Aspects énergétiques du mouvement

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 10 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'étude de la mécanique peut être abordée de deux manières complémentaires. La première, fondée sur les lois de Newton, décrit le mouvement à partir des forces et de leurs effets instantanés sur le vecteur vitesse. La seconde, présentée dans ce chapitre, repose sur la notion d'énergie : plutôt que de suivre le détail du mouvement à chaque instant, on s'intéresse aux échanges et aux transformations d'énergie entre l'état initial et l'état final d'un système.

Cette approche énergétique présente un grand intérêt pratique : elle permet souvent de résoudre des problèmes sans connaître la durée du mouvement ni intégrer les équations différentielles. La grandeur centrale qui relie les forces au mouvement est le travail. Nous verrons comment le travail d'une force modifie l'énergie cinétique d'un système (théorème de l'énergie cinétique), comment introduire des énergies potentielles, et enfin comment l'énergie mécanique se conserve ou se dissipe selon la nature des forces en jeu.

10.1 Travail d'une force constante

10.1.1 Définition du travail

Lorsqu'une force agit sur un système qui se déplace, elle effectue un travail. Ce travail traduit le transfert d'énergie associé à l'action de la force le long du déplacement.

Définition 10.1Travail d'une force constante

Le travail d'une force constante $F$ lors d'un déplacement rectiligne de son point d'application de $A$ vers $B$ est le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement $A B$ :

$W_{A B} (F) = F \cdot A B = F \times A B \times cos α$

où $α$ est l'angle entre la force $F$ et le déplacement $A B$ . Le travail s'exprime en joule ( $J$ ).

Proposition 10.2Travail moteur, résistant ou nul

Le signe du travail dépend de l'angle $α$ :

si $0 ⩽ α < 9 0^{\circ}$ , $cos α > 0$ : le travail est moteur ( $W > 0$ ), la force favorise le mouvement ;
si $9 0^{\circ} < α ⩽ 18 0^{\circ}$ , $cos α < 0$ : le travail est résistant ( $W < 0$ ), la force s'oppose au mouvement ;
si $α = 9 0^{\circ}$ , $cos α = 0$ : le travail est nul, la force est perpendiculaire au déplacement.

Une force perpendiculaire au déplacement, comme la réaction normale d'un support sur un solide en mouvement sur un plan, ne travaille pas.

Le travail ne retient que la composante de la force le long du déplacement : $W = F cos α \times A B$ — la composante perpendiculaire ne contribue pas.

Exemple 10.3Calcul d'un travail

Une caisse est tirée sur $d = 5, 0 m$ par une force $F$ d'intensité $F = 80 N$ inclinée de $α = 3 0^{\circ}$ par rapport à l'horizontale (qui est la direction du déplacement). Le travail de cette force vaut :

$W = F \times d \times cos α = 80 \times 5, 0 \times cos 3 0^{\circ} \approx 3, 5 \times 1 0^{2} J$

Le travail est moteur car la force possède une composante dans le sens du déplacement.

10.1.2 Travail du poids

Le poids $P = m g$ est une force constante près de la surface terrestre (champ de pesanteur uniforme). Son travail possède une propriété remarquable.

◆Théorème 10.4Travail du poids

Le travail du poids d'un système de masse $m$ se déplaçant d'un point $A$ à un point $B$ ne dépend que de la dénivellation verticale, et non du chemin suivi :

$W_{A B} (P) = m g (z_{A} - z_{B})$

où l'axe $O z$ est orienté vers le haut. Le travail du poids est moteur lors d'une descente ( $z_{A} > z_{B}$ ) et résistant lors d'une montée.

Cette indépendance vis-à-vis du chemin n'a rien d'anodin : c'est elle qui permettra de définir une énergie potentielle de pesanteur.

Le fait que le travail du poids soit indépendant du chemin suivi est essentiel : on dit que le poids est une force conservative. C'est cette propriété qui permettra d'associer au poids une énergie potentielle.

Exemple 10.5Travail du poids sur un plan incliné

Un solide de masse $m = 2, 0 kg$ glisse le long d'un plan incliné et descend d'une hauteur $h = 1, 5 m$ . Avec $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ , le travail du poids vaut :

$W (P) = m g h = 2, 0 \times 9, 81 \times 1, 5 \approx 29 J$

Ce résultat ne dépend ni de l'angle du plan, ni de la longueur réellement parcourue.

10.1.3 Travail de la force électrique

Dans un condensateur plan, le champ électrique $E$ est uniforme entre les armatures. Une particule de charge $q$ y subit une force électrique constante $F = q E$ .

Proposition 10.6Travail de la force électrique

Pour une charge $q$ placée dans un champ électrique uniforme $E$ et se déplaçant de $A$ vers $B$ , le travail de la force électrique est :

$W_{A B} (F) = q E \cdot A B$

Comme le travail du poids, ce travail est indépendant du chemin suivi : la force électrique en champ uniforme est elle aussi conservative.

Exemple 10.7Charge dans un condensateur

Entre deux armatures distantes de $d = 2, 0 cm$ règne un champ uniforme $E = 5, 0 \times 1 0^{3} V \cdot m^{- 1}$ . Une charge $q = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ se déplace d'une armature à l'autre en suivant les lignes de champ. Le travail vaut :

$W = q E d = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 5, 0 \times 1 0^{3} \times 2, 0 \times 1 0^{- 2} \approx 1, 6 \times 1 0^{- 17} J$

10.2 Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique

10.2.1 Énergie cinétique

Définition 10.8Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un système de masse $m$ (assimilé à un point matériel) animé de la vitesse $v$ est :

$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$

$E_{c}$ s'exprime en joule ( $J$ ), $m$ en kilogramme ( $kg$ ) et $v$ en mètre par seconde ( $m \cdot s^{- 1}$ ). L'énergie cinétique est toujours positive et traduit l'énergie liée au mouvement.

10.2.2 Théorème de l'énergie cinétique

Le lien entre le travail des forces et la variation de vitesse est donné par un théorème fondamental.

◆Théorème 10.9Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au système entre ces deux instants :

$Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = i \sum W_{A B} (F_{i})$

soit

$\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = i \sum W_{A B} (F_{i})$

Ce théorème est l'outil central de l'approche énergétique : il relie directement la cause (les forces et leurs travaux) à l'effet observé (la variation de vitesse).

Méthode : Appliquer le théorème de l'énergie cinétique

Définir le système et le référentiel (galiléen).
Réaliser le bilan des forces extérieures appliquées au système.
Calculer le travail de chaque force entre l'état initial $A$ et l'état final $B$ (attention au signe).
Écrire $Δ E_{c} = \sum W$ et isoler la grandeur cherchée (vitesse, distance, force…).

Exemple 10.10Vitesse en bas d'une pente

Un skieur de masse $m = 70 kg$ part du repos et descend une piste, perdant une altitude $h = 20 m$ . En négligeant les frottements, seul le poids travaille (la réaction du sol est perpendiculaire au déplacement). Le théorème de l'énergie cinétique donne :

$\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - 0 = m g h \Rightarrow v_{B} = 2 g h$

$v_{B} = 2 \times 9, 81 \times 20 \approx 20 m \cdot s^{- 1}$

La masse n'intervient pas dans le résultat final.

10.3 Énergies potentielles

À toute force conservative, on peut associer une énergie potentielle, c'est-à-dire une énergie stockée du fait de la position du système.

10.3.1 Énergie potentielle de pesanteur

Définition 10.11Énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur d'un système de masse $m$ situé à l'altitude $z$ (axe $O z$ vertical orienté vers le haut) est :

$E_{pp} = m g z + constante$

Le choix de l'origine des altitudes ( $z = 0$ ) fixe la constante ; on prend généralement $E_{pp} = 0$ à l'altitude de référence, d'où $E_{pp} = m g z$ .

Proposition 10.12Lien travail du poids -- énergie potentielle

Le travail du poids est l'opposé de la variation de l'énergie potentielle de pesanteur :

$W_{A B} (P) = - Δ E_{pp} = E_{pp} (A) - E_{pp} (B)$

Cette relation est caractéristique d'une force conservative.

10.3.2 Énergie potentielle élastique

Définition 10.13Énergie potentielle élastique

Un ressort de raideur $k$ allongé ou comprimé d'une longueur $x$ par rapport à sa position de repos emmagasine une énergie potentielle élastique :

$E_{p e} = \frac{1}{2} k x^{2}$

$k$ s'exprime en $N \cdot m^{- 1}$ et $x$ en $m$ . Cette énergie est toujours positive et nulle lorsque le ressort est au repos.

Exemple 10.14Énergie stockée dans un ressort

Un ressort de raideur $k = 50 N \cdot m^{- 1}$ est comprimé de $x = 10 cm = 0, 10 m$ . L'énergie potentielle élastique emmagasinée vaut :

$E_{p e} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \times 50 \times (0, 10)^{2} = 0, 25 J$

10.4 Énergie mécanique

10.4.1 Définition

Définition 10.15Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles :

$E_{m} = E_{c} + E_{p}$

Dans le champ de pesanteur, $E_{p} = E_{pp}$ et donc $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g z$ .

10.4.2 Conservation de l'énergie mécanique

◆Théorème 10.16Conservation de l'énergie mécanique

Si un système n'est soumis qu'à des forces conservatives (ou à des forces dont le travail est nul, comme la réaction normale d'un support), son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement :

$E_{m} = constante soit Δ E_{m} = 0$

Il y a alors transformation réciproque entre énergie cinétique et énergie potentielle, sans perte.

Exemple 10.17Chute libre

Lors d'une chute libre, seul le poids agit. L'énergie mécanique se conserve : à mesure que le système descend, $E_{pp}$ diminue tandis que $E_{c}$ augmente d'autant. À tout instant, $\frac{1}{2} m v^{2} + m g z$ reste constant.

10.4.3 Cas non conservatif : les frottements

Dans la réalité, les frottements sont presque toujours présents. La force de frottement, opposée au déplacement, fournit un travail résistant.

Proposition 10.18Variation de l'énergie mécanique avec frottements

Lorsqu'un système subit des forces de frottement, son énergie mécanique varie : la variation est égale au travail des forces non conservatives (frottements) :

$Δ E_{m} = W_{A B} (f)$

Comme le travail des frottements est résistant ( $W (f) < 0$ ), l'énergie mécanique diminue : $Δ E_{m} < 0$ . L'énergie mécanique perdue est convertie en énergie thermique (dissipation).

Exemple 10.19Dissipation par frottements

Un palet de masse $m = 0, 50 kg$ lancé sur une table horizontale à $v_{A} = 4, 0 m \cdot s^{- 1}$ s'arrête après une distance $d$ . Comme la table est horizontale, $E_{pp}$ ne varie pas et $Δ E_{m} = Δ E_{c}$ :

$Δ E_{m} = 0 - \frac{1}{2} \times 0, 50 \times (4, 0)^{2} = - 4, 0 J$

L'énergie mécanique a diminué de $4, 0 J$ , intégralement dissipée par les frottements sous forme de chaleur.

10.5 Interprétation énergétique des mouvements

L'approche énergétique éclaire la nature des mouvements. La représentation des courbes $E_{c} (t)$ , $E_{p} (t)$ et $E_{m} (t)$ permet de visualiser les échanges d'énergie.

Si $E_{m}$ reste constante (droite horizontale), le mouvement est conservatif : aucun frottement n'intervient.
Si $E_{m}$ décroît au cours du temps, des forces dissipatives (frottements) sont présentes.
Aux points où $E_{c}$ est maximale, la vitesse est maximale ; aux points où $E_{c} = 0$ , le système est momentanément au repos.

La figure suivante illustre la conservation de l'énergie mécanique pendant une chute (échanges entre $E_{c}$ et $E_{pp}$ ).

10.5.1 Capacité numérique : tracer les grandeurs énergétiques

Le programme demande de représenter, à l'aide d'un langage de programmation, l'évolution des énergies d'un système en mouvement dans un champ uniforme, à partir de données expérimentales (pointage vidéo).


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m, g, dt = 0.058, 9.81, 0.05      # balle de tennis, pas de pointage (s)
# positions pointees (m) : tir incline
x = np.array([0.00, 0.35, 0.70, 1.05, 1.40, 1.75, 2.10, 2.45])
y = np.array([0.00, 0.29, 0.53, 0.71, 0.83, 0.90, 0.91, 0.87])

# vitesses par differences centrees (points 1 a n-2)
vx = (x[2:] - x[:-2]) / (2*dt)
vy = (y[2:] - y[:-2]) / (2*dt)
v2 = vx**2 + vy**2

t  = np.arange(len(x)) * dt
Ec  = 0.5 * m * v2                # energie cinetique (J)
Epp = m * g * y[1:-1]             # energie potentielle (J)
Em  = Ec + Epp                    # energie mecanique (J)

plt.plot(t[1:-1], Ec,  "ro-", label="Ec")
plt.plot(t[1:-1], Epp, "gs-", label="Epp")
plt.plot(t[1:-1], Em,  "b^-", label="Em")
plt.xlabel("t (s)"); plt.ylabel("energie (J)")
plt.legend(); plt.grid(); plt.show()
# Em est quasi constante : les frottements sont negligeables.
# Si Em decroissait nettement, on quantifierait la dissipation.

Énergies d'un projectile à partir d'un pointage vidéo

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