Énergie interne et transferts thermiques

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 11 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'étude des échanges d'énergie sous forme de chaleur est au cœur de nombreux phénomènes de la vie quotidienne : le réchauffement d'une boisson, l'isolation d'une habitation, le refroidissement d'un moteur ou encore la régulation de la température de la Terre. Ce chapitre introduit la notion d'énergie interne d'un système macroscopique, puis le premier principe de la thermodynamique qui exprime la conservation de l'énergie. Nous décrirons ensuite les trois modes de transfert thermique (conduction, convection, rayonnement), la modélisation des flux par la résistance thermique, la loi de Newton du refroidissement et l'évolution exponentielle de la température. Enfin, nous appliquerons ces outils au bilan radiatif terrestre et à la compréhension de l'effet de serre, enjeu majeur pour le climat.

11.1 Décrire un système thermodynamique : le gaz parfait

11.1.1 Grandeurs macroscopiques et interprétation microscopique

Un système thermodynamique (un gaz dans une bouteille, l'eau d'un ballon...) contient un nombre gigantesque d'entités ( $\sim 1 0^{23}$ ). On le décrit par quelques grandeurs macroscopiques, dont chacune traduit une réalité microscopique :

Proposition 11.1Lien micro--macro

la pression $P$ (en pascals, $Pa$ ) résulte des innombrables chocs des particules sur les parois : plus les chocs sont fréquents et violents, plus la pression est grande ;
la température thermodynamique $T$ (en kelvins, $K$ , avec $T (K) = θ (^{\circ} C) + 273, 15$ ) mesure l'agitation thermique : elle croît avec l'énergie cinétique moyenne des particules ; le zéro absolu ( $0 K$ ) correspond à une agitation minimale ;
la masse volumique $ρ = m / V$ traduit le nombre de particules par unité de volume.

11.1.2 Le modèle du gaz parfait

Définition 11.2Gaz parfait

Le gaz parfait est un modèle dans lequel les particules sont supposées ponctuelles (leur volume propre est négligeable devant le volume du récipient) et sans interaction entre elles (elles n'interagissent que lors des chocs sur les parois). Un gaz parfait obéit à l'équation d'état :

$P V = n R T$

avec $P$ en $Pa$ , $V$ en $m^{3}$ , $n$ la quantité de matière en $mol$ , $T$ en $K$ et $R = 8, 314 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ la constante des gaz parfaits.

Exemple 11.3Exploiter l'équation d'état

Quel volume occupe $n = 1, 0 mol$ de gaz parfait à $θ = 2 5^{\circ} C$ ( $T = 298 K$ ) sous $P = 1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ ?

$V = \frac{n R T}{P} = \frac{1 , 0 \times 8 , 314 \times 298}{1 , 013 \times 1 0 ^{5}} \approx 2, 4 \times 1 0^{- 2} m^{3} = 24 L .$

On retrouve le volume molaire des gaz dans les conditions usuelles. À température constante, on retrouve aussi la loi de Mariotte de première ( $P V$ = constante).

iRemarqueLimites du modèle du gaz parfait

Le programme demande d'identifier quelques limites du modèle. Les hypothèses (particules ponctuelles, sans interaction) cessent d'être valables :

à haute pression : le volume propre des molécules n'est plus négligeable devant le volume disponible ;
à basse température ou près de la liquéfaction : les interactions attractives entre molécules deviennent importantes (c'est d'ailleurs elles qui permettent la condensation, que le gaz parfait ne peut pas décrire).

Le modèle est excellent pour les gaz usuels aux pressions faibles ou modérées, loin du point de liquéfaction.

11.2 Énergie interne d'un système

11.2.1 Description microscopique et macroscopique

Un système thermodynamique est constitué d'un très grand nombre de particules (atomes, molécules) en perpétuel mouvement. À l'échelle microscopique, ces particules possèdent de l'énergie cinétique (agitation thermique) et de l'énergie potentielle d'interaction (liaisons, forces intermoléculaires). L'énergie interne rassemble la totalité de ces contributions.

Définition 11.4Énergie interne

L'énergie interne $U$ d'un système est la somme de l'énergie cinétique microscopique de toutes ses particules (liée à l'agitation thermique) et de leurs énergies potentielles d'interaction. Elle s'exprime en joules ( $J$ ).

C'est une fonction d'état : sa variation $Δ U$ entre deux états ne dépend que de l'état initial et de l'état final, et non du chemin suivi.

Proposition 11.5Énergie interne d'une phase condensée incompressible

Pour un système incompressible (solide ou liquide) dont la masse $m$ et la nature ne changent pas, l'énergie interne ne dépend que de la température $T$ . Lorsque la température varie de $Δ T$ , la variation d'énergie interne est :

$Δ U = m c Δ T,$

où $c$ est la capacité thermique massique du corps. Si la température augmente, $Δ U > 0$ .

Exemple 11.6Ordre de grandeur

Pour $m = 1, 0 kg$ d'eau liquide ( $c = 4, 18 \times 1 0^{3} J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ) dont la température passe de $2 0^{\circ} C$ à $3 0^{\circ} C$ :

$Δ U = 1, 0 \times 4, 18 \times 1 0^{3} \times 10 = 4, 18 \times 1 0^{4} J .$

Une variation de température de $10 K$ correspond donc à une variation d'énergie interne d'environ $42 kJ$ .

11.2.2 Capacité thermique

Définition 11.7Capacité thermique massique et capacité thermique

La capacité thermique massique $c$ d'un corps est l'énergie nécessaire pour élever de $1 K$ la température de $1 kg$ de ce corps. Elle s'exprime en $J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

La capacité thermique d'un système de masse $m$ est $C = m c$ (en $J \cdot K^{- 1}$ ). On peut alors écrire la variation d'énergie interne ou la chaleur échangée à volume constant sous la forme :

$Q = C Δ T = m c Δ T .$

11.3 Premier principe de la thermodynamique

11.3.1 Travail et transfert thermique

Un système peut échanger de l'énergie avec l'extérieur de deux manières :

par un transfert thermique $Q$ (ou chaleur), dû à une différence de température ;
par un travail $W$ , associé à une action mécanique, électrique, etc.

Par convention, $Q$ et $W$ sont comptés positivement lorsqu'ils sont reçus par le système, et négativement lorsqu'ils sont cédés à l'extérieur.

◆Théorème 11.8Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé au repos, la variation d'énergie interne entre un état initial et un état final est égale à la somme des énergies reçues sous forme de travail et de transfert thermique :

$Δ U = W + Q .$

L'énergie interne d'un système isolé ( $W = 0$ et $Q = 0$ ) reste constante : c'est le principe de conservation de l'énergie.

Exemple 11.9Lecture des signes

Une casserole d'eau reçoit $Q = + 5, 0 \times 1 0^{4} J$ d'une plaque chauffante et n'échange aucun travail ( $W = 0$ ). Alors $Δ U = Q = + 5, 0 \times 1 0^{4} J$ : son énergie interne augmente, donc sa température s'élève. À l'inverse, un gaz qui se détend en poussant un piston fournit du travail à l'extérieur : $W < 0$ .

Méthode : Établir un bilan énergétique

Définir précisément le système et ses états initial et final.
Recenser tous les échanges : transferts thermiques $Q$ et travaux $W$ , avec leur signe (reçu $> 0$ , cédé $< 0$ ).
Écrire le premier principe : $Δ U = W + Q$ .
Exprimer $Δ U = m c Δ T$ pour une phase condensée.
Résoudre l'équation pour la grandeur cherchée et vérifier l'homogénéité.

11.4 Modes de transfert thermique

Un transfert thermique se produit spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. Il existe trois modes de transfert.

Définition 11.10Conduction, convection, rayonnement

La conduction est un transfert d'énergie de proche en proche, sans déplacement macroscopique de matière. Elle domine dans les solides (ex. une barre métallique chauffée à une extrémité).
La convection est un transfert associé au déplacement d'ensemble d'un fluide (liquide ou gaz). Le fluide chaud, moins dense, monte et le fluide froid descend (ex. radiateur, casserole d'eau qui bout).
Le rayonnement est un transfert par ondes électromagnétiques, qui ne nécessite aucun support matériel (ex. chaleur reçue du Soleil à travers le vide).

Ce qui distingue les trois modes, c'est ce qui se déplace : l'agitation seule, la matière, ou une onde qui n'a besoin d'aucun support.

Exemple 11.11Coexistence des trois modes

Dans une pièce chauffée par un radiateur : la chaleur traverse le métal du radiateur par conduction, l'air ambiant est mis en mouvement par convection, et les surfaces chaudes émettent un rayonnement infrarouge. Les trois modes participent simultanément au confort thermique.

11.5 Flux thermique et résistance thermique

11.5.1 Flux thermique

Définition 11.12Flux thermique

Le flux thermique $Φ$ à travers une paroi est l'énergie thermique transférée par unité de temps :

$Φ = \frac{Q}{Δ t},$

où $Q$ est en joules et $Δ t$ en secondes. Le flux thermique s'exprime en watts ( $W$ ). C'est une puissance thermique.

11.5.2 Résistance thermique

◆Théorème 11.13Loi des transferts thermiques (analogie d'Ohm)

En régime stationnaire, le flux thermique $Φ$ traversant une paroi est proportionnel à l'écart de température $Δ T = T_{chaud} - T_{froid}$ entre ses deux faces :

$Φ = \frac{Δ T}{R _{t h}},$

où $R_{t h}$ est la résistance thermique de la paroi, exprimée en $K \cdot W^{- 1}$ . Plus $R_{t h}$ est grande, plus la paroi est isolante.

L'analogie avec la loi d'Ohm n'est pas qu'un moyen mnémotechnique : elle se prolonge dans les associations en série.

Proposition 11.14Résistance thermique d'une paroi plane

Pour une paroi plane d'épaisseur $e$ , de surface $S$ et de conductivité thermique $λ$ (en $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ) :

$R_{t h} = \frac{e}{λ S} .$

La résistance augmente avec l'épaisseur et diminue si la surface ou la conductivité augmentent. Pour des parois en série (couches superposées), les résistances s'ajoutent : $R_{t h} = R_{1} + R_{2} + \dots$

Exemple 11.15Mur isolé

Un mur de surface $S = 10 m^{2}$ , d'épaisseur $e = 0, 20 m$ , de conductivité $λ = 0, 040 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ a pour résistance thermique :

$R_{t h} = \frac{0 , 20}{0 , 040 \times 10} = 0, 50 K \cdot W^{- 1} .$

Si l'écart de température est $Δ T = 20 K$ , le flux thermique vaut $Φ = \frac{20}{0 , 50} = 40 W$ .

11.6 Loi de Newton et évolution exponentielle

11.6.1 Loi phénoménologique de Newton

◆Théorème 11.16Loi de refroidissement de Newton

Le flux thermique échangé entre un corps de température $T$ et un milieu extérieur de température $T_{ext}$ constante est proportionnel à l'écart de température :

$Φ = h S (T - T_{ext}),$

où $S$ est la surface d'échange et $h$ le coefficient de transfert surfacique (en $W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ).

11.6.2 Mise en équation et solution exponentielle

Considérons un corps de masse $m$ , de capacité thermique massique $c$ , de température $T (t)$ , qui ne reçoit aucun travail et n'échange de la chaleur avec l'extérieur que par sa surface. Le premier principe sur une durée $d t$ s'écrit $m c d T = Φ_{re c ¸ u} d t$ . Le corps cède de la chaleur si $T > T_{ext}$ , donc $Φ_{re c ¸ u} = - h S (T - T_{ext})$ . On obtient l'équation différentielle :

$m c \frac{d T}{d t} = - h S (T - T_{ext}) .$

Proposition 11.17Solution de l'équation du refroidissement

En posant la constante de temps $τ = \frac{m c}{h S}$ , l'équation s'écrit :

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{τ} T = \frac{1}{τ} T_{ext} .$

Sa solution, pour une température initiale $T_{0}$ , est :

$T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ} .$

La température tend exponentiellement vers $T_{ext}$ . Au bout de $t = τ$ , l'écart de température a été réduit d'environ $63%$ ; au bout de $t = 5 τ$ , l'équilibre est pratiquement atteint.

Exemple 11.18Lecture de la constante de temps

Sur la courbe ci-dessus, $T_{0} = 8 0^{\circ} C$ et $T_{ext} = 2 0^{\circ} C$ . À $t = τ = 15 min$ , la température vaut $T = 20 + 60 e^{- 1} \approx 4 2^{\circ} C$ : l'écart initial de $60 K$ a bien été réduit d'environ $63%$ .

11.7 Bilan thermique et bilan radiatif terrestre

11.7.1 Bilan thermique d'un système

Méthode : Réaliser un bilan thermique en régime stationnaire

En régime stationnaire, la température du système est constante : son énergie interne ne varie pas. La somme des flux reçus est alors égale à la somme des flux cédés :

$\sum Φ_{re c ¸ us} = \sum Φ_{c e ˊ d e ˊ s} .$

On identifie tous les flux entrants (chauffage, rayonnement absorbé…) et sortants (pertes par les parois, rayonnement émis…), puis on écrit l'égalité.

11.7.2 Bilan radiatif terrestre et effet de serre

La Terre reçoit en permanence un rayonnement du Soleil (dans le domaine visible) et émet un rayonnement infrarouge vers l'espace. À l'équilibre, ces deux flux se compensent, ce qui fixe la température moyenne de surface.

Proposition 11.19Bilan radiatif de la Terre

En moyenne annuelle, et en régime stationnaire, la puissance solaire absorbée par la Terre est égale à la puissance infrarouge qu'elle réémet vers l'espace :

$Φ_{absorb e ˊ} = Φ_{e ˊ mis} .$

Une partie du rayonnement solaire incident est réfléchie (albédo) ; le reste est absorbé et réchauffe la surface.

Bilan radiatif : une partie du rayonnement solaire est réfléchie (albédo $a \approx 0, 30$ ), le reste est absorbé par la surface, qui émet en retour un rayonnement infrarouge ; les gaz à effet de serre en absorbent une partie et la réémettent vers le sol.

Définition 11.20Effet de serre

Les gaz à effet de serre (vapeur d'eau, dioxyde de carbone $C O_{2}$ , méthane $C H_{4}$ …) présents dans l'atmosphère absorbent une grande partie du rayonnement infrarouge émis par le sol, puis le réémettent en partie vers la surface. Ce phénomène, appelé effet de serre, maintient la température moyenne de surface vers $1 5^{\circ} C$ , au lieu d'environ $- 1 8^{\circ} C$ en son absence. L'augmentation de la concentration des gaz à effet de serre d'origine humaine renforce cet effet et provoque le réchauffement climatique.

Exemple 11.21Déséquilibre radiatif

Si la concentration de $C O_{2}$ augmente, le flux infrarouge renvoyé vers le sol croît : la Terre absorbe alors plus d'énergie qu'elle n'en émet. Ce déséquilibre radiatif ( $Φ_{absorb e ˊ} > Φ_{e ˊ mis}$ ) entraîne une élévation de la température moyenne jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre, plus chaud, soit atteint.

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