Bilans de quantité de mouvement et de moment cinétique

Le débit massique à travers une section $S$ où le fluide a la vitesse moyenne $v$ et la masse volumique $\rho$ vaut $D_m=\rho Sv$ (en $kg.s^{-1}$). En régime stationnaire, la masse contenue dans $(\mathcal{V})$ est constante, donc

$$\boxed{D_m={\rho }_1{S}_1{v}_1={\rho }_2{S}_2{v}_2}$$

Les deux tranches échangées ont même masse : $\mathrm{d}{m}_1=\mathrm{d}{m}_2=D_m\mathrm{d}t$. Pour un fluide incompressible, le débit volumique $D_v=S_1{v}_1=S_2{v}_2$ se conserve.

Le régime stationnaire est l'hypothèse centrale de tout le chapitre : la quantité de mouvement (et le moment cinétique) contenue dans $(\mathcal{V})$ ne varie pas au cours du temps. Toute la variation subie par ${\Sigma }^{\star }$ provient alors du seul renouvellement de la matière aux frontières $S_1$ et $S_2$.

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la loi de la quantité de mouvement appliquée au système fermé associé au volume de contrôle s'écrit

$$\boxed{D_m({\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1)=\sum {\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}}$$

où $D_m$ est le débit massique, ${\overrightarrow{v}}_1$ et ${\overrightarrow{v}}_2$ les vitesses moyennes en entrée et en sortie, et $\sum {\overrightarrow{F}}_{\text{ext}}$ la résultante des forces extérieures appliquées à la matière contenue dans $(\mathcal{V})$ : poids, forces de pression sur $(\Sigma )$, actions de contact des parois.

Le bilan suppose un référentiel galiléen. Pour un obstacle mobile à vitesse constante (plaque qui recule, aube de turbine), on se place dans le référentiel lié à l'obstacle, galiléen s'il est en translation rectiligne uniforme : les vitesses à utiliser sont alors les vitesses relatives du fluide.

Un jet cylindrique de section $S$, de vitesse $v$, frappe une plaque plane fixe perpendiculaire à son axe $({\overrightarrow{e}}_x)$. Le fluide s'étale sur la plaque : après impact, sa vitesse n'a plus de composante selon ${\overrightarrow{e}}_x$. Le jet étant à l'air libre, les forces de pression sont négligeables. La force exercée sur la plaque vaut

$$\boxed{\Vert \overrightarrow{F}\Vert =D_{m}v=\rho S{v}^2}$$

dirigée selon ${\overrightarrow{e}}_x$ (dans le sens du jet).

Si la plaque est inclinée de sorte que le jet reparte en faisant un angle $\theta$ avec sa direction incidente, seule change la composante de sortie. Pour une déviation d'angle $\theta$ à vitesse conservée ($v_2=v_1=v$, plaque lisse), la composante de la force selon ${\overrightarrow{e}}_x$ vaut $F_x=D_{m}v(1-\cos \theta )$ : maximale ($2D_{m}v$) pour un retournement complet $\theta =\pi$, nulle pour $\theta =0$.

Un fluide incompressible traverse un coude horizontal déviant l'écoulement de ${\overrightarrow{e}}_x$ (entrée) à $-{\overrightarrow{e}}_y$ (sortie). Les forces extérieures sur le fluide sont : la pression amont $P_1{S}_1{\overrightarrow{e}}_x$ (poussant vers l'intérieur), la pression aval $P_2{S}_2{\overrightarrow{e}}_y$ (idem, dirigée vers le haut car la sortie pointe vers le bas), et l'action $\overrightarrow{R}$ de la paroi. Le poids est négligé. Le bilan

$$D_m({\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1)=P_1{S}_1{\overrightarrow{e}}_x+P_2{S}_2{\overrightarrow{e}}_y+\overrightarrow{R}$$

se projette en

$$-D_m{v}_1=P_1{S}_1+R_x,-D_m{v}_2=P_2{S}_2+R_y,$$

d'où $R_x=-(P_1{S}_1+D_m{v}_1)$ et $R_y=-(P_2{S}_2+D_m{v}_2)$. La force du fluide sur le coude, $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{R}$, a pour composantes $F_x=P_1{S}_1+D_m{v}_1>0$ et $F_y=P_2{S}_2+D_m{v}_2>0$ : elle pointe vers le haut et l'aval, de norme $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =\sqrt{F_x^2+F_y^2}$. Ces forces peuvent atteindre plusieurs kilonewtons : les coudes des conduites industrielles doivent être solidement ancrés.

Le terme de pression $PS$ domine souvent le terme cinétique $D_{m}v$. Ainsi pour de l'eau à $v=3m.s^{-1}$ dans $S=10c{m}^2$ sous $P=1\times 10^{5}Pa$ : $PS=100N$ contre $D_{m}v=9N$. La force sur un coude est donc surtout une affaire de pression, et non de vitesse.

Une fusée de masse $m(t)$ (structure + ergols) se meut dans le vide, hors pesanteur, en éjectant ses gaz à la vitesse relative $u$ constante avec un débit $D_m=-\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}>0$. Le système fermé « fusée + gaz éjectés entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ » conserve sa quantité de mouvement (aucune force extérieure). En projetant sur l'axe du mouvement, avec $v$ la vitesse de la fusée :

$$m\mathrm{d}v=u(-\mathrm{d}m)⟹\mathrm{d}v=-u\frac{\mathrm{d}m}{m}.$$

En intégrant de la masse initiale $m_0$ à la masse finale $m_f$ :

$$\boxed{\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m_f}}$$

La variation de vitesse ne dépend que de la vitesse d'éjection et du rapport de masses : d'où la nécessité d'étages et d'ergols performants ($u$ élevé) pour atteindre les vitesses orbitales.

Pour un écoulement stationnaire à une entrée et une sortie, la loi du moment cinétique en un point fixe $O$ d'un référentiel galiléen s'écrit

$$\boxed{D_m\left(\overrightarrow{O{M}_2}\wedge {\overrightarrow{v}}_2-\overrightarrow{O{M}_1}\wedge {\overrightarrow{v}}_1\right)=\sum {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O({\overrightarrow{F}}_{\text{ext}})}$$

où $M_1$ et $M_2$ sont les points d'entrée et de sortie, ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$ les vitesses correspondantes, et $\sum {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_O$ la somme des moments des forces extérieures (pression, pesanteur, actions des parois et de l'axe).

La structure est identique à celle du bilan de quantité de mouvement : on remplace la vitesse $\overrightarrow{v}$ par le moment cinétique massique $\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{v}$, et la résultante des forces par la somme de leurs moments. Cette analogie est systématique : masse, quantité de mouvement, moment cinétique et énergie obéissent à des bilans de même forme sur un volume de contrôle.

Dans une turbine (ou une pompe) à symétrie de révolution autour d'un axe $(Oz)$, le fluide entre au rayon $r_1$ avec une composante orthoradiale de vitesse $v_{\theta 1}$ et sort au rayon $r_2$ avec $v_{\theta 2}$. Le moment par rapport à l'axe des actions de la roue sur le fluide vaut, par projection du bilan sur ${\overrightarrow{e}}_z$,

$${\mathcal{M}}_z=D_m(r_2{v}_{\theta 2}-r_1{v}_{\theta 1}).$$

Le couple exercé par le fluide sur la roue en est l'opposé ; la puissance mécanique échangée est $\mathcal{P}=\Omega |{\mathcal{M}}_z|$, où $\Omega$ est la vitesse angulaire de la roue.

Seules les composantes orthoradiales des vitesses (et les rayons) interviennent : les composantes radiales et axiales, dont le moment cinétique par rapport à $(Oz)$ est nul, ne participent pas à l'échange de couple. C'est le principe de fonctionnement de toutes les turbomachines.

Un tourniquet à deux bras identiques de longueur $\ell$ éjecte, à chaque extrémité, un débit massique $D_m/2$ à la vitesse $u$ tangentielle (orthoradiale). À l'instant de démarrage, la roue étant immobile, le fluide arrive de l'axe sans moment cinétique ($r_1=0$) et repart au rayon $\ell$ avec $v_{\theta }=u$. Le bilan par rapport à l'axe donne, pour les deux jets,

$${\mathcal{M}}_z=2\times \frac{D_m}{2}(\ell u-0)=D_m\ell u.$$

Ce moment est celui des actions de l'axe sur le fluide ; par réaction, le fluide exerce sur le tourniquet un couple $-D_m\ell u$ qui le fait tourner dans le sens opposé à l'éjection. C'est le principe de l'arroseur de jardin et de la turbine de Segner.

En régime permanent de rotation à la vitesse $\Omega$, les frottements de l'axe équilibrent le couple moteur. La vitesse d'éjection à considérer dans le référentiel du laboratoire devient $u-\Omega \ell$ (vitesse relative diminuée de l'entraînement) : le couple décroît quand $\Omega$ augmente, jusqu'à une vitesse de rotation limite fixée par les frottements.