de mouvement et le moment cinétique. L'objectif est de calculer des forces et des couples exercés par un fluide sur les parois qui le canalisent ou le dévient, sans jamais résoudre le champ des vitesses en détail. La difficulté conceptuelle est unique : les lois de Newton — loi de la quantité de mouvement, loi du moment cinétique — s'énoncent pour un système fermé (de masse constante), tandis que le fluide traverse continûment un dispositif ouvert. La méthode centrale du chapitre consiste donc à associer, à chaque instant, au volume de contrôle ouvert et fixe un système fermé mobile qui coïncide avec lui. Une fois cette association maîtrisée, jets sur obstacle, coudes, propulsion par réaction, turbines et arroseurs se traitent par un même raisonnement.

6.1 Système fermé, système ouvert et volume de contrôle

6.1.1 Pourquoi une méthode d'association

Les lois de Newton s'appliquent à un système fermé : un ensemble de matière toujours constitué des mêmes particules, dont la masse ne varie pas. Or, dans un écoulement permanent, on s'intéresse à ce qui se passe dans une région fixe de l'espace — une tuyère, un coude, l'intérieur d'une turbine — que la matière traverse sans cesse. Une telle région est un système ouvert, ou volume de contrôle.

Définition 6.1Volume de contrôle

Un volume de contrôle $(V)$ est une région fixe de l'espace, délimitée par une surface fermée $(Σ)$ appelée surface de contrôle, à travers laquelle le fluide peut entrer et sortir. On considère les situations à une entrée (section $S_{1}$ , vitesse moyenne $v_{1}$ ) et une sortie (section $S_{2}$ , vitesse moyenne $v_{2}$ ), le reste de $(Σ)$ étant constitué de parois imperméables.

Méthode : Association système fermé $\leftrightarrow$ système ouvert

Pour appliquer une loi de Newton à un volume de contrôle $(V)$ , on définit un système fermé $Σ^{⋆}$ que l'on suit entre deux instants voisins $t$ et $t + d t$ :

à l'instant $t$ : $Σ^{⋆}$ est constitué du fluide contenu dans $(V)$ plus la petite tranche de fluide $d m_{1}$ sur le point d'entrer par $S_{1}$ ;
à l'instant $t + d t$ : cette même matière occupe $(V)$ plus la tranche $d m_{2}$ qui vient de sortir par $S_{2}$ .

Comme $Σ^{⋆}$ contient toujours la même matière, c'est un système fermé : les lois de Newton s'y appliquent directement.

Figure : Le système fermé

Σ^{⋆}

suivi entre

t

t + d t

: contenu du volume de contrôle

(V)

, augmenté de la tranche entrante

d m_{1}

à l'instant

t

, de la tranche sortante

d m_{2}

à l'instant

t + d t

6.1.2 Conservation de la masse

Proposition 6.2Débit massique et conservation de la masse

Le débit massique à travers une section $S$ où le fluide a la vitesse moyenne $v$ et la masse volumique $ρ$ vaut $D_{m} = ρ S v$ (en $k g . s^{- 1}$ ). En régime stationnaire, la masse contenue dans $(V)$ est constante, donc

$D_{m} = ρ_{1} S_{1} v_{1} = ρ_{2} S_{2} v_{2}$

Les deux tranches échangées ont même masse : $d m_{1} = d m_{2} = D_{m} d t$ . Pour un fluide incompressible, le débit volumique $D_{v} = S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ se conserve.

iRemarque

Le régime stationnaire est l'hypothèse centrale de tout le chapitre : la quantité de mouvement (et le moment cinétique) contenue dans $(V)$ ne varie pas au cours du temps. Toute la variation subie par $Σ^{⋆}$ provient alors du seul renouvellement de la matière aux frontières $S_{1}$ et $S_{2}$ .

6.2 Bilan de quantité de mouvement sur un volume de contrôle

6.2.1 Établissement du bilan

Appliquons la loi de la quantité de mouvement au système fermé $Σ^{⋆}$ dans un référentiel galiléen. Notons $p_{V}$ la quantité de mouvement du fluide contenu dans $(V)$ .

◆Théorème 6.3Bilan de quantité de mouvement, régime stationnaire

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la loi de la quantité de mouvement appliquée au système fermé associé au volume de contrôle s'écrit

$D_{m} (v_{2} - v_{1}) = \sum F_{ext}$

où $D_{m}$ est le débit massique, $v_{1}$ et $v_{2}$ les vitesses moyennes en entrée et en sortie, et $\sum F_{ext}$ la résultante des forces extérieures appliquées à la matière contenue dans $(V)$ : poids, forces de pression sur $(Σ)$ , actions de contact des parois.

Démonstration (Établissement)

La quantité de mouvement du système fermé aux deux instants vaut

$p (t) = p_{V} (t) + d m_{1} v_{1}, p (t + d t) = p_{V} (t + d t) + d m_{2} v_{2} .$

En régime stationnaire, le contenu de $(V)$ ne change pas : $p_{V} (t + d t) = p_{V} (t)$ . Avec $d m_{1} = d m_{2} = D_{m} d t$ ,

$d p = p (t + d t) - p (t) = D_{m} d t (v_{2} - v_{1}) .$

La loi de la quantité de mouvement $\frac{d p}{d t} = \sum F_{ext}$ donne aussitôt $D_{m} (v_{2} - v_{1}) = \sum F_{ext}$ .

Attention

Le membre de gauche $D_{m} (v_{2} - v_{1})$ n'est pas une force : c'est un flux de quantité de mouvement (variation par unité de temps). L'égalité traduit que ce flux est entretenu par la résultante des forces extérieures. On veillera à ce que $v_{1}, v_{2}$ soient des vecteurs : ce sont leurs directions qui font toute la richesse des applications (un jet qui tourne, un coude qui dévie).

Méthode : Conduite d'un bilan de quantité de mouvement

Choisir le volume de contrôle $(V)$ et la surface $(Σ)$ : englober la région où l'écoulement change de direction ou de vitesse.
Repérer l'entrée $S_{1}$ et la sortie $S_{2}$ , écrire les vitesses $v_{1}, v_{2}$ dans une base fixe.
Inventorier les forces extérieures : poids $P$ , forces de pression $P_{1} S_{1} n_{1}$ et $P_{2} S_{2} n_{2}$ (dirigées vers l'intérieur de $(V)$ ), action $R$ des parois sur le fluide.
Projeter $D_{m} (v_{2} - v_{1}) = P + P_{1} S_{1} n_{1} + P_{2} S_{2} n_{2} + R$ sur les axes.
Isoler $R$ , puis la force du fluide sur la paroi $F_{fluide \to paroi} = - R$ (principe des actions réciproques).

iRemarqueChoix du référentiel

Le bilan suppose un référentiel galiléen. Pour un obstacle mobile à vitesse constante (plaque qui recule, aube de turbine), on se place dans le référentiel lié à l'obstacle, galiléen s'il est en translation rectiligne uniforme : les vitesses à utiliser sont alors les vitesses relatives du fluide.

6.3 Applications du bilan de quantité de mouvement

6.3.1 Force d'un jet sur une plaque

Figure : Jet frappant une plaque plane fixe perpendiculaire : le fluide s'étale parallèlement à la plaque, sa quantité de mouvement selon

e_{x}

est intégralement absorbée.

Proposition 6.4Jet sur une plaque perpendiculaire fixe

Un jet cylindrique de section $S$ , de vitesse $v$ , frappe une plaque plane fixe perpendiculaire à son axe $(e_{x})$ . Le fluide s'étale sur la plaque : après impact, sa vitesse n'a plus de composante selon $e_{x}$ . Le jet étant à l'air libre, les forces de pression sont négligeables. La force exercée sur la plaque vaut

$F = D_{m} v = ρ S v^{2}$

dirigée selon $e_{x}$ (dans le sens du jet).

Démonstration (Établissement)

On prend pour $(V)$ le fluide autour du point d'impact. Entrée : $v_{1} = v e_{x}$ , débit $D_{m} = ρS v$ . Sortie : le fluide part le long de la plaque, $v_{2} \cdot e_{x} = 0$ . Bilan projeté sur $e_{x}$ , en négligeant la pression atmosphérique (uniforme) et le poids :

$D_{m} (0 - v) = R_{x} ⟹ R_{x} = - D_{m} v .$

$R_{x}$ est l'action de la plaque sur le fluide ; la force du fluide sur la plaque est $F_{x} = - R_{x} = D_{m} v = ρS v^{2} > 0$ .

Exemple 6.5Jet oblique

Si la plaque est inclinée de sorte que le jet reparte en faisant un angle $θ$ avec sa direction incidente, seule change la composante de sortie. Pour une déviation d'angle $θ$ à vitesse conservée ( $v_{2} = v_{1} = v$ , plaque lisse), la composante de la force selon $e_{x}$ vaut $F_{x} = D_{m} v (1 - cos θ)$ : maximale ( $2 D_{m} v$ ) pour un retournement complet $θ = π$ , nulle pour $θ = 0$ .

6.3.2 Force exercée sur un coude

Figure : Coude horizontal à angle droit : le fluide entre selon

e_{x}

, ressort selon

- e_{y}

. La déviation impose une poussée résultante sur la paroi, dirigée vers le haut et vers l'aval de l'entrée.

Exemple 6.6Poussée sur un coude à angle droit

Un fluide incompressible traverse un coude horizontal déviant l'écoulement de $e_{x}$ (entrée) à $- e_{y}$ (sortie). Les forces extérieures sur le fluide sont : la pression amont $P_{1} S_{1} e_{x}$ (poussant vers l'intérieur), la pression aval $P_{2} S_{2} e_{y}$ (idem, dirigée vers le haut car la sortie pointe vers le bas), et l'action $R$ de la paroi. Le poids est négligé. Le bilan

$D_{m} (v_{2} - v_{1}) = P_{1} S_{1} e_{x} + P_{2} S_{2} e_{y} + R$

se projette en

$- D_{m} v_{1} = P_{1} S_{1} + R_{x}, - D_{m} v_{2} = P_{2} S_{2} + R_{y},$

d'où $R_{x} = - (P_{1} S_{1} + D_{m} v_{1})$ et $R_{y} = - (P_{2} S_{2} + D_{m} v_{2})$ . La force du fluide sur le coude, $F = - R$ , a pour composantes $F_{x} = P_{1} S_{1} + D_{m} v_{1} > 0$ et $F_{y} = P_{2} S_{2} + D_{m} v_{2} > 0$ : elle pointe vers le haut et l'aval, de norme $F = F_{x}^{2} + F_{y}^{2}$ . Ces forces peuvent atteindre plusieurs kilonewtons : les coudes des conduites industrielles doivent être solidement ancrés.

iRemarque

Le terme de pression $P S$ domine souvent le terme cinétique $D_{m} v$ . Ainsi pour de l'eau à $v = 3 m . s^{- 1}$ dans $S = 10 c m^{2}$ sous $P = 1 \times 1 0^{5} P a$ : $P S = 100 N$ contre $D_{m} v = 9 N$ . La force sur un coude est donc surtout une affaire de pression, et non de vitesse.

6.3.3 Propulsion par réaction

ImportantPropulsion par éjection de matière

Un système qui éjecte de la matière subit une force de réaction opposée au jet. Si un débit massique $D_{m}$ est expulsé à la vitesse relative $u$ par rapport au véhicule, la poussée vaut

$F_{pouss e ˊ e} = D_{m} u$

C'est le bilan de quantité de mouvement appliqué au fluide éjecté : la matière emporte une quantité de mouvement $D_{m} u$ par unité de temps, le véhicule reçoit l'opposé.

Exemple 6.7Équation de Tsiolkovski (fusée)

Une fusée de masse $m (t)$ (structure + ergols) se meut dans le vide, hors pesanteur, en éjectant ses gaz à la vitesse relative $u$ constante avec un débit $D_{m} = - \frac{d m}{d t} > 0$ . Le système fermé « fusée + gaz éjectés entre $t$ et $t + d t$ » conserve sa quantité de mouvement (aucune force extérieure). En projetant sur l'axe du mouvement, avec $v$ la vitesse de la fusée :

$m d v = u (- d m) ⟹ d v = - u \frac{d m}{m} .$

En intégrant de la masse initiale $m_{0}$ à la masse finale $m_{f}$ :

$Δ v = u ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$

La variation de vitesse ne dépend que de la vitesse d'éjection et du rapport de masses : d'où la nécessité d'étages et d'ergols performants ( $u$ élevé) pour atteindre les vitesses orbitales.

6.4 Bilan de moment cinétique sur un volume de contrôle

Certains dispositifs — turbines, pompes centrifuges, arroseurs rotatifs — n'exercent pas seulement une force résultante mais un couple, seul capable de fournir ou de recevoir une puissance mécanique par rotation. On leur applique la loi du moment cinétique par la même méthode d'association.

6.4.1 Établissement du bilan

◆Théorème 6.8Bilan de moment cinétique, régime stationnaire

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la loi du moment cinétique en un point fixe $O$ d'un référentiel galiléen s'écrit

$D_{m} (O M_{2} \land v_{2} - O M_{1} \land v_{1}) = \sum M_{O} (F_{ext})$

où $M_{1}$ et $M_{2}$ sont les points d'entrée et de sortie, $v_{1}, v_{2}$ les vitesses correspondantes, et $\sum M_{O}$ la somme des moments des forces extérieures (pression, pesanteur, actions des parois et de l'axe).

Démonstration (Établissement)

Le moment cinétique en $O$ du système fermé associé s'écrit, aux deux instants,

$L_{O} (t) = L_{O, V} (t) + d m_{1} O M_{1} \land v_{1}, L_{O} (t + d t) = L_{O, V} (t + d t) + d m_{2} O M_{2} \land v_{2} .$

En régime stationnaire $L_{O, V}$ est constant ; avec $d m_{1} = d m_{2} = D_{m} d t$ ,

$\frac{d L _{O}}{d t} = D_{m} (O M_{2} \land v_{2} - O M_{1} \land v_{1}) = \sum M_{O} (F_{ext}) .$

iRemarqueGrandeur transportée

La structure est identique à celle du bilan de quantité de mouvement : on remplace la vitesse $v$ par le moment cinétique massique $O M \land v$ , et la résultante des forces par la somme de leurs moments. Cette analogie est systématique : masse, quantité de mouvement, moment cinétique et énergie obéissent à des bilans de même forme sur un volume de contrôle.

6.4.2 Turbine et machine à fluide

Proposition 6.9Couple sur une roue de turbine

Dans une turbine (ou une pompe) à symétrie de révolution autour d'un axe $(O z)$ , le fluide entre au rayon $r_{1}$ avec une composante orthoradiale de vitesse $v_{θ 1}$ et sort au rayon $r_{2}$ avec $v_{θ 2}$ . Le moment par rapport à l'axe des actions de la roue sur le fluide vaut, par projection du bilan sur $e_{z}$ ,

$M_{z} = D_{m} (r_{2} v_{θ 2} - r_{1} v_{θ 1}) .$

Le couple exercé par le fluide sur la roue en est l'opposé ; la puissance mécanique échangée est $P = Ω ∣ M_{z} ∣$ , où $Ω$ est la vitesse angulaire de la roue.

iRemarque

Seules les composantes orthoradiales des vitesses (et les rayons) interviennent : les composantes radiales et axiales, dont le moment cinétique par rapport à $(O z)$ est nul, ne participent pas à l'échange de couple. C'est le principe de fonctionnement de toutes les turbomachines.

6.4.3 Arroseur rotatif (tourniquet hydraulique)

Figure : Arroseur (tourniquet) : chaque bras éjecte l'eau tangentiellement. Par réaction, le moment cinétique emporté par les jets impose un couple qui met le tourniquet en rotation dans le sens opposé.

Exemple 6.10Couple de démarrage d'un arroseur

Un tourniquet à deux bras identiques de longueur $ℓ$ éjecte, à chaque extrémité, un débit massique $D_{m} /2$ à la vitesse $u$ tangentielle (orthoradiale). À l'instant de démarrage, la roue étant immobile, le fluide arrive de l'axe sans moment cinétique ( $r_{1} = 0$ ) et repart au rayon $ℓ$ avec $v_{θ} = u$ . Le bilan par rapport à l'axe donne, pour les deux jets,

$M_{z} = 2 \times \frac{D _{m}}{2} (ℓ u - 0) = D_{m} ℓ u .$

Ce moment est celui des actions de l'axe sur le fluide ; par réaction, le fluide exerce sur le tourniquet un couple $- D_{m} ℓ u$ qui le fait tourner dans le sens opposé à l'éjection. C'est le principe de l'arroseur de jardin et de la turbine de Segner.

iRemarqueRégime établi

En régime permanent de rotation à la vitesse $Ω$ , les frottements de l'axe équilibrent le couple moteur. La vitesse d'éjection à considérer dans le référentiel du laboratoire devient $u - Ω ℓ$ (vitesse relative diminuée de l'entraînement) : le couple décroît quand $Ω$ augmente, jusqu'à une vitesse de rotation limite fixée par les frottements.

6.5 Synthèse du chapitre

Méthode d'association : à un volume de contrôle ouvert et fixe $(V)$ on associe un système fermé $Σ^{⋆}$ = contenu de $(V)$ + tranche entrante (à $t$ ) / sortante (à $t + d t$ ). Les lois de Newton s'appliquent à $Σ^{⋆}$ .
Conservation de la masse (stationnaire) : $D_{m} = ρ_{1} S_{1} v_{1} = ρ_{2} S_{2} v_{2}$ , et $d m_{1} = d m_{2} = D_{m} d t$ .
Bilan de quantité de mouvement : $D_{m} (v_{2} - v_{1}) = \sum F_{ext}$ (poids, pressions $P S n$ dirigées vers l'intérieur, action $R$ des parois). Force du fluide sur la paroi $= - R$ .
Applications : jet sur plaque perpendiculaire $F = ρS v^{2}$ ; coude $F_{x} = P_{1} S_{1} + D_{m} v_{1}$ , $F_{y} = P_{2} S_{2} + D_{m} v_{2}$ ; propulsion $F = D_{m} u$ ; fusée $Δ v = u ln (m_{0} / m_{f})$ .
Bilan de moment cinétique : $D_{m} (O M_{2} \land v_{2} - O M_{1} \land v_{1}) = \sum M_{O} (F_{ext})$ . Seules les composantes orthoradiales échangent du couple.
Applications : turbine $M_{z} = D_{m} (r_{2} v_{θ 2} - r_{1} v_{θ 1})$ , puissance $P = Ω∣ M_{z} ∣$ ; arroseur/tourniquet, couple $D_{m} ℓ u$ .
Hypothèse constante : régime stationnaire — la grandeur contenue dans $(V)$ ne varie pas, toute la variation provient du renouvellement aux frontières.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.6 Exercices résolus

Exemple 6.11Force d'un jet d'eau sur une plaque

Un jet d'eau de diamètre $D = 2, 0 c m$ et de vitesse $v = 15 m . s^{- 1}$ frappe perpendiculairement une plaque fixe. Calculer la force exercée. On prend $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ .

Démonstration

La section vaut $S = π D^{2} /4 = π (0, 02)^{2} /4 \approx 3, 14 \times 1 0^{- 4} m^{2}$ . Débit massique $D_{m} = ρS v = 1000 \times 3, 14 \cdot 1 0^{- 4} \times 15 \approx 4, 7 k g . s^{- 1}$ . La force

$F = D_{m} v = ρS v^{2} \approx 4, 7 \times 15 \approx 71 N .$

Exemple 6.12Coude à angle droit sous pression

De l'eau ( $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ ) circule à $v = 4, 0 m . s^{- 1}$ dans un coude horizontal à 90° de section constante $S = 20 c m^{2}$ , à la pression relative $P = 2, 0 \times 1 0^{5} P a$ (identique en entrée et sortie). Estimer la norme de la force sur le coude.

Démonstration

Section constante : $v_{1} = v_{2} = v$ . Débit massique $D_{m} = ρS v = 1000 \times 20 \cdot 1 0^{- 4} \times 4 = 8, 0 k g . s^{- 1}$ . Chaque composante vaut $F = P S + D_{m} v = 2, 0 \cdot 1 0^{5} \times 20 \cdot 1 0^{- 4} + 8, 0 \times 4 = 400 + 32 = 432 N$ . La force résultante, à 45°, a pour norme $F = 4322 \approx 611 N$ .

Exemple 6.13Poussée d'un réacteur

Un turboréacteur aspire de l'air au débit $D_{m} = 80 k g . s^{- 1}$ à la vitesse $v_{1} = 200 m . s^{- 1}$ (dans le référentiel de l'avion) et l'éjecte à $v_{2} = 600 m . s^{- 1}$ . En négligeant le débit de carburant et les forces de pression, calculer la poussée.

Démonstration

Dans le référentiel de l'avion (galiléen, vol à vitesse constante), le bilan projeté sur l'axe donne la force de l'air sur le moteur $F = D_{m} (v_{2} - v_{1})$ en réaction :

$F = 80 \times (600 - 200) = 80 \times 400 = 3, 2 \times 1 0^{4} N = 32 k N .$

La poussée résulte de l'accroissement de quantité de mouvement communiqué à l'air.

Exemple 6.14Poussée et autonomie d'une fusée

Une fusée éjecte $D_{m} = 2, 0 \times 1 0^{2} k g . s^{- 1}$ de gaz à la vitesse relative $u = 2, 5 \times 1 0^{3} m . s^{- 1}$ . (a) Calculer la poussée. (b) La comparer au poids d'une masse initiale $m_{0} = 3, 0 \times 1 0^{4} k g$ . (c) Si la masse finale est $m_{f} = 1, 0 \times 1 0^{4} k g$ , estimer $Δ v$ (hors pesanteur).

Démonstration

(a) $F = D_{m} u = 2, 0 \cdot 1 0^{2} \times 2, 5 \cdot 1 0^{3} = 5, 0 \times 1 0^{5} N = 500 k N$ . (b) Poids $m_{0} g = 3, 0 \cdot 1 0^{4} \times 9, 81 \approx 2, 9 \times 1 0^{5} N$ . La poussée l'emporte ( $F / m_{0} g \approx 1, 7$ ) : le décollage est possible. (c) $Δ v = u ln (m_{0} / m_{f}) = 2, 5 \cdot 1 0^{3} \times ln 3 \approx 2, 5 \cdot 1 0^{3} \times 1, 10 \approx 2, 7 \times 1 0^{3} m . s^{- 1}$ .

Exemple 6.15Jet dévié par une aube mobile

Un jet d'eau ( $S = 5, 0 c m^{2}$ , $v = 20 m . s^{- 1}$ ) frappe une aube qui le retourne complètement ( $θ = π$ ). L'aube recule à la vitesse constante $u = 8, 0 m . s^{- 1}$ dans le sens du jet. Calculer la force sur l'aube et la puissance qu'elle reçoit.

Démonstration

Dans le référentiel de l'aube (galiléen), la vitesse relative du jet est $w = v - u = 12 m . s^{- 1}$ . Le débit intercepté est $D_{m} = ρS w = 1000 \times 5, 0 \cdot 1 0^{- 4} \times 12 = 6, 0 k g . s^{- 1}$ . Retournement complet : le fluide repart à $- w$ , la variation de vitesse relative est $2 w$ , donc

$F = D_{m} (2 w) = 6, 0 \times 24 = 144 N .$

La puissance transmise à l'aube (qui avance à $u$ ) vaut $P = F u = 144 \times 8, 0 \approx 1, 2 \times 1 0^{3} W$ .

Exemple 6.16Couple sur un arroseur

Un arroseur à deux bras de longueur $ℓ = 0, 25 m$ débite au total $D_{v} = 0, 60 L . s^{- 1}$ d'eau, éjectée tangentiellement à $u = 12 m . s^{- 1}$ . Calculer le couple de démarrage.

Démonstration

Débit massique total $D_{m} = ρ D_{v} = 1000 \times 0, 60 \cdot 1 0^{- 3} = 0, 60 k g . s^{- 1}$ . À l'arrêt, l'eau part au rayon $ℓ$ avec $v_{θ} = u$ , sans moment cinétique à l'entrée :

$∣ M_{z} ∣ = D_{m} ℓ u = 0, 60 \times 0, 25 \times 12 = 1, 8 N . m .$

Ce couple met le tourniquet en rotation dans le sens opposé aux jets.

Exemple 6.17Turbine : puissance récupérée

Dans une turbine, l'eau ( $D_{m} = 50 k g . s^{- 1}$ ) entre au rayon $r_{1} = 0, 40 m$ avec une composante orthoradiale $v_{θ 1} = 15 m . s^{- 1}$ et sort au rayon $r_{2} = 0, 20 m$ avec $v_{θ 2} = 2, 0 m . s^{- 1}$ . La roue tourne à $Ω = 30 r a d . s^{- 1}$ . Calculer le couple moteur et la puissance récupérée.

Démonstration

Moment des actions de la roue sur le fluide :

$M_{z} = D_{m} (r_{2} v_{θ 2} - r_{1} v_{θ 1}) = 50 \times (0, 20 \times 2, 0 - 0, 40 \times 15) = 50 \times (0, 4 - 6, 0) = - 280 N . m .$

Le fluide cède du moment cinétique : il exerce sur la roue un couple moteur $+ 280 N . m$ . La puissance récupérée vaut

$P = Ω ∣ M_{z} ∣ = 30 \times 280 = 8, 4 \times 1 0^{3} W \approx 8, 4 k W .$

6.7 Exercices d'entraînement

Jet sur plaque. Un jet d'eau de section $S = 4, 0 c m^{2}$ et de vitesse $v = 25 m . s^{- 1}$ frappe perpendiculairement une plaque fixe. Calculer le débit massique puis la force exercée.
Jet oblique. Le même jet est dévié par une plaque lisse d'un angle $θ = 6 0^{\circ}$ sans perte de vitesse. Calculer la composante de la force selon la direction incidente. Comparer au cas $θ = 18 0^{\circ}$ .
Coude à 90°. De l'huile ( $ρ = 900 k g . m^{- 3}$ ) circule à $v = 2, 5 m . s^{- 1}$ dans un coude horizontal à angle droit, section constante $S = 15 c m^{2}$ , pression relative $P = 1, 5 \times 1 0^{5} P a$ . Calculer les deux composantes de la force et sa norme.
Coude à 45°. Reprendre le bilan de quantité de mouvement pour un coude déviant l'écoulement d'un angle $α = 4 5^{\circ}$ , section et pression constantes. Exprimer la norme de la force sur le coude en fonction de $P S$ , $D_{m}$ , $v$ et $α$ .
Rétrécissement (convergent). Un convergent horizontal relie $S_{1}$ à $S_{2} < S_{1}$ . En combinant conservation du débit, relation de Bernoulli et bilan de quantité de mouvement, établir la force de pression résultante exercée sur le convergent en fonction de $ρ$ , $D_{v}$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ .
Réacteur. Un turboréacteur aspire $D_{m} = 60 k g . s^{- 1}$ d'air à $v_{1} = 180 m . s^{- 1}$ et l'éjecte à $v_{2} = 520 m . s^{- 1}$ . Calculer la poussée. De combien varie-t-elle si le débit augmente de $10 %$ ?
Fusée : décollage. Une fusée de masse $m_{0} = 5, 0 \times 1 0^{5} k g$ éjecte ses gaz à $u = 2, 8 \times 1 0^{3} m . s^{- 1}$ . Quel débit massique minimal assure le décollage ( $F \geq m_{0} g$ ) ? Quelle est alors l'accélération initiale ?
Équation de Tsiolkovski. Une fusée doit atteindre $Δ v = 9, 0 \times 1 0^{3} m . s^{- 1}$ avec $u = 3, 0 \times 1 0^{3} m . s^{- 1}$ . Quel rapport de masses $m_{0} / m_{f}$ faut-il ? Commenter la difficulté du vol spatial.
Arroseur rotatif. Un tourniquet à deux bras ( $ℓ = 0, 30 m$ ) débite $D_{v} = 0, 80 L . s^{- 1}$ éjecté à $u = 10 m . s^{- 1}$ . Calculer le couple de démarrage. Expliquer qualitativement pourquoi ce couple diminue lorsque la vitesse de rotation augmente.
Turbine. Une roue de turbine reçoit $D_{m} = 40 k g . s^{- 1}$ ; l'eau entre à $r_{1} = 0, 50 m$ avec $v_{θ 1} = 18 m . s^{- 1}$ et sort à $r_{2} = 0, 25 m$ avec $v_{θ 2} = 3, 0 m . s^{- 1}$ . La roue tourne à $Ω = 25 r a d . s^{- 1}$ . Calculer le couple moteur et la puissance mécanique récupérée.
Pompe centrifuge. Une pompe fournit un couple de $50 N . m$ à un débit $D_{m} = 20 k g . s^{- 1}$ ; l'eau entre sans composante orthoradiale ( $v_{θ 1} = 0$ ) et sort au rayon $r_{2} = 0, 15 m$ . Calculer la composante orthoradiale $v_{θ 2}$ à la sortie.
Jet sur aube mobile : rendement. Un jet ( $ρ, S, v$ ) frappe une aube qui le retourne complètement et recule à la vitesse $u < v$ . Exprimer la force sur l'aube puis la puissance transmise en fonction de la vitesse relative $v - u$ . Pour quelle valeur de $u$ cette puissance est-elle maximale ? Que vaut alors le rendement $P / (\frac{1}{2} D_{m} v^{2})$ ?

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Bilans de quantité de mouvement et de moment cinétique

6.1 Système fermé, système ouvert et volume de contrôle

6.1.1 Pourquoi une méthode d'association

Méthode : Association système fermé ↔ système ouvert

6.1.2 Conservation de la masse

6.2 Bilan de quantité de mouvement sur un volume de contrôle

6.2.1 Établissement du bilan

Méthode : Conduite d'un bilan de quantité de mouvement

6.3 Applications du bilan de quantité de mouvement

6.3.1 Force d'un jet sur une plaque

6.3.2 Force exercée sur un coude

6.3.3 Propulsion par réaction

6.4 Bilan de moment cinétique sur un volume de contrôle

6.4.1 Établissement du bilan

6.4.2 Turbine et machine à fluide

6.4.3 Arroseur rotatif (tourniquet hydraulique)

6.5 Synthèse du chapitre

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.6 Exercices résolus

6.7 Exercices d'entraînement

Méthode : Association système fermé $\leftrightarrow$ système ouvert