Mouvement circulaire et gravitation

Cours complet · physique-chimie (terminale), chapitre 9 · terminale, spécialité physique-chimie

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L'étude du mouvement des astres a longtemps fasciné les hommes. Du géocentrisme antique aux lois de Kepler établies au début du XVII^e siècle, puis à la loi de gravitation universelle de Newton (1687), la physique a peu à peu unifié la chute d'une pomme et la course de la Lune autour de la Terre sous une même description : un même type de force, la gravitation, gouverne aussi bien les objets terrestres que les corps célestes.

Dans ce chapitre, nous étudions d'abord le mouvement circulaire, en particulier le mouvement circulaire uniforme et son accélération dirigée vers le centre. Nous introduisons ensuite la loi de gravitation universelle, qui joue le rôle de force centripète pour les planètes et les satellites. Nous appliquons enfin la deuxième loi de Newton pour déterminer la vitesse et la période orbitales, puis nous présentons les trois lois de Kepler et le cas particulier du satellite géostationnaire.

9.1 Le mouvement circulaire

9.1.1 Repérage et base de Frenet

Un point matériel $M$ est en mouvement circulaire lorsque sa trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle) de centre $O$ et de rayon $R$ . À chaque instant, le point se trouve à une distance constante $R$ du centre $O$ .

Pour décrire ce mouvement, il est commode d'utiliser une base mobile liée au point $M$ : la base de Frenet $(M; u_{t}, u_{n})$ , constituée de deux vecteurs unitaires :

$u_{t}$ , vecteur tangentiel, porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement ;
$u_{n}$ , vecteur normal, porté par le rayon et dirigé de $M$ vers le centre $O$ (vers l'intérieur de la trajectoire).

Définition 9.1Base de Frenet

En un point $M$ d'une trajectoire circulaire, la base de Frenet est la base orthonormée $(u_{t}, u_{n})$ telle que :

$u_{t}$ est tangent à la trajectoire, dirigé dans le sens du mouvement ;
$u_{n}$ est normal à la trajectoire, dirigé vers le centre $O$ du cercle.

Cette base est mobile : elle suit le point $M$ et change donc de direction au cours du temps.

9.1.2 Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse $v$ est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement. Dans la base de Frenet, il s'écrit donc simplement :

$v = v u_{t},$

où $v$ est la valeur (norme) de la vitesse, en $m \cdot s^{- 1}$ .

Définition 9.2Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement est dit circulaire uniforme lorsque la trajectoire est un cercle et que la valeur de la vitesse $v$ est constante au cours du temps.

Attention : le vecteur vitesse $v$ n'est pas constant, car sa direction change en permanence. Seule sa norme $v$ est constante.

Proposition 9.3Période et vitesse

Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ , la période $T$ est la durée d'un tour complet. Pendant cette durée, le point parcourt le périmètre $2 π R$ :

$v = \frac{2 π R}{T} .$

On définit aussi la vitesse angulaire $ω = \frac{2 π}{T}$ (en $rad \cdot s^{- 1}$ ), reliée à la vitesse par $v = R ω$ .

9.1.3 Vecteur accélération

Même si la valeur de la vitesse est constante, le mouvement circulaire uniforme est un mouvement accéléré : le vecteur vitesse change de direction, donc l'accélération n'est pas nulle. On démontre que, dans le cas uniforme, l'accélération est entièrement normale (centripète).

◆Théorème 9.4Accélération dans le repère de Frenet (mouvement circulaire)

Pour un mouvement circulaire de rayon $R$ , le vecteur accélération s'écrit dans la base de Frenet :

$a = acc e ˊ l e ˊ ration tangentielle \frac{d v}{d t} u_{t} + acc e ˊ l e ˊ ration normale \frac{v ^{2}}{R} u_{n} .$

La composante tangentielle $\frac{d v}{d t}$ traduit la variation de la valeur de la vitesse.
La composante normale $\frac{v ^{2}}{R}$ , toujours positive, traduit le changement de direction : elle incurve la trajectoire vers le centre.

Dans le cas circulaire uniforme ( $v$ constante), la composante tangentielle est nulle et l'accélération est entièrement centripète :

$a = \frac{v ^{2}}{R} u_{n}, a = \frac{v ^{2}}{R} .$

Le point qui résiste le plus est celui-ci : comment un mouvement uniforme peut-il être accéléré ? La construction de $Δ v$ y répond sans calcul.

Exemple 9.5Accélération d'un point sur un manège

Un enfant sur un manège décrit un cercle de rayon $R = 4, 0 m$ à la vitesse constante $v = 3, 0 m \cdot s^{- 1}$ . La valeur de son accélération vaut :

$a = \frac{v ^{2}}{R} = \frac{( 3 , 0 ) ^{2}}{4 , 0} = 2, 3 m \cdot s^{- 2} .$

Ce vecteur accélération est dirigé en permanence vers le centre du manège.

9.2 Force centripète et deuxième loi de Newton

D'après la deuxième loi de Newton, $\sum F = m a$ . Dans un mouvement circulaire uniforme, comme $a$ est centripète, la somme des forces appliquées au système doit elle aussi être centripète : c'est la force centripète.

Définition 9.6Force centripète

On appelle force centripète la résultante des forces qui, dans un mouvement circulaire, est dirigée vers le centre de la trajectoire. Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ , sa valeur vaut :

$F = m a = \frac{m v ^{2}}{R} .$

La force centripète n'est pas une force « nouvelle » : c'est le nom donné à la résultante des forces réelles (tension, frottement, gravitation…) lorsqu'elle pointe vers le centre.

Méthode : Étudier un mouvement circulaire avec la 2^e loi de Newton

Définir le système et le référentiel (souvent supposé galiléen).
Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système.
Projeter la deuxième loi de Newton $\sum F = m a$ dans la base de Frenet.
Utiliser le fait que, pour un mouvement circulaire uniforme, $a = \frac{v ^{2}}{R} u_{n}$ (composante tangentielle nulle).
Résoudre pour obtenir la grandeur cherchée (vitesse, période, force…).

9.3 La gravitation universelle

9.3.1 La loi de Newton

Isaac Newton énonce en 1687 que deux corps massiques s'attirent mutuellement. Cette attraction, la gravitation, est universelle : elle s'exerce entre tous les corps possédant une masse.

◆Théorème 9.7Loi de gravitation universelle

Deux corps ponctuels $A$ et $B$ , de masses $m_{A}$ et $m_{B}$ , séparés d'une distance $d$ , exercent l'un sur l'autre des forces attractives, de même valeur et de sens opposés. La valeur de la force exercée par $A$ sur $B$ (et par $B$ sur $A$ ) est :

$F = G \frac{m _{A} m _{B}}{d ^{2}},$

où $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot k g^{- 2}$ est la constante de gravitation universelle.

La force $F_{A / B}$ exercée par $A$ sur $B$ est dirigée de $B$ vers $A$ : la gravitation est toujours attractive.

Proposition 9.8Caractéristiques vectorielles

Si $u_{A \to B}$ est le vecteur unitaire dirigé de $A$ vers $B$ , la force exercée par $A$ sur $B$ s'écrit :

$F_{A / B} = - G \frac{m _{A} m _{B}}{d ^{2}} u_{A \to B} .$

Le signe « moins » traduit le caractère attractif : la force pointe vers le corps attracteur $A$ . De plus, d'après le principe des actions réciproques, $F_{A / B} = - F_{B / A}$ .

Exemple 9.9Attraction Terre--Lune

Avec $m_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ , $m_{L} = 7, 35 \times 1 0^{22} kg$ et $d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , la valeur de la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune vaut :

$F = G \frac{m _{T} m _{L}}{d ^{2}} = 6, 67 \times 1 0^{- 11} \times \frac{5 , 97 \times 1 0 ^{24} \times 7 , 35 \times 1 0 ^{22}}{( 3 , 84 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} \approx 1, 98 \times 1 0^{20} N .$

9.3.2 Poids et champ de gravitation

Au voisinage d'un astre de masse $M$ et de rayon $r$ , un corps de masse $m$ subit une force gravitationnelle qui, sur Terre, est assimilée au poids. On définit le champ de gravitation $G$ à la distance $d$ du centre de l'astre par :

$G = G \frac{M}{d ^{2}},$

exprimé en $N \cdot k g^{- 1}$ . À la surface de la Terre, on retrouve l'ordre de grandeur de $g \approx 9, 8 N \cdot k g^{- 1}$ .

Exemple 9.10Champ de pesanteur à la surface de la Terre

Avec $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ et $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ :

$g = G \frac{M _{T}}{R _{T}^{2}} = 6, 67 \times 1 0^{- 11} \times \frac{5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{( 6 , 37 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} \approx 9, 8 N \cdot k g^{- 1} .$

9.4 Mouvement des satellites et des planètes

9.4.1 Mise en équation

Considérons un satellite de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre central de masse $M$ (par exemple la Terre). Le système \{satellite\} est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. La seule force prise en compte est l'attraction gravitationnelle de l'astre central, qui joue le rôle de force centripète.

La figure ci-dessous illustre la situation : la force gravitationnelle $F$ et l'accélération $a$ sont dirigées vers le centre, tandis que la vitesse $v$ est tangente à l'orbite.

En projetant la deuxième loi de Newton sur le vecteur normal $u_{n}$ (dirigé vers le centre) :

$G \frac{M m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} .$

La masse $m$ du satellite se simplifie : le mouvement ne dépend pas de la masse du satellite.

Proposition 9.11Vitesse orbitale

Un satellite en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$ a une vitesse de valeur constante :

$v = \frac{G M}{r} .$

Le mouvement est donc circulaire uniforme. La vitesse ne dépend que de la masse de l'astre central et du rayon de l'orbite, mais pas de la masse du satellite.

Proposition 9.12Période orbitale

La période $T$ du satellite vérifie $v = \frac{2 π r}{T}$ , d'où :

$T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{G M} .$

Exemple 9.13Vitesse de la Station spatiale internationale

L'ISS orbite à une altitude $h \approx 4, 0 \times 1 0^{5} m$ , soit un rayon $r = R_{T} + h \approx 6, 77 \times 1 0^{6} m$ . Avec $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ :

$v = \frac{G M _{T}}{r} = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{6 , 77 \times 1 0 ^{6}} \approx 7, 7 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1},$

soit environ $7, 7 km \cdot s^{- 1}$ . La période correspondante est d'environ $92 min$ .

9.5 Les lois de Kepler

Avant Newton, Johannes Kepler (1571--1630) avait établi, à partir des observations astronomiques de Tycho Brahe, trois lois empiriques décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil. La loi de gravitation de Newton permet ensuite de les démontrer.

◆Théorème 9.14Première loi de Kepler --- loi des orbites

Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une orbite elliptique dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Dans le cas particulier d'une orbite circulaire, le Soleil occupe le centre du cercle, et le mouvement est circulaire uniforme.

◆Théorème 9.15Deuxième loi de Kepler --- loi des aires

Le segment reliant le Soleil à la planète (rayon vecteur) balaie des aires égales pendant des durées égales.

Conséquence : la planète se déplace plus vite lorsqu'elle est proche du Soleil (au périhélie) et plus lentement lorsqu'elle en est éloignée (à l'aphélie).

Loi des aires : les deux secteurs colorés, balayés pendant la même durée $Δ t$ , ont la même aire — près du Soleil (périhélie), l'arc parcouru est long (la planète va vite) ; loin du Soleil (aphélie), il est court.

◆Théorème 9.16Troisième loi de Kepler --- loi des périodes

Pour toutes les planètes en orbite autour d'un même astre, le rapport du carré de la période $T$ au cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est une constante :

$\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = constante .$

Cette constante ne dépend que de l'astre central. Pour une orbite circulaire, le demi-grand axe $a$ est égal au rayon $r$ de l'orbite.

La loi devient une simple droite dès qu'on choisit les bons axes.

Proposition 9.17Démonstration de la 3^e loi (orbite circulaire)

À partir de $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M}$ , on élève au carré :

$T^{2} = 4 π^{2} \frac{r ^{3}}{G M} ⟹ \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M} .$

Le rapport $\frac{T ^{2}}{r ^{3}}$ ne dépend que de la masse $M$ de l'astre central : c'est bien la troisième loi de Kepler. Elle permet de déterminer la masse de l'astre central à partir de la mesure de $T$ et de $r$ .


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# donnees astronomiques : demi-grand axe a (m), periode T (s)
planetes = ["Mercure", "Venus", "Terre", "Mars",
            "Jupiter", "Saturne", "Uranus", "Neptune"]
a = np.array([0.579, 1.082, 1.496, 2.279,
              7.786, 14.34, 28.71, 44.95]) * 1e11
T = np.array([0.241, 0.615, 1.000, 1.881,
              11.86, 29.45, 84.02, 164.8]) * 3.156e7

rapport = T**2 / a**3
for nom, k in zip(planetes, rapport):
    print(f"{nom:8s}  T^2/a^3 = {k:.3e}")   #   2.97e-19 pour toutes !

# regression : T^2 = k * a^3 -> droite dans le plan (a^3, T^2)
k, _ = np.polyfit(a**3, T**2, 1)
M_soleil = 4 * np.pi**2 / (6.67e-11 * k)
print("Masse du Soleil :", M_soleil, "kg")   #   2.0e30 kg

plt.loglog(a, T, "o")
plt.xlabel("a (m)"); plt.ylabel("T (s)")
plt.title("Pente 3/2 en echelle log-log : T^2 proportionnel a a^3")
plt.grid(which="both"); plt.show()

Capacité numérique : tester la troisième loi de Kepler sur les planètes

Le rapport $T^{2} / a^{3}$ est bien le même pour les huit planètes (troisième loi), et la régression fournit la masse du Soleil. La deuxième loi se teste de même en calculant l'aire balayée entre deux positions successives d'une planète (données d'éphémérides) et en vérifiant qu'elle est constante à durée fixée.

Exemple 9.18Masse du Soleil

La Terre décrit une orbite quasi circulaire de rayon $r = 1, 50 \times 1 0^{11} m$ avec une période $T = 1$ an $= 3, 16 \times 1 0^{7} s$ . La masse du Soleil vaut :

$M_{S} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}} = \frac{4 π ^{2} \times ( 1 , 50 \times 1 0 ^{11} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 3 , 16 \times 1 0 ^{7} ) ^{2}} \approx 2, 0 \times 1 0^{30} kg .$

9.6 Le satellite géostationnaire

Définition 9.19Satellite géostationnaire

Un satellite est dit géostationnaire lorsqu'il paraît immobile pour un observateur terrestre. Cela impose trois conditions :

son orbite est dans le plan de l'équateur ;
il tourne dans le même sens que la Terre (d'ouest en est) ;
sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même, soit un jour sidéral $T \approx 86164 s$ (environ $23 h 56 min$ ).

Méthode : Calculer l'altitude d'un satellite géostationnaire

À partir de la troisième loi de Kepler $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}} r^{3}$ , on isole le rayon de l'orbite :

$r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3},$

puis l'altitude $h = r - R_{T}$ . Avec $T = 86164 s$ , $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ et $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ , on obtient $r \approx 4, 22 \times 1 0^{7} m$ , soit une altitude $h \approx 3, 6 \times 1 0^{7} m$ (environ $36000 km$ ).

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