Mécanique des fluides

Dans un fluide incompressible au repos, de masse volumique $\rho$, la pression croît avec la profondeur. Entre deux points $A$ et $B$ tels que $B$ est situé à une profondeur $h$ sous $A$ :

$$P_B=P_A+\rho gh$$

avec $P$ en pascals ($\mathrm{Pa}$), $\rho$ en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$, $g\approx 9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ et $h$ en mètres. Dans l'eau ($\rho =1,0\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$), la pression augmente d'environ $1$ bar ($10^5\mathrm{Pa}$) tous les $10$ mètres.

Un corps immergé dans un fluide reçoit sur toute sa surface des forces de pression. Comme la pression augmente avec la profondeur, les forces qui s'exercent sur le bas du corps (dirigées vers le haut) sont plus intenses que celles qui s'exercent sur le haut (dirigées vers le bas). La résultante de toutes ces forces de pression est donc dirigée vers le haut : c'est la poussée d'Archimède.

Un corps entièrement immergé dans un fluide de masse volumique ${\rho }_f$ subit une force verticale, dirigée vers le haut, égale à l'opposé du poids du fluide déplacé :

$$\boxed{\overrightarrow{\Pi }=-{\rho }_{f}V\overrightarrow{g}}$$

où $V$ est le volume de fluide déplacé (le volume immergé du corps). Sa norme vaut $\Pi ={\rho }_{f}Vg$. Pour un corps partiellement immergé (flotteur), $V$ est le volume de la partie immergée seulement.

Pour un corps homogène de masse volumique ${\rho }_s$ entièrement immergé, comparons la poussée $\Pi ={\rho }_{f}Vg$ et le poids $P={\rho }_{s}Vg$ :

• si ${\rho }_s>{\rho }_f$ : le poids l'emporte, le corps coule ;
• si ${\rho }_s<{\rho }_f$ : la poussée l'emporte, le corps remonte et flotte ; à l'équilibre en surface, la poussée (calculée sur le volume immergé) compense exactement le poids ;
• si ${\rho }_s={\rho }_f$ : le corps est en équilibre indifférent entre deux eaux.