Mouvement circulaire et gravitation

Cours · physique-chimie (terminale), chapitre 9 · terminale, spécialité physique-chimie · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un corps en orbite circulaire : sa vitesse est tangente, la force de gravitation est dirigée vers l'astre.

L'étude du mouvement des astres a longtemps fasciné les hommes. Du géocentrisme antique aux lois de Kepler établies au début du XVII^e siècle, puis à la loi de gravitation universelle de Newton (1687), la physique a peu à peu unifié la chute d'une pomme et la course de la Lune autour de la Terre sous une même description : un même type de force, la gravitation, gouverne aussi bien les objets terrestres que les corps célestes.

Dans ce chapitre, nous étudions d'abord le mouvement circulaire, en particulier le mouvement circulaire uniforme et son accélération dirigée vers le centre. Nous introduisons ensuite la loi de gravitation universelle, qui joue le rôle de force centripète pour les planètes et les satellites. Nous appliquons enfin la deuxième loi de Newton pour déterminer la vitesse et la période orbitales, puis nous présentons les trois lois de Kepler et le cas particulier du satellite géostationnaire.

9.1 Le mouvement circulaire

9.1.1 Repérage et base de Frenet

Un point matériel $M$ est en mouvement circulaire lorsque sa trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle) de centre $O$ et de rayon $R$ . À chaque instant, le point se trouve à une distance constante $R$ du centre $O$ .

Pour décrire ce mouvement, il est commode d'utiliser une base mobile liée au point $M$ : la base de Frenet $(M; u_{t}, u_{n})$ , constituée de deux vecteurs unitaires :

$u_{t}$ , vecteur tangentiel, porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement ;
$u_{n}$ , vecteur normal, porté par le rayon et dirigé de $M$ vers le centre $O$ (vers l'intérieur de la trajectoire).

Définition 9.1Base de Frenet

En un point $M$ d'une trajectoire circulaire, la base de Frenet est la base orthonormée $(u_{t}, u_{n})$ telle que :

$u_{t}$ est tangent à la trajectoire, dirigé dans le sens du mouvement ;
$u_{n}$ est normal à la trajectoire, dirigé vers le centre $O$ du cercle.

Cette base est mobile : elle suit le point $M$ et change donc de direction au cours du temps.

9.1.2 Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse $v$ est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Dans la base de Frenet, il s'écrit donc simplement :

$v = v u_{t},$

où $v$ est la valeur (norme) de la vitesse, en $m \cdot s^{- 1}$ .

Définition 9.2Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement est dit circulaire uniforme lorsque la trajectoire est un cercle et que la valeur de la vitesse $v$ est constante au cours du temps.

Attention : le vecteur vitesse $v$ n'est pas constant, car sa direction change en permanence. Seule sa norme $v$ est constante.

Proposition 9.3Période et vitesse

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ , la période $T$ est la durée d'un tour complet. Pendant cette durée, le point parcourt le périmètre $2 π R$ :

$v = \frac{2 π R}{T} .$

On définit aussi la vitesse angulaire $ω = \frac{2 π}{T}$ (en $rad \cdot s^{- 1}$ ), reliée à la vitesse par $v = R ω$ .

9.1.3 Vecteur accélération

Même si la valeur de la vitesse est constante, le mouvement circulaire uniforme est un mouvement accéléré : le vecteur vitesse change de direction, donc l'accélération n'est pas nulle. On démontre que, dans le cas uniforme, l'accélération est entièrement normale (centripète).

◆Théorème 9.4Accélération dans le repère de Frenet (mouvement circulaire)

Pour un mouvement circulaire de rayon $R$ , le vecteur accélération s'écrit dans la base de Frenet :

$a = acc e ˊ l e ˊ ration tangentielle \frac{d v}{d t} u_{t} + acc e ˊ l e ˊ ration normale \frac{v ^{2}}{R} u_{n} .$

La composante tangentielle $\frac{d v}{d t}$ traduit la variation de la valeur de la vitesse.
La composante normale $\frac{v ^{2}}{R}$ , toujours positive, traduit le changement de direction : elle incurve la trajectoire vers le centre.

Dans le cas circulaire uniforme ( $v$ constante), la composante tangentielle est nulle et l'accélération est entièrement centripète :

$a = \frac{v ^{2}}{R} u_{n}, a = \frac{v ^{2}}{R} .$

Le point qui résiste le plus est celui-ci : comment un mouvement uniforme peut-il être accéléré ? La construction de $Δ v$ y répond sans calcul.

Exemple 9.5Accélération d'un point sur un manège

Un enfant sur un manège décrit un cercle de rayon $R = 4, 0 m$ à la vitesse constante $v = 3, 0 m \cdot s^{- 1}$ . La valeur de son accélération vaut :

$a = \frac{v ^{2}}{R} = \frac{( 3 , 0 ) ^{2}}{4 , 0} = 2, 3 m \cdot s^{- 2} .$

Ce vecteur accélération est dirigé en permanence vers le centre du manège.

Exercices du chapitre

Vitesse et période d'un satellite corrigé
Troisième loi de Kepler pour les lunes de Jupiter corrigé
Centrifugeuse d'un laboratoire d'analyses médicales corrigé
Problème — Étude complète d'un satellite géostationnaire corrigé
Problème — Détermination de la masse de Jupiter corrigé
Accélération centripète d'une voiture en virage corrigé

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