Mécanique des fluides

Dans un fluide incompressible au repos, de masse volumique $\rho$, la pression croît avec la profondeur. Entre deux points $A$ et $B$ tels que $B$ est situé à une profondeur $h$ sous $A$ :

$$P_B=P_A+\rho gh$$

avec $P$ en pascals ($\mathrm{Pa}$), $\rho$ en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$, $g\approx 9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ et $h$ en mètres. Dans l'eau ($\rho =1,0\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$), la pression augmente d'environ $1$ bar ($10^5\mathrm{Pa}$) tous les $10$ mètres.

Un corps immergé dans un fluide reçoit sur toute sa surface des forces de pression. Comme la pression augmente avec la profondeur, les forces qui s'exercent sur le bas du corps (dirigées vers le haut) sont plus intenses que celles qui s'exercent sur le haut (dirigées vers le bas). La résultante de toutes ces forces de pression est donc dirigée vers le haut : c'est la poussée d'Archimède.

Un corps entièrement immergé dans un fluide de masse volumique ${\rho }_f$ subit une force verticale, dirigée vers le haut, égale à l'opposé du poids du fluide déplacé :

$$\boxed{\overrightarrow{\Pi }=-{\rho }_{f}V\overrightarrow{g}}$$

où $V$ est le volume de fluide déplacé (le volume immergé du corps). Sa norme vaut $\Pi ={\rho }_{f}Vg$. Pour un corps partiellement immergé (flotteur), $V$ est le volume de la partie immergée seulement.

Pour un corps homogène de masse volumique ${\rho }_s$ entièrement immergé, comparons la poussée $\Pi ={\rho }_{f}Vg$ et le poids $P={\rho }_{s}Vg$ :

• si ${\rho }_s>{\rho }_f$ : le poids l'emporte, le corps coule ;
• si ${\rho }_s<{\rho }_f$ : la poussée l'emporte, le corps remonte et flotte ; à l'équilibre en surface, la poussée (calculée sur le volume immergé) compense exactement le poids ;
• si ${\rho }_s={\rho }_f$ : le corps est en équilibre indifférent entre deux eaux.

Un ballon de volume $V=5,0\mathrm{L}=5,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ est maintenu entièrement sous l'eau. La poussée d'Archimède vaut :

$$\Pi ={\rho }_{f}Vg=1,0\times 10^3\times 5,0\times 10^{-3}\times 9,81\approx 49\mathrm{N}$$

soit l'équivalent du poids d'une masse de $5,0\mathrm{kg}$ : il faut le retenir fermement !

Pour un fluide incompressible en régime permanent dans une conduite, le débit volumique est le même à travers toute section :

$$Q_V=S_1{v}_1=S_2{v}_2$$

Conséquence : dans un rétrécissement ($S_2<S_1$), la vitesse augmente ($v_2>v_1$) — c'est l'effet du pouce sur le tuyau d'arrosage.

De l'eau circule à $v_1=1,2\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ dans une conduite de diamètre $d_1=8,0\mathrm{cm}$, qui se rétrécit à $d_2=4,0\mathrm{cm}$. Les sections sont proportionnelles aux carrés des diamètres, donc :

$$v_2=v_1\frac{S_1}{S_2}=v_1{\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^2=1,2\times 4=4,8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}.$$

Diviser le diamètre par 2 multiplie la vitesse par 4.

Pour un fluide incompressible de masse volumique $\rho$, en écoulement permanent et sans frottement, entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant :

$$\boxed{\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{z}_1+P_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{z}_2+P_2}$$

où $v$ est la vitesse du fluide, $z$ l'altitude et $P$ la pression. La quantité $\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz+P$ se conserve le long de l'écoulement.

Chaque terme de la relation de Bernoulli est homogène à une énergie par unité de volume ($\mathrm{J}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}=\mathrm{Pa}$) : $\frac{1}{2}\rho v^2$ est l'énergie cinétique volumique, $\rho gz$ l'énergie potentielle volumique, et $P$ joue le rôle d'une énergie volumique « de pression ». La relation de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie mécanique du fluide en l'absence de frottements — dans l'esprit du chapitre 10. Elle est fournie dans les sujets : il faut savoir l'exploiter, pas la démontrer.

À altitude constante ($z_1=z_2$), la relation de Bernoulli donne $\frac{1}{2}\rho v^2+P=$ constante :

Ce résultat, contre-intuitif, explique de nombreux phénomènes : aspiration des feuilles par une voiture rapide, rapprochement de deux rideaux de douche, portance...

• Mesure de débit : les débitmètres Venturi équipent conduites industrielles et réseaux d'eau ; la mesure de $\Delta P$ donne $Q_V$.
• Trompe à eau et pulvérisateurs : la dépression dans l'étranglement aspire un autre fluide (air, insecticide, carburant dans les anciens carburateurs).
• Médecine : dans une artère partiellement obstruée (sténose), le sang accélère et la pression chute — ce qui peut aggraver l'affaissement du vaisseau ; le même principe sert à mesurer les débits sanguins par Doppler.

Un réservoir ouvert est percé d'un petit orifice à une profondeur $h$ sous la surface libre. Appliquons Bernoulli entre un point 1 de la surface libre ($P_1=P_{\text{atm}}$, $v_1\approx 0$ car le réservoir est large, $z_1=h$) et le jet à l'orifice ($P_2=P_{\text{atm}}$, $z_2=0$) :

$$\rho gh+P_{\text{atm}}=\frac{1}{2}\rho v_2^2+P_{\text{atm}}⟹v_2=\sqrt{2gh}.$$

C'est la même vitesse que celle d'une chute libre de hauteur $h$ (chapitre 10) — cohérent avec l'interprétation énergétique de Bernoulli.