Décroissance radioactive

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 15 · terminale, spécialité physique-chimie

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Certains noyaux atomiques sont instables : ils se transforment spontanément en émettant des rayonnements. Cette radioactivité, découverte par Henri Becquerel en 1896 puis explorée par Pierre et Marie Curie, est un phénomène aléatoire à l'échelle d'un noyau — mais parfaitement prévisible à l'échelle d'une population : le nombre de noyaux radioactifs suit une loi de décroissance exponentielle, régie par la même équation différentielle du premier ordre que la cinétique d'ordre 1 du chapitre 1 ou la décharge du condensateur du chapitre 14. Ce chapitre présente la stabilité des noyaux, les types de radioactivité, la loi de décroissance et ses applications spectaculaires : la datation des vestiges archéologiques, la médecine nucléaire et la radioprotection.

15.1 Stabilité et instabilité des noyaux

15.1.1 Rappels : composition du noyau

Un noyau est noté $_{Z}^{A} X$ , où $Z$ est le numéro atomique (nombre de protons), $A$ le nombre de masse (nombre de nucléons) et $N = A - Z$ le nombre de neutrons. Des isotopes sont des noyaux de même $Z$ mais de $A$ différents : $_{6}^{12} C$ , $_{6}^{13} C$ et $_{6}^{14} C$ sont trois isotopes du carbone.

Définition 15.1Noyau stable, noyau radioactif

Un noyau est stable s'il conserve indéfiniment sa composition. Il est radioactif (instable) s'il se transforme spontanément en un autre noyau, en émettant une particule et éventuellement un rayonnement électromagnétique. Cette transformation est aléatoire (on ne peut pas prédire quand un noyau donné se désintégrera), spontanée (sans intervention extérieure) et inéluctable.

15.1.2 Le diagramme (N, Z)

Proposition 15.2Vallée de stabilité

En plaçant chaque noyau connu dans un diagramme avec $Z$ en abscisse et $N$ en ordonnée, les noyaux stables se regroupent le long d'une bande étroite, la vallée de stabilité : proche de la droite $N = Z$ pour les noyaux légers, elle s'en écarte vers les neutrons excédentaires ( $N > Z$ ) pour les noyaux lourds. Les noyaux situés hors de cette vallée sont radioactifs :

trop de neutrons (au-dessus de la vallée) : radioactivité $β^{-}$ ;
trop de protons (au-dessous de la vallée) : radioactivité $β^{+}$ ;
noyaux trop lourds ( $Z > 82$ environ) : radioactivité $α$ .

Le diagramme (N, Z) permet ainsi de repérer les isotopes radioactifs d'un élément : ceux qui s'écartent de la vallée de stabilité.

Diagramme (N, Z) schématique : les désintégrations $β$ ramènent les noyaux vers la vallée de stabilité (flèches) ; les noyaux lourds s'allègent par émission $α$ .

15.2 Les types de radioactivité

15.2.1 Lois de conservation

Proposition 15.3Lois de conservation (lois de Soddy)

Dans toute réaction nucléaire, il y a conservation :

du nombre de masse : la somme des $A$ est la même de part et d'autre ;
de la charge électrique : la somme des $Z$ est la même de part et d'autre.

Ces deux lois permettent d'écrire l'équation d'une réaction nucléaire et d'identifier la particule émise ou le noyau fils.

15.2.2 Radioactivités $α$ , $β$ et $γ$

Définition 15.4Radioactivité

α

Un noyau lourd expulse un noyau d'hélium $_{2}^{4} He$ (particule $α$ ) :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} He$

Exemple : $_{92}^{238} U ⟶_{90}^{234} Th +_{2}^{4} He$ .

Définition 15.5Radioactivités

β^{-}

β^{+}

Radioactivité $β^{-}$ (excès de neutrons) : un neutron se transforme en proton avec émission d'un électron $_{- 1}^{0} e$ :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z + 1}^{A} Y +_{- 1}^{0} e$

Exemple : $_{6}^{14} C ⟶_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e$ .

Radioactivité $β^{+}$ (excès de protons) : un proton se transforme en neutron avec émission d'un positon $_{1}^{0} e$ :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 1}^{A} Y +_{1}^{0} e$

Exemple : $_{9}^{18} F ⟶_{8}^{18} O +_{1}^{0} e$ (utilisé en imagerie TEP).

Définition 15.6Émission

γ

Après une désintégration $α$ ou $β$ , le noyau fils est souvent produit dans un état excité, noté $Y^{*}$ . Il rejoint son état fondamental en émettant un photon $γ$ , rayonnement électromagnétique de très haute énergie :

$_{Z}^{A} Y^{*} ⟶_{Z}^{A} Y + γ$

L'émission $γ$ ne modifie ni $A$ ni $Z$ : ce n'est pas une transmutation, mais une désexcitation.

Chacune de ces désintégrations se lit comme un déplacement dans le diagramme $(N, Z)$ — et toujours en direction de la vallée de stabilité.

Méthode : Écrire l'équation d'une réaction nucléaire

Écrire le noyau père et la particule émise (ou le noyau fils) avec leurs nombres $A$ et $Z$ .
Appliquer la conservation de $A$ : déterminer le nombre de masse manquant.
Appliquer la conservation de $Z$ : déterminer le numéro atomique manquant.
Identifier l'élément grâce à $Z$ (classification périodique) et le type de radioactivité grâce à la particule émise ( $_{2}^{4} He$ : $α$ ; $_{- 1}^{0} e$ : $β^{-}$ ; $_{1}^{0} e$ : $β^{+}$ ).

Exemple 15.7Identifier une désintégration

Le polonium 210 se désintègre en plomb : $_{84}^{210} Po ⟶_{82}^{206} Pb +_{Z}^{A} P$ . Conservation de $A$ : $210 = 206 + A$ , donc $A = 4$ . Conservation de $Z$ : $84 = 82 + Z$ , donc $Z = 2$ . La particule est $_{2}^{4} He$ : c'est une désintégration $α$ .

15.3 Loi de décroissance radioactive

15.3.1 L'équation différentielle

À l'échelle d'un noyau, la désintégration est aléatoire ; mais un échantillon macroscopique contient un nombre immense de noyaux, et la loi des grands nombres rend son évolution parfaitement déterministe : pendant une durée $d t$ , une proportion fixe $λ d t$ des noyaux présents se désintègre.

Définition 15.8Constante radioactive

La constante radioactive $λ$ (en $s^{- 1}$ ) caractérise un type de noyau : c'est la probabilité de désintégration d'un noyau par unité de temps. Elle ne dépend ni de l'âge du noyau, ni des conditions physico-chimiques (température, pression, liaisons chimiques).

Si $N (t)$ désigne le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t$ , la variation pendant $d t$ est $d N = - λ N d t$ , d'où :

$\frac{d N}{d t} = - λ N$

◆Théorème 15.9Loi de décroissance radioactive

La population de noyaux radioactifs vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre $\frac{d N}{d t} = - λ N$ , dont la solution, pour une population initiale $N_{0}$ , est :

$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$

La décroissance est exponentielle : mêmes mathématiques que la cinétique d'ordre 1 (chapitre 1) et que la décharge du condensateur (chapitre 14).

Démonstration (— établir l'évolution temporelle de la population)

L'équation $\frac{d N}{d t} = - λ N$ est une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre : ses solutions sont de la forme $N (t) = A e^{- λ t}$ , où $A$ est une constante. La condition initiale $N (0) = N_{0}$ donne $A = N_{0}$ , d'où $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ . On vérifie : $\frac{d N}{d t} = - λ N_{0} e^{- λ t} = - λ N (t)$ .

15.3.2 Temps de demi-vie

Définition 15.10Temps de demi-vie

Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d'un échantillon s'est désintégrée :

$N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2} ⟹ t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$

C'est une caractéristique du noyau, indépendante de la taille de l'échantillon : après chaque durée $t_{1/2}$ , la population est divisée par 2 (il reste $N_{0} /2$ , puis $N_{0} /4$ , puis $N_{0} /8$ ...).

Exemple 15.11Demi-vies très variées

Le temps de demi-vie varie énormément d'un noyau à l'autre : $_{84}^{214} Po$ : $1, 6 \times 1 0^{- 4} s$ ; $_{53}^{131} I$ : $8, 0$ jours ; $_{6}^{14} C$ : $5730$ ans ; $_{92}^{238} U$ : $4, 5$ milliards d'années — comparable à l'âge de la Terre, ce qui explique que l'uranium 238 soit encore présent dans les roches.

Courbe de décroissance : à chaque demi-vie écoulée, la population restante est divisée par deux — lecture graphique directe de $t_{1/2}$ .

15.3.3 Activité

Définition 15.12Activité

L'activité $A (t)$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en becquerels ( $1 Bq = 1$ désintégration par seconde) et vaut :

$A (t) = - \frac{d N}{d t} = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}, A_{0} = λ N_{0} .$

L'activité décroît avec le même temps de demi-vie que la population. Ordres de grandeur : corps humain $\approx 8000 Bq$ (potassium 40, carbone 14), source médicale de scintigraphie $\approx 1 0^{8} Bq$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N0, p = 10000, 0.05    # noyaux initiaux, proba de desintegration par pas
rng = np.random.default_rng()

N, population = N0, [N0]
while N > 0:
    # chaque noyau se desintegre avec la probabilite p pendant ce pas
    N = N - rng.binomial(N, p)
    population.append(N)

t = np.arange(len(population))
plt.plot(t, population, "b.", label="simulation aleatoire")
plt.plot(t, N0*(1-p)**t, "r-", label="loi exponentielle")
plt.xlabel("pas de temps"); plt.ylabel("N")
plt.legend(); plt.grid(); plt.show()
# le hasard individuel produit une decroissance collective reguliere

Simulation : du hasard microscopique à la loi exponentielle

15.4 La datation par la radioactivité

Méthode : Principe de la datation

Un « chronomètre » radioactif repose sur trois ingrédients :

un noyau radioactif de demi-vie adaptée à la durée à mesurer (quelques demi-vies) ;
la connaissance de la quantité (ou du rapport isotopique) initiale $N_{0}$ ;
la mesure de la quantité actuelle $N (t)$ .

On en déduit l'âge en inversant la loi de décroissance :

$N = N_{0} e^{- λ t} ⟹ t = \frac{1}{λ} ln \frac{N _{0}}{N} = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln \frac{N _{0}}{N} .$

Exemple 15.13Datation au carbone 14

Le carbone 14 ( $t_{1/2} = 5730$ ans) est produit en permanence dans la haute atmosphère : la proportion $^{14} C /^{12} C$ y est constante. Tout organisme vivant échange du carbone avec l'atmosphère et présente cette même proportion ; à sa mort, les échanges cessent et le carbone 14 décroît sans être renouvelé. En mesurant l'activité restante d'un échantillon (bois, os, tissu) et en la comparant à celle d'un organisme vivant, on date la mort — jusqu'à environ $50000$ ans (au-delà, il reste trop peu de $^{14} C$ ). Pour les durées géologiques, on utilise des noyaux à demi-vie longue : potassium-argon ( $1, 25$ milliard d'années), uranium-plomb ( $4, 5$ milliards d'années).

15.5 Applications médicales et radioprotection

Proposition 15.14La radioactivité en médecine

Imagerie (diagnostic) : la scintigraphie injecte un traceur radioactif (technétium 99m, $t_{1/2} = 6 h$ ) qui se fixe sur l'organe à explorer ; ses émissions $γ$ sont captées par une gamma-caméra. La TEP (tomographie par émission de positons) utilise le fluor 18 ( $β^{+}$ , $t_{1/2} = 110 min$ ) pour repérer les tissus surconsommateurs de glucose (tumeurs). Les demi-vies courtes limitent l'exposition du patient.
Radiothérapie (traitement) : les rayonnements ionisants détruisent les cellules cancéreuses, par irradiation externe ou par source interne (curiethérapie, iode 131 pour la thyroïde).
Stérilisation du matériel médical par irradiation $γ$ .

Proposition 15.15Protection contre les rayonnements ionisants

Trois leviers réduisent la dose reçue, chacun avec ses facteurs d'influence :

la durée d'exposition : la dose est proportionnelle au temps passé près de la source ;
la distance : l'intensité reçue décroît comme $1/ d^{2}$ (atténuation géométrique, comme pour le son au chapitre 13) — doubler la distance divise la dose par quatre ;
les écrans : leur efficacité dépend du type de rayonnement ( $α$ : arrêté par une feuille de papier ou quelques centimètres d'air ; $β$ : quelques millimètres d'aluminium ; $γ$ : fortement atténué seulement par de fortes épaisseurs de plomb ou de béton) et de leur épaisseur.

S'y ajoute, en milieu médical et nucléaire, la dosimétrie (suivi individuel de la dose reçue).

Le troisième levier se retient d'un coup d'œil : à chaque rayonnement son écran.

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