Phénomènes ondulatoires, lumière et photons

L'œil humain perçoit les radiations dont la longueur d'onde dans le vide est comprise approximativement entre $400\mathrm{nm}$ (violet) et $800\mathrm{nm}$ (rouge). Une lumière monochromatique correspond à une seule longueur d'onde ; une lumière polychromatique (lumière blanche) résulte de la superposition de plusieurs radiations.

Un laser hélium-néon émet une lumière rouge de longueur d'onde $\lambda =633\mathrm{nm}$. Sa fréquence vaut

$$\nu =\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{633\times 10^{-9}}\approx 4,74\times 10^{14}\mathrm{Hz}.$$

• Doubler l'intensité (deux sources identiques au lieu d'une) ajoute $10\log 2\approx 3\mathrm{dB}$ — et non le double de décibels !
• Multiplier l'intensité par $10$ ajoute $10\mathrm{dB}$.

Une enceinte produit $I_1=1,0\times 10^{-5}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$, soit $L_1=10\log (10^7)=70\mathrm{dB}$. Deux enceintes identiques produisent $I_2=2,0\times 10^{-5}\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}$, soit

$$L_2=10\log \left(2\times 10^7\right)=70+10\log 2\approx 73\mathrm{dB}.$$

En s'éloignant de la source, le niveau sonore diminue : c'est l'atténuation, mesurée en décibels ($A=L_1-L_2$). Elle a deux origines :

• atténuation géométrique : la puissance émise se répartit sur une surface de plus en plus grande (une sphère de surface $4\pi d^2$ pour une source isotrope) ; l'intensité décroît en $I=\frac{P}{4\pi d^2}$ — doubler la distance divise $I$ par $4$, soit une atténuation de $10\log 4\approx 6\mathrm{dB}$ ;
• atténuation par absorption : le milieu (air, cloison, mousse isolante) absorbe une partie de l'énergie de l'onde, convertie en énergie thermique — c'est le principe de l'isolation phonique.

La diffraction devient notable lorsque la dimension caractéristique $a$ de l'ouverture ou de l'obstacle est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde :

$$a\sim \lambda .$$

La diffraction n'altère ni la longueur d'onde, ni la fréquence, ni la célérité de l'onde.

Pour une fente (ou un fil) de largeur $a$ éclairée par une onde monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, l'écart angulaire $\theta$ entre le milieu de la tache centrale et le premier minimum d'intensité (demi-largeur angulaire de la tache centrale) est

$$\theta =\frac{\lambda }{a},$$

avec $\theta$ en radians, $\lambda$ et $a$ en mètres. Cette relation suppose le petit angle ($\theta$ exprimé en radians).

Si l'écran est placé à une distance $D$ de la fente, avec $D\gg a$, la demi-largeur $L$ de la tache centrale (distance entre le centre et le premier minimum) vérifie, pour les petits angles ($\tan \theta \approx \theta$) :

$$\theta \approx \frac{L}{D},\text{d’ouˋ}L=D\theta =\frac{\lambda D}{a}.$$

La largeur totale de la tache centrale vaut donc $2L=\frac{2\lambda D}{a}$.

Un fil de diamètre $a=0,10\mathrm{mm}$ est éclairé par un laser de longueur d'onde $\lambda =633\mathrm{nm}$ ; l'écran est à $D=2,0\mathrm{m}$. L'écart angulaire vaut

$$\theta =\frac{\lambda }{a}=\frac{633\times 10^{-9}}{0,10\times 10^{-3}}=6,33\times 10^{-3}\mathrm{rad}.$$

La largeur totale de la tache centrale est

$$2L=\frac{2\lambda D}{a}=2\times 6,33\times 10^{-3}\times 2,0\approx 2,5\times 10^{-2}\mathrm{m}=2,5\mathrm{cm}.$$

Pour deux ondes cohérentes de longueur d'onde $\lambda$ en phase à l'émission :

• interférences constructives (intensité maximale, frange brillante) si la différence de marche est un multiple entier de $\lambda$ :

$$\delta =k\lambda ,k\in \mathbb{Z}.$$

• interférences destructives (intensité minimale, frange sombre) si la différence de marche est un multiple impair de demi-longueur d'onde :

$$\delta =\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda ,k\in \mathbb{Z}.$$

Pour un point M de l'écran situé à l'abscisse $x$ (mesurée à partir du centre de la figure), avec $D\gg b$ et $D\gg x$ (petits angles), la différence de marche vaut

$$\delta =\frac{bx}{D}.$$

L'interfrange $i$ est la distance qui sépare les milieux de deux franges brillantes (ou sombres) consécutives. Dans le dispositif de Young :

$$i=\frac{\lambda D}{b},$$

où $\lambda$ est la longueur d'onde, $D$ la distance fentes--écran et $b$ l'écartement des fentes. Toutes les grandeurs sont en mètres.

Deux fentes distantes de $b=0,20\mathrm{mm}$ sont éclairées par un laser de longueur d'onde $\lambda =633\mathrm{nm}$ ; l'écran est à $D=1,5\mathrm{m}$. L'interfrange vaut

$$i=\frac{\lambda D}{b}=\frac{633\times 10^{-9}\times 1,5}{0,20\times 10^{-3}}\approx 4,7\times 10^{-3}\mathrm{m}=4,7\mathrm{mm}.$$

Pour une source se déplaçant à la vitesse $v$ faible devant la célérité $c$ de l'onde ($v\ll c$), le long de l'axe source--récepteur, le décalage de fréquence est, en valeur absolue,

$$\frac{\Delta \nu }{\nu }=\frac{|{\nu }_{\text{rec¸ue}}-{\nu }_{\text{eˊmise}}|}{{\nu }_{\text{eˊmise}}}=\frac{v}{c}.$$

La fréquence reçue augmente lors d'un rapprochement et diminue lors d'un éloignement.

Un radar émet une onde, qui se réfléchit sur un véhicule en mouvement : le véhicule joue le rôle d'un récepteur puis d'une source mobile. La mesure du décalage de fréquence $\Delta \nu$ entre l'onde émise et l'onde reçue permet de remonter à la vitesse $v$. Pour une onde réfléchie (double effet Doppler), $\frac{\Delta \nu }{\nu }=\frac{2v}{c}$, ce qui rend la méthode très sensible.

En astrophysique, on mesure le décalage des raies spectrales connues d'un objet lointain. Lorsque l'objet s'éloigne, les raies sont décalées vers les grandes longueurs d'onde : c'est le décalage vers le rouge (redshift). On définit

$$z=\frac{{\lambda }_{\text{rec¸ue}}-{\lambda }_{\text{eˊmise}}}{{\lambda }_{\text{eˊmise}}}=\frac{\Delta \lambda }{\lambda },$$

et pour des vitesses faibles, $z\approx \frac{v}{c}$. La mesure de $z$ pour les galaxies lointaines a mis en évidence l'expansion de l'Univers.

Une raie émise à ${\lambda }_{\text{eˊmise}}=656,3\mathrm{nm}$ est reçue à ${\lambda }_{\text{rec¸ue}}=662,9\mathrm{nm}$. Le décalage relatif vaut

$$z=\frac{662,9-656,3}{656,3}\approx 1,01\times 10^{-2}.$$

La vitesse d'éloignement est donc $v=zc\approx 1,01\times 10^{-2}\times 3,00\times 10^8\approx 3,0\times 10^6\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Pour un photon rouge ($\lambda =633\mathrm{nm}$) :

$$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,63\times 10^{-34}\times 3,00\times 10^8}{633\times 10^{-9}}\approx 3,1\times 10^{-19}\mathrm{J}\approx 2,0\mathrm{eV}.$$

(On rappelle $1\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-19}\mathrm{J}$.)

Lorsqu'un métal est éclairé par un rayonnement de fréquence suffisante, il éjecte des électrons : c'est l'effet photoélectrique (Hertz, 1887). Les observations clés :

• il existe une fréquence seuil ${\nu }_0$, caractéristique du métal, en dessous de laquelle aucun électron n'est émis, quelle que soit l'intensité de la lumière ;
• au-dessus du seuil, l'émission est instantanée et l'énergie cinétique des électrons ne dépend que de la fréquence, pas de l'intensité (qui ne joue que sur leur nombre).

Ces faits sont inexplicables par le modèle ondulatoire (une onde plus intense devrait finir par arracher des électrons à n'importe quelle fréquence). C'est leur interprétation par Einstein en 1905 — chaque électron absorbe un photon — qui a imposé le photon et lui a valu le prix Nobel : une importance historique majeure dans la naissance de la physique quantique.

Pour extraire un électron du métal, il faut lui fournir au moins le travail d'extraction $W_0$ (caractéristique du métal, avec $W_0=h{\nu }_0$). Un photon d'énergie $h\nu \ge W_0$ est absorbé par un électron ; l'excédent devient énergie cinétique :

$$E_c=h\nu -W_0.$$

L'énergie cinétique maximale des électrons croît linéairement avec la fréquence — conformément à l'expérience.

Dans une cellule photoélectrique, les électrons éjectés par la lumière sont collectés par une électrode : le flux lumineux est converti en courant électrique mesurable (détecteurs, cellules d'ouverture de portes). Plus largement, l'absorption et l'émission de photons par la matière sont au cœur de nombreuses applications : capteurs de lumière (photodiodes, capteurs d'appareil photo), cellules photovoltaïques, diodes électroluminescentes (DEL, émission de photons), spectroscopies UV-visible et infrarouge (chapitres 4 et 6).