Le circuit RC

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 14 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'utilisation des smartphones, des appareils photo à flash, des microcontrôleurs ou encore des dispositifs de temporisation repose en grande partie sur un composant électronique élémentaire : le condensateur. Capable de stocker temporairement de l'énergie électrique et de la restituer, le condensateur ne se charge ni ne se décharge instantanément. Associé à un conducteur ohmique (résistance), il forme le dipôle RC, dont le comportement temporel est décrit par une équation différentielle du premier ordre.

Ce chapitre a pour objectif d'étudier la réponse d'un circuit RC à un échelon de tension. Nous établirons l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur, nous la résoudrons dans les cas de la charge et de la décharge, puis nous introduirons la notion fondamentale de constante de temps $τ = R C$ . Enfin, nous dresserons un bilan énergétique complet de ces phénomènes.

14.1 Le condensateur

14.1.1 Constitution et grandeurs caractéristiques

Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices, appelées armatures, séparées par un matériau isolant nommé diélectrique (air, mica, céramique, oxyde métallique…). Lorsqu'on le relie à un générateur, des charges électriques de signes opposés s'accumulent sur ses deux armatures : le condensateur se charge.

Définition 14.1Condensateur

Un condensateur est un dipôle constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Soumis à une tension, il accumule sur ses armatures des charges $+ q$ et $- q$ opposées. Son symbole est constitué de deux traits parallèles de même longueur.

L'intensité du courant qui circule dans la branche du condensateur correspond au débit de charges qui s'accumulent sur l'armature reliée à la borne positive.

Proposition 14.2Relation courant--charge

En convention récepteur, l'intensité $i$ du courant traversant le condensateur est liée à la charge $q$ de son armature positive par

$i = \frac{d q}{d t},$

où $i$ est en ampères ( $A$ ), $q$ en coulombs ( $C$ ) et $t$ en secondes ( $s$ ). Le courant n'existe que lorsque la charge varie : un condensateur complètement chargé sous tension constante n'est plus traversé par aucun courant.

14.1.2 Charge et capacité

L'expérience montre que la charge $q$ portée par l'armature positive est, à chaque instant, proportionnelle à la tension $u_{C}$ appliquée aux bornes du condensateur. Le coefficient de proportionnalité est une grandeur caractéristique du composant : sa capacité.

Définition 14.3Capacité d'un condensateur

La capacité $C$ d'un condensateur est définie par la relation

$q = C u_{C},$

avec $q$ en coulombs ( $C$ ), $u_{C}$ en volts ( $V$ ) et $C$ en farads ( $F$ ). Les armatures $q$ et $u_{C}$ sont orientées en convention récepteur (la flèche tension pointe de l'armature $- q$ vers l'armature $+ q$ ).

Le farad est une unité très grande : les condensateurs usuels ont des capacités de l'ordre du picofarad ( $1 pF = 1 0^{- 12} F$ ), du nanofarad ( $1 nF = 1 0^{- 9} F$ ) ou du microfarad ( $1 μ F = 1 0^{- 6} F$ ).

Exemple 14.4Charge accumulée

Un condensateur de capacité $C = 10 μ F$ est soumis à une tension $u_{C} = 6, 0 V$ . La charge portée par son armature positive vaut

$q = C u_{C} = 10 \times 1 0^{- 6} \times 6, 0 = 6, 0 \times 1 0^{- 5} C = 60 μ C .$

Proposition 14.5Le comportement capacitif est partout

Il y a comportement capacitif dès que des charges de signes opposés s'accumulent sur des surfaces conductrices en regard : deux fils voisins d'un câble, les pistes d'un circuit imprimé, un câble coaxial, la membrane d'un microphone à condensateur face à son électrode, ou encore un doigt approché d'un écran tactile (le corps humain est conducteur). Tout couple de conducteurs proches possède ainsi une capacité, parfois parasite, parfois exploitée.

Proposition 14.6Effet de la géométrie sur la capacité

La capacité d'un condensateur dépend de sa géométrie ; qualitativement, pour un condensateur plan, elle est d'autant plus grande que :

la surface $S$ des armatures en regard est grande ;
la distance $d$ entre les armatures est petite ;
l'isolant qui les sépare est polarisable (sa permittivité est élevée).

On peut l'illustrer expérimentalement avec deux plaques mobiles reliées à un capacimètre ou à un microcontrôleur : écarter les plaques ou réduire leur recouvrement fait chuter la capacité — c'est exactement ce que mesurent les capteurs capacitifs (fin de chapitre).

14.1.3 Énergie emmagasinée

En se chargeant, le condensateur stocke de l'énergie sous forme électrique dans le champ régnant entre ses armatures. Cette énergie pourra être restituée lors de la décharge.

Proposition 14.7Énergie emmagasinée dans un condensateur

Un condensateur de capacité $C$ chargé sous une tension $u_{C}$ emmagasine l'énergie

$E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} = \frac{1}{2} \frac{q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} q u_{C},$

où $E_{C}$ est en joules ( $J$ ), $C$ en farads ( $F$ ) et $u_{C}$ en volts ( $V$ ). Comme $u_{C}$ ne peut pas varier de façon discontinue, l'énergie stockée varie elle aussi de manière continue.

Exemple 14.8Énergie d'un flash

Le condensateur d'un flash de capacité $C = 100 μ F$ est chargé sous $u_{C} = 300 V$ . Il emmagasine

$E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 0^{- 6} \times 30 0^{2} = 4, 5 J .$

Cette énergie est restituée en quelques millisecondes lors de l'éclair, ce qui correspond à une puissance instantanée très élevée.

14.2 Le dipôle RC série

14.2.1 Continuité de la tension aux bornes du condensateur

Le dipôle RC est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$ . Une propriété essentielle gouverne son comportement.

Proposition 14.9Continuité de

u_{C}

La tension $u_{C}$ aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps : elle ne peut pas subir de variation brutale (discontinuité). En particulier, sa valeur juste après une commutation est égale à sa valeur juste avant. En revanche, l'intensité $i$ peut, elle, varier de façon discontinue.

Cette continuité provient de la relation $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ : une discontinuité de $u_{C}$ exigerait un courant infini, ce qui est physiquement impossible.

14.3 Réponse à un échelon de tension : la charge

14.3.1 Établissement de l'équation différentielle

On considère un circuit série comportant un générateur de tension idéale de force électromotrice $E$ , un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé ( $u_{C} (0) = 0$ ). À l'instant $t = 0$ , on ferme l'interrupteur : le générateur impose un échelon de tension.

D'après la loi des mailles, en convention récepteur :

$E = u_{R} + u_{C} .$

Or $u_{R} = R i$ (loi d'Ohm) et $i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . En reportant :

$E = R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} .$

◆Théorème 14.10Équation différentielle de la charge

La tension $u_{C}$ aux bornes du condensateur d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension $E$ vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

$R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E .$

14.3.2 Résolution et solution

La solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène (régime transitoire) et d'une solution particulière constante (régime permanent).

Méthode : Résoudre l'équation différentielle de la charge

Solution homogène : $R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0$ admet pour solution $u_{C, h} (t) = A e^{- t / (R C)}$ , où $A$ est une constante.
Solution particulière : en régime permanent, $u_{C}$ est constante, donc $\frac{d u _{C}}{d t} = 0$ , d'où $u_{C, p} = E$ .
Solution générale : $u_{C} (t) = A e^{- t / (R C)} + E$ .
Condition initiale : la continuité impose $u_{C} (0) = 0$ , donc $A + E = 0$ , soit $A = - E$ .

◆Théorème 14.11Loi de charge du condensateur

Pour un condensateur initialement déchargé soumis à l'échelon $E$ à $t = 0$ :

$u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ}), τ = R C .$

On en déduit l'intensité dans le circuit :

$i (t) = C \frac{d u _{C}}{d t} = \frac{E}{R} e^{- t / τ} .$

À $t = 0$ , $i (0) = \frac{E}{R}$ (valeur maximale) ; en régime permanent, $i \to 0$ .

La tension croît de $0$ vers la valeur asymptotique $E$ , atteinte théoriquement au bout d'un temps infini, mais pratiquement après quelques $τ$ .

14.4 Réponse à un échelon de tension : la décharge

On part maintenant d'un condensateur chargé sous la tension $E$ ( $u_{C} (0) = E$ ). À $t = 0$ , on déconnecte le générateur et on referme le circuit sur le seul conducteur ohmique $R$ . La loi des mailles donne $u_{R} + u_{C} = 0$ , soit $R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0$ .

◆Théorème 14.12Équation et loi de décharge

La tension $u_{C}$ lors de la décharge vérifie

$R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0,$

dont la solution, avec la condition initiale $u_{C} (0) = E$ , est

$u_{C} (t) = E e^{- t / τ}, τ = R C .$

L'intensité vaut $i (t) = C \frac{d u _{C}}{d t} = - \frac{E}{R} e^{- t / τ}$ : elle est de signe opposé à celui de la charge, le courant circulant en sens inverse.

Exemple 14.13Tension à

t = τ

Pour une décharge, à $t = τ$ :

$u_{C} (τ) = E e^{- 1} \approx 0, 37 E .$

Le condensateur a donc perdu environ $63%$ de sa tension initiale en une constante de temps. Après $5 τ$ , $u_{C} \approx 0, 007 E$ : le condensateur est pratiquement déchargé.

14.5 La constante de temps $τ = R C$

14.5.1 Signification physique

Définition 14.14Constante de temps

La constante de temps d'un dipôle RC est la grandeur

$τ = R C,$

homogène à un temps : avec $R$ en ohms ( $Ω$ ) et $C$ en farads ( $F$ ), $τ$ s'exprime en secondes ( $s$ ). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge : plus $τ$ est grand, plus le phénomène est lent.

Exemple 14.15Homogénéité de

τ

Vérifions l'unité : $[R] = V \cdot A^{- 1}$ et $[C] = C \cdot V^{- 1} = A \cdot s \cdot V^{- 1}$ . Donc

$[R C] = V \cdot A^{- 1} \times A \cdot s \cdot V^{- 1} = s .$

Proposition 14.16Valeurs remarquables

Pour la charge $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ :

à $t = τ$ : $u_{C} = E (1 - e^{- 1}) \approx 0, 63 E$ (soit $63%$ de $E$ ) ;
à $t = 3 τ$ : $u_{C} \approx 0, 95 E$ ;
à $t = 5 τ$ : $u_{C} \approx 0, 99 E$ , le régime permanent est considéré comme atteint.

Pour la décharge $u_{C} (t) = E e^{- t / τ}$ , à $t = τ$ on a $u_{C} \approx 0, 37 E$ .

14.5.2 Détermination graphique de $τ$

Méthode : Mesurer $τ$ sur une courbe expérimentale

Deux méthodes équivalentes :

Méthode de la tangente à l'origine : on trace la tangente à la courbe $u_{C} (t)$ à l'instant $t = 0$ . Elle coupe l'asymptote horizontale ( $u_{C} = E$ en charge, $u_{C} = 0$ en décharge) à l'abscisse $t = τ$ .
Méthode des $63%$ : en charge, on repère l'instant où $u_{C} = 0, 63 E$ ; cet instant vaut $τ$ . En décharge, on repère l'instant où $u_{C} = 0, 37 E$ .

Les deux lectures se font directement sur le tracé, sans aucun calcul.

La méthode de la tangente se justifie ainsi : en charge, $\frac{d u _{C}}{d t}_{t = 0} = \frac{E}{τ}$ . L'équation de la tangente à l'origine est $u = \frac{E}{τ} t$ , qui atteint la valeur $E$ pour $t = τ$ .

14.6 Bilan énergétique

Pendant la charge, le générateur fournit de l'énergie qui se répartit entre le condensateur (énergie stockée) et le conducteur ohmique (énergie dissipée par effet Joule).

◆Théorème 14.17Bilan énergétique de la charge

Au cours de la charge complète d'un condensateur sous l'échelon $E$ :

énergie fournie par le générateur : $E_{g e ˊ n} = E q = C E^{2}$ ;
énergie finalement stockée dans le condensateur : $E_{C} = \frac{1}{2} C E^{2}$ ;
énergie dissipée par effet Joule dans la résistance : $E_{J} = E_{g e ˊ n} - E_{C} = \frac{1}{2} C E^{2}$ .

Le rendement de la charge est donc de $50%$ : la moitié de l'énergie fournie est inévitablement dissipée, indépendamment de la valeur de $R$ .

Exemple 14.18Énergie dissipée à la décharge

Lors de la décharge sur une résistance $R$ , le condensateur restitue toute son énergie $E_{C} = \frac{1}{2} C E^{2}$ , intégralement dissipée par effet Joule dans $R$ . Pour $C = 47 μ F$ chargé sous $E = 12 V$ :

$E_{J} = \frac{1}{2} \times 47 \times 1 0^{- 6} \times 1 2^{2} \approx 3, 4 \times 1 0^{- 3} J .$

14.7 Les capteurs capacitifs

Proposition 14.19Principe d'un capteur capacitif

Un capteur capacitif exploite le fait que la capacité dépend de la géométrie et du milieu : la grandeur à mesurer modifie la capacité, et l'électronique mesure cette variation — par exemple en chronométrant la charge du condensateur à travers une résistance connue ( $τ = R C$ : mesurer $τ$ , c'est mesurer $C$ ). Quelques exemples :

écran tactile : sous la dalle, un quadrillage d'électrodes ; le doigt (conducteur) qui s'approche modifie localement la capacité, ce qui permet de localiser le contact — sans aucune pression ;
capteur de niveau : deux électrodes verticales plongent dans une cuve ; quand le liquide monte, il remplace l'air entre les électrodes et la capacité augmente — on suit le remplissage sans contact mécanique ;
accéléromètre MEMS (smartphones) : une micro-armature mobile suspendue se déplace sous l'effet de l'accélération, ce qui modifie sa distance aux armatures fixes, donc la capacité ;
capteur d'humidité : le diélectrique est un polymère qui absorbe l'eau ; sa permittivité, donc la capacité, varie avec l'humidité.

iRemarqueMesure expérimentale de

τ

Au laboratoire, on détermine $τ$ à l'aide d'un oscilloscope, d'une carte d'acquisition ou d'un microcontrôleur (type Arduino) qui chronomètre la montée de $u_{C}$ jusqu'à un seuil : c'est exactement le principe utilisé par les capteurs capacitifs industriels — et une capacité expérimentale du programme.

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