Lentilles minces et lunette astronomique

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 12 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'observation du ciel a toujours fasciné l'humanité. Pour scruter les astres lointains, l'œil humain ne suffit pas : il faut lui adjoindre des instruments d'optique capables de collecter davantage de lumière et d'agrandir les détails. La lunette astronomique, perfectionnée par Galilée au début du XVII^e siècle, repose sur l'association de quelques lentilles minces.

Dans ce chapitre, nous étudions d'abord la lentille mince convergente : ses caractéristiques, la construction géométrique des images qu'elle forme, ainsi que les relations de conjugaison et de grandissement qui permettent un traitement quantitatif. Nous modélisons ensuite l'œil comme un système optique simple, avant de comprendre le fonctionnement d'une lunette astronomique afocale et la notion de grossissement.

12.1 La lentille mince convergente

12.1.1 Description et caractéristiques

Une lentille est un milieu transparent, généralement en verre ou en plastique, limité par deux surfaces dont l'une au moins est sphérique. Une lentille est dite mince lorsque son épaisseur est faible devant les rayons de courbure de ses faces : on peut alors la représenter par un simple segment fléché.

Définition 12.1Lentille mince convergente

Une lentille mince convergente est une lentille à bords minces qui fait converger un faisceau de rayons parallèles incidents vers un même point situé après la lentille.

On la symbolise par un segment vertical terminé par deux pointes de flèches dirigées vers l'extérieur :

$↑ ↓ ⟶ (fl e ˋ ches vers l’ext e ˊ rieur)$

Définition 12.2Centre optique et axe optique

Le centre optique $O$ est le point central de la lentille. Tout rayon passant par $O$ n'est pas dévié.

L'axe optique principal est la droite horizontale perpendiculaire à la lentille et passant par le centre optique $O$ . Le système est étudié dans l'approximation de Gauss (rayons peu inclinés et proches de l'axe optique).

Définition 12.3Foyers d'une lentille convergente

Le foyer principal image $F^{'}$ est le point de l'axe optique où convergent les rayons issus d'un objet situé à l'infini sur l'axe (faisceau incident parallèle à l'axe).
Le foyer principal objet $F$ est le point de l'axe optique dont l'image se forme à l'infini. Il est symétrique de $F^{'}$ par rapport à $O$ .

Les points $F$ et $F^{'}$ sont symétriques par rapport au centre optique : $O F = - O F^{'}$ .

12.1.2 Distance focale et vergence

Définition 12.4Distance focale

La distance focale image d'une lentille mince est la mesure algébrique :

$f^{'} = O F^{'}$

Pour une lentille convergente, $f^{'} > 0$ . Elle s'exprime en mètres ( $m$ ). Plus $f^{'}$ est petite, plus la lentille est « puissante ».

Définition 12.5Vergence

La vergence $C$ d'une lentille mince est l'inverse de sa distance focale :

$C = \frac{1}{f ^{'}}$

La vergence s'exprime en dioptries ( $δ$ ), avec $1 δ = 1 m^{- 1}$ . Pour une lentille convergente, $C > 0$ .

Exemple 12.6Calcul d'une vergence

Une lentille convergente a une distance focale $f^{'} = 20 cm = 0, 20 m$ . Sa vergence vaut :

$C = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 20} = 5, 0 δ$

12.2 Construction géométrique de l'image

12.2.1 Les trois rayons particuliers

Pour construire l'image $A^{'} B^{'}$ d'un objet $A B$ perpendiculaire à l'axe optique (le point $A$ étant sur l'axe), on utilise les rayons issus du point $B$ dont on connaît le trajet.

Proposition 12.7Rayons particuliers

Pour un point objet $B$ , trois rayons remarquables permettent de construire le point image $B^{'}$ :

Le rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
Le rayon parallèle à l'axe optique ressort en passant par le foyer image $F^{'}$ .
Le rayon passant par le foyer objet $F$ ressort parallèle à l'axe optique.

L'intersection de deux de ces rayons (le troisième sert de vérification) donne la position du point image $B^{'}$ .

Méthode : Construire l'image d'un objet

Placer l'axe optique, la lentille, le centre $O$ , les foyers $F$ et $F^{'}$ .
Placer l'objet $A B$ (souvent à gauche, $A$ sur l'axe).
Tracer au moins deux rayons particuliers issus du point $B$ .
Leur intersection donne $B^{'}$ ; abaisser la perpendiculaire à l'axe pour obtenir $A^{'}$ .
Lire la nature de l'image : réelle (rayons qui se croisent réellement après la lentille) ou virtuelle ; droite ou renversée.

12.2.2 Nature et position de l'image selon l'objet

Proposition 12.8Cas d'un objet réel

Pour une lentille convergente et un objet réel $A B$ :

Si l'objet est au-delà du foyer objet ( $O A < O F$ , soit objet plus loin que $F$ ) : l'image est réelle et renversée.
Si l'objet est entre $F$ et $O$ : l'image est virtuelle, droite et agrandie (principe de la loupe).

Deux situations extrêmes suffisent à retenir le tableau : l'objet loin devant $2 F$ , et l'objet glissé entre $O$ et $F$ .

12.3 Relations de conjugaison et grandissement

12.3.1 La relation de conjugaison

◆Théorème 12.9Relation de conjugaison (origine au centre

O

)

Pour une lentille mince de centre optique $O$ et de distance focale $f^{'}$ , les positions de l'objet $A$ et de l'image $A^{'}$ sur l'axe vérifient :

$\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$

Toutes les grandeurs sont des mesures algébriques exprimées dans la même unité, l'axe étant orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Méthode : Utiliser la relation de conjugaison

Pour trouver la position de l'image $O A^{'}$ connaissant $O A$ et $f^{'}$ :

Repérer les signes : un objet réel à gauche donne $O A < 0$ .
Isoler $\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{O A}$ .
Calculer la valeur numérique, puis prendre l'inverse pour obtenir $O A^{'}$ .
Interpréter le signe : $O A^{'} > 0$ image réelle (à droite), $O A^{'} < 0$ image virtuelle.

12.3.2 Le grandissement

Définition 12.10Grandissement

Le grandissement $γ$ caractérise la taille et le sens de l'image par rapport à l'objet :

$γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A}$

$γ > 0$ : image droite (de même sens que l'objet).
$γ < 0$ : image renversée.
$∣ γ ∣ > 1$ : image agrandie ; $∣ γ ∣ < 1$ : image réduite.

Exemple 12.11Position et taille d'une image

Un objet de hauteur $A B = 2, 0 cm$ est placé à $30 cm$ devant une lentille de distance focale $f^{'} = 10 cm$ . On a $O A = - 30 cm$ .

$\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{- 30} = \frac{3 - 1}{30} = \frac{2}{30} \Rightarrow O A^{'} = 15 cm$

L'image est réelle ( $O A^{'} > 0$ ). Le grandissement vaut :

$γ = \frac{O A ^{'}}{O A} = \frac{15}{- 30} = - 0, 50$

L'image est renversée et deux fois plus petite : $A^{'} B^{'} = γ \times A B = - 0, 50 \times 2, 0 = - 1, 0 cm$ .

12.4 Modèle de l'œil

Définition 12.12Œil réduit

Dans le modèle de l'œil réduit, l'œil est assimilé à :

une lentille mince convergente (ensemble cornée + cristallin) ;
un diaphragme (l'iris, dont l'ouverture est la pupille) ;
un écran (la rétine) sur lequel doit se former une image réelle, nette et renversée.

Proposition 12.13Accommodation

La distance entre le cristallin et la rétine étant fixe, l'œil modifie la vergence de son cristallin pour que l'image se forme toujours sur la rétine quel que soit l'éloignement de l'objet : c'est l'accommodation.

Le punctum remotum (PR) est le point le plus éloigné vu net sans accommoder : à l'infini pour un œil normal.
Le punctum proximum (PP) est le point le plus proche vu net en accommodant au maximum : environ $25 cm$ pour un œil normal.

12.5 La lunette astronomique afocale

12.5.1 Principe et constitution

Définition 12.14Lunette astronomique

Une lunette astronomique est constituée de deux systèmes convergents :

l'objectif (lentille $L_{1}$ , de grande distance focale $f_{1}^{'}$ ) qui forme une image intermédiaire de l'objet observé ;
l'oculaire (lentille $L_{2}$ , de courte distance focale $f_{2}^{'}$ ) qui joue le rôle de loupe pour observer cette image intermédiaire.

Proposition 12.15Image intermédiaire

L'objet observé (un astre) est à l'infini : l'objectif $L_{1}$ en forme une image réelle $A_{1} B_{1}$ dans son plan focal image, c'est-à-dire au foyer image $F_{1}^{'}$ . Cette image intermédiaire sert d'objet pour l'oculaire.

Définition 12.16Système afocal

Une lunette est afocale lorsque l'image définitive d'un objet à l'infini est elle-même rejetée à l'infini : l'œil observe alors sans accommoder, dans des conditions confortables.

Cette condition est réalisée lorsque le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire :

$F_{1}^{'} = F_{2}$

La distance entre les deux lentilles vaut alors $O_{1} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ .

12.5.2 Grossissement

Lunette afocale : le faisceau incident (incliné de $θ$ ) converge en $B_{1}$ dans le plan focal commun, puis ressort en faisceau parallèle incliné de $θ^{'} > θ$ — l'image définitive est à l'infini, l'œil n'accommode pas.

◆Théorème 12.17Grossissement d'une lunette afocale

Le grossissement $G$ d'une lunette afocale est le rapport de l'angle $θ^{'}$ sous lequel on voit l'objet à travers la lunette, à l'angle $θ$ sous lequel on le voit à l'œil nu :

$G = \frac{θ ^{'}}{θ} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$

Pour obtenir un grand grossissement, on choisit un objectif de grande distance focale et un oculaire de courte distance focale.

Démonstration (— établir l'expression du grossissement)

Dans l'approximation des petits angles ( $tan θ \approx θ$ en radians), la taille de l'image intermédiaire, formée dans le plan focal commun, se lit de deux façons :

côté objectif, le rayon passant par $O_{1}$ n'est pas dévié : $A_{1} B_{1} = f_{1}^{'} tan θ \approx f_{1}^{'} θ$ ;
côté oculaire, le rayon issu de $B_{1}$ passant par $O_{2}$ n'est pas dévié : $A_{1} B_{1} = f_{2}^{'} tan θ^{'} \approx f_{2}^{'} θ^{'}$ .

En égalant les deux expressions : $f_{1}^{'} θ = f_{2}^{'} θ^{'}$ , d'où

$G = \frac{θ ^{'}}{θ} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} .$

Exemple 12.18Grossissement d'une lunette

Une lunette afocale a un objectif de distance focale $f_{1}^{'} = 90 cm$ et un oculaire de distance focale $f_{2}^{'} = 1, 5 cm$ . Son grossissement est :

$G = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} = \frac{90}{1 , 5} = 60$

Les objets paraissent vus sous un angle $60$ fois plus grand qu'à l'œil nu. La longueur de la lunette est $O_{1} O_{2} = 90 + 1, 5 = 91, 5 cm$ .

Exemple 12.19Exploiter les données d'une lunette commerciale

Une lunette du commerce est désignée par « $60/700$ » : diamètre de l'objectif $60 mm$ (il détermine la quantité de lumière collectée) et distance focale de l'objectif $f_{1}^{'} = 700 mm$ . Elle est livrée avec deux oculaires interchangeables de distances focales $20 mm$ et $10 mm$ :

$G_{20} = \frac{700}{20} = 35 et G_{10} = \frac{700}{10} = 70.$

Changer d'oculaire change le grossissement ; mais un grossissement élevé réduit la luminosité et le champ observé — pour le ciel profond, on privilégie souvent le faible grossissement.

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